Преглед на кодот на Њутнова теорема (четириаголник)

[[Податотека:Newton_theorem.svg|мини|''P'' лежи на Њутновата права ''EF'']]

Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]], '''Њутновата теорема''' вели дека во секој [[тангентен четириаголник]] освен кај [[ромб]], центарот на кружницата лежи на Њутновата права.

Нека ''ABCD'' е тангентен четириаголник со најмногу еден пар паралелни страни. Понатаму, нека ''E'' и ''F'' се средишните точки на неговите дијагонали ''AC'' и ''BD'' и нека ''P'' е центарот на неговата кружница. Во таквата конфигурација, точката P се наоѓа на Њутновата права - правата ''EF'' која ги поврзува средишните точки на дијагоналите.

Тангентен четириаголник со два пара паралелни страни е ромб. Во овој случај и средните точки и центарот на кружницата се совпаѓаат и по дефиниција тогаш Њутновата права не е определена.

Њутновата теорема лесно може да се изведе од теоремата на Ане имајќи предвид дека во тангентните четириаголници комбинираните должини на спротивните страни се еднакви (Теорема на Пито: <math>a+c=b+d</math>). Сега, според теоремата на Ан, која кажува дека збирот на плоштините на спротивните триаголници ''PAD'' и ''PBC'' и збирот на плоштините на триаголниците ''PAB'' и ''PCD'' се еднакви, доволно е за доказ дека ''P'' лежи на ''EF''. Ако ''r'' е радиусот на впишаната кружница, тогаш ''r'' е и висината на сите четири триаголника.

: <math>\begin{align}
     &P(\triangle PAB)+P(\triangle PCD) \\[5pt]
    ={}&\tfrac{1}{2}ra+\tfrac{1}{2}rc=\tfrac{1}{2}r(a+c) 
\\[5pt]
    ={}&\tfrac{1}{2}r(b+d)=\tfrac{1}{2}rb+\tfrac{1}{2}rd \\[5pt]
    ={}&P(\triangle PBC)+P(\triangle PAD)
\end{align}
</math>

[[Категорија:Теореми за четириаголници и кружници]]