Преглед на кодот на Афин простор

[[Податотека:Affine_space_R3.png|мини|Во <math>\mathbb{R}^3,</math> горната рамнина (со сина боја) <math>P_2</math> не е векторски потпростор, бидејќи <math>\mathbf{0} \notin P_2</math> и <math>\mathbf{a} + \mathbf{b} \notin P_2;</math> тоа е ''афин потпростор''. Нејзината насока е долната (зелената) рамнина <math>P_1,</math> која е векторски потпростор. Иако <math>\mathbf{a}</math> и <math>\mathbf{b}</math> се во <math>P_2,</math> нивната разлика е ''вектор на поместување'', кој не припаѓа на <math>P_2,</math> но припаѓа на векторскиот простор <math>P_1.</math>]]
Во [[математика]]та, '''афин простор''' е геометриска структура која е обопштување некои од својствата на [[Евклидов простор|Евклидовите простори]] така што тие својства се независни од концептите за растојание и мерка на агол, задржувајќи ги само својствата [[паралелност]] и односот на должините на паралелни [[Отсечка|отсечки]].

Во афиниот простор, не постои посебна точка која служи како координатен почеток. Оттука, ниту еден вектор нема фиксен почеток и на ниту еден вектор не може уникатно да му се придружи една точка. Во афиниот простор, наместо тоа, постојат ''[[Поместување (вектор)|вектори на поместување]]'', наречени и вектори на ''[[Транслација (геометрија)|транслација]]'' или едноставно ''транслации'', помеѓу две точки од просторот.<ref>The word ''translation'' is generally preferred to ''displacement vector'', which may be confusing, as [[Displacement (mathematics)|displacements]] include also [[Rotation (mathematics)|rotations]].</ref> Така, има смисла да се одземат две точки од просторот при што се добива вектор на поместување (вектор на транслација), но нема смисла да се собираат две точки од просторот. Исто така, има смисла да се додаде вектор на поместување на точка од афин простор, што резултира со нова точка преместена (транслирана) од почетната точка за тој вектор.

Секој [[векторски простор]] може да се гледа како афин простор. Ова значи да се заборави  посебната улога која ја игра нултиот вектор. Во овој случај елементите на векторскиот простор може да се гледаат или како ''точки'' на афиниот простор или како ''вектори на поместување'' или ''транслации''. Кога се смета како точка, нултиот вектор се нарекува ''координатен почеток''. Со додавање на фиксен вектор на елементите на линеарен потпростор на [[векторски простор]] се добива ''афин потпростор''. Обично се вели дека овој афин потпростор е добиен со преместување (транслација) (од координатниот почеток) на линеарниот потпростор за дадениот вектор на транслација. Во конечни димензии таков ''афин потпростор'' е множеството од решенија на некој [[Систем на линеарни равенки|нехомоген]] линеарен систем. Векторите на поместување за тој афин простор се решенијата на соодветниот ''хомоген'' линеарен систем, кој е линеарен потпростор. За разлика од нив, линеарните потпростори секогаш го содржат координатниот почеток на векторскиот простор.

''Димензијата'' на афиниот простор се дефинира како димензија на векторскиот простор на неговите транслации. Афин простор со димензија 1 е '''афина права'''. Афин простор со димензија 2 е афина рамнина. Афин потпростор со димензија {{Мат|''n'' – 1}} во афин простор или векторски простор со димензија {{Мат|''n''}} е афина хиперрамнина .

== Неформален опис ==
[[Податотека:Affine_origin.png|десно|мини| Координатни почетоци од гледна точка на Алиса и на Боб. Векторското пресметување од гледна точка на Алиса е означено со црвено, додека она на Боб е означено со сино.]]
Следната карактеризација може да се разбере полесно од вообичаената формална дефиниција: афин простор е она што останува од [[Векторски простор|векторскиот простор]] откако сте заборавиле која точка е координатен почеток (почеток) (или, според зборовите на францускиот математичар Марсел Берже, „афиниот простор не е ништо повеќе од векторски простор чиј почеток се обидуваме да го заборавиме, со додавање на [[Транслација (геометрија)|транслации]] на линеарните пресликувања“ <ref name="Berger1987"/>). Замислете дека Алиса знае дека одредена точка е вистинскиот координатен почеток, но Боб верува дека некоја друга точка - наречена {{Мат|'''p'''}} - е координатниот почеток. Треба да се соберат два вектора, {{Мат|'''a'''}} и {{Мат|'''b'''}}. Боб црта стрелка од точката {{Мат|'''p'''}} до точката {{Мат|'''a'''}} и друга стрелка од точката {{Мат|'''p'''}} до точката {{Мат|'''b'''}}, и го комплетира паралелограмот за да го најде она што Боб мисли дека е {{Мат|'''a''' + '''b'''}}, но Алиса мисли (знае) дека тој всушност пресметал

: {{Мат|'''p''' + ('''a''' − '''p''') + ('''b''' − '''p''')}}.

Слично на тоа, Алиса и Боб можат да ја пресметаат која било линеарна комбинација на {{Мат|'''a'''}} и {{Мат|'''b'''}} (или на кое било конечно множество од вектори) и генерално ќе добијат различни одговори. Меѓутоа, ако збирот на коефициентите во линеарната комбинација е 1, тогаш Алиса и Боб ќе дојдат до истиот одговор.

Ако Алиса се премести во положбата

: {{Мат|λ'''a''' + (1 − λ)'''b'''|size=120%}},

тогаш Боб слично може да се премести во положбата

: {{Мат|1='''p''' + λ('''a''' − '''p''') + (1 − λ)('''b''' − '''p''') = λ'''a''' + (1 − λ)'''b'''}}.

Под овој услов, за сите коефициенти {{Мат|1=λ + (1 − λ) = 1}}, па Алиса и Боб опишуваат иста точка со иста линеарна комбинација и покрај тоа што користат различни координатни почетоци.

Додека само Алиса ја знае „линеарната структура“, и Алиса и Боб ја знаат „афината структура“ - т.е. вредностите на афините комбинации, дефинирани како линеарни комбинации во кои збирот на коефициентите е 1. Комплет на множество со афина структура се нарекува афин простор.

== Дефиниција ==
''Афин простор'' е множество {{Мат|''A''}} заедно со [[векторски простор]] <math>\overrightarrow{A}</math>, и транзитивно и слободно дејство на адитивната група на <math>\overrightarrow{A}</math> врз множеството {{Мат|''A''}}.<ref>{{Наведување|last=Berger, Marcel|chapter=Affine spaces|year=1984|page=11|chapter-url=https://books.google.com/books?id=VXRppKJwpaAC&pg=PA11|title=Problems in Geometry|isbn=9780387909714}}</ref> Елементите на афиниот простор {{Мат|''A''}} се нарекуваат ''точки'' . Векторскиот простор <math>\overrightarrow{A}</math> се вели дека е ''поврзан'' со афиниот простор, а неговите елементи се нарекуваат ''вектори'', транслации или понекогаш ''[[Вектор|слободни вектори]]''.

Експлицитно, дефиницијата дадена погоре значи дека едно дејство е пресликување, генерално означено како собирање,

: <math>
\begin{align}
A \times \overrightarrow{A} &\to A \\
 (a,v)\; &\mapsto a + v,
\end{align}
</math>

кое ги има следниве својства.<ref name="Berger1987">{{Harvnb|Berger|1987}}</ref><ref>{{Наведување|last=Snapper|first=Ernst|last2=Troyer|first2=Robert J.|title=Metric Affine Geometry|year=1989|page=6}}</ref><ref>{{Наведување|last=Tarrida, Agusti R.|chapter=Affine spaces|year=2011|pages=1–2|url=https://books.google.com/books?id=UZvxUBzraGAC&pg=PA1|title=Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics|isbn=9780857297105}}</ref>

# Десна единица:
#: <math>\forall a \in A,\; a+0 = a</math>, каде што {{Мат|0}} е нултиот вектор во <math>\overrightarrow{A}</math>
# Асоцијативност:
#: <math>\forall v,w \in \overrightarrow{A}, \forall a \in A,\; (a + v) + w = a + (v + w)</math> (тука последниот знак {{Мат|+}} е собирање во <math>\overrightarrow{A}</math> )
# Слободно и транзитивно дејство:
#: За секој <math>a \in A</math>, пресликувањето <math>\overrightarrow A \to A \colon v \mapsto a + v</math> е [[бијекција]] .

Првите две својства се едноставно својствата од дефиницијата на дејство на (десна) група. Третото својство ги карактеризира слободните и преодните дејства. Сурјективноста доаѓа од транзитивноста, а потоа инјективноста следи од тоа што дејството е слободно. Постои четврто својство кое следи од 1, 2 погоре:
#<li value="4">Постоење на инјективни транслации</li>
#:За сите <math>v \in \overrightarrow A</math>, пресликувањето <math>A \to A \colon a \mapsto a + v</math> е бијекција.

Својството 3 често се користи во следнава еквивалентна форма (5-то својство).
#<li value="5">Одземање:</li>
#:За секои {{math|''a'', ''b''}} од {{mvar|A}}, постои единствен <math>v\in\overrightarrow A</math>, означен со {{math|''b'' – ''a''}}, т.ш. <math>b = a + v</math>.
Homogeneous spaces are by definition endowed with a transitive group action, and for a principal homogeneous space such a transitive action is by definition free.

Друг начин да се изрази дефиницијата е дека афиниот простор е главен хомоген простор (торзор) за дејството на адитивната група на векторски простор. Хомогените простори по дефиниција поседуваат со група од транзитивни дејства, а за главен хомоген простор таквото транзитивно дејство по дефиниција е слободно.

=== Одземање и аксиоми на Веј ===
Својствата на групното дејство овозможуваат да се дефинира одземање за секој даден подреден пар {{Мат|(''b'', ''a'')}} од точки во {{Мпром|A}}, со што се добива вектор од <math>\overrightarrow{A}</math>. Овој вектор, означен со<math>b - a</math> или <math>\overrightarrow{ab}</math>, се дефинира како единствен вектор во <math>\overrightarrow{A}</math> таков што

: <math>a + (b - a) = b.</math>

Од транзитивноста на дејството следи постоењето, а уникатноста следи од тоа што дејството е слободно.

Ова одземање ги има следниве две својства, наречени [[Херман Вајл|Вејлови]] аксиоми:<ref>{{Harvnb|Nomizu|Sasaki|1994}}</ref>

# <math>\forall a \in A,\; \forall v\in \overrightarrow{A}</math>, постои единствена точка <math>b \in A</math> такви што <math>b - a = v.</math>
# <math>\forall a,b,c \in A,\; (c - b) + (b - a) = c - a.</math>

Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]], втората Вејлова аксиома вообичаено се нарекува ''правило на паралелограм'' .

Афините простори може еквивалентно да се дефинираат како множество од точки {{Мат|''A''}}, заедно со векторскиот простор <math>\overrightarrow{A}</math>, и одземање кое ги задоволува Вејловите аксиоми. Во овој случај, додавањето на вектор на точка е дефинирано од првите Вејлови аксиоми.

== Афини потпростори и паралелизам ==
''Афин потпростор'' (исто така наречен, во некои контексти, ''линеарна сорта'', рамност, или, над [[Реален број|реалните броеви]], ''линеарно многуобразие'') {{Мат|''B''}} на афин простор {{Мат|''A''}} е подмножество од {{Мат|''A''}}, така што, за дадена точка <math>a \in B</math>, множеството од вектори <math>\overrightarrow{B} = \{b - a \mid b \in B\}</math> е линеарен потпростор на <math>\overrightarrow{A}</math>. Ова својство, кое не зависи од изборот на {{Мат|''a''}}, имплицира дека {{Мат|''B''}} е афин простор, кој го има <math>\overrightarrow{B}</math> како негов асоциран векторски простор.

Афините потпростори на {{Мат|''A''}} се подмножества на {{Мат|''A''}} од обликот

: <math>a + V = \{a + w: w \in V\},</math>

каде што {{Мат|''a''}} е точка од {{Мат|''A''}}, а {{Мат|''V''}} линеарен потпростор на <math>\overrightarrow{A}</math>.

Линеарниот потпростор поврзан со афин потпростор често се нарекува негова ''насока'', а за два потпростора кои имаат иста насока се вели дека се ''паралелни''.

Ова ја повлекува следнава генерализација на аксиомата на Плејфер (Playfair): ако е  дадена насока {{Мат|''V''}}, за која било точка {{Мат|''a''}} од {{Мат|''A''}} постои еден и само еден афин потпростор со насока {{Мат|''V''}}, кој минува низ {{Мат|''a''}}; тоа е потпросторот {{Мат|''a'' + ''V''}}.

Секоја транслација <math>A \to A: a \mapsto a + v</math> го пресликува секој афин потпростор во паралелен потпростор.

Терминот ''паралелност'' се користи и за два афини потпростора така што насоката на едниот е вклучена во насоката на другиот.

== Афино пресликување ==
За дадени два афини простора {{Мат|''A''}} и {{Мат|''B''}} чии поврзани векторски простори се <math>\overrightarrow{A}</math> и <math>\overrightarrow{B}</math>, ''афино пресликување'' или ''афин хомоморфизам'' од {{Мат|''A''}} во {{Мат|''B''}} е пресликувањето

: <math>f: A \to B</math>

за кое

: <math>
\begin{align}
 \overrightarrow{f}: \overrightarrow{A} &\to \overrightarrow{B}\\
                  b - a &\mapsto f(b) - f(a)
\end{align}
</math>

е добро дефинирано линеарно пресликување. Да биде <math>f</math> добро дефинирано се мисли  дека од {{Мат|1=''b'' – ''a'' = ''d'' – ''c''}} следува {{Мат|1=''f''(''b'') – ''f''(''a'') = ''f''(''d'') – ''f''(''c'')}}.

Ова имплицира дека, за точка <math>a \in A</math> и вектор <math>v \in \overrightarrow{A}</math>, важи

: <math>f(a + v) = f(a) + \overrightarrow{f}(v).</math>

Затоа, бидејќи за кое било дадено {{Мпром|b}} во {{Мпром|A}}, {{Мат|''b'' {{=}} ''a'' + ''v''}} за единствен {{Мпром|v}}, {{Мат|''f''}} е целосно дефинирано со неговата вредност во една точка и поврзаното линеарно пресликување <math>\overrightarrow{f}</math>.

== Векторски простори како афини простори ==
Секој векторски простор {{Мат|''V''}} може да се смета како афин простор над себе. Ова значи дека секој елемент на {{Мат|''V''}} може да се смета или како точка или како вектор. Овој афин простор понекогаш се означува {{Мат|(''V'', ''V'')}} за да се нагласи двојната улога на елементите на {{Мат|''V''}}. Кога се смета за точка, нултиот вектор најчесто се означува {{Мат|''o''}} (или {{Мат|''O''}}, кога се користат големи букви за точки) и се нарекува почеток.

Ако {{Мат|''A''}} е друг афин простор над истиот векторски простор (т.е <math>V = \overrightarrow{A}</math> ) изборот на која било точка {{Мат|''a''}} во {{Мат|''A''}} дефинира единствен афин изоморфизам, кој е идентитетот на {{Мат|''V''}} и го пресликува {{Мат|''a''}} во {{Мат|''o''}} . Со други зборови, изборот на почеток {{Мат|''a''}} во {{Мат|''A''}} ни овозможува да ги идентификуваме {{Мат|''A''}} и {{Мат|(''V'', ''V'')}} до каноничен изоморфизам. Панданот на ова својство е дека афиниот простор {{Мат|''A''}} може да се идентификува со векторскиот простор {{Мат|''V''}} во кој „местото на почетокот е заборавено“.

== Врска со Евклидовите простори ==

=== Дефиниција на Евклидови простори ===
[[Евклидов простор|Евклидови простори]] (вклучувајќи ја еднодимензионалната права, дводимензионалната рамнина и тридимензионалниот простор кои вообичаено се изучуваат во елементарната геометрија, како и повеќедимензионални аналози) се афини простори.

Навистина, во повеќето современи дефиниции, Евклидов простор е дефиниран како афин простор, така што поврзаниот векторски простор е  конечнодимензионален реален простор со внатрешен производ , т.е. векторски простор над реалното поле со позитивно-дефинитна квадратна форма {{Мат|''q''(''x'')}}. Внатрешниот производ на два вектора {{Мпром|x}} и {{Мпром|y}} е вредноста на симетричната билинеарна форма

: <math>x \cdot y = \frac 12 (q(x + y) - q(x) - q(y)).</math>

Вообичаеното Евклидово растојание помеѓу две точки {{Мпром|A}} и {{Мпром|B}} е

: <math>d(A, B) = \sqrt{q(B - A)}.</math>

Во постарата дефиниција на Евклидовите простори преку синтетичката геометрија, векторите се дефинирани како класи на еквиваленција на подредени парови точки под еквиполенција (паровите {{Мат|(''A'', ''B'')}} и {{Мат|(''C'', ''D'')}} се ''еквиполентни'' ако точките {{Мат|''A'', ''B'', ''D'', ''C''}} ( по овој редослед) формираат [[паралелограм]] ). Едноставно е да се провери дека векторите формираат векторски простор, квадратот на Евклидовото растојание е квадратна форма на векторскиот простор, а двете дефиниции за Евклидовите простори се еквивалентни.

=== Афини својства ===
Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]], вообичаената фраза „'''афино својство'''“ се однесува на својство кое може да се докаже во афините простори, односно може да се докаже без користење на квадратната форма и нејзиниот поврзан внатрешен производ. Со други зборови, афино својство е својство кое не вклучува должини и агли. Типични примери се [[Паралелност|паралелизмот]] и дефиниција на [[Допирка|тангента]]. Пример за не-афино својство е дефиницијата за нормалност .

Еквивалентно, афино својство е својство кое е непроменливо при афините трансформации на Евклидовиот простор.

== Афини комбинации и барицентар ==
Нека {{Мат|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} е збирка од {{Мат|''n''}} точки во афин простор, а <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> се {{Мат|''n''}} елементи на основното поле .

Да претпоставиме дека <math>\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 0</math>. За кои било две точки {{Мат|''o''}} и {{Мат|''o' ''}} важи

: <math>\lambda_1 \overrightarrow{oa_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{oa_n} = \lambda_1 \overrightarrow{o'a_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{o'a_n}.</math>

Така, оваа сума е независна од изборот на почетокот, а добиениот вектор може да се претстави како

: <math>\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_n a_n .</math>

Кога <math>n = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1</math>, се добива дефиниција за одземање на точки.

Сега, наместо тоа, да претпоставиме дека елементите на полето ја задоволуваат равенката <math>\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1</math>. За одреден избор на почеток {{Мат|''o''}}, означете ја со <math>g</math> единствената точка за која

: <math>\lambda_1 \overrightarrow{oa_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{oa_n} = \overrightarrow{og}.</math>

Може да се покаже дека <math>g</math> е независна од изборот на {{Мат|''o''}} . Затоа, ако

: <math>\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1,</math>

може да се напише

: <math>g = \lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_n a_n.</math>

Поентата <math>g</math> се нарекува '''барицентар''' на <math>a_i</math> за тежини <math>\lambda_i</math>. Се кажува и дека <math>g</math> е '''афина комбинација''' на <math>a_i</math> со коефициенти <math>\lambda_i</math>.

== Примери ==

* Кога децата ги наоѓаат одговорите на збировите како {{Мат|4 + 3}} или {{Мат|4 − 2}} со броење десно или лево на [[Бројна оска|бројна права]], тие ја третираат бројната права како еднодимензионален афин простор.
* Секое комножество на потпростор {{Мпром|V}} на векторски простор е афин простор над тој потпростор.
* Ако {{Мпром|T}} е [[Матрица (математика)|матрица]] и {{Мат|'''b'''}} лежи во просторот определен од нејзините колони, множеството од решенија на равенката {{Мат|1=''T'''''x''' = '''b'''}} е афин простор над потпросторот на решенија од {{Мат|1=''T'''''x''' = 0}} .
* Решенијата на нехомогена линеарна диференцијална равенка формираат афин простор над решенијата на соодветната хомогена линеарна равенка.
* Генерализирајќи го сето горенаведено, ако {{Мат|''T'' : ''V'' → ''W''}} е линеарно пресликување и {{Мат|'''y'''}} лежи на неговата слика, множеството од решенија {{Мат|'''x''' ∈ ''V''}} на равенката {{Мат|1=''T'''''x''' = '''y'''}} е косет на јадрото на {{Мпром|T }}, и затоа е афин простор над {{Мат|Ker ''T'' }}.
* Просторот на (линеарни) комплементарни потпростори на векторски потпростор {{Мат|''V''}} во векторски простор {{Мат|''W''}} е афин простор, над {{Мат|Hom(''W''/''V'', ''V'')}}. Односно, ако {{Мат|0 → ''V'' → ''W'' → ''X'' → 0}} е кратка точна низа од векторски простори, тогаш просторот на сите разделувања на точната низа природно ја носи структурата на афин простор над {{Мат|Hom(''X'', ''V'')}} .

== Афин распон и основи ==
За секое подмножество {{Мат|''X''}} од афиниот простор {{Мат|''A''}}, постои најмал афин потпростор кој го содржи, наречен '''афин распон''' на {{Мат|''X''}}. Тоа е пресекот на сите афини потпростори кои го содржат {{Мат|''X''}}, а неговата насока е пресекот на насоките на афините потпростори што го содржат {{Мат|''X''}}.

Афиниот распон на {{Мат|''X''}} е множество од сите (конечни) афини комбинации на точки од {{Мат|''X''}}, а неговата насока е линеарниот распон на {{Мат|''x'' − ''y''}} за {{Мат|''x''}} и {{Мат|''y''}} во {{Мат|''X''}}. Ако се избере одредена точка {{Мат|''x''<sub>0</sub>}}, насоката на афиниот распон на {{Мат|''X''}} е исто така линеарниот распон на {{Мат|''x'' – ''x''<sub>0</sub>}} за {{Мат|''x''}} во {{Мат|''X''}}.

Се вели, исто така, дека афиниот распон на {{Мат|''X''}} е '''генериран''' од {{Мат|''X''}} и дека {{Мат|''X''}} е '''генерирачко множество''' од неговиот афин распон.

Се вели дека едно множество од точки {{Мат|''X''}} од афин простор е '''афино независно''' или, едноставно, '''независно''', ако афиниот распон на кое било [[Подмножество|строго подмножество]] на {{Мат|''X''}} е строго подмножество на афиниот распон на {{Мат|''X''}}. '''Афина база''' или '''барицентрична рамка''' (види {{Оддел-врска||Barycentric coordinates}}, долу) на афин простор е генерирачко множество кое е исто така независно (тоа е минимално генерирачко множество).

Потсетете се дека ''димензија'' на афин простор е димензијата на неговиот поврзан векторски простор. База на афиниот простор со конечна димензија {{Мат|''n''}} се независните подмножества од {{Мат|''n'' + 1}} елементи, или, еквивалентно, генерирачките подмножества од {{Мат|''n'' + 1}} елементи. Еквивалентно, {{Мат|{''x''<sub>0</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}} } е афина база на афин простор ако и само ако {{Мат|{''x''<sub>1</sub> − ''x''<sub>0</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> − ''x''<sub>0</sub>}} } е линеарна база на поврзаниот векторски простор.

== Координати ==
Постојат два силно поврзани типа на [[Координатен систем|координатни системи]] кои може да се дефинираат на афините простори.

=== Барицентрични координати ===
Нека {{Мат|''A''}} е афин простор со димензија {{Мат|''n''}} над полето {{Мат|''k''}}, и <math>\{x_0, \dots, x_n\}</math> биде афина база на {{Мат|''A''}}. Својствата на афина база имплицираат дека за секој {{Мат|''x''}} во {{Мат|''A''}} има единствена {{Мат|(''n'' + 1)}} - торка <math>(\lambda_0, \dots, \lambda_n)</math> на елементи од {{Мат|''k''}} такви што

: <math>\lambda_0 + \dots + \lambda_n = 1</math>

и

: <math>x = \lambda_0 x_0 + \dots + \lambda_n x_n.</math>

<math>\lambda_i</math> се нарекуваат '''барицентрични координати''' на {{Мат|''x''}} над афината база <math>\{x_0, \dots, x_n\}</math> . Ако {{Мат|''x<sub>i</sub>''}} се гледаат како тела кои имаат тежини (или маси) <math>\lambda_i</math> соодветно, тогаш точката {{Мат|''x''}} е  барицентарот на {{Мат|''x<sub>i</sub>''}}, и ова го објаснува потеклото на поимот ''барицентрични координати''.

Барицентричните координати дефинираат афин изоморфизам помеѓу афиниот простор {{Мат|''A''}} и афиниот потпростор од {{Мат|''k''<sup>''n'' + 1</sup>}} дефиниран со равенката <math>\lambda_0 + \dots + \lambda_n = 1</math>.

За афините простори со бесконечна димензија, се применува истата дефиниција, користејќи само конечни збирови. Ова значи дека за секоја точка, само конечен број на координати не се еднакви на нула.

=== Афини координати ===
'''Афина рамка''' на афин простор се состои од точка, наречена ''почеток'', и линеарна база на поврзаниот векторски простор. Поточно, за афин простор {{Мат|''A''}} со поврзан векторски простор <math>\overrightarrow{A}</math>, почетокот {{Мат|''o''}} припаѓа на {{Мат|''A''}}, а линеарната основа е основа {{Мат|(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>)}} на <math>\overrightarrow{A}</math> (за едноставност на ознаките, го разгледуваме само случајот со конечна димензија, додека општиот случај е сличен).

За секоја точка {{Мат|''p''}} од {{Мат|''A''}}, постои единствена низа <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> на елементи од основното поле така што

: <math>p = o + \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n,</math>

или еквивалентно

: <math>\overrightarrow{op} = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n.</math>

<math>\lambda_i</math> се нарекуваат '''афини координати''' на {{Мат|''p''}} над афината рамка {{Мат|(''o'', ''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>)}} .

'''Пример:''' Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]], [[Декартов координатен систем|Декартовите координати]] се афини координати во однос на '''ортонормална рамка''', т.е. афина рамка {{Мат|(''o'', ''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>)}} таква што {{Мат|(''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>)}} е ортонормална база .

=== Врска помеѓу барицентрични и афини координати ===
Барицентричните координати и афините координати се силно поврзани и може да се сметаат за еквивалентни.

Всушност, ако е дадена барицентричната рамка

: <math>(x_0, \dots, x_n),</math>

веднаш се изведува афината рамка

: <math>(x_0, \overrightarrow{x_0 x_1}, \dots, \overrightarrow{x_0 x_n}) = \left(x_0, x_1 - x_0, \dots, x_n - x_0\right),</math>

и ако

: <math>\left(\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_n\right)</math>

се барицентричните координати на точка над барицентричната рамка, тогаш афините координати на истата точка над афината рамка се

: <math>\left(\lambda_1, \dots, \lambda_n\right).</math>

Обратно, ако

: <math>\left(o, v_1, \dots, v_n\right)</math>

е афина рамка, тогаш

: <math>\left(o, o + v_1, \dots, o + v_n\right)</math>

е барицентрична рамка. Ако

: <math>\left(\lambda_1, \dots, \lambda_n\right)</math>

се афините координати на точка над афината рамка, тогаш нејзините барицентрични координати над барицентричната рамка се

: <math>\left(1 - \lambda_1 - \dots - \lambda_n, \lambda_1, \dots, \lambda_n\right).</math>

Затоа, барицентричните и афините координати се речиси еквивалентни. Во повеќето апликации, се претпочитаат афини координати, бидејќи вклучуваат помалку координати кои се независни. Меѓутоа, во ситуациите каде што важните точки на проучуваниот проблем се независни од афинитет, барицентричните координати може да доведат до поедноставно пресметување, како во следниов пример.

==== Пример за триаголник ====
Темињата на нерамниот [[триаголник]] формираат афина база на [[Рамнина (математика)|Евклидовата рамнина]] . Барицентричните координати овозможуваат лесно карактеризирање на елементите на триаголникот кои не вклучуваат агли или растојание:

Темињата се точките со барицентрични координати {{Мат|(1, 0, 0)}}, {{Мат|(0, 1, 0)}} и {{Мат|(0, 0, 1)}}. Правите на кои се рабовите се точките кои имаат нулта координата. Самите рабови се точките кои имаат нулта координата и две ненегативни координати. Внатрешноста на триаголникот се точките кај кои сите координати се позитивни. Медијаните се точките кои имаат две еднакви координати, а центроид е точката со координати {{Мат|({{sfrac|1|3}}, {{sfrac|1|3}}, {{sfrac|1|3}})}}.

=== Промена на координати ===

==== Случај на афини координати ====

==== Случај на афини координати ====

== Својства на афините хомоморфизми ==

=== Матрична репрезентација ===

=== Слика и влакна ===
Нека

: <math>f \colon E \to F</math>

е афин хомоморфизам, со

: <math>\overrightarrow {f} \colon \overrightarrow{E} \to \overrightarrow{F}</math>

како поврзано линеарно пресликување.

'''Слика''' на {{Мат|''f''}} е афиниот потпростор {{Мат|''f''(E)}} од {{Мпром|F}}, кој го има <math>\overrightarrow{f}(\overrightarrow{E})</math> како поврзан векторски простор. Бидејќи афиниот простор нема нулти елемент, афиниот хомоморфизам нема јадро . Меѓутоа, за која било точка {{Мат|''x''}} од {{Мат|''f''(''E'')}}, инверзната слика {{Мат|''f''<sup>–1</sup>(''x'')}} од {{Мат|''x''}} е афин потпростор на {{Мат|''E''}}, со насока <math>\overrightarrow{f}^{-1}(\overrightarrow{F})</math> . Овој афин потпростор се нарекува <nowiki><b id="mwAnc">влакно</b></nowiki> на {{Мат|''x''}} .

=== Проекција ===
Важен пример е проекцијата паралелна со некоја насока на афин потпростор. Важноста на овој пример лежи во фактот дека [[Евклидов простор|Евклидовите простори]] се афини простори и дека овој вид на проекции е фундаментален во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]] .

Нека

: <math>p(x) - x \in D.</math>

Ова е афин хомоморфизам чие поврзано линеарно пресликување <math>\overrightarrow{p}</math> се дефинира со

: <math>\overrightarrow{p}(x - y) = p(x) - p(y),</math>

за {{Мпром|x}} и {{Мпром|y}} во {{Мпром|E}}

Сликата на оваа проекција е {{Мат|''F''}}, а нејзините влакна се потпростори на насоката {{Мат|''D''}}

=== Количник простор ===
Иако јадрата не се дефинирани за афините простори, сепак може да се дефинираат количник-простори (фактор-простори). Ова произлегува од фактот дека „припаѓањето на истото влакно на афиниот хомоморфизам“ е релација за еквиваленција .

Поточно, за даден афин простор {{Мат|''E''}} со поврзан векторски простор <math>\overrightarrow{E}</math>, нека {{Мат|''F''}} е афин потпростор на насоката <math>\overrightarrow{F}</math>, и {{Мат|''D''}} биде комплементарен потпростор на <math>\overrightarrow{F}</math> во <math>\overrightarrow{E}</math> (ова значи дека секој вектор на <math>\overrightarrow{E}</math> може да се разложи на единствен начин како збир на елемент од <math>\overrightarrow{F}</math> и елемент од {{Мат|''D''}} ). За секоја точка {{Мат|''x''}} од {{Мат|''E''}}, нејзината '''проекција''' на {{Мат|''F''}} паралелна на {{Мат|''D''}} е единствената точка {{Мат|''p''(''x'')}} во {{Мат|''F''}} таква што

: <math>x - y \in D.</math>

Овој количник е афин простор, кој го има <math>\overrightarrow{E}/D</math> како поврзан векторски простор.

За секој афин хомоморфизам <math>E \to F</math>, сликата е изоморфна на количникот на {{Мат|''E''}} во однос јадрото на поврзаното линеарно пресликување. Ова е првата теорема за изоморфизам за афините простори.

== Афина трансформација ==

== Аксиоми ==
Афините простори обично се проучуваат со [[аналитичка геометрија]] со користење на координати, или еквивалентно со векторски простори. Тие, исто така, може да се изучуваат преку синтетичка геометрија со наведување на аксиоми, иако овој пристап е многу поредок. Постојат неколку различни системи на аксиоми за афиниот простор.

Во {{Harvard citation text|Coxeter|1969}} има аксиоматизација на специјалниот случај на [[Афина геометрија|aфина геометрија]] над реалните броеви [[Подредена геометрија|како подредена геометрија]] заедно со афина форма на [[Дезаргеова теорема|теоремата на Дезарг]] и аксиома според која во рамнина постои најмногу една права која минува низ дадена точка која не сече дадена права.

Афините рамнини ги задоволуваат следниве аксиоми {{Харвардски навод|Cameron|1991}}: (во кои две прави се нарекуваат паралелни ако се еднакви или дисјунктни):

* Секои две различни точки лежат на единствена права.
* За дадени точка и права постои единствена права која ја содржи точката и е паралелна со правата
* Постојат три неколинеарни точки.

Како и афините рамнини над полињата (или прстените на делење ), исто така има и многу не-Дезаргови рамнини кои ги задоволуваат овие аксиоми. Во {{Харвардски навод|Cameron|1991}}  се дадени аксиоми за афините простори со повисоки димензии.

Чисто аксиоматската афина геометрија е поопшта од афините простори и е обработена во посебна статија .

== Поврзаност со проективни простори ==
[[Податотека:Affine_space,_projective_space,_vector_space.svg|мини|Афин простор е потпростор на проективен простор, кој пак е количник на векторски простор со еквиваленција (не со линеарен потпростор)]]
Афините простори се содржани во проективни простори . На пример, афина рамнина може да се добие од која било проективна рамнина со отстранување на една права и сите точки на неа, и обратно која било афина рамнина може да се користи за да се конструира проективна рамнина како затворач со додавање на права на бесконечност чии точки одговараат на класите на еквиваленција на [[Паралелност|паралелни прави]]. Слични конструкции можат да се направат во простори со повисока димензија.

Понатаму, трансформациите на проективниот простор кои го зачувуваат афиниот простор (еквивалентно, кои ја оставаат хиперрамнината во бесконечност непроменлива како множество) даваат трансформации на афиниот простор. Обратно, секоја афина линеарна трансформација уникатно може да се прошири до проективна линеарна трансформација, така што афината група е подгрупа на проективната група . На пример, трансформациите на Мебиус (трансформации на комплексната проективна права или Римановата сфера) се афини (трансформации на комплексната рамнина) ако и само ако ја фиксираат точката во бесконечност.

== Афина алгебарска геометрија ==
Во алгебарската геометрија, афина сорта (или, поопшто, афино алгебарско множество) се дефинира како подмножество на афин простор кое е множество од заедничките нули на множество од таканаречени ''полиномни функции над афиниот простор''. За дефинирање на ''полиномна функција над афиниот простор'', треба да се избере афина рамка . Тогаш, полиномна функција е функција таква што сликата на која било точка е вредноста на некоја мултиваријатна [[Полином|полиномна функција]] на координатите на точката. Бидејќи промена на афините координати може да се изрази со линеарни функции (поточно со афини функции) на координатите, оваа дефиниција е независна од некој одреден избор на координати.

Избор на систем на афини координати за афин простор <math>\mathbb{A}_k^n</math> со димензија {{Мат|''n''}} над поле {{Мат|''k''}} индуцира афин изоморфизам помеѓу <math>\mathbb{A}_k^n</math> и афиниот [[Векторски простор|координатен простор]] {{Мат|''k''<sup>''n''</sup>}}. Ова објаснува зошто, за поедноставување, во многу учебници се пишува <math>\mathbb{A}_k^n = k^n</math>, и се воведуваат афини алгебарски сорти како заеднички нули на полиномните функции над {{Мат|''k''<sup>''n''</sup>}}.<ref>{{Harvnb|Hartshorne|1977}}</ref>

Бидејќи целиот афин простор е множество од заедничките нули на [[Полином|нултиот полином]], афините простори се афини алгебарски сорти.

=== Прстен од полиномни функции ===
Според погорната дефиниција, изборот на афина рамка на афин простор <math>\mathbb{A}_k^n</math> овозможува да се идентификуваат полиномните функции на <math>\mathbb{A}_k^n</math> со полиноми од {{Мат|''n''}} променливи, ''i'' -тата променлива ја претставува функцијата која ја пресликува точка на нејзината {{Мат|''i''}} -та координата. Следи дека множеството од полиномни функции над <math>\mathbb{A}_k^n</math> е <nowiki><span about="#mwt498" class="texhtml" data-cx="[{&amp;quot;adapted&amp;quot;:true,&amp;quot;partial&amp;quot;:false,&amp;quot;targetExists&amp;quot;:true}]" data-mw="{&amp;quot;parts&amp;quot;:[{&amp;quot;template&amp;quot;:{&amp;quot;target&amp;quot;:{&amp;quot;wt&amp;quot;:&amp;quot;Мат&amp;quot;,&amp;quot;href&amp;quot;:&amp;quot;./Предлошка:Мат&amp;quot;},&amp;quot;params&amp;quot;:{&amp;quot;1&amp;quot;:{&amp;quot;wt&amp;quot;:&amp;quot;''k''&amp;quot;}},&amp;quot;i&amp;quot;:0}}]}" data-ve-no-generated-contents="true" id="mwAwo" typeof="mw:Transclusion"><i>k</i></nowiki><nowiki></span></nowiki> -алгебра, означена <math>k\left[\mathbb{A}_k^n\right]</math>, кој е изоморфен на полиномниот прстен <math>k\left[X_1, \dots, X_n\right]</math> .

При смена на координатите, изоморфизмот помеѓу <math>k\left[\mathbb{A}_k^n\right]</math> и <math>k[X_1, \dots, X_n]</math> соодветно се менува и тоа индуцира автоморфизам на <math>k\left[X_1, \dots, X_n\right]</math>, кој ја пресликува секоја неопределена во полином од прв степен. Следи дека вкупниот степен дефинира филтрација на <math>k\left[\mathbb A_k^n\right]</math>, која е независна од изборот на координатите. Вкупниот степен дефинира и степенување, но зависи од изборот на координатите, бидејќи промената на афините координати може да пресликува неопределени во нехомогени полиноми .

=== Топологија на Зариски ===
Афините простори над тополошки полиња, како што се реалните или комплексните броеви, имаат природна топологија . Топологијата на Зариски, која е дефинирана за афините простори над кое било поле, дозволува користење на тополошки методи во секој случај. Топологијата на Зариски е единствена топологија на афин простор чии затворени множества се афини алгебарски множества (тоа се множества од заедничките нули на полиномни функции над афиното множество). Бидејќи, над тополошко поле, полиномните функции се непрекинати, секое затворено множество на Зариски е затворено во однос на вообичаената топологија, доколку таква постои. Со други зборови, над тополошко поле, топологијата на Зариски е погруба од природната топологија.

Постои природна инјективна функција од афин простор во множеството на прости идеали (т.е. спектарот) од неговиот прстен од полиномни функции. Кога се избрани афините координати, оваа функција ја пресликува точката со координати <math>\left(a_1, \dots, a_n\right)</math> во максималниот идеал <math>\left\langle X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n\right\rangle</math>. Оваа функција е хомеоморфизам (за топологијата на Зариската на афиниот простор и на спектарот на прстенот на полиномните функции) на афиниот простор на сликата на функцијата.

Во алгебарската геометрија е особено важен случајот на алгебарски затворено основно поле, бидејќи, во овој случај, хомеоморфизмот од погоре е пресликувањето помеѓу афиниот простор и множеството од сите максимални идеали на прстенот на функции (ова е Хилбертовиот Nullstellensatz ).

Ова е почетната идеја на теоријата на шеми на Гротендик, која се состои од разгледување на „точки“, не само точките од афиниот простор, туку и сите основни идеали на спектарот (за проучување на алгебарските сорти). Ова овозможува лепење на алгебарски сорти на сличен начин како што, кај многуобразијата, графиконите се лепат заедно за да се изгради многуобразието.

=== Кохомологија ===
Како и сите афини сорти, локалните податоци за афиниот простор секогаш може да се прикачат заедно на глобално ниво: кохомологијата на афиниот простор е тривијална. Поточно, <math>H^i\left(\mathbb{A}_k^n,\mathbf{F}\right) = 0</math> за сите кохерентни снопови '''F''' и цели броеви <math>i > 0</math>. Ова својство го имаат и сите други афини сорти. Но, исто така, сите слабо кохомолошки групи на афиниот простор се тривијални. Особено, секој сноп на прсви е тривијален. Поопшто, теоремата Квилен-Суслин имплицира дека ''секој'' алгебарски векторски пакет над афин простор е тривијален.

== Поврзано ==

* Affine hull – Smallest affine subspace that contains a subset
* Complex affine space – Affine space over the complex numbers
* Exotic affine space – Real affine space of even dimension that is not isomorphic to a complex affine space
* Space (mathematics) – Mathematical set with some added structure

== Белешки ==

== Наводи ==

* {{Наведување|last=Berger, Marcel|chapter=Affine spaces|title=Problems in Geometry|publisher=Springer-Verlag|year=1984|isbn=978-0-387-90971-4|chapter-url=https://books.google.com/books?id=VXRppKJwpaAC&pg=PA11}}
* {{Наведување|last=Berger|first=Marcel|author1-link=Marcel Berger|title=Geometry I|publisher=Springer|place=Berlin|isbn=3-540-11658-3|year=1987}}
* {{Наведување|last=Cameron|first=Peter J.|author-link=Peter Cameron (mathematician)|title=Projective and polar spaces|url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/pps/|publisher=Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences|place=London|series=QMW Maths Notes|mr=1153019|year=1991|volume=13}}
* {{Наведување|last=Coxeter|first=Harold Scott MacDonald|author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|title=Introduction to Geometry|publisher=[[John Wiley & Sons]]|place=New York|edition=2|isbn=978-0-471-50458-0|year=1969|mr=123930}}
* {{SpringerEOM|title=Affine space}}
* {{Наведена книга|title=Algebraic Geometry|title-link=Algebraic Geometry (book)|last=Hartshorne|first=Robin|publisher=Springer-Verlag|year=1977|isbn=978-0-387-90244-9|zbl=0367.14001|author-link=Robin Hartshorne}}
* {{Наведување|last=Nomizu|first=K.|last2=Sasaki|first2=S.|title=Affine Differential Geometry|publisher=Cambridge University Press|year=1994|edition=New|isbn=978-0-521-44177-3|url=https://archive.org/details/affinedifferenti0000nomi}}
* {{Наведување|last=Snapper|first=Ernst|last2=Troyer|first2=Robert J.|title=Metric Affine Geometry|publisher=Dover Publications|year=1989|edition=Dover edition, first published in 1989|isbn=0-486-66108-3}}
* {{Наведување|last=Reventós Tarrida, Agustí|chapter=Affine spaces|title=Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-0-85729-709-9|url=https://books.google.com/books?id=UZvxUBzraGAC&pg=PA1}}
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Линеарна алгебра]]
[[Категорија:Афина геометрија]]
[[Категорија:Страници со непрегледан превод]]