Преглед на кодот на Бијекција

{|  border="1"  cellpadding="5" class="wikitable floatright"
|- align="center"
||[[Податотека:Gen_bijection.svg]]
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="210"|'''Бијекција'''. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот ''B'' (од елемент од доменот А).  
|}

Во [[математика]]та, '''бијективна функција''' или '''бијекција''' е [[функција (математичко образование)|функција]] ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' која е и [[инјективна функција|инјективна]] и [[сурјективна функција|сурјективна]]. Тоа значи: за секој елемент ''b'' во [[функција (математичко образование)|кодоменот]] ''B'' постои '''точно еден''' елемент ''a'' од [[функција (математичко образование)|доменот]] ''A'' таков што ''f''(''a'')=''b''. Бијекцијата исто така се нарекува '''1-1 кореспонденција'''.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/Бијекција.html|last1=Weisstein|first1=Eric|title=Bijective function|publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=1 January 2014}}{{Мртва_врска|date=September 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=88|language=англиски||accessdate=1 January 2014}}</ref>

Терминот ''бијективност'' и сродните термини [[сурјективна функција|''сурјективност'']] и [[инјективна функција|''инјективност'']] беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)<ref>{{Наведена мрежна страница | url = http://jeff560.tripod.com/i.html | title = Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics | contribution = Injection, Surjection and Bijection | publisher = Tripod | first = Jeff|last=Miller| year=2010 |language=англиски|accessdate=1 February 2014}}</ref> и група други, воглавно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика. 
{|  border="1"  cellpadding="5" class="wikitable floatright"
|- align="center"
||[[Податотека:Gen_not_surjection_not_injection.svg]]
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="210"|'''Не е бијекција'''. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.) 
|}
==Основни својства==
Формално имаме:
:<math>f:A \rightarrow B</math>&nbsp; е бијективна функција ако за секој &nbsp;<math>b \in B </math>&nbsp; постои точно еден &nbsp;<math>a \in A</math>&nbsp; таков што &nbsp;<math>f(a)=b \,.</math> 
Елементот <math>a</math> се вика '''претслика''' на елементот <math>b</math>. 
*Функција е бијекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. (Види и: [[Сурјективна функција]], [[Инјективна функција]].)

'''Забелешка:''' Сурјекција значи '''минимум''' една претслика. Инјекција значи '''максимум''' една претслика. Бијекција значи '''точно''' една претслика.

==Кардиналност==
[[Кардиналност]]а на едно множество е мерка на ''бројот на елементите'' во множеството. На пример, ако ''A''={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на ''А'' е 4 и пишуваме &#35;''A''=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со ''позната'' кардиналност.<ref name=Tanton>{{Наведена книга|title=Encyclopedia of Mathematics, Cardinality|last1=Tanton|first1=James|year=2005|publisher=Facts on File, New York|isbn=0-8160-5124-0|page=60}} {{en}}</ref> 
*Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои бијекција помеѓу нив. (Види [[кардиналност]].)
** Ако кардиналноста на ''A'' и ''B'' е конечен број, #''A''=#''B''=''n'' тогаш при доказ дека функцијата ''f'':''A'' → ''B'' e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
** Ако кардиналноста на ''A'' и ''B'' е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.    
'''Пример:''' Нека ''А''=''B''=&#8469;. Идентичната функција ''f''(''x'')=''x'' e бијекција. Функцијата ''f''(''x'')=2''x'' е инјекција која не е сурјекција. Функцијата ''f''(''x'')=round(''x''/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(''z'') го заокружува ''z'' така што ''f''(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, ''f''(2)=round(2/2)=1, ''f''(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....  
<!--Голем дел од оваа дискусија треба да се префрли кај кардиналност.-->

==Бијекции и инверзни функции==
{{Главна|инверзна функција}}
*Бијекцијата може да се ''преврти'' со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика '''инверзна функција''' (на првобитната функција). Види [[инверзна функција]].

Формално:
Нека ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција ''f'' е (бијективна) функција ''g''&nbsp;:&nbsp;''B'' → ''A'' дефинирана со: ако ''f''(''a'')=''b'', тогаш ''g''(''b'')=''a''.  Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени. 
*Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Bijection_is_Bijection|title=Inverse of Bijection is Bijection|language=en|accessdate=1 February 2014|archive-date=2020-09-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20200930065649/https://proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Bijection_is_Bijection|url-status=dead}}</ref>)
*Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Injection_iff_Left_Inverse|title=Injection iff Left Inverse|language=en|accessdate=1 February 2014|archive-date=2013-07-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20130720071209/http://www.proofwiki.org/wiki/Injection_iff_Left_Inverse|url-status=dead}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Surjection_iff_Right_Inverse|title=Surjection iff Right Inverse|language=en|accessdate=1 February 2014}}{{Мртва_врска|date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Bijection_iff_Left_and_Right_Inverse|title=Bijection iff Left and Right Inverse|language=en|accessdate=1 February 2014}}{{Мртва_врска|date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>

'''Забелешка:''' Нотацијата за инверзна функција на функцијата ''f'' е проблематична. Имено, со
::<math>f^{-1}(x)</math>&nbsp; се означува инверзната функција на '''функцијата''' ''f'', а со
::<math>x^{-1}=\frac{1}{x}</math> се означува [[реципрочна вредност|реципрочната вредност]] на '''бројот''' ''x''.

*Една од најважните особини на бијективните функции е тоа дека '''инверзна''' релација на бијективна функција е функција, т.н. [[инверзна функција]]. Инверзните функции како што се [[квадратен корен]] на [[квадратна функција]], [[логаритамска функција]] на [[експоненцијална функција]], ... имаат многу голема улога во математиката.

==Примери ==
===Елементарни функции===
Нека ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; е реална функција ''y'' од реален [[функција (математичко образование)|аргумент]] ''x''. (Значи влез и излез се броеви.)
*'''Графичко толкување''': функцијата ''f'' е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на ''f'' во '''точно една''' точка.
*'''Алгебарско толкување''': функцијата ''f'' е бијекција ако за кој било ''y''<sub>o</sub> постои ''x''<sub>o</sub> таков што ''y''<sub>o</sub>=''f''(''x''<sub>o</sub>) и ако ''f''(''x''<sub>o</sub>)=''f''(''x''<sub>1</sub>) значи ''x''<sub>o</sub>=''x''<sub>1</sub>.
</div>

'''Пример:''' Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0 е бијекција. (Види [[линеарна функција]].) Слика 1.
:Дискусија: Види го соодветниот пример кај [[сурјективна функција|сурјекција]] и [[инјективна функција|инјекција]]. 
:Инверзна функција: ''y''=(''x''-''b'')/''a''
 
'''Пример:''' [[Кубна полиномна функција|Кубната полиномна функција]] {{Nowrap begin}}''f''(''x'')=''x''<sup>3</sup>{{Nowrap end}} е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива. 
:Инверзна функција е ''3-ти корен'', односно {{Nowrap begin}}''f''(''x'')= &#8731;''x''{{Nowrap end}}. Слика 5: дебелата зелена крива.

'''Пример:''' [[Квадратна функција|Квадратната функција]] &nbsp;{{Nowrap begin}}''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>{{Nowrap end}} '''не''' е бијекција (од &#8477;→&#8477;). Слика 3.  Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу).

===Бијекции и нивните инверзни функции===
Нека ''f''(''x''):''A''→''B'' каде што ''A'' и ''B'' се подмножества на &#8477;.
*Да претпоставиме дека ''f'' не е бијекција. За кое било ''x'' каде што [[извод]]от на ''f'' постои и не е нула, постои број &delta;&gt;0 таков да ограничувањето на ''f'' на &delta;-околината на ''x'' е бијекцијата (на сликата на околината).<ref name=Tanton/>
*Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата ''y''=''x''. (Види и [[Инверзна функција]].)

'''Пример:''' [[Квадратна функција|Квадратната функција]] дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)
:<math>f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)</math>&nbsp; каде што &nbsp;<math>f(x) = x^2</math>
е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

'''Пример:''' [[Квадратен корен|Функцијата квадратен корен]] дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞) 
:<math>f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)</math>&nbsp; каде што &nbsp;<math>f(x) = \sqrt{x}</math>
е бијекцијата дефинирана како [[инверзна функција|инверзната функција]] на квадратната функција: ''x''<sup>''2''</sup>. Слика 6: дебелата зелена крива.

<div style="margin-top:1em;;">
'''Забелешка:''' Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:
</div>
* доменот на функцијата
* ''машината'' на функцијата
* кодоменот на функцијата
'''Пример:''' Нека ''машината'' биде ''f''(''x'')=''x''&sup2;. 
*Оваа ''машина'' со домен=&#8477; и кодомен=&#8477; не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа, 
*оваа иста ''машина'' со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.

<div style="margin-top:1em;;">
'''Пример:''' [[Експоненцијална функција|Експоненцијалната функција]] дефинирана на доменот &#8477; и на ограничуваниот кодомен (0,+∞) 
</div>
:<math>f(x):\mathbf{R} \,\, \rightarrow \,\, (0,+\infty)</math>&nbsp; каде што &nbsp;<math>f(x) = a^x \, ,\,\, a>1</math>
е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е ''a''=10).

'''Пример:''' [[Логаритамска функција|Логаритамската функција]] со основа ''a'' дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот &#8477;
:<math>f(x):(0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, \mathbf{R}</math>&nbsp; каде што &nbsp;<math>f(x) = \log_a x \, ,\,\, a>1</math>
е бијекцијата дефинирана како [[инверзна функција|инверзната функција]] на експоненцијалната функција: ''a''<sup>''x''</sup>. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е ''a''=10).

<div style="margin-top:1em;margin-bottom:1em;margin-left:15px">
{|  border="1"  cellpadding="5" 
|- align="center" 
|colspan=3| Бијекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка. 
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="230"|[[Податотека:line_explicit_ex.svg|135px]]<hr />1. Бијекција. Сите коси прави се бијекции ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;, ''f''(''x'')=''ax''+''b'', ''a''&ne;0.  
| width="230"|[[Податотека:xto3.svg|220px]]<hr />2. Бијекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;. ''f''(''x'')=''x''&sup3;. 
| width="230"|[[Податотека:xto2.svg|220px]]<hr />3. Не е бијекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;. ''f''(''x'')=''x''&sup2;. (Не е сурјекција, ниту инјекција).
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="230"|[[Податотека:logx_inv.svg|220px]]<hr />4. Бијекции. ''f''(''x''):&#8477;→ (0,+∞). ''f''(''x'')=10<sup>''x''</sup> (тенка жолта) и своја инверзна функција ''f''(''x''):(0,+∞)→&#8477;. ''f''(''x'')=log<sub>10</sub>''x'' (дебела зелена).   
| width="230"|[[Податотека:xto1over3.svg|220px]]<hr />5. Бијекции. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;. ''f''(''x'')=''x''&sup3; (тенка жолта) и своја инверзна функција ''f''(''x'')=&#8731;''x'' (дебела зелена). 
| width="230"|[[Податотека:xsqrt_pos.svg|220px]]<hr />6. Бијекции. ''f''(''x''):[0,+∞)→[0,+∞). ''f''(''x'')=''x''&sup2; (тенка жолта) и своја инверзна функција ''f''(''x'')=&radic;''x''</sup> (дебела зелена).  
|}
</div>
<!--Тука слободно додавајте материјали од напредна математика, категории, изоморфизми. Немаше цитати во ен видипедија-->

== Наводи ==
{{наводи}}

== Поврзано ==
* [[Функција (математичко образование)|Функција]]
* [[Сурјективна функција]]
* [[Инјективна функција]]
* [[Инверзна функција]]

==Надворешни врски==
* {{Наведена мрежна страница|url=http://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html|title=Injective, Surjective, Bijective|year=2013|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен квиз
* {{Наведена мрежна страница|url=https://www.wolframalpha.com/Примерs/InjectivitySurjectivity.html|title=Injectivity, Surjectivity|publisher=Wolfram Alpha|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}{{Мртва_врска|date=August 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} интерактивно

{{Портал|Математика}}

{{Математички полиња}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Функции]]
[[Категорија:Алгебра]]
[[Категорија:Зборови што ги нема во ТРМЈ]]