Преглед на кодот на Бранова функција

[[Податотека:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|мини| Споредба на поимите [[Хармониски треперник|класичен]] и [[квантен хармоничен осцилатор]] за изолирани честички без спин. Описот на движењето кај класичните и квантните осцилатори е сосема различен. Класичниот осцилатор () е претставен како движење на честичка по патека. Квантниот осцилатор () нема точно дефинирана патека како што е познато во класичната физика. Наместо тоа, патеката на квантен осцилатор е опишана како бран; овде, вертикалната оска го прикажува реалниот (синиот) и имагинарниот дел од брановата функција (црвено). Анимациите () покажуваат четири различни решенија на стоен бран на [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]]. Анимациите () покажуваат две различни бранови функции кои се решенија на Шредингеровата равенка, но не се стојни бранови, туку се бранови кои пренесуваат енергија низ просторот.]]
'''Бранова функција''' — во [[Квантна механика|квантната физика]] се користи за да се опише [[квантна состојба|квантната состојба]] на изолиран квантен систем. Брановата функција <math>\Psi</math> е [[комплексна анализа|комплексна функција]] која ја претставува амплитудата на [[веројатност]]а, а квадратот на [[апсолутна вредност|модулот]] на брановата функција <math>|\Psi|^2</math> има значење на [[веројатносна распределба|густина на веројатност]]. Ако брановата функција се дефинира како функција која зависи од просторните и временските координати, <math>|\Psi(\vec{x},t)|^2</math> е [[реален број]] и ја претставува [[веројатност]]а честичката во времето <math>t</math> да се најде на позиција <math>\vec{x}</math>.<ref name=":0">{{Наведена мрежна страница|url=https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1001/1001.5085.pdf|title=Значење таласне функције|last=|first=|date=|work=|archive-url=|archive-date=|dead-url=|accessdate=}}</ref>

Најчестите симболи за брановата функција се грчките букви {{Мат|''ψ''}} или {{Мат|Ψ}} (мала и голема [[Пси (буква)|пси]], соодветно). Самата бранова функција дефинирана како сложена функција <math>\Psi</math> не е [[Опсервабла|опсервабилна]] во физиката (не може да се мери директно), но квадратот на модулот на брановата функција <math>|\Psi|^2</math> и релативната фаза на брановата функција можат да се измерат. [[Корпускуларно-бранов дуализам|Принципот на двојност]] во квантната механика имплицира дека квантните системи можат еквивалентно да се опишат и како честички и како бранови (на пр. преку бранова функција). Двата описа се еквивалентни и обата се користат за опис на различни појави бидејќи едниот или другиот пристап е поедноставен и поинтуитивен за опишување на истите.

Брановата функција се наоѓа како решение на равенката зададена со квантните [[Хермитска матрица|хермитски оператори]] (на пр., квантен Хамилтонов во [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]]). Со решавање на вакви равенки, добиваме [[Својствени вектори и својствени вредности|својствени вредности]] кои го претставуваат спектарот на можни резултати од мерењата и [[Својствени вектори и својствени вредности|својствени вредности]]<nowiki/>својствени вектори кои претставуваат бранови функции на дадената равенка.

== Историја ==
[[Ервин Шредингер]] прв ја искористил брановата функција за да го опише микроскопското квантно однесување на честичките во [[1926|1926 година]] кога направил аналогија на однесувањето на квантната честичка со однесувањето на [[бран]]овите. Во тоа време, Шредингер не сметал дека брановата функција е доволна за да опише вистински физички бран, но истата година [[Макс Борн]] предложил интерпретација на брановата функција преку густината на веројатноста, и оттогаш брановата функција, во смисла што се разбира денес, зазела фундаментално место за опишување на појави во [[Квантна механика|квантната механика]].<ref name=":0"/>

== Дефиниција ==
Брановата функција е [[Функција (математика)|функција]] зададена во однос на [[Степени на слобода (механика)|степенот на слобода]], како што се просторните координати, временските координати, [[Спин (физика)|спин]] честичките, итн. Кога за еден систем се избере максималното множество на комутациски опсервабли за степени на слобода, односно се изберат сите меѓусебно независни степени на слобода (просторната координата и спинот се независни степени на слобода, но импулсот и соодветната просторна координата не се меѓусебно независни степени на слобода, затоа што тие директно зависат еден од друг), за дадениот систем може да се дефинира бранова функција.

За даден систем, изборот на комутациските степени на слобода што треба да се користат не е единствен, и следствено и [[Домен (математика)|доменот]] на брановата функција исто така не е единствен. На пример, брановата функција може да се запише како функција од просторните координати на честичките или како функција од импулсните координати на честичките во импулсниот простор. Овие две различни дефиниции на брановата функција даваат исти физички опсервабилни резултати и различно дефинираните бранови функции во реалниот и импулсниот простор се меѓусебно поврзани со [[Фуриеова трансформација|Фуриевата трансформација]].

Некои честички, како што се [[електрон]]ите и [[фотон]]ите [[Спин (физика)|, имаат спин кој]] не е нула. Доколку спинот на честичката е значаен за набљудуваната појавашто сака да се опише, во дефиницијата на брановата функција за таа честичка, покрај просторните и/или временските координати, неопходно е да се вклучи спин како внатрешен, дискретен степен на слобода. Така, дополнително е можно да се вклучат и други степени на слобода, како што е [[изоспин]], итн. Дискретните степени на слобода најчесто се претставени со [[Матрица (математика)|матрични колони]]. На пример. за спинот <math>s = \frac{1}{2}</math> се користи матрична колона <math>2 \times 1</math>, за спинот <math>s = 1</math>, се користи матрична колона <math>3 \times 1</math>, итн.

=== Дефиниција на бранова функција преку просторни координати и време ===
Брановата функција за изолирана честичка која се движи со [[Теорија за релативноста|нерелативистичка брзина]] чиј [[Спин (физика)|спин]] не се зема предвид може да се претстави како функција само од просторните координати и времето како сложена функција на реални променливи <math>\vec{x}</math> и <math>t</math> :

<math>\Psi(\vec{x},t)</math>

Квадратот на [[апсолутна вредност|модулот]] на брановата функција <math>|\Psi(\vec{x},t)|^2</math> има значење на густина на веројатност:

<math>|\Psi(\vec{x},t)|^2 =\Psi^*(\vec{x},t)\Psi(\vec{x},t)=\rho(\vec{x},t)</math>

Врз основа на стандардната дефиниција за веројатност, се наметнува условот за нормираност на брановата функција. Брановата функција мора да се нормира, така што вкупната веројатност да се најде честичка некаде во вселената е еднаква на 1:

<math>\int_{-\infty}^{\infty} d\vec{x} \; |\Psi(\vec{x},t)|^2 =1</math>

На прашањето дали честичката е во одредена положба во одреден момент може да се одговори само преку информација за веројатноста дека честичката ќе биде во таа положба во тој момент. Веројатноста честичката која да се движи по една димензија во моментот <math>t</math> да се најде во просторниот интервал помеѓу точките <math>a</math> и <math>b</math> е даден со интегралот:

<math>P_{a\leq x \leq b}(t)= \int_a^b d x \; |\Psi(x,t)|^2</math>

=== Дефиниција на бранова функција преку времето и координати во импулсниот простор ===
Брановата функција на честичката не мора да биде зададена преку просторните и временските координати. Еквивалентни физички резултати дава и дефиницијата на брановата функција преку импулси и времето како:

<math>\Phi(\vec{p},t)</math>

На сличен начин се поставува условот за нормираност и слично квадратот на [[апсолутна вредност|модулот]] на брановата функција <math>|\Phi(\vec{p},t)|^2</math> има значење на веројатност дека честичката во моментот <math>t</math> поседува импулс <math>\vec{p}</math>.

== Простор на бранови функции ==
Просторот на брановите функции во кој тие се дефинирани е [[Хилбертов простор]]. Брановите функции кои го претставуваат решението на [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]] задоволуваат:

* [[Суперпозиција|својство на суперпозиција]]: бидејќи [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка е]] линеарна [[диференцијална равенка]], ако функциите <math>\Psi_1</math> и <math>\Psi_2</math> се две различни решенија на Шредингеровата равенка, тогаш има и нивна линеарна комбинација <math>a \Psi_1 + b \Psi_2</math>, каде <math>a</math> и <math>b</math> се комплексни броеви, решение на Шредингеровата равенка.
* дефинираност до константа. Ако <math>\Psi</math> е решението на [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]], тогаш и <math>\Psi+C</math>, при што <math>C</math> е произволна константа, решение на дадената равенка.

[[Внатрешен производ]] помеѓу две бранови функции:

<math>\langle \Psi_1 (x) | \Psi_2 (x) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \; \Psi_1^*(x) \Psi_2(x)</math>

е мерка за преклопување помеѓу соодветните физички состојби и има значење на веројатност за премин од состојбата опишана со брановата функција <math>\Psi_1(x)</math> во состојба опишана со брановата функција <math>\Psi_2(x)</math>, или обратно.

== Репрезентации ==

=== Шредингерова равенка ===
Брановата функција <math>\Psi</math> е решението на [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]]:

<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi</math>

кој ја опишува промената во системот како функција на времето. [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]] опишува како брановите функции еволуираат со текот на времето. Бидејќи Шредингеровата равенка е математички тип на [[бранова равенка]], нејзиното решение кое го претставува брановата функција <math>\Psi</math> квалитативно се однесува како и макроскопските [[бран]]ови, како што се водените бранови или брановите на жица.''<ref>{{Harvnb|Born|1927}}</ref><ref>{{Harvnb|Heisenberg|1958}}</ref><ref>[[Вернер Хајзенберг|Heisenberg, W.]] (1927/1985/2009). Heisenberg is translated by {{Harvnb|Camilleri|2009}}, (from {{Harvnb|Bohr|1985}}).</ref><ref>{{Harvnb|Murdoch|1987}}</ref><ref>{{Harvnb|de Broglie|1960}}</ref><ref>{{Harvnb|Landau|Lifshitz}}</ref><ref>{{Harvnb|Newton|2002}}</ref>''

=== Атом на водород ===
[[Податотека:Hydrogen_Density_Plots-ca.png|мини| Електронска густина на веројатност <math>|\Psi_{n\ell m}|^2</math> на различни [[Атомска орбитала|орбитали]] кои ја градат целокупната бранова функција на атомот на водород како решение на [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]].]]
Решението на временско-независната Шредингерова равенка за атом на водород (не земајќи го предвид [[Спин (физика)|спинот на]] атомот) е бранова функција која може да се изрази во однос на радијална функција која <math> R(r)</math> што зависи само од радијалните координати <math>r</math> и [[Сферни хармоници|сферниот хармоник]] <math>Y_\ell^m\!(\theta, \phi)</math> што зависи од аголните координати <math>\theta</math> и <math>\phi</math>.

<math>\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) 
=
 R(r)\,\,Y_\ell^m\!(\theta, \phi)</math>

Секоја од <math>\Psi_{n\ell m}</math> компонентите на брановата функција сочинуваат една [[атомска орбитала]].

== Поврзано ==
* [[Квантна механика]]
* [[Веројатносна распределба]]
* [[Шредингерова равенка]]
* [[Начело на неопределеност|Хајзенберг несигурни односи]]

== Наводи ==
{{наводи}}

== Литература ==
{{refbegin|30em}}
* {{наведена книга|ref=harv|title=Quanta: A Handbook of Concepts|first=P. W.|last=Atkins|year=1974|isbn=978-0-19-855494-3}}
* {{наведено списание|ref=harv|last1=Arons|first1=A. B.|last2=Peppard|first2=M. B.|year=1965|title=Einstein's proposal of the photon concept: A translation of the ''Annalen der Physik'' paper of 1905|url=http://astro1.panet.utoledo.edu/~ljc/PE_eng.pdf|journal=[[American Journal of Physics]]|volume=33|issue=5|page=367|bibcode=1965AmJPh..33..367A|doi=10.1119/1.1971542|access-date=26 јуни 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304031335/http://astro1.panet.utoledo.edu/~ljc/PE_eng.pdf|archive-date=4 март 2016|url-status=dead}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Bohr|first=N.|authorlink=Niels Bohr|title=Niels Bohr - Collected Works: Foundations of Quantum Physics I (1926 - 1932)|year=1985|isbn=9780444532893|editor=J. Kalckar|volume=6|publisher=North Holland|location=Amsterdam}}
* {{наведено списание|ref=harv|first=M.|last=Born|journal=Z. Phys.|volume=37|issue=12|year=1926a|title=Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange|pages=863–867|doi=10.1007/bf01397477|bibcode = 1926ZPhy...37..863B }}
* {{наведено списание|ref=harv|first=M.|last=Born|journal=Z. Phys.|volume=38|issue=11–12|year=1926b|title=Quantenmechanik der Stoßvorgange|pages=803–827|doi=10.1007/bf01397184|bibcode = 1926ZPhy...38..803B }}
* {{наведено списание|ref=harv|last=Born|first=M.|authorlink=Max Born|year=1927|title=Physical aspects of quantum mechanics|journal=Nature|volume=119|issue=2992|pages=354–357|doi=10.1038/119354a0|bibcode = 1927Natur.119..354B }}
* [[Max Born|Born, M.]] (1954). {{нмс |date=11 декември 1954 |title=The statistical interpretation of quantum mechanics |url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf |work=Nobel Lecture |access-date=26 јуни 2019 |archive-date=19 октомври 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121019194414/http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf |url-status=dead }}
* {{наведено списание|ref=harv|last=de Broglie|first=L.|title=Radiations—Ondes et quanta|trans-title=Radiation—Waves and quanta|journal=Comptes Rendus|volume=177|pages=507–510, 548, 630|year=1923|language=fr}} [http://www.academie-sciences.fr/pdf/dossiers/Broglie/Broglie_pdf/CR1923_p507.pdf Online copy (French)] [http://www.davis-inc.com/physics/broglie/broglie.shtml Online copy (English)]
* {{наведена книга|ref=harv|first=L.|last=de Broglie|authorlink=Louis de Broglie|year=1960|title=Non-linear Wave Mechanics: a Causal Interpretation|publisher=Elsevier|location=Amsterdam}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Camilleri|first=K.|title=Heisenberg and the Interpretation of Quantum Mechanics: the Physicist as Philosopher|year=2009|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge UK|isbn=978-0-521-88484-6}}
* {{наведена книга|ref=harv|first1=F. W.|last1=Byron|first2=R. W.|last2=Fuller|authorlink2=Robert W. Fuller|title=Mathematics of Classical and Quantum Physics|isbn=978-0-486-67164-2|year=1992|publisher=[[Dover Publications]]|series=Dover Books on Physics|edition=revised|orig-year=1969}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Conway|first=J. B.|authorlink=John B. Conway|title=A Course in Functional Analysis|year=1990|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=96|publisher=[[Springer Verlag]]|isbn=978-0-387-97245-9}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Dirac|first=P. A. M.|authorlink=Paul Dirac|series=The international series on monographs on physics|title=The principles of quantum mechanics|year=1982|edition=4|publisher=Oxford University Press|isbn=0 19 852011 5}}
* {{наведено списание|ref=harv|last=Dirac|first=P. A. M.|title=A new notation for quantum mechanics|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|year=1939|volume=35|issue=3|pages=416–418|doi=10.1017/S0305004100021162|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2031476|bibcode=1939PCPS...35..416D|access-date=2021-12-01|archive-date=2013-12-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20131203033616/http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2031476|url-status=dead}}
* {{наведено списание|last1=Einstein|first1=A.|author1-link=Albert Einstein|year=1905|title=Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt|journal=[[Annalen der Physik]]|volume=17|issue=6|bibcode=1905AnP...322..132E|doi=10.1002/andp.19053220607|ref=harv|language=de|pages=132–148}}
* {{наведено списание|last1=Einstein|first1=A.|year=1916|title=Zur Quantentheorie der Strahlung|journal=Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich|volume=18|pages=47–62|ref=harv}}
* {{наведено списание|last1=Einstein |first1=A.|year=1917|title=Zur Quantentheorie der Strahlung|journal=[[Physikalische Zeitschrift]]|volume=18|pages=121–128|bibcode=1917PhyZ...18..121E|ref=harv|language=de}}
* {{наведена книга|ref=harv|first=A.|last=Einstein|year=1998|title=Albert Einstein: Philosopher-Scientist|editor=P. A. Schlipp|volume=VII|series=The Library of Living Philosophers|publisher=Open Court|location=La Salle Publishing Company, Illinois|isbn=978-0-87548-133-3|edition=3}}
* {{наведена книга|ref=harv|title=Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles|edition=2|first2=R.|last2=Resnick|first=R.|last=Eisberg|publisher=John Wiley & Sons|year=1985|isbn=978-0-471-87373-0}}
* {{наведена книгаk|ref=harv|title=Quantum Electrodynamics|last1=Greiner|first1=W.|last2=Reinhardt|first2=J.|authorlink1=Walter Greiner|edition=4|year=2008|isbn=9783540875604|publisher=springer|url=https://books.google.com/?id=5Kd3dBL8a64C&printsec=frontcover&dq=walter+greiner+Quantum+electrodynamics#v=onepage&q=walter%20greiner%20Quantum%20electrodynamics&f=false}}
* {{наведена книга|ref=harv|title=Introduction to Quantum Mechanics|last=Griffiths|first=D. J.|edition=2|isbn=978-0131118928|publisher=Pearson Education Ltd|location=Essex England|year=2004}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Heisenberg|first=W.|authorlink=Werner Heisenberg|year=1958|title=Physics and Philosophy: the Revolution in Modern Science|url=https://archive.org/details/physicsphilosoph0000heis|publisher=Harper & Row|location=New York}}
* {{наведување|ref=harv|last=Hanle|first=P.A.|title=Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory.|journal=Isis|volume=68|issue=4|pages=606–609|year=1977|doi=10.1086/351880}}
* {{наведена книга|ref=harv|first=E. T.|last=Jaynes|editor= G. Larry Bretthorst|title=Probability Theory: The Logic of Science|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=978-0-521 59271-0}}
* {{наведена книга|ref=harv|first1=L.D.|last1=Landau|authorlink1=Lev Landau|first2=E. M.|last2=Lifshitz|authorlink2=Evgeny Lifshitz|year=1977|title=Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory|edition=3|volume=Vol. 3|publisher=[[Pergamon Press]]|isbn=978-0-08-020940-1}} [https://archive.org/details/QuantumMechanics_104 Online copy]
* {{наведена книга|ref=harv|first1=R.G.|last1=Lerner|first2=G.L.|last2=Trigg|title=Encyclopaedia of Physics|url=https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern|publisher=VHC Publishers|edition=2|year=1991|isbn=978-0-89573-752-6}}
* {{наведена книга|first1=G.|last1=Ludwig|title=Wave Mechanics|url=https://archive.org/details/wavemechanics0000ludw|publisher=Pergamon Press|location=Oxford UK|year=1968|lccn=66-30631|isbn=978-0-08-203204-5|ref=harv}}
* {{наведена книга|last=Murdoch|first=D.|year=1987|title=Niels Bohr's Philosophy of Physics|url=https://archive.org/details/nielsbohrsphilos0000murd|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge UK|isbn=978-0-521-33320-7}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Newton|first=R.G.|year=2002|title=Quantum Physics: a Text for Graduate Student|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0-387-95473-8}}
* {{наведено списание|ref=harv|first=Wolfgang|last=Pauli|authorlink=Wolfgang Pauli|year=1927|title=Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons|journal=Zeitschrift für Physik|volume=43|issue=9–10|pages=601–623|language=de|doi=10.1007/bf01397326 |bibcode = 1927ZPhy...43..601P }}
* {{наведена книга|ref=harv|title=Quantum mechanics|edition=2|year=2010|publisher=McGraw Hill|first1=Y.|last1=Peleg|first2=R.|last2=Pnini|first3=E.|last3=Zaarur|first4=E.|last4= Hecht|series=Schaum's outlines|isbn=978-0-07-162358-2}}
* {{наведена книга|first=A.I.M.|last=Rae|year=2008|title=Quantum Mechanics|edition=5|publisher=Taylor & Francis Group|volume=2|isbn=978-1-5848-89700|url=https://books.google.com/?id=YDhHAQAAIAAJ&q=quantum+mechanics+Alastair+Rae+5th+edition&dq=quantum+mechanics+Alastair+Rae+5th+edition}}
* {{наведено списание|ref=harv|last=Schrödinger|first=E.|authorlink=Erwin Schrödinger|title=An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules|url=http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|archivedate=17 декември 2008|journal=Physical Review|volume=28|issue=6|pages=1049–1070|year=1926|doi=10.1103/PhysRev.28.1049|bibcode=1926PhRv...28.1049S}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Shankar|first=R.|title=Principles of Quantum Mechanics|edition=2|isbn=978-0306447907|year=1994}}
* {{наведена книга|ref=harv|title=Particle Physics|edition=3|first=B.R.|last=Martin|first2=G.|last2=Shaw|series=Manchester Physics Series|publisher=John Wiley & Sons|year=2008|isbn=978-0-470-03294-7}}
* {{наведена книга|last1=ter Haar|first1=D.|author-link=Dirk ter Haar|year=1967|pages=[https://archive.org/details/oldquantumtheory00haar/page/167 167]–183|title=The Old Quantum Theory|url=https://archive.org/details/oldquantumtheory00haar|publisher=[[Pergamon Press]]|lccn=66029628|ref=harv}}
* {{наведена книга|ref=harv|title=Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics|edition=6|first1=P. A.|last1=Tipler|first2=G.|last2=Mosca|last3=Freeman|year=2008|isbn=978-0-7167-8964-2}}
* {{наведување|last=Weinberg|first=S.|year=2013|title=Lectures in Quantum Mechanics|isbn=978-1-107-02872-2|authorlink=Steven Weinberg|publisher=Cambridge University Press}}
* {{наведување|last=Weinberg|first=S.|year=2002|title=The Quantum Theory of Fields|volume=1|isbn=978-0-521-55001-7|publisher=Cambridge University Press}}
* {{наведена книга|ref=harv|title=Sears' and Zemansky's University Physics|last1=Young|first1=H. D.|last2=Freedman|first2=R. A.|edition=12|editor=Pearson|publisher=Addison-Wesley|year=2008|isbn=978-0-321-50130-1}}
* {{наведена книга|ref=harv|first1=J.A.|last1=Wheeler|author1link=John Archibald Wheeler|first2=W.H.|last2=Zurek|author2link=Wojciech H. Zurek|year=1983|title=Quantum Theory and Measurement|publisher=Princeton University Press|location=Princeton NJ}}
* {{наведена книга|ref=harv|last=Zettili|first=N.|title=Quantum Mechanics: Concepts and Applications|edition=2|isbn=978-0-470-02679-3|year=2009}}
* {{наведена книга |last1=Zwiebach |first1=Barton |title=A First Course in String Theory |date=2009 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-88032-9}}
* {{наведено списание |last=Yong-Ki Kim |title=Practical Atomic Physics |journal=National Institute of Standards and Technology |pages=1 (55 pages) |date=2 септември 2000 |url=http://amods.kaeri.re.kr/mcdf/lectnote.pdf |accessdate=17 август 2010 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110722141558/http://amods.kaeri.re.kr/mcdf/lectnote.pdf |archivedate=22 јули 2011 }}
* {{наведена книга | author=Polkinghorne, John |authorlink=John Polkinghorne | title=Quantum Theory, A Very Short Introduction | publisher=Oxford University Press | year=2002 | isbn=978-0-19-280252-1}}
{{refend}} 
== Надворешни врски ==
{{рв|Wave function}}
* [http://www.eng.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/complexs.html Quantum Mechanics for Engineers]
* [http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_9/node2.html Spin wave functions NYU]
* [http://galileo.phys.virginia.edu/classes/752.mf1i.spring03/IdenticalParticlesRevisited.htm Identical Particles Revisited, Michael Fowler]
* [http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node34.html The Nature of Many-Electron Wavefunctions]
* [https://www.edx.org/courses/BerkeleyX/CS191x/2013_Spring/about Quantum Mechanics and Quantum Computation at BerkeleyX]{{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20130513055801/https://www.edx.org/courses/BerkeleyX/CS191x/2013_Spring/about |date=2013-05-13 }}
* [https://web.archive.org/web/20110723012756/http://astro1.panet.utoledo.edu/~ljc/einstein_ab.pdf Einstein, ''The quantum theory of radiation'']

[[Категорија:Бранови]]
[[Категорија:Квантни состојби]]