Преглед на кодот на Алеф-број

[[Податотека:Aleph0.svg|мини|десно|150п|Алеф-нула — најмалиот бесконечен кардинален број]]
'''Алеф-број''' — низа од броеви што служат за претставување на [[кардиналност]]а (или големината) на [[бесконечно множество|бесконечните множества]]. Го носат името на нивниот симбол, [[хебрејско писмо|хебрејската]] буква [[алеф]] (<math>\aleph</math>), одбрана како прва буква во зборот {{јаз|he|אין סוף}} (''ен-соф'' = „[[бесконечност]]“).

Кардиналноста на [[природен број|природните броеви]] е <math>\aleph_0</math> („алеф-нула“). Следната (поголема) кардиналност е алеф-еден <math>\aleph_1</math>, па <math>\aleph_2</math> и така натаму. Продолжувајќи на овој начин, можеме да дефинираме [[кардинален број]] <math>\aleph_\alpha</math> за секој [[реден број]] α, според долуопишаното.

Творец на ваквото поимување за множествата е германскиот математичар [[Георг Кантор]] (1845-1918), кој прв дошол до заклучок дека бесконечните множества може да имаат различни кардиналности.

Алеф-бројот се разликува од [[лимес|бесконечноста]] (∞) што честопати се среќава во алгебрата и анализата. Алефот ја изразува големината на едно множество, додека пак бесконечноста се смета за крајната [[лимес|граница]] на [[бројна оска|оската на реални броеви]] (кај една [[функција (математика)|функција]] или [[низа (математика)|низа]] што „се [[дивергентна низа|разидува]] до бесконечност“ или „се зголемува до бескрај“), или крајна точка на [[продолжена бројна оска|продолжената оска на реални броеви]].

==Алеф-нула==
<math>\aleph_0</math> е кардиналноста на множеството од сите природни броеви, и затоа е првиот [[трансконечен број|трансконечен кардинал]]. Едно множество има кардиналност од <math>\aleph_0</math> [[ако и само ако]] е [[преброиво множество|преброиво бесконечно]], што може да биде ако и само ако може да се стави во непосредна [[биекција]] (совпаѓање 1-1) со природните броеви. Вакви множества се множеството на сите [[прост број|прости броеви]], множеството на сите [[цел број|цели броеви]], множеството на сите [[рационален број|рационални броеви]], множеството на [[алгебарски број|алгебарските броеви]], множеството на [[двоичен броен систем|двоични]] [[низа (информатика)|низи]] на сите конечни должини и множеството на сите конечни [[подмножество|подмножества]] на секое преброиво бесконечно множество.

Доколку важи аксиомата за преброив избор (послаба варијанта на [[аксиома за избор|аксиомата за избор]]), тогаш <math>\aleph_0</math> е помал од секој друг бесконечен кардинал.

==Алеф-еден==
<math>\aleph_1</math> е кардиналноста на множеството на сите преброиви [[реден број|редни броеви]], наречено '''ω<sub>1</sub>''' или '''Ω''' („омега-еден“). Самата '''ω<sub>1</sub>''' е реден број поголем од сите преброиви редни броеви, па затоа претставува [[непреброиво множество]]. Затоа,  <math>\aleph_1</math> е различен од <math>\aleph_0</math>. Дефиницијата за <math>\aleph_1</math> подразбира (во ЦФ, [[Цермело–Френкелова теорија на множествата|Цермело–Френкеловата теорија на множествата]] ''без'' аксиомата за избор) дека не постои кардинален број помеѓу <math>\aleph_0</math> и <math>\aleph_1</math>. Ако ја употребиме аксиомата за избор (АИ), уште поцврсто ќе докажеме дека класата на кардинални броеви е [[линеарно подредено множество|сосем подредена]], и затоа <math>\aleph_1</math> е втор најмал бесконечен кардинален број. Користејќи ја аксиомата за избор можеме да покажеме едно од најкорисните својства на '''ω<sub>1</sub>''': секое преброиво подмножество на '''ω<sub>1</sub>''' има горна граница во '''ω<sub>1</sub>''' (ова следува од фактот што преброивата унија на преброиви множества е преброива, што е меѓу најчестите примени на аксиомата за избор). Ова е аналогно на ситуацијата кај <math>\aleph_0</math>: секое конечно множество на природни броеви има максимум, кој исто така е природен број; т.е. [[унија на множества|конечните унии]] на конечните множества се конечни.

'''ω<sub>1</sub>''' е впрочем корисен концепт, иако можеби звучи егзотично. Пример за нејзина примена бил било „затворањето“ во однос на преброиви операции; т.е. кога се обидуваме јасно да опишеме [[сигма-алгебра|σ-алгебра]] создадена од произволна група на подмножества. Ова е потешко од највеќето јасни описи на „создавање“ во алгебрата ([[векторски простор]]и, [[теорија на групите|групи]] итн.) бидејќи во тие случаи мораме да затвориме само во однос на конечни операции — збирови, производи и слично. Во оваа постапка подразбира употреба на [[трансконечна индукција]] за дефинирање на множество за секој преброив реден број „уфрлајќи“ ги сите можни преброиви унии и дополненија, и вршејќи унија на сето тоа со целата '''ω<sub>1</sub>'''.

==Хипотеза на континуумот==
{{главна|Хипотеза на континуумот}}
{{поврзано|Бет-број}}
[[Кардиналност]]а на множеството [[реален број|реални броеви]] ([[кардиналност на континуумот]]) е <math>2^{\aleph_0}</math>. Не е јасно каде му е местото на овој број во хирархијата на алеф-броеви. Од ЦФИ ([[Цермело–Френкелова теорија на множествата|Цермело–Френкеловата теорија на множествата]] со аксиомата за избор) следи дека прочуената хипотеза на континуумот ('''ХК''' или ''CH'') е еквивалентна на идентитетот

:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1.</math>

ХК е зависна од ЦФИ: не може ниту да се докаже, ниту да се побие во контекст на тој аксиоматски систем (доколку ЦФИ е складна). Нејзината складност со ЦФИ ја покажал австрискиот математичар [[Курт Гедел]] во 1940, изложувајќи го разклучокот дека нејзината негација не претставува теорема на ЦФИ. Нејзината независност од ЦФИ ја покажал американскиот математичар [[Пол Коен]] во 1963 кога изложил дека самата ХК не е теорема ЦФИ со неговиот нов метод на [[наметнување (математика)|наметнување]].

==Алеф-ω==
По обичај најмалиот бесконечен реден број се означува со ω, а кардиналниот број <math>\aleph_\omega</math> е најмалата горна граница на
:<math>\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}</math>
помеѓу алефите.

Алеф-ω е првиот непреброив кардинален број за кој со Цермело–Френкеловата теорија на множествата може да се покаже дека ''не'' е еднаков на кардиналноста на множеството на сите [[реален број|реални броеви]]; за секој позитивен цел број n можеме доследно да претположиме дека <math>2^{\aleph_0} = \aleph_n</math>, а можеме да претположиме и дека <math>2^{\aleph_0}</math> ќе биде со каква сакаме големина. Приморани сме само да избегнеме да го поставиме со извесни посебни кардинали со [[кофиналност]] <math>\aleph_0</math>, што значи дека има безгранична функција од <math>\aleph_0</math>.

==Алеф-α за општа α==
За да го дефинираме <math>\aleph_\alpha</math> за произволен реден број <math>\alpha</math>, мора да го дефинираме настапувачката кардинална операција, која на секој кардинален број ρ му го задава следниот поголем [[наполно подредено множество|наполно подреден]] кардинал ρ{{sup|+}} (ако важи аксиомата за избор, ова е следниот поголем кардинал.)

Потоа можеме да ги дефинираме алеф-броевите вака

:<math>\aleph_{0} = \omega</math>
:<math>\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+</math>

а за λ, бесконечен граничен реден број,

:<math>\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.</math>

α-тиот бесконечен првичен реден број се запишува како <math>\omega_\alpha</math>. Неговата кардиналност се изразува како <math>\aleph_\alpha</math>.

Во ЦФИ, функцијата <math>\aleph</math> е биекција помеѓу редните броеви и бесконечните кардинали.<ref>{{PlanetMath | urlname=AlephNumbers | title=алеф-броеви | id=5710}}</ref>

==Неподвижни точки на омега==
За секој реден број α имаме
:<math>\alpha\leq\omega_\alpha.</math>
Во многу случаи <math>\omega_{\alpha}</math> е строго земено поголема од α. На пример, ова важи за секој настапувачки реден број α. Меѓутоа постојат некои гранични редни броеви кои се [[неподвижна точка|неподвижни точки]] на омега-функцијата поради лемата на неподвижни точки за нормални функции. Првата ваква е границата на низата

:<math>\omega,\ \omega_\omega,\ \omega_{\omega_\omega},\ \ldots.</math>

Секој слабо недосежен кардинал исто така е неподвижна точка на алеф-функцијата.

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
* [http://cim.feit.ukim.edu.mk/pdf/beskonecnost07.pdf „За конечното и бесконечното“] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20210618202118/http://cim.feit.ukim.edu.mk/pdf/beskonecnost07.pdf |date=2021-06-18 }} - Центар за инженерска математика, [[ФЕИТ]] - Скопје {{mk}}
* {{MathWorld | urlname=Aleph-0 | title=Алеф-0}}

[[Категорија:Кардинални броеви]]
[[Категорија:Бесконечност]]