Преглед на кодот на Безјеова крива

[[Податотека:Bezier curve.svg|мини|десно|300п|Кубна Безјеова крива]]
'''Безјеова крива''' (погрешно наречена „Безиерова крива“) — [[параметарска крива]] која наоѓа честа примена во [[сметачка графика|сметачката графика]] и сродните полиња. Воопштувањата на Безјеовите криви во повисоки [[димензија|димензии]] се нарекуваат [[Безјеова површина|Безјеови површини]], чиј посебен случај е Безјеовиот триаголник.

Кај [[векторска графика|векторската графика]], Безјеовите криви се користат за моделирање на глатки криви чиј размер може да се менува до бесконечност. „Патеките“, како што се нарекуваат во програмите за работа (манипулација) со слики<ref group="бел">Програми за работа со слики како [[Inkscape]], [[Adobe Photoshop]] и [[GIMP]].</ref> се комбинации од сврзани Безјеови криви. Патеките не се ограничени од [[растерска графика|растеризираните слики]] и можат да се менуваат интуитивно. Безјеовите криви се користат и во [[анимација]]та, како алатка за контрола на движењето.<ref group="бел">Во програмите за анимации како [[Adobe Flash]], [[Adobe After Effects]], [[Microsoft Expression Blend]], [[Blender]], [[Autodesk Maya]] и [[Autodesk 3ds max]].</ref>

Безјеовите криви наоѓаат примена и кај временските одредници, особено за анимации и во изработката на посредници. На пример, со Безјеова крива можеме да ја назначиме брзината на еден објект со текот на времето, како икона што се преместува од А до Б, наместо да преместуваме утврден број на пиксели по чекор. Кога аниматорите или уредувачите на [[кориснички посредник|посредници]] зборуваат за „физиката“ или „чувството“ во работата, тие всушност споменуваат извесна Безјеова крива што ја контролира брзината на даденото движење со текот на времето.

Безјеовите криви ги популаризирал [[Франција|францускиот]] инженер [[Пјер Безје]] во 1962, кога почнал да ги применува при обликувањето на [[автомобил]]ски каросерии. Овие криви прв ги осмислил [[Пол де Кастелжо]] користејќи [[де Кастелжоов алгоритам]], кој е бројчено стабилен метод за вреднување на Безјеови криви.

==Примена==
===Сметачка графика===
[[Податотека:Bezierova krivka.svg|мини|десно|250п|Исцртана Безјеова крива со своите [[контролни точки]]]]

Безјеовите криви наоѓаат широка примена во сметачката графика за моделирање на глатки криви. Бидејќи кривата е целосно опфатена во [[испакната обвивка]] на нејзините контролни точки, точките можат да се прикажат графичк и да се користат за интуитивно манипулирање на кривата. Кривата може да се менува со [[афина трансформација|афините трансформации]] како [[транслација (геометрија)|транслацијата]] и [[ротацијата]] со нивна примена врз соодветните контролни точки.

Најзатапени се квадратните и кубните Безјеови криви. Кривите од повисок степен се потешки за вреднување. Кога има потреба од посложени облици, се земаат Безјеови криви од ниж ред и се поврзуваат. Ова се нарекува „патека“ кај стандардите за [[векторска графика]] (како [[SVG]]) и програмите за работење со неа (како [[Adobe Illustrator]] и [[Inkscape]]). За да се обезбеди сигурна глаткост, контрочната точка во којашто се среќаваат две криви мора да лежи на линијата помеѓу две контрочни точки од секоја страна.

Најпростиот метод на претворање ([[растеризација|растеризирање]]) една Безјеова крива со вчитување е нејзино вреднување во голем број на збиени точки и претворање на приближната низа од [[отсечка|отсечки]]. Меѓутоа ова не гарантира дека растеризираниот извод ќе изгледа доволно гладок, бидејќи точките може да бидат премногу оддалечени една од друга. Може да се јави и обратен случај, кајшто може да има премногу точки во деловите на кривата што се речиси прави. Постои и чест адаптивен метод на рекурзивна поделба, каде се проверуваат контролните точки на кривата за да се утврди дали кривата дава приближен извод на отсечка до прецизнос со мала толеранција. Ако е незадоволителна, кривата параметарски се одделува на две отсечки, 0 ≤ ''t'' ≤ 0,5 и 0,5 ≤ ''t'' ≤ 1, и истата постапка се применува на секоја половина. Постојат и нерекурзивни методи на разликување, но треба да се обрати големо внимание при анализата на јавувањата на грешки. Постојат и аналитички методи, каде вчитана линија ја пресекуваме со [[сплајн]] и наоѓаме корени на кубни полиноми (за кубни сплајнови), па потоа работиме со повеќе вакви корени.

===Анимација===
Кај програмите за анимација како [[Adobe Flash]] и [[Synfig]], Безјеовите криви служат за општо исцртување, на пример на движењето. Корисникот ја исцртува саканата патека со Безјеови криви, а програмот ги создава кадрите што му требаат на објектот за да се движи долж зададената патека.
Кај 3Д анимациите, Безјеови криви служат за определување на тридимензонални патеки и дводимензионални криви за интерполација на клучните кадри.

===Фонтови===
Фонтовите од семејството [[TrueType]] користат [[Безјеов сплајн|Безјеови сплајнови]] составени од квадратни Безјеови криви.

Современите системи за ликовно уредување како [[PostScript]], [[Асимптота|Asymptote]] и [[Metafont]] користат безјеови сплајнови составени од кубни Безјеови криви за исцртување на закривени облици. Овој алгоритам наоѓа примена и кај „глатката крива“ кај табелите во [[Microsoft Excel]].<ref>{{Наведена мрежна страница |url=http://www.xlrotor.com/resources/files.shtml |title=архивски примерок |accessdate=2011-05-05 |archive-date=2011-07-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110718131613/http://www.xlrotor.com/resources/files.shtml }}</ref>

==Преглед на случаи==
===Линеарни Безјеови криви===
Ако ги имаме точките '''P'''<sub>0</sub> и '''P'''<sub>1</sub>, линеарната Безјеова крива е едноставно права [[права|линија]] помеѓу тие две точки. Кривата е дадена со

:<math>\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0 + t(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1]</math>
и е истоветна со [[линеарна интерполација|линеарната интерполација]].

===Квадратни Безјеови криви===
Квадратна Безјеова крива е патеката што ја исцртува функцијата '''B'''(''t''), со зададени точки '''P'''<sub>0</sub>, '''P'''<sub>1</sub> и '''P'''<sub>2</sub>,

: <math>\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2(1 - t)t\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2 \mbox{ , } t \in [0,1].</math>

Заминува од '''P'''<sub>0</sub> во правец на '''P'''<sub>1</sub>, па се  '''P'''<sub>2</sub> in the direction from '''P'''<sub>1</sub>. Со други зборови, обете тангенти на '''P'''<sub>0</sub> и '''P'''<sub>2</sub> минуваат низ '''P'''<sub>1</sub>. Ова непосредно може да се види во изведеното од Безјеовата крива:

: <math>\mathbf{B}'(t) = 2 (1 - t) (\mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_0) + 2 t (\mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1) \,.</math>

Квадратната Безјеова крива е воедно и [[парабола|параболична]] отсечка.

===Кубни Безјеови криви===
Четирите точки '''P'''<sub>0</sub>, '''P'''<sub>1</sub>, '''P'''<sub>2</sub> и '''P'''<sub>3</sub> на рамнината или во тридимензионален простор дефинираат кубна Безјеова крива.
Кривата почнува во '''P'''<sub>0</sub>, оди кон '''P'''<sub>1</sub> и завршува во '''P'''<sub>3</sub> доаѓајќи од кај '''P'''<sub>2</sub>. Обично не минува низ '''P'''<sub>1</sub> или '''P'''<sub>2</sub>; овие точки служат само како показатели на насоката. Растојанието помеѓу '''P'''<sub>0</sub> и '''P'''<sub>1</sub> определува колку „колку долго“ кривата се движи во една насока '''P'''<sub>2</sub> пред да се сврти кон '''P'''<sub>3</sub>.

[[Параметарска равенка|Параметарскиот]] облик на кривата е:

:<math>\mathbf{B}(t)=(1-t)^3\mathbf{P}_0+3(1-t)^2t\mathbf{P}_1+3(1-t)t^2\mathbf{P}_2+t^3\mathbf{P}_3 \mbox{ , } t \in [0,1].</math>

За некои задавања на '''P'''<sub>1</sub> и '''P'''<sub>2</sub>, кривата може да се пресече самата себеси, или да содржи зашилување.

==Воопштување==
Безјеовата крива од степен ''n'' може да се воопшти на следниов начин. Ако ги имаме точките '''P'''<sub>0</sub>, '''P'''<sub>1</sub>,..., '''P'''<sub>''n''</sub>, Безјеовата крива е

:<math>
\begin{align}
\mathbf{B}(t) & = \sum_{i=0}^n {n\choose i}(1-t)^{n-i}t^i\mathbf{P}_i \\
& = (1-t)^n\mathbf{P}_0 + {n\choose 1}(1-t)^{n-1}t\mathbf{P}_1 + \cdots \\
& {} \quad \cdots + {n\choose n-1}(1-t)t^{n-1}\mathbf{P}_{n-1} + t^n\mathbf{P}_n,\quad t \in [0,1],
\end{align}
</math>

каде <math>\scriptstyle {n \choose i}</math> е биномниот коефициент.

На пример, за ''n''&nbsp;=&nbsp;5:

:<math>
\begin{align}
\mathbf{B}(t) & = (1-t)^5\mathbf{P}_0 + 5t(1-t)^4\mathbf{P}_1 + 10t^2(1-t)^3 \mathbf{P}_2 \\
& {} \quad + 10t^3 (1-t)^2 \mathbf{P}_3 + 5t^4(1-t) \mathbf{P}_4 + t^5 \mathbf{P}_5,\quad t \in [0,1].
\end{align}
</math>

Формулата може да се изрази рекурзивно вака:
Нека <math>\mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_n}</math> означува Безјеовата крива определена од точките '''P'''<sub>0</sub>, '''P'''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;'''P'''<sub>n</sub>.  Тогаш

:<math>\mathbf{B}(t) = \mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_n}(t) = (1-t)\mathbf{B}_{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1\ldots\mathbf{P}_{n-1}}(t) + t\mathbf{B}_{\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2\ldots\mathbf{P}_n}(t)</math>

Со други зборови, Безјеовата крива од степен ''n'' е [[линеарна интерполација]] between две Безјеови криви од степен (''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1).

===Терминологија===
Овие параметарски криви имаат своја придружна терминологија. Имаме

:<math>\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_{i,n}(t)\mathbf{P}_i,\quad t\in[0,1]</math>

каде полиномите

:<math>\mathbf{b}_{i,n}(t) = {n\choose i} t^i (1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n</math>

се нарекуваат [[Бернштајнов полином|Бернштајнови полиноми]] од степен ''n'', с ''t''<sup>0</sup>&nbsp;=&nbsp;1 и (1&nbsp;&minus;&nbsp;''t'')<sup>0</sup>&nbsp;=&nbsp;1. [[Биномен коефициент|Биномниот коефициент]], <math>\scriptstyle {n \choose i}</math> може поинаку да се запише и како

:<math>^n\mathbf{C}_i = {n \choose i} = \frac{n!}{i!(n-i)!}.</math>

Точките '''P'''<sub>''i''</sub> се нарекуваат „[[сплајн|контролни точки]]“ за Безјеовата крива. [[Многуаголник]]от што се добива со поврзувањето на Безјеовите точки со [[права|линии]], започнувајќи од '''P'''<sub>0</sub> и завршувајќи во '''P'''<sub>''n''</sub>, се нарекува „Безјеов многуаголник“ (или „контролен многуаголник“). Испакнатата обвивка на Безјеовиот многуаголник содржи Безјеова крива.

* Кривата почнува во '''P'''<sub>0</sub> и завршува во '''P'''<sub>''n''</sub>; ова е таканареченото својство „интерполација на крајната точка“.
* Кривата е права линија [[ако и само ако]] сите контролни точки се колинеарни.
* Почетокот (крајот) на кривата е [[тангента|танегнтна]] на првиот (последниот) дел на Безјеовиот многуаголник.
* Кривата може во било која точка да се подели на две поткриви, или пак на произволен број поткриви, од кои секоја е исто така Безјеова крива.
* Некои криви што изгледаат просто, како [[кружница]]та, не можат точно да се опишат со Безјеова или [[расцепкана функција|расцепкана]] Безјеова крива; иако четириделна кубна Безјеова крива е приближна на кружница, со максимална радијална грешка помала од {{Дропка|1|1000}}, која секоја внатрешна контролна точка (или точка вон линијата) го претставува растојанието <math>\textstyle\frac{4\left(\sqrt {2}-1\right)}{3}</math> хоризонтално и вертикално од надворешна контролна точка на единица кружница.  Поопшто, ''n''-делна кубна Безјеова крива може да е приближна на кружница, кога секоја внатрешна контролна точка го претставува растојанието <math>\textstyle\frac{4}{3}\tan(t/4)</math> од надворешната контролна точка на единица кружница, каде ''t'' изнесува 360/''n'' степени, а ''n'' > 2.
* Кривата на утврдена одделеченост од дадена Безјеова крива, наречена „паралелна крива“, не може точно да се обликува со Безјеова крива (освен во некои тривијални случаи). Меѓутоа, постои [[евристика|евристички]] методи што обично овозможуваат достатна приближна пресметка за практични цели.
*Секоја квадратна Безјеова крива is also a кубна Безјеова крива, а поопшто, секоја Безјеова крива од степен ''n'' е воедно и крива од степен ''m'' за секое ''m'' > ''n''. Поподробно, една крива од степен ''n'' со контролни точки '''P'''<sub>0</sub>, …, '''P'''<sub>''n''</sub> е истоветна  (вклучувајќи ја параметризацијата) на кривата од степен ''n'' + 1 со контролни точки '''P''''<sub>0</sub>, …, '''P''''<sub>''n'' + 1</sub>, каде <math>\mathbf P'_k=\tfrac{k}{n+1}\mathbf P_{k-1}+\left(1-\tfrac{k}{n+1}\right)\mathbf P_k</math>.

==Конструирање на Безјеови криви==
===Линеарни криви===
{| style="text-align:center; float:right; font-size:95%;" valign=top
|-
|style="border-bottom: 1px solid #222222;"|[[Податотека:Bézier 1 big.gif|240п|Анимација на линеарна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]]]
|-
|Анимација на една линеарна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]
|}

Елементот ''t'' во функцијата за линеарна Безјеова крива изразува колку е оддалечено '''B'''(''t'') од '''P'''<sub>0</sub> to '''P'''<sub>1</sub>. На пример, кога ''t=0,25'', '''B'''(''t'') е на четвртина пат од точката '''P'''<sub>0</sub> до точката '''P'''<sub>1</sub>. Бидејќи ''t'' се движи од 0 до 1, '''B'''(''t'') опишува права линија од '''P'''<sub>0</sub> до '''P'''<sub>1</sub>.

===Квадратни криви===
За квадратни Безјеови криви можеме да конструираме меѓуточки '''Q'''<sub>0</sub> и '''Q'''<sub>1</sub>, така што ''t'' ќе се движи 0 до 1:
* Точката '''Q'''<sub>0</sub> се движи од '''P'''<sub>0</sub> до '''P'''<sub>1</sub> и опипува линеарна Безјеова крива.
* Точката '''Q'''<sub>1</sub> се движи од '''P'''<sub>1</sub> до '''P'''<sub>2</sub> и опишува линеарна Безјеова крива.
* Точката '''B'''(''t'') се движи од '''Q'''<sub>0</sub> до '''Q'''<sub>1</sub> и опишува квадратна Безјеова крива.

<center>
{| style="text-align:center; float:none; clear:both; font-size:95%;" valign=top
|-
|style="border-bottom: 1px solid #22ff22;"|[[Податотека:Bézier_2_big.svg|240п|Конструкција на квадратна Безјеова крива]]||
|style="border-bottom: 1px solid #22ff22;"|[[Податотека:Bézier 2 big.gif|240п|Анимација на една квадратна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]]]
|-
|Конструкција на квадратна Безјеова крива||
|Анимација на една квадратна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]
|}</center>

===Криви од виш ред===
Ако сакаме да добиеме крива од повисок ред, ќе ни требаат дотолку повеќе меѓуточки. За кубна крива можеме да ги конструираме меѓуточките '''Q'''<sub>0</sub>,  '''Q'''<sub>1</sub> и '''Q'''<sub>2</sub> што опишуваат линеарни Безјеови криви, и точки '''R'''<sub>0</sub> и '''R'''<sub>1</sub> што опишуваат квадратни Безјеови криви:

<center>
{| style="text-align:center; float:none; clear:both; font-size:95%;" valign=top
|-
|style="border-bottom: 1px solid #2222ff;"|[[Податотека:Bézier_3_big.svg|240п|Конструкција на кубна Безиеова крива]]||
|style="border-bottom: 1px solid #2222ff;"|[[Податотека:Bézier 3 big.gif|240п|Анимација на една кубна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]]]
|-
|Конструкција на кубна Безјеова крива||
||Анимација на една кубна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]
|}</center>

За криви од четврти ред можеме да конструираме меѓуточки '''Q'''<sub>0</sub>,  '''Q'''<sub>1</sub>, '''Q'''<sub>2</sub> и '''Q'''<sub>3</sub> што опишуваат линеарни Безјеови криви, точки '''R'''<sub>0</sub>, '''R'''<sub>1</sub> и '''R'''<sub>2</sub> што опишуваат квадратни Безјеови криви, и точки '''S'''<sub>0</sub> и '''S'''<sub>1</sub> што ги опишуваат кубните Безјеови криви:

<center>
{| style="text-align:center; float:none; clear:both; font-size:95%;" valign=top
|-
|style="border-bottom: 1px solid #ff22ff;"|[[Податотека:Bézier 4 big.svg|240п|Конструкција на квадратна Безјеова крива]]||
|style="border-bottom: 1px solid #ff22ff;"|[[Податотека:Bézier 4 big.gif|240п|Анимација на една квадратна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]]]
|-
|Конструкција на квадратна Безјеова крива||
|Анимација на една квадратна Безјеова крива, ''t'' во [0,1]
|}</center>

(Погледајте и [[:en:File:BezierCurve.gif|конструкција на Безјеова крива од петти ред]].)

==Повишување на степенот==
Безјеова крива од степен ''n'' може да се претвори  во Безјеова крива од степен ''n''&nbsp;+&nbsp;1 '''со ист облик'''. Ова е корисна можност ако програмот поддржува само Безјеови криви од извесен степен. На пример, можете да нацртате квадратна Безјеова крива со [[Cairo (програм)|Cairo]], кој поддржува само кубни Безјеовиѕ криви.

За да добиеме крива од повисок степен, го применуваме равенството <math>\mathbf{B}(t) = (1-t)\mathbf{B}(t) + t\mathbf{B}(t)</math>. Секој дел <math>\mathbf{b}_{i,n}(t)\mathbf{P}_i</math> се множи со (1&nbsp;&minus;&nbsp;''t'') или&nbsp;''t'', зголемувајќи го степенот за еден. Еве пример за повишување на степенот од 2 на&nbsp;3.

: <math>
\begin{align}
& {} \quad (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2(1 - t)t\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2 \\
& = (1 - t)^{3}\mathbf{P}_0 + (1 - t)^{2}t\mathbf{P}_0 + 2(1 - t)^{2}t\mathbf{P}_1 \\
& {} \qquad + 2(1 - t)t^{2}\mathbf{P}_1 + (1 - t)t^{2}\mathbf{P}_2 + t^{3}\mathbf{P}_2 \\
& = (1 - t)^{3}\mathbf{P}_0
+ 3(1 - t)^{2}t\frac{\mathbf{P}_0 + 2\mathbf{P}_1}{3}
+ 3(1 - t)t^{2}\frac{2\mathbf{P}_1 + \mathbf{P}_2}{3}
+ t^{3}\mathbf{P}_2
\end{align}
</math>

За произволно ''n'', ги применуваме равенствата

:<math>{n+1 \choose i}(1-t)\mathbf{b}_{i,n} = {n \choose i} \mathbf{b}_{i,n+1},
\quad (1-t)\mathbf{b}_{i,n} = \frac{n+1-i}{n+1} \mathbf{b}_{i,n+1}</math>

:<math>{n+1 \choose i+1} t\mathbf{b}_{i,n} = {n \choose i} \mathbf{b}_{i+1,n+1},
\quad t\mathbf{b}_{i,n} = \frac{i+1}{n+1} \mathbf{b}_{i+1,n+1}</math>

:<math>
\begin{align}
\mathbf{B}(t) & = (1-t)\sum_{i=0}^n \mathbf{b}_{i,n}(t)\mathbf{P}_i
+ t\sum_{i=0}^n \mathbf{b}_{i,n}(t)\mathbf{P}_i \\
& = \sum_{i=0}^n \frac{n+1-i}{n+1}\mathbf{b}_{i,n+1}(t)\mathbf{P}_i
+ \sum_{i=0}^n \frac{i+1}{n+1}\mathbf{b}_{i+1,n+1}(t)\mathbf{P}_i \\
& = \sum_{i=0}^{n+1} \left(\frac{i}{n+1}\mathbf{P}_{i-1} + \frac{n+1-i}{n+1}\mathbf{P}_i\right) \mathbf{b}_{i,n+1}(t)
= \sum_{i=0}^{n+1} \mathbf{b}_{i,n+1}(t)\mathbf{P'}_i
\end{align}
</math>

воведувајќи произволно <math>\mathbf{P}_{-1}</math> и <math>\mathbf{P}_{n+1}</math>.

Затоа новите контролни точки се <ref>{{цитирање
|title=Curves and surfaces for computer-aided geometric design
|first=Gerald
|last=Farin
|publisher=Elsevier Science & Technology Books
|year=1997
|isbn=978 0 12249054 5
|edition=4
}}</ref>

: <math>\mathbf{P'}_i = \frac{i}{n+1}\mathbf{P}_{i-1} + \frac{n+1-i}{n+1}\mathbf{P}_i,\quad i=0,\ldots, n+1.</math>

==Полиномен облик==
Понекогаш е пожелно Безјеовата крива да се изрази како [[полином]] наместо збир од посложени [[Бернштајнов полином|Бернштајнови полиноми]]. Се применува [[биномна теорема]] врз дефиницијата на кривата, се врши извесен извесен прераспоред, па добиваме:

:<math>
\mathbf{B}(t) = \sum_{j = 0}^n {t^j \mathbf{C}_j}
</math>

каде

:<math>
\mathbf{C}_j = \frac{n!}{(n - j)!} \sum_{i = 0}^j \frac{(-1)^{i + j} \mathbf{P}_i}{i! (j - i)!} =
\prod_{m = 0}^{j - 1} (n - m) \sum_{i = 0}^j \frac{(-1)^{i + j} \mathbf{P}_i}{i! (j - i)!}
.</math>

Ова може да е практично ако <math>\mathbf{C}_j</math> може да се пресметка пред многу повишувања на <math>\mathbf{B}(t)</math>. Меѓутоа треба да се биде претпазлив, бидејќи кривите од виш ред може да немаат бројчена стабилност (ако ова се случи, треба да се примени [[де Кастелжоов алгоритам|де Кастелжоовиот алгоритам]]). Забележете дека празниот производ изнесува 1.

==Рационални Безјеови криви==
[[Податотека:Rational Bezier curve-conic sections (comma decimals).svg|мини|Делови на конусни пресеци точно претставени како рационални Безјеови криви]]
Рационалната Безјеова крива додава прилагодливи пондерации за поточни приближни пресметки на произволни облици. Броителот е понерирана Безјеова крива од Бернштајнов облик, а именителот е пондериран збир од [[Бернштајнов полином|Бернштајнови полиноми]]. Рационалните Безјеови криви, меѓу другото, се користат и за точно претставување на делови од [[конусен пресек|конусни пресеци]].<ref>{{нмс|url=http://www.cl.cam.ac.uk/teaching/2000/AGraphHCI/SMEG/node5.html|title=Some Mathematical Elements of Graphics: Rational B-splines|author=Neil Dodgson|date=25 септември 2000|accessdate=23 февруари 2009}}</ref>

Ако имаме ''n'' + 1 контролни точки '''P'''<sub>''i''</sub>, рационалната Безјеова крива може да се опише со:
:<math>
\mathbf{B}(t) =
\frac{
\sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) \mathbf{P}_{i}w_i
}
{
\sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) w_i
}
</math>
or simply
:<math>
\mathbf{B}(t) =
\frac{
\sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}\mathbf{P}_{i}w_i
}
{
\sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}w_i
}.
</math>

== Поврзано ==
*[[NURBS]]
*[[B-сплајн]]

==Белешки==
{{наводи|group="бел"|1}}

==Наводи==
<references />
*Paul Bourke: ''Bézier Surfaces (in 3D)'', http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/bezier/index.html {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20090719011857/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/bezier/index.html |date=2009-07-19 }}
*Donald Knuth: ''Metafont: the Program'', Addison-Wesley 1986, стр.&nbsp;123–131.
*Dr Thomas Sederberg, BYU ''Bézier curves'', http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20060221000535/http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf |date=2006-02-21 }}
* J.D. Foley ''et al.'': ''Computer Graphics: Principles and Practice in C'' (II изд., Addison Wesley, 1992)

== Надворешни врски ==
{{рв|Bezier Curves}}

=== Македонски ===
*[http://www.ii.edu.mk/predmeti/graphics/grafika2004/bezier.ppt Презентација за Безјеовите криви]{{Мртва_врска|date=August 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} - Маргарита Кон - Поповска на [[Институт за информатика (ПМФ)|Институтот за информатика]] ([[Природно-математички факултет - Скопје|ПМФ]]) {{mk}}
*[http://www.fon.edu.mk/edubuntu/Geogebra.pdf Работа во  на Безјеови криви во GeoGebra]{{Мртва_врска|date=October 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} [[ФОН Универзитет|Универзитет „ФОН“]]  {{mk}}

=== Англиски ===
*{{Mathworld|urlname=BezierCurve|title=Безјеова крива}}
*[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/BezierCurveMod.html Модул за Безјеови криви] - Џон Х. Метјуз {{en}}
*[http://alecjacobson.com/programs/bezier-curve/ Повеќестепени 2Д Безјеови криви] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20110607225351/http://alecjacobson.com/programs/bezier-curve/ |date=2011-06-07 }} - Java  {{en}}

[[Категорија:Графички дизајн]]
[[Категорија:Интерполација]]
[[Категорија:Сплајнови]]
[[Категорија:Криви]]