Преглед на кодот на Био-Саваров закон

{{Electromagnetism|cTopic=Magnetostatics}}

'''Био-Саваров'''<ref>[http://dictionary.reference.com/browse/biot+savart+law?qsrc=2446 "Biot-Savart law"] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20150402141931/http://dictionary.reference.com/browse/biot+savart+law?qsrc=2446 |date=2015-04-02 }}. ''Random House Webster's Unabridged Dictionary''.</ref> — равенка која го опишува [[магнетно поле|магнетното поле]] создадено од [[електрична струја|електричната струја]]. Таа го поврзува магнетното мполе по големина, насока должина и близина до електричната струја. Законот важи како [[магнетостатика|магнетостатска приближност]], и е во согласност со [[Амперов закон за силата|Амперов закон]] и [[Гаусовиот закон за магнетизмот]].<ref>{{Наведена книга | author=Jackson, John David | title=Classical Electrodynamics | edition=3 | location=New York | publisher=Wiley | year=1999 | isbn=0-471-30932-X | page = Chapter 5 | nopp=true}}</ref> Именуван е според [[Жан-Батист Био]] и [[Феликс Савар]] кој ја откриле оваа законитост во 1820 година.

==Равенка==

===Електрични струи (по должина на закриваена права)===

Био-Саваровиот закон се користи за пресметувањер на вкупното [[магнетно поле]] '''B''' во местоположбата '''r''' создадено од ''постојана'' [[електрична струја|струја]] ''I'' (на пример жица): постојаниот тек на [[електричен полнеж|полнежот]] кој е постојан по време и по полнеж ниту се насобира ниту пак се губи во која било точка. Законот е физички пример за [[линиски интеграл]], кој се проценува по патеката ''C'' во која што тече електричната струја. Равенката во [[SI]] единици е:<ref>Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9</ref>

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_C \frac{I d\mathbf l\times\mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

каде <math>d\mathbf{l}</math> што векторот чија магнитуда е должина на [[бесконечен|диференцијал]] елемент на жица во правец на ''[[конвенционална струја]]'', <math>\mathbf{r'} = \mathbf{r} - \mathbf{l}</math>, целосно [[поместување на вектор]] од елементот од 
жица (<math>\mathbf{l}</math>) до точката во која полето се пресметува (<math>\mathbf{r}</math>), и μ<sub>0</sub> е [[магнетна константа]]. Алтернативно:

:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I d\mathbf l\times\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf{r'}|^2}</math>

каде <math>\mathbf{\hat r'}</math> е [[единечен вектор]] на <math>\mathbf{r'}</math>. Болдираните симболи се означени [[вектор (геометрија)|векторски големини]].

Интегралот е вообичаено околу [[затворена крива]], каде електричните струи можат само да течат околу затворени патеки. Бесконечно долга жица (пример е дефинирањето на основната SI единица за јачина на струјата [[Ампер]]) е пак спротивен пример.

За да се примени равенката, точката во просторот која може да се пресмета каде магнетното поле се избира произволно (<math>\mathbf r</math>). Сметајќи дека точката е статична линискиот интеграл за патеката за електричните струи се персметува за да определи вкупното магнетно поле во таа точка. Примената на овој закон имплицитно се заснова на [[принцип на суперпозиција|принципот на суперпозиција]] за магнетните полиња, т.е. магнетното поле е [[векторски збир]] од полињата создадени од секој бесконечно мал дел на жицата.<ref>Принципот за суперпозиција важи за електричните и магнетните полиња бидејќи тие се решенијата за збирот од [[линиски диференцијални равенки|линиските диференцијални равенки]], воглавно за [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]], каде струјата е еден од „појдовните поими“.</ref>

Постои и 2D верзија на Био-Саваровата равенка, која се користи кога изворите се непроменливи во една насока. Треба да се има предвид дека струјата нема потреба да протекува само во рамнината нормална на непроменливата насока и истата се запишува со ознаката <math>\mathbf{J}</math>. Крајната равенка е:

:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{2\pi}\int_C \ \frac{(\mathbf J\, dl)\times\mathbf r'}{|\mathbf r'|^2} = \frac{\mu_0}{2\pi}\int_C \ \frac{(\mathbf J\, dl)\times\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf r'|} </math>

===Електрични струи(низ зафатнината на проводник)===

Записите од погоре функционираат добро кога струјата се зема да тече низ бесконечно тенка жица. Доколку проводникот има одредена зафатнина, соодветен запис за Био-Саваровиот закон би бил:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\ \frac{(\mathbf{J}\,dV)\times\mathbf r'}{|\mathbf r'|^3}</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

или, поинаку:

:<math> \mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V \ \frac{(\mathbf J\,dV)\times\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf r'|^2} </math>

каде <math>dV</math> е [[зафатнински елемент|зафатнинскиот елемент]] и <math>\mathbf{J}</math> е векторот на [[густина на струјата|густината на струјата]] во таа зафатнина (во SI единици тоа е: A/m<sup>2</sup>).

Био-Саваровиот закон е од основно значење за [[магнетостатика]]та, имајќи слична улога како и [[Кулонов закон|Кулоновиот закон]] во [[електростатика]]та. Кога магнетостатиката не важи, Био-Саваровиот закон треба да се замени со [[Ефименкови равенки|Ефименковите равенки]].

===Постојана непроменлива струја===

Во специјални случаи постојаната непроменлива струја ''I'', во магнетно поле <math>\mathbf{B}</math> е:

:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_C \frac{d\mathbf l \times \mathbf{\hat r'}}{|\mathbf{r'}|^2}</math>

т.е. струјата може да се извади надвор од интеграл.

===Точкест полнеж со постојана брзина===

Во случај на точкеста [[наелектризирана честичка]] ''q'' која се движи со константна [[брзина]] '''v''', [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]] ги даваат следниве изрази за  [[електрично поле|електричното]] и магнетното поле:<ref name=Griffiths/>
:<math> \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf r'|^2}</math>
:<math> \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \times  \mathbf{E} </math>

каде <math>\mathbf \hat r'</math> е единичен вектор со насока од моменталната положба на честичката до точката каде се мери полето, а θ е аголот меѓу <math>\mathbf v</math> и <math>\mathbf r'</math>.

Кога ''v''<sup>2</sup> ≪ ''c''<sup>2</sup>, електричното и магнетното поле може приближно да се запишат како <ref name=Griffiths>{{Наведена книга | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall|pages= 222–224, 435–440 |year=1998 |isbn=0-13-805326-X}}</ref>
:<math> \mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf r'|^2} </math>
:<math> \mathbf{B} =\frac{\mu_0 q}{4\pi} \mathbf{v} \times \frac{\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf r'|^2} </math>

Овие равенки го претставуваат Био-Саваровиот закон за точкест полнеж <ref>{{Наведена мрежна страница |url=http://maxwell.ucdavis.edu/~electro/magnetic_field/pointcharge.html |title=архивски примерок |accessdate=2016-03-25 |archive-date=2009-06-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090619185915/http://maxwell.ucdavis.edu/~electro/magnetic_field/pointcharge.html |url-status=dead }}</ref> поради блиската аналогност со стандардниот Био-Саваров закон зададен погоре. Овие равенки првпат биле изведени од [[Оливер Хевисајд]] во 1888.

==Примена на магнетната реактивност==
Био-Саваровиот закон може да се употреби за пресметување на магнетните реактивности дури и на атомско или молекуларно ниво. На пример може да се пресметаат [[хемиска промена|хемиските заштити]] или [[магнетна сусцептибилност|магнетната сусцептибилност]], под услов густината на струјата пресметана преку квантномеханичката теорија.

==Примена во аеродинамиката==<!-- This section is linked from [[Vorticity]] -->
[[File:Vortex filament (Biot-Savart law illustration).png|thumb|right|200px| Сликата ја покажува брзината (<math>dV</math>) во точката P како елемент од вртложена жица (<math>dL</math>) of strength <math>\Gamma</math>.]]

Био-Саваровиот закон исто така се употребува во [[аеродинамика|аеродинамичката]] теорија за да се пресмета брзината предизвикана од [[вртложни|вртложните сили]].

Во [[аеродинамика]]та улогите на вителноста и струјата се спротивни во споредба со магнетната примена.
Во Максвеловиот труд од 1861 'On Physical Lines of Force',<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:On_Physical_Lines_of_Force.pdf |title=On Physical Lines of Force |first=J. C. |last=Maxwell |work=Wikimedia commons |accessdate=25 December 2011}}</ref> силата на магнетното поле '''H''' била дирекно изедначена со  [[вителност]]а (спин), каде '''B''' е тежинската вителност која е еден вид на густина за вртложното море. Макцвел сметал дека магнетната пермеабилност μ е мерка за густината на вртложното море. Па и оттука и врската,

{{ordered list
|1='''Магнетна индукциона струја'''

:<math>\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}</math>

станува збор за вртложена сличност меѓу линиската електрична струја,
|2='''Електричен тек на струјата'''

:<math>\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}</math>

каде ρ е густината на електричниот полнеж. '''B''' се сметало за еден вид на магнетна струја на витли подредени по оските на рамнините, каде '''H''' е кружната брзина на витлите.
}}

Оваа равенка за електричната струја може да се смета за проточна струја на електричниот полнеж при што се вклучува и линиското движење. Слично, и магнетната равенка е индуктивната струја која вклучува спин.Не постои линиско движење кај индуктивната струја по насоката на векторот   '''B'''. Магнетната индуцирана струја ги претставува линиите на силата. Особено ги претставува линиите на обратнопропорционалниот закон за силата.

Во аеродинамиката индуцираните воздушни струења создаваат соленоидни прстени околу вртложната оска која ја има улогата на струјата во магнетизмот. Ова доведува струењата во аеродинамиката да ја имаат истата улога како и векторот на магнетната индукција '''B''' во електромагнетизмот.

Во електромагнетизмот линиите на векторот '''B''' создаваат соленоидни прстени околу изворот на електричната струја, додека пак во аеродинамиката со воздушните струења создаваат соленоидни прстени околу изврот по вртложната оска.

Па така во електромагнетизмот, вителот ја има улогата на ефект, додека пак аеродинамиката ја има улогата на причина. Може да се согледа дека линиите на векторот '''B''' изолирани се подеднакво слични со оние во аеродинамиката на таков начин што векторот '''B''' е вртложната оска и  '''H''' е кружната брзина баш онака како што е во Максвеловиот труд од 1861.

''Во две димензии'', вртложната линија при бесконечна мала должина, и индуцираната брзина во точката е определена со:
:<math>v = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

каде Γ е силата на вителот и ''r'' е нормалното растојание меѓу точката и вртоложната линија.

Ова е граничен случај на равенката за отсечоци на вителот со конечни должини:

:<math>v = \frac{\Gamma}{4 \pi r} \left[\cos A - \cos B \right]</math>

каде ''A'' и ''B'' се аглите меѓу линијата и двата краја на отсечокот.

==Био-Саваров закон, Амперов закон и Гаусов закон за магнетизам==

{{Поврзано|Ротор (математика)}}

Кога се разгледува [[магнетостатика|магнетостатична]] ситуација, магнетното поле '''B''' пресметано од Био-Саваровиот закон секогаш ќе биде во склад со [[Гаусов закон за магнетизам|Гаусовиот закон за магнетизам]] и [[Амперов закон|Амперовиот закон]]:<ref name=GaussAmpereProof>See Jackson, page 178–79 or Griffiths p. 222–24. The presentation in Griffiths is particularly thorough, with all the details spelled out.</ref>

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Доказ <ref name=GaussAmpereProof /> (Кликнете „прикажи“ на десно.)
|-
|Започнувајќи со Био-Саваровиот закон:
:<math>\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V d^3l \mathbf J (\mathbf l) \times \frac{\mathbf r - \mathbf l}{|\mathbf r - \mathbf l|^3}</math>

Одземајќи го изразот:

:<math>\frac{\mathbf r - \mathbf l}{|\mathbf r - \mathbf l|^3} = -\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf l|}\right)</math>

и користејќи го [[правило за множење|правилото за множење]] за ротори, како и фактот дека '''J''' не зависи од <math>\mathbf r</math>, оваа равенка може да се презапише како <ref name=GaussAmpereProof/>

:<math>\mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\iiint_V d^3l \frac{\mathbf J (\mathbf l)}{|\mathbf r - \mathbf l|}</math>

Бидејќи дивергенцијата на роторот е секогаш нула, се воспоставува [[Гаусов закон за магнетизам|Гаусовиот закон за магнетизам]]. Следно, земајќи го роторот од двете страни и користејчи ја равенката за [[ротор на ротор]], и уште еднаш употрбувајќи го фактот дека '''J''' не зависи од  <math>\mathbf r</math>, при што се добива резултатот <ref name=GaussAmpereProof/>

:<math>\nabla\times\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\iiint_V d^3l \mathbf J (\mathbf l)\cdot\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf l|}\right) - \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V d^3l \mathbf J (\mathbf l)\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf l|}\right)</math>

И на крај, вметнувајќи ги овие записи <ref name=GaussAmpereProof/>

:<math>\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf l|}\right) = -\nabla_l \left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf l|}\right),</math>
:<math>\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf l|}\right) = -4\pi \delta(\mathbf r - \mathbf l)</math>

(каде δ е [[Диракова делта функција|Дираковата делта функција]]), и користејќи го фактот дека дивергенцијата на '''J''' е нула, и коритејќи  [[парцијална интеграција]], се добива резултатот <ref name=GaussAmpereProof/>

:<math>\nabla\times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J</math>

т.е. [[Амперов закон|Амперовиот закон]]. (Поради претпоставката на [[магнетостатика]]та, <math>\partial \mathbf E / \partial t = \mathbf 0</math>, па така нема дополнителен услов во Амперовиот закон.
|}

Во немагнетна ситуација, Био-Саваровиот закон престанува да биде вистинит (се заменува со [[Ефименкови равенки|Ефименковите равенки]]), додека пак [[Гаусов закон за магнетизам|Гаусовиот закон за магнетизам]] и [[Амперов закон|Амперовиот закон]] се сè уште важечки.

== Поврзано ==
===Личности===
* [[Жан Батист Био]]
* [[Феликс Савар]]
* [[Андре Мари Ампер]]
* [[Џејмс Кларк Максвел]]

===Електромагнетизам===
* [[Максвелови равенки]]
* [[Амперов закон]]
* [[Магнетизам]]
* [[Кулонов закон]]
* [[Дарвинов Лангранжијан]]

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch11/ch11.html Electromagnetism] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20110603233123/http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch11/ch11.html |date=2011-06-03 }}, B. Crowell, Fullerton College
* <small>MISN-0-125</small> ''[http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m125.pdf The Ampère–Laplace–Biot–Savart Law]'' by Orilla McHarris and Peter Signell for [http://www.physnet.org Project PHYSNET].

{{Нормативна контрола}}

{{DEFAULTSORT:Био-Саваров закон}}
[[Категорија:Аеродинамика]]
[[Категорија:Електромагнетизам]]