Преглед на кодот на Брзиност

Во [[Теорија за релативноста|релативноста]], '''брзината''' најчесто се користи како мерка за релативистичка брзина. Математички, брзината може да се дефинира како [[хиперболичен агол]] што разликува две рамки на референца во релативно движење, каде секоја рамка е поврзана со координати на [[растојанието]] и [[времето]].

За едно-димензионални движења, брзиностите се собираат додека брзините мора да бидат комбинирани со Ајнштајновата [[Равенка на сложени брзини|формула за собирање на брзините]]. За ниска брзина, брзиноста и брзината се пропорционални, но за високи брзини, брзиноста има поголема вредност, односно брзиноста на светлината е бесконечна.

Со користење на [[инверзна хиперболична функција]] {{math|artanh}}, брзиноста {{math|<var>w</var>}} одговара на брзината {{math|<var>v</var>}} е {{math|<var>w</var> {{=}} artanh(<var>v</var> / <var>c</var>)}} каде што c е брзината на светлината. За мали брзини, {{math|<var>w</var>}} е приближно {{math|<var>v</var> / <var>c</var>}}. Бидејќи во релативноста било која брзина {{math|<var>v</var>}} е ограничена на интервалот {{math|−<var>c</var> < <var>v</var> < <var>c</var>}} односот {{math|<var>v</var> / <var>c</var>}} го задоволува {{math|−1 < <var>v</var> / <var>c</var> < 1}}. Инверзната хиперболична тангента има единица интервал {{math|(−1, 1)}} за својот домен и целата [[вистински линија]] за неговиот [[опсег]], па така интервал {{math|−<var>c</var> &lt; <var>v</var> &lt; <var>c</var>}} се поврзува на {{math|−∞ &lt; <var>w</var> &lt; ∞}}.

== Историја ==
[[Податотека:Hyperbolic_sector.svg|десно|200x200пкс]]
Во 1908 [[Херман Минковски]] објасни како [[Лоренцови трансформации|Лоренцовите трансформации]] може да се видат како едноставна [[хиперболична ротација]] на [[просторно-временските координати]], односно, ротација преку имагинарен агол.<ref>Minkowski, H., Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies" 1908</ref> Овој агол затоа претставува (во една просторна димензија) едноставен собирок на брзината помеѓу рамки.<ref>Sommerfeld, Phys. Z 1909</ref> Тоа е користено од страна на [[Варичак]] (1910 година) и од Витакер (1910).<ref>"A History of the Theories of the Aether and Electricity" In a later 1953 edition of this book it was used consistently for the theory</ref> Именуван е како "брзиност" од [[Алфред Роб]] (1911)<ref>"Optical Geometry of Motion" p.9</ref> и овој термин е усвоен од страна на многу од следните автори, како што се [[Варичак]] (1912 Година), [[Силберштајн]] (1914), [[Морли]] (1936) и [[Риндлер]] (2001). Развојот на теоријата на брзиност главно се должи на Варичак во дела од 1910 година до 1924 година.<ref>See his papers, available in translation in Wikisource</ref>

=== Област на хиперболичен сектор ===
На [[квадрирањето]] на хиперболата ''xy'' = 1 од [[Грегоар де Сент-Винсент]] го воспостави природниот логаритам како област на хиперболичен сектор, или еквивалентно област против асимптота. Во теоријата за простор-време, поврзаноста на настани од светлината го дели универзумот во Минатото, Иднината, или на Друго место врз основа на Овде и Сега. На секоја линија во просторот, светлосен зрак може да биде насочен лево или десно. Земете ја x-оската како настани донесени од страна на десниот зрак и y-оската како настаните од левиот зрак. Функцијата за [[време]]то е паралелно со дијагоналата ''x'' = ''y''. Правоаголната хипербола ''xy'' = 1 може да се користи за да се измери брзината (во првиот квадрант). Нултата брзина одговара на (1,1). Било која точка на хиперболата има координати <math>( e^w , \ e^{-w} ) </math> каде w е брзинoст, и е еднаква на областа на [[хиперболичниот сектор]] од (1,1) до овие координати. Многу автори ја користат единицата [[хипербола]] <math>x^2 - y^2 ,</math> каде се зема брзиноста за параметар, како во стандардните [[Минковскиев дијаграм|просторно-временски дијаграми]]. Таму оските се мерат од страна на часовник и метаричен-стап, повеќе семејни одредници, и основата на просторо-временската теорија. Па определувањето на брзиноста, како хиперболичен параметар на зрак-простор е референца на седумнаесеттиот век кој е потекло на нашите скапоцени [[трансцендентални функции]], и додаток на дијаграмирањето на простор и време.

== Во една просторна димензија ==
Брзиноста {{math|<var>w</var>}} произлегува од линеарната застапеност на [[Лоренцови трансформации|Лоренцовото зголемување]] како производ на вектор и матрица

:<math>
  \begin{pmatrix}
    c t' \\
    x'
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \cosh w & -\sinh w \\
    -\sinh w & \cosh w
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    ct \\
    x
  \end{pmatrix}
  = \mathbf \Lambda (w) 
  \begin{pmatrix}
    ct \\
    x
  \end{pmatrix}</math>.

Матрицата {{math|'''Λ'''(''w'')}} е од типот <math>\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix} </math> каде {{math|<var>p</var>}} и {{math|<var>q</var>}} го задоволуваат условот {{math|<var>p</var><sup>2</sup> - <var>q</var><sup>2</sup> {{=}} 1}}, така што {{math|(<var>p</var>, <var>q</var>)}} се наоѓаат на [[единицата хипербола]]. Ваквите матрици ја формираат [[неопределената ортогонална група О(1,1)]] со едно-димензионална Lie алгебра која се протега на анти-дијагонала единица матрица, покажува дека брзината е координирање на оваа Lie алгебра. Оваа акција може да биде прикажана во [[Минковскиев дијаграм|просторно-временски дијаграм]]. Во [[експоненцијална нотација на матрицата]], {{math|'''Λ'''(''w'')}} може да се изрази како <math>\mathbf \Lambda (w) = e^{\mathbf Z w}</math>, каде што {{math|'''Z'''}} е анти-дијагоналната матрица единица

:<math> \mathbf Z =
   \begin{pmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix} . </math>

Не е тешко да се докаже дека

:<math>\mathbf{\Lambda}(w_1 + w_2) = \mathbf{\Lambda}(w_1)\mathbf{\Lambda}(w_2)</math>.

Оваа утврдува корисен собирок на брзиноста: ако {{math|A}}, {{math|B}} и {{math|C}} се [[Појдовен систем|рамки на повикување]], а потоа

:<math> w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}}</math>

каде {{math|''w''<sub>PQ</sub>}} ја означува брзинoста на референтна рамка {{math|Q}} во однос на референтна рамка {{math|P}}. Едноставноста на оваа формула се контрира со комплексноста на соодветната [[Равенка на сложени брзини|формула за собирање на брзини]].

Како што можеме да видиме од Лоренцовата трансформација погоре, [[Лоренцовиот фактор]] се идентификува со {{math|cosh ''w''}}

:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w</math>,

така брзиноста {{math|''w''}} е имплицитно користена како хиперболичен агол во изразите од [[Лоренцови трансформации|Лоренцовата трансформација]] користејќи ги {{math|<var>γ</var>}} и <var>β</var>. Ако ги споредиме брзиностите со [[Равенка на сложени брзини|формулата за собирање на брзините]]

:<math>u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)</math>

со препозанвање

:<math>\beta_i = \frac{u_i}{c} = \tanh{w_i} </math>

и така

:<math>
    \begin{align}
        \tanh w &= \frac{\tanh w_1 +\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2} \\
            &= \tanh(w_1+ w_2)
    \end{align}
</math>

[[Соодветното забрзување]] (забрзување кое 'се чувствува" од објектот кога е забрзан) е стапка на промена на брзиноста во однос на [[соодветно време]] (време како што се мери од страна на објект во процес на забрзување за себеси). Затоа, брзиноста на еден објект во дадена рамка може да се гледа како на брзината на тој објект како ќе се пресметуваат нерелативистички од инерцијално воден систем кој се наоѓа на самиот објект, ако е забрзан од остатокот на таа рамка до дадената брзина.

Производ на {{math|''β''}} и {{math|''γ''}} се појавува често, и е од горенаведените аргументи

:<math>\beta \gamma = \sinh w \,. </math>

=== Експоненцијални и логаритамски односи ===
Од горенаведените изрази имаме

:<math>e^{w} = \gamma(1+\beta)  = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}},</math>

и така

:<math>e^{-w} = \gamma(1-\beta)  = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}.</math>

или експлицитно

: <math />:<math>w =  \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] =  -\ln \left[\gamma(1-\beta)\right]  \, . </math>

На [[Doppler-shift]] фактор поврзан со брзинoст {{math|''w''}} е <math>k = e^w</math>.

== Во повеќе од една просторна димензија ==
Релативистичната брзина <math>\boldsymbol \beta</math> асоцира на брзиноста<math>\mathbf{w}</math> на објектот преку<ref>{{harvnb|Jackson|1999|p=547}}</ref>

:<math>\mathfrak{so}(3,1) \supset \mathrm{span}\{K_1, K_2, K_3\} \approx \mathbb{R}^3 \ni \mathbf{w} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{B}^3,</math>

каде на векторот <math>\mathbf w</math> се мисли како на [[Декартов координатен систем|Декартови координати]] на 3-димензионални subspace на Lie алгебра <math>\mathfrak{o}(3, 1) \approx \mathfrak{so}(3, 1)</math> на Лоренцовата група опфатена од страна на [[генератори за зголемување]] <math>K_1, K_2, K_3</math> &ndash; во целосна аналогија со едно-димензионалниот случај <math>\mathfrak{o}(1, 1)</math> дискутиран погоре &ndash; и ''брзината и просторот'' е претставена од страна на отворена топка <math>\mathbb B^3</math> со полупречник <math>1</math> од <math>|\beta| < 1</math>. Вториот што следува од тоа <math>c</math> е ограничување на брзината во релативноста (со единиците во кои <math>c = 1</math>).

Општата формула за составот на брзиностите е<ref name="Rhodes 2003">{{harvnb|Rhodes|Semon|2003}}</ref><ref group="nb">This is to be understood in the sense that given two velocities, the resulting rapidity is the rapidity corresponding to the two velocities ''relativistically added''. Rapidities also have the ordinary addition inherited from <math>\mathbb R^3</math>, and context decides which operation to use.</ref>

:<math>\mathbf w = \boldsymbol{\hat \beta}\tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2,</math>

каде <math>\boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2</math> се однесува на [[Равенка на сложени брзини|релативистичко собирање на брзините]] и <math>\boldsymbol \hat \beta</math> е едининичен вектор во насока на <math>\boldsymbol \beta</math>. Оваа операција не е комутативна ниту асоцијативна. Брзиностите <math>\mathbf w_1, \mathbf w_2 </math> со насоки склони на агол <math>\theta</math> имаат резултантна норма <math>w \equiv |\mathbf w|</math> (обична Евклидова должина) дадена од страна на [[хиперболичениот закон за косинус]],<ref>Robb 1910, Varićak 1910, Borel 1913</ref>

:<math>\cosh w=\cosh w_1\cosh w_2 +\sinh w_1\sinh w_2 \cos \theta.</math>

Геометријата на брзиноста и просторот е наследена од [[хиперболична геометрија]] на брзина и простор преку поврзаните изјави. Оваа геометрија, пак, може да се заклучи од прилог закон на релативистичките брзини.<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|loc=Problem p. 38}}</ref> Брзината во две димензии на тој начин може да биде корисно визуелизирана со користење на Пионкаревиот диск.<ref name="Rhodes 2003"/> Геодезиката одговара на стабилни забрзувања. Брзиноста и просторот во три димензии може на ист начин да се стави во [[изометрија]] со [[хиперболидниот модел]] (еднаквоста на {{math|3}}-димензионалниот Пионкарев диск (или ''топка'')). Ова е детализирано во [[Минковскиев простор|геометријата на Минковскиев простор]].

Собирањето на две брзиности резултира, не ''само'' во нова брзиност; целосна резултантна трансформација е составот на трансформација која одговара на брзиноста дадена погоре и ''ротација'' параметрирана од страна на вектор <math>\boldsymbol \theta</math>,

:<math>\Lambda = e^{-i\boldsymbol \theta \cdot \mathbf J}e^{-i\mathbf w \cdot \mathbf K},</math>

каде физичката конвенција за експоненцијално поврзување е вклучено. Ова е последица на комутативното правило

:<math>[K_i,K_j] = -i\epsilon_{ijk}J_k,</math>

каде <math>J_k, k = 1, 2, 3,</math> се генератори на ротација. Ова е поврзано со појава на феноменот [[Томасова прецесија|Томас прецесија]]. За пресметување на параметарот <math>\boldsymbol \theta</math>, има поврзано посебна статија.

== Во експериментална физика на честички ==
Енергијата {{math|<var>E</var>}} и скаларниот моментум {{math|{{!}}'''p'''{{!}}}} на честички на не-нулта (во мирување) маса {{math|<var>m</var>}} се дадени со:

:<math>E = \gamma mc^2</math>
:<math>| \mathbf p | = \gamma mv.</math>

Со дефинирање на {{math|<var>w</var>}}

:<math> w = \operatorname{artanh} \frac{v}{c},</math>

и на тој начин со

:<math>\cosh w = \cosh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {1}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \gamma</math>
:<math>\sinh w =  \sinh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {\frac{v}{c}}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \beta \gamma ,</math>

енергијата и скаларниот моментум може да се запишат како:

:<math>E = m c^2 \cosh w </math>
:<math>| \mathbf p | = m c \, \sinh w. </math>

Така брзиноста може да биде пресметана од измерената енергија и мементумот со

:<math> w = \operatorname{artanh} \frac{| \mathbf p | c}{E}= \frac{1}{2} \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{E - | \mathbf p | c} </math>

Сепак, физичарите често користат изменето дефинирање на брзиноста во однос на носечка оска

:<math>y = \frac{1}{2} \ln \frac{E + p_z c}{E - p_z c} </math>

каде {{math|<var>p</var><sub>''z''</sub>}} е компонента на моментум по должината на носечка оска.<ref>Amsler, C. ''et al.'', [http://pdg.lbl.gov/2009/reviews/rpp2009-rev-kinematics.pdf "The Review of Particle Physics"], ''Physics Letters B'' '''667''' (2008) 1, Section 38.5.2</ref> Ова е брзиноста на зголемување на должината на носечка оска која е набљудувач од лабораторијална рамка до рамка во која честичката се движи само нормално на зракот. Во врска со ова е концептот на [[псевдобрзиност]].

== Поврзано ==

* [[Бонди к-калкулус]]
* [[Лоренцови трансформации|Лоренцови трансформација]]
* [[Псевдобрзиност]]
* [[Соодветна брзина]]
* [[Теорија за релативноста|Теорија на релативноста]]

== Белешки ==
{{Reflist|group=nb}}

== Забелешки и препораки ==
{{Reflist}}
* [[Vladimir Varićak|Varićak V]] (1910), (1912), (1924) See [[Vladimir Varićak#Publications]] 
* {{Наведено списание|last1=Whittaker|first1=E. T.|title=A history of the theories of aether and electricity|date=1910|page=441|url=https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich|accessdate=22 January 2016}}
* {{Наведена книга|last=Robb|first=Alfred|authorlink=Alfred Robb|year=1911|title=Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity|location=Cambridge|publisher=Heffner & Sons|url=https://archive.org/details/opticalgeometryo00robbrich}}
* [[Émile Borel|Borel E]] (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
* {{Наведена книга|last=Silberstein|first=Ludwik|authorlink=Ludwik Silberstein|year=1914|title=The Theory of Relativity|location=London|publisher=Macmillan & Co.|url=https://archive.org/details/theoryofrelativi00silbrich}}
* [[Vladimir Karapetoff]] (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", [[American Mathematical Monthly]] 43:70.
* [[Frank Morley]] (1936) "When and Where", ''The Criterion'', edited by [[T.S. Eliot]], 15:200-2009.
* [[Wolfgang Rindler]] (2001) ''Relativity: Special, General, and Cosmological'', page 53, Oxford University Press.
* Shaw, Ronald (1982) ''Linear Algebra and Group Representations'', v. 1, page 229, [[Academic Press]] {{ISBN|0-12-639201-3}}.
* {{Наведена книга|author=Walter, Scott|year=1999|contribution=The non-Euclidean style of Minkowskian relativity|editor=J. Gray|title=The Symbolic Universe: Geometry and Physics|pages=91–127|publisher=Oxford University Press|contribution-url=http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf|access-date=2018-11-05|archive-date=2013-10-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20131016142709/http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf|url-status=dead}}(see page 17 of e-link)
* {{Наведено списание|last1=Rhodes|first1=J. A.|last2=Semon|first2=M. D.|year=2004|title=Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession|journal=Am. J. Phys.|volume=72|pages=93-90|doi=10.1119/1.1652040|arxiv=gr-qc/0501070|bibcode=2004AmJPh..72..943R}}
*{{Наведена книга|first=J. D.|last=Jackson|authorlink=John David Jackson (physicist)|title=Classical Electrodynamics|edition=3d|year=1999|orig-year=1962|isbn=0-471-30932-X|publisher=[[John Wiley & Sons]]|department=Chapter 11}}

{{Relativity}}

[[Категорија:Специјална релативност]]