Преглед на кодот на Варијанса

Во [[теорија на веројатност|теоријата на веројатност]] и [[статистика]]та, '''варијанса''' ('''или дисперзија''') на [[случајна променлива]], [[распределба на веројатност]]а или [[примерок (статистика)|примерок]] е мерка на [[статистичка дисперзија|статистичката дисперзија]] (расејување), пресметувајќи ја средната вредност на квадрираното растојание на дадените вредности од [[очекувана вредност|очекуваните]] (средини). Бидејќи средината е начин за да се опише локацијата на дистрибуцијата, варијансата е начин за да се пресмета нејзиниот опсег или степен на ширење. [[Мерна единица|Единицата]] на варијансата е квадрат од оригиналната променлива. Позитивниот [[квадратен корен]] од варијансата се нарекува [[стандардно отстапување]].

Варијансата од [[реален број|реално]]-вредносна случајно избрана променлива е неговиот втор [[централен момент]] и често се случува да биде негова втора [[кумуланта]]. Како што некои распределби немаат средина, така некои немаат ни варијанса. Средината постои секогаш кога постои варијанса, но не и обратно.

== Дефиниција ==
Ако случајната променлива ''X'' има [[очекувана вредност]] (средина) μ = E(''X''), тогаш варијансата Var(''X'') од ''X'' е дадена со:

:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ].\,</math>

Оваа дефиниција ги опкружува случајните променливи, кои се [[дискретна случајна променлива|дискретни]], [[континуирана случајна променлива|континуирани]] или ниту како првите ниту како вторите. Од сите точки за кои квадрираните отстапувања се пресметуваат, средината создава минимална вредност за средниот збир од квадрираните отстапувања.

Оваа дефиниција за случајната променлива ''X'' обично се запишува како Var(''X''), <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> или едноставно σ<sup>2</sup>. Ако распределбата нема очекувана вредност, како во случајот со [[Кошиева распределба|Кошиевата распределба]], тогаш нема ни варијанса.
Многу други распределби за ко очекуваната вредност постои немаат конечна варијанса, бидејќи нејзиниот интеграл дивергира. Пример е [[Паретова распределба|Паретовата распределба]], чијшто [[Паретов индекс]] ''k'' го задоволува условот{{nowrap|1 < ''k'' ≤ 2}}.

=== Непрекинат случај ===

Ако случајната променлива ''X'' е [[непрекината распределба на веројатноста|непрекината]] со [[густина на веројатност]]а ''p''(''x''), тогаш:<ref name="Philippe Jorion 1997">Philippe Jorion, ''Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk''. New York et al.: McGraw-Hill, 1997, стр. 71.</ref>

:<math>\operatorname{Var}(X) =\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx\,,</math>
каде:
:<math>\mu = \int x \, p(x) \, dx\,,</math>
и каде интегралите се [[определен интеграл|определени интеграли]] земен за ''x'' со опсег над опсегот на ''X''.

=== Прекинат случај ===

IАко случајната променлива ''X'' е [[прекината распределба на веројатноста|прекината]] со [[функција на веројатност|функцијата на веројатноста]] ''x''<sub>1</sub>&nbsp;↦&nbsp;''p''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;↦&nbsp;''p''<sub>''n''</sub>,

:<math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i (x_i - \mu)^2\,.</math>

(Кога прекинатата [[немерлива средина|немерлива варијанса]] е специфична со немерливост, чијшто збир не е 1, тогаш еден поделен со сумата на немерливоста.)  Тоа е очекуваната вредност на [[квадратно отстапување|квадратот на отстапувањето]] на ''X'' од неговата средина. Поедноставно кажано, оа може да биде изразено како „просекот на квадратот на растојанието на секој податок од средината“. Тоа е ''средното квадрирано отстапување''.

== Примери ==
=== Експоненцијална распределба ===
[[Експоненцијална распределба|Експоненцијалната распределба]] со прамаетар λ е непрекината распределба, чија поддршка е полуотворениот интервал [0,∞). Неговата [[непрекината распределба на веројатноста]] е дадена со:

:<math>f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\,</math>

и има очекувана вредност μ = λ<sup>−1</sup>. Поради тоа варијансата е еднаква на:

:<math>\int_0^\infty f(x) (x - \mu)^2\,dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} (x - \lambda^{-1})^2\,dx = \lambda^{-2}.\,</math>

За експоненцијалната распределба на случајна променлива σ<sup>2</sup> = μ<sup>2</sup>.

=== Коцка ===
Шестстраната [[коцка (ира)|коцка]] може да биде моделирана со прекинатата случајна променлива со исход од 1 до 6, од кои секој брј со еднаква веројатност да се падне <sup>1</sup>/<sub>6</sub>. Очекуваната вредност е (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5. Поради тоа варијансата може да биде пресметана со:

:<math>\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6} (i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} = 2.92\,.</math>

== Својства ==

Варијансата не може да биде негативна, бидејќи квадратот на некој број секогаш е позитивен или еднаков на нула. Варијансата од случајно избрана променлива е нула и варијансата од променлива во [[база на податоци|базатаа на податоци]] е 0, ако и само ако примероците имаат иста вредност.

Важни својства на варијансата кои го олеснуваат нејзиното пресметување се следниве:<ref>Joël Bessis, ''Risk Management in Banking'' (second edition). Chichetser, UK: John Wiley and Sons, 2002, стр. 86.</ref>

Var (''X'') = ''E''(''X''<sup>2</sup>) - [''E''(''X'')]<sup>2</sup>

Var (''aX'') = (''a''<sup>2</sup>) × Var(''X'')

Варијансата е [[инваријанта]] во однос на промените во [[коефициент на пораст|коефициентот на пораст]]. Ако некоја константа се додаде на сите вредности од променливата, тогаш варијансата не се менува. Ако сите вредности се помножат со иста константа, тогаш варијансата се множи со квадратот од таа константа. Овие две примени може да се изразат во следнава формула:

:<math>\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X).</math>

Варијансата од конечен збир на '''неповрзани''' случајни променливи е еднаков на збирот на нивните варијанси. Ова придонесува за идентитетот:<ref name="Philippe Jorion 1997"/>

:<math>\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y),</math>

и дека за неповрзаните променливи коваријансата е нула.

Да претпоставиме дека набљудувањата може да се поделат во '''подгрупи''' според некои, втора варијанса. Тогаш варијансата од целата група е еднаква со средната вредност на варијансите на подгрупите плус варијансата од средните вредности на подгрупите. Оваа примена е позната како [[закон за вкупна варијанса|варијансна декомпозиција]] или [[закон за вкупна варијанса]] и има значајна улога во [[анализа на варијанса|анализата на варијансата]]. На пример, да претпоставиме дека една група се состои од подгрупа од мажи еднаква со подгрупа на жени. Да претпоставиме дека мажите се високи по 180 и варијансата на висината е 100. Претпоставуваме дека жените се високи 160, а варијансата на нивната висина е 50. Тогаш средната варијаса изнесува (100 + 50) / 2 = 75; варијанса од средните вредности е варијанса од 180 и 160, што е еднакво на 100. Тогаш за вкупната група на мажи и жени, варијансата за висината е 75 + 100 = 175. Треба да се забележи и тоа дека за именител се употребува N наместо N - 1.

Во поважен случај, ако подгрупите имаат нееднаква големина, тогаш мора да бидат пропорционални на нивната големина во сшоредба со средната вредност и варијансите. Форм улата исто така може да се применува и во случај кога има повеќе од две групи, па дури и ако гропирањето на променливите е непрекинато.[http://www.groupsrv.com/science/post-1990611.html]

Оваа формула покажува дека варијансата на вкупната група не може да биде помала од средната вредност на варијансите на подгрупите. И покрај тоа, се забележува дека,вкупната варијанса не е поголема од варијансите на подгрупите. Во горниот пример, кога подгрупите се анализирани одвоено, варијансата е под влијание само на разликите меѓу мажите и жените. Ако двеет групи се комбинирани, тогаш и разликите меѓу мажите и жените се вклучуваат во варијансата.

Многу [[формули за пресметка на варијансата]] се засноваат на следново равенство: '''Варијансата е еднаква на средната вредност на квадаратите минус квадратот од средината.''' На пример, ако се дадени броевите 1, 2, 3, 4, тогаш средината од квадратите е (1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + 4 × 4) / 4 = 7.5. Средната вредност е 2.5, па квадрат од средната вредност 6.25. Поради тоа tваријансата е 7.5 - 6.25 = 1.25, што всушност е истиот резултат добиен со претходно дефинираните формула. Многу дигитрони користат алгоритам, кој е заснован на оваа формула и овозможува да се пресмета варијансата додека податоците се запишани, без да се чуваат сите податоци во меморијата. Алгортамот служи за да се пресметаат само три променливи, кога е впишан ноовиот податок: Бројот на запишани податоци (''n''), збирот на вредностите (''S'') и збирот на квадрираните вредности (''SS''). На пример, ако податоците се 1, 2, 3, 4, тогаш по запишувањето на првата вредност, алгоритамот би дал ''n'' = 1, ''S'' = 1 и ''SS'' = 1. По запишувањето на втората вредност (2), би дал ''n'' = 2, ''S'' = 3 и ''SS'' = 5. Кога сите податоци би биле запишани, би се добило ''n'' = 4, ''S'' = 10 и ''SS'' = 30. Следно, среднаат вредност се пресметува како ''M'' = ''S'' / ''n'' и конечно варијансата е пресметана како ''SS'' / ''n'' - ''M'' × ''M''. Во овој пример, таа изнесува 30 / 4 - 2.5 × 2.5 = 7.5 - 6.25 = 1.25. Ако се пресметува проценетата вредност, резултатот би бил помножен со ''n'' / (''n'' - 1), што дава 1.667 во овој пример.

== Главни својства ==
=== Варијанса од збирот на коваријансни променливи (Биномна формула) ===

Причина за примена на варијансата пред другите мерки на дисперзија е тоа дека варијансата од збирот (или разликата) на [[коваријанса|коваријансни]] случајни променливи е збирот од нивните варијанси:

:<math>\operatorname{Var}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i).</math>

Ова тврдење е наречено [[Ирин Жул Бинајм|Бинајмова]] формула<ref>Michel Loeve, "Probability Theory", ''Graduate Texts in Mathematics'', Volume 45, 4th edition, Springer-Verlaf, 1977, p.&nbsp;12.</ref> и било откриено во 1853. Ова обуично се применува при посилни услови, кога променливите се [[статистичка независност|независни]], но коваријансно доволни. Па ако променливите имаат иста варијанса, σ<sup>2</sup>, тогаш, како што поделбата за ''n'' е линеарна трансформација, оваа формула веднаш влијае на тоа варијантата од нејзината средна вредност да е

:<math>\operatorname{Var}(\overline{X}) = \operatorname{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}\left(X_i\right) = \frac {1}{n^2} n \sigma^2 = \frac {\sigma^2} {n}.</math>

Ова е намалување на варијансата од средната вредност со ''n''. Ово податок се користи во дефинирањето на [[стандардна грешка (статистика)|стандардната грешка]] од средната вредност, којашто се применува во [[теорема за централноограничување|теоремата за централно ограничување]].

=== Варијанса од збир на коваријансни променливи ===

Главно, ако променливите се [[коваријанса|коваријансни]], тогаш варијансата од нејзиниот збир е збирот од нејзините [[коваријанса|коваријанси]]:

:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i, X_j).</math>

(Забелешка: Ова по дефиниција ја вклучува варијансата на секоја променлива, штом Cov(''X'',''X'')=Var(''X'').)

Овде Cov iе коваријансата, којашто е нула за независните случајни променливи (ако такви постојат). Формулата тврди дека варијансата од збирот е еднаква од збирот на сите елементи во коваријансната матрица. Оваа формула се применува во теоријата за [[Кронбахова алфа|Кронбаховата алфа]] во [[класична тест-теорија|класичната тест-теорија]].

Па, ако променливите имаат еднаква варијанса, σ<sup>2</sup> и просечната корелација на променливите одделно е ρ, тогаш варијансата од нивната средна вредност е

:<math>\operatorname{Var}(\overline{X}) = \frac {\sigma^2} {n} + \frac {n-1} {n} \rho \sigma^2.</math>

Ова покажува дека варијансата од средна вредност се зголемува со просекот од корелациите. Освен тоа, ако променливите имаат единечна варијанса, на пример ако се стандардизирани, тогаш ова се упростува во

:<math>\operatorname{Var}(\overline{X}) = \frac {1} {n} + \frac {n-1} {n} \rho.</math>

Оваа формула се применува во [[Спирман-Браунова теорија за предвидување|Спирман-Брауновата теорија за предвидување formula]] во класичната тест-теорија. Ова конвергира до ρ  ако ''n'' се стреми кон бесконечност, обезбедувајќи просечните корелации да ја надминат константата или конвергентноста исто така. За варијансата на средната вредност на стандардизираните променливи со еднакви корелации или конвергиррачки просечни корелации имаме

:<math> \lim_{n \to \infty} \operatorname{Var}(\overline{X}) = \rho.</math>

Поради тгоа, варијансата од средната вредност од поголем број на стандардизирани променливи е отприлика еднаков на нивната просечна корелација. Со ова станува појасно дека едноставната средна вредност на корелациските променливи, главно не конвергира до средната вредност на популацијата, дури и [[закон за големи броеви|законот за големи броеви]] потврдува дека едноставната средна вредност ќе конвергира за независни променливи.

=== Варијанса од поголем збир на променливи ===

Примените 6 и 8, со примена на [[коваријанса]]та: Cov(''aX'',&nbsp;''bY'') = ''ab''&nbsp;Cov(''X'',&nbsp;''Y'') заеднички покажуват дека

:<math>\operatorname{Var}(aX+bY) =a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Y) + 2ab\, \operatorname{Cov}(X, Y).</math>

Ова покажува дека во голем збир на променливи, најголемата променлива ќе биде диспропорционално поголема во варијансата на вкупната големина. На пример, ако ''X'' и ''Y'' се коваријансни и ''X'' е двапати поголемо од ''Y'', тогаш големината на варијансата за ''X'' ќе биде 4 пати поголема од варијансата на ''Y''.

=== Декомпозиција на варијанса ===

Главната формула за варијансната декомпозиција или [[закон за вкупна варијанса|законот за вкупната варијанса]] гласи: Ако ''X'' и ''Y'' се две случајни променливи и варијансата од ''X'' постои, тогаш

:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X|Y))+ \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X|Y)).</math>

Овде, E(''X''|''Y'') е [[условно очекување]] на ''X'' дадено за ''Y'' и Var(''X''|''Y'') е условена варијанса за ''X'' дадена за''Y''. (Поинтуитивно објаснување е тоа дека ако едадена вредноста за ''Y'', тогаш ''X'' следува по распределба со средна вредност E(''X''|''Y'') и варијанса Var(''X''|''Y''). Горната формула кажува како да се најде варијансата Var(''X'') заснована на распределбата на овие две вредности, кога ''Y'' варира.)Ова формула има честа примена во [[анализа на варијанса|анализата на варијансата]], каде соодветната формула е

:<math>SS_{\mbox{Total}} = SS_{\mbox{Between}} + SS_{\mbox{Within}}.</math>

Таа, исто така се применува и во анализата на [[линеарна регресија]], каде формулата е

:<math>SS_{\mbox{Total}} = SS_{\mbox{Regression}} + SS_{\mbox{Residual}}.</math>

Ова може да се добие и од дотатокот на варијансите (примена 8), кога вкупниот (набљудуваниот) износ е збир од предвидениот износ и износот на грешката, каде последните две се коваријансни.

=== Формула за пресметување на варијансата ===
{{Главна|Формула за пресметување на варијансата}}
'''Формулата за пресметување на варијансата''' следува во едноставна форма од линеарноста на очекуваните вредности и горнта дефиниција:

:<math>{}\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}(X^2 - 2\,X\,\operatorname{E}(X) + (\operatorname{E}(X))^2),</math>

:<math>{}=\operatorname{E}(X^2) - 2(\operatorname{E}(X))^2 + (\operatorname{E}(X))^2,</math>

:<math>{}=\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.</math>

Ова често се применува за пресметување на варијансата во практиката иако е подлежно на [[губење на важност]] ако два составни дела од равенката се идентични по глемина.

=== Карактеристично својство ===
Вториот [[момент (математика)|момент]] на случајната променлива постигнува минимална вредност кога се зема околу првиот момент (т.е. средната вредност) на случајната променлива, т.е.<math>\mathrm{argmin}_m\,\mathrm{E}((X - m)^2) = \mathrm{E}(X)\,</math>. Во спротивно непрекинатата функција <math>\varphi</math> го задоволува условот <math>\mathrm{argmin}_m\,\mathrm{E}(\varphi(X - m)) = \mathrm{E}(X)\,</math> за сите случајни променливи за ''X'', тогаш доаѓа до обликот <math>\varphi(x) = a x^2 + b</math>, каде{{nowrap|''a'' > 0}}. Ова, исто така е случај во повеќедимензионалноста.<ref>A. Kagan and L. A. Shepp, "Why the variance?", ''Statistics and Probability Letters'', Volume 38, Number 4, 1998, pp.&nbsp;329–333. (online [http://dx.doi.org/10.1016/S0167-7152(98)00041-8])</ref>

== Одредување на приближната вредност на варијансата од функцијата ==
[[Делта метод]]от во втор ред го користи [[Тејлоров ред|Тејлоровиот ред]] за да се определи приближната вреднот на варијансата на функцијата од една или повеќе случајни променливи. На пример прибилижната вредност на варијансата на функцијата со една променлива е

::<math>\operatorname{Var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname{E}\left[X\right])\right)^2\operatorname{Var}\left[X\right]</math>

обезбедува дека ''f'' е двапати диферентабилно и дека средната вредност и варијансата на ''X'' се конечни.

== Варијанса на популација и проста варијанса ==
Варијансата од популација на ''конечна'' [[статистичка популација|популација]] со големина ''N'' се пресметува со следнава форула:<ref>Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, ''Математика за II година гимназиско образование''. Скопје: Алби, 2009, стр. 195.</ref> 

:<math>{}\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N
 \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2 \,</math>

или ако популацијата е [[апстрактна популација]] со распределба на веројатноста Pr:<ref>Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, ''Математика за II година гимназиско образование''. Скопје: Алби, 2009, стр. 190.</ref> 
 
:<math>{}\sigma^2 = \sum_{i=1}^N
 \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2 \, \Pr(x_i),</math>
каде <math>\overline{x}</math> е средна вредност на популацијата. Ова е освен другото посебен случај на главната дефиниција за варијансата наведена погоре, но ограничена на конечните популации.

Во многу практични ситуации, вистинската варијанса на популацијата е позната како ''a priori'' и мора некако да биде пресметана. Кога се работи со бесконечни популации, ова, е невозможно.

Ова е вообичаен метод за проценување на варијансата од големи (конечни и бсконечни) популации од [[примерок (статистика)|примерок]]. Даден е [[статистички примерок|статистичкиот примерок]] <math>(y_1,\dots,y_n)</math> за ''n'' вредности од популацијата  <!--големина на популацијата е N--> <!-- може да се направи повеќе, но зошто? Има две различни работи, коишто може да се направат со примерокот:прво, може да се одреди како конечна популација и опише како негова варијанса; второ, може да се процени главната популациона варијанса од овој примерок.-->и  проценката на варијансата врз основа на овој примерок. Има неколку добри пресметки. Две од нив се добро познати:

:<math>s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2,</math>
и
:<math>s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n y_i^2 - \frac{n}{n-1} \overline{y}^2,</math>

И двете се познати како '''''проста варијанса'''''. Многу напредни електронски дигитрони може да ги пресметаат и ''s''<sub>n</sub><sup>2</sup> и ''s''<sup>2</sup> со притискање на копче, во којшто случај копчето обично е означено со σ<sup>2</sup> или σ<sub>n</sub><sup>2</sup> за ''s''<sub>n</sub><sup>2</sup> и σ<sub>n-1</sub><sup>2</sup> за ''s''<sup>2</sup>.

Како што може да се забележи, двете пресметки се разликуваат многу малце една од друга и за поголема вредност на [[големина на примерок|големината на примерокот]] ''n'' разликата е занемарлива. Вториот е [[склон пресметувач]] на популационата варијанса, што значи дека неговата очекувана вредност <math>E[s^2]</math> е еднаква со вистинската варијанса од слочајната променлива. Птрвото може да изгледа како варијанса од примерок како популација.

:<math>
\begin{align}
\operatorname{E}(s^2) & = \operatorname{E}\left(\frac {\sum( X - \mu ) ^ 2}{n-1}\right) \\
& = \frac{1}{n-1} \operatorname{E}\left(\sum( X^2 -2X \mu + \mu^2)\right) \\
& = \frac{1}{n-1} \sum\left( \operatorname{E}(X^2) -\operatorname{E}(2X \mu) + \operatorname{E}(\mu^2)\right) \\
& = \frac{1}{n-1}\left( n\operatorname{E}(X^2) -2n\operatorname{E}(\mu^2) + n\operatorname{E}(\mu^2)\right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( s_n^2 + \mu^2 -\operatorname{E}(\mu^2)\right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( s_n^2 + \mu^2 -\operatorname{Var}(\mu)-\operatorname{E}(\mu)^2\right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( s_n^2  -\frac{1}{n^2}\operatorname{Var} \left(\sum X \right)\right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( s_n^2  -\frac{1}{n^2}ns_n^2\right) \\
& = s_n^2
\end{align}
</math>

Здарвиот разум препорачува да се применува поедноставната формула. Причината поради која тоа е склониот пресметувач е дека простата средина е неѓшто позатворена за набудувањето во однос на популационата средина. Ова е поради тоа што простата средина е дефинирана како средина на примерокот, додека популационата средина може да биде дури лажна надвор од примерокот. Така, девијациите, често ќе бидат помали од девијациите на популационата средина и ако истата формула се примене за двете, тогаш оваа проценка на варијансата ќе биде просек, нешто помал од оној во примерокот, отколку во популацијата.

Вообичаен извор на конфузија е терминот ''проста варијанса'', кој може да се однесува и на склониот пресметувач, <math>s^2</math> на популационата варијанса, или на варијансата <math>s_n^2</math> од примерокот обработен како конечна популација. И двата може да бидат применети за проценување на вистинската вредност на популационата варијанса. Надвор од теоретските гледања, нема големо значење кој се применува. За маи големини и двата се препорачливи, а за големи вредности за ''n'', тие се практично идентични. Пресметувањето на варијансата со делење со''n'' наместо со ''n''-1, симетрично ја потценува популационата варијанса. Освен тоа, во практичната примена, многу луѓе известуваат за стандардното отстапување, отколку за простата варијанса и стандардното отстапување се добива од склоната верзија ''n''-1 на простата варијнса и има мала негативна склоност (за нормална распределба на примероците постои теорискиот интерес, но ретко применуван како [[склон пресметувач|скло пресметувач на стандардното отстапување]]). Сепак, во применетата статистика, има спогодба, според која, ако сите варијанси од стандардното отстапување се пресметани просто. Дефинирањето на стандардниот статистички тест, како [[Студентова t-проверка|Студентовата t-проверка]], се исто изразени во терминот на проценето стандардно отстапување, каде се претполага дека се работи според оваа спогодба.

Вопрактиката, за големо <math>n</math>, разликата често е мала. Во курс за статистички мерења, всушност не се ни појавува склоност нкон варијанса како оправдувањета за премног малата вредност. Во овој контекст <ref>Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. & Flannery, B. P. (1986) ''[[Numerical Recipes|Numerical recipes: The art of scientific computing]]''. Cambridge: Cambridge University Press. ([http://nr.com/ online] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20080516044136/http://www.nr.com/ |date=2008-05-16 }})</ref> се зборува дека ''ако разликите мѓу ''n'' и ''n''−1 секогаш имаат исто значење за читателот, но не е секогаш тоа најдобро. Во случај, кога немате нешто на ум - т.е. се обидува да се докаже прашалната хипотеза со маргиналниот податок''

=== Распределба на простата варијанса ===
При дадена функција на [[случајна променлива|случајни променлив]]и, простата варијанса е случајна променлива и е природно да се дознае за нејзината распределба. Во случај кога <math>y_i</math> се независни набљудувања од [[нормална распределба]], [[Кохренова теорема|Кохреновата теорема]] пкажува дека <math>s^2</math> доведува до [[хи-квадратна распределба]]:

:<math>
(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}.
</math>

Како директна последица на ова, следува дека <math> \operatorname{E}(s^2)=\sigma^2.</math>
И покрај тоа, дури и во отсуство на нормална претпоставка, сѐ уште е можно да се докаже дека <math>s^2</math> is unbiased for <math>\sigma^2</math>.

== Воопштувања ==

[[Податотека:SampleBiasCoefficient.png|рамка|300px|right|Несклона проценка за очекуваната грешка во средината на А за примерот од податокот М со прост коефициент на склоност ρ. Кривата на log -½ линија за ρ=0 iе склона стандардна грешка.]]

Ако <math>X</math> е [[векторски простор|векторско]]-вредносна случајна променлива, со вредност во <math>\mathbb{R}^n</math> и се мисли на вектор со една колона, тогаш, природното воопштување на варијансата е <math>\operatorname{E}((X - \mu)(X - \mu)^\operatorname{T})</math>, каде <math>\mu = \operatorname{E}(X)</math> и <math>X^\operatorname{T}</math> е транспонирано од <math>X</math>и се добива векктор со еден ред. Оваа варијанса е [[позитивно определена матрица|позитивна полуопределена квадратна матрица]], обично нарекувана [[коваријансна матрица]].

Ако <math>X</math> е [[комплексен број|комплексно]]- вредносна случјајна променлива, со вредност во <math>\mathbb{C}</math>, тогаш неговата варијанса е <math>\operatorname{E}((X - \mu)(X - \mu)^*)</math>, каде <math>X^*</math> е [[конјугов комплексен број]] на <math>X</math>. Оваа варијанса е исто така полуопределена квадратна матрица.

Ако се дефинирани случајни променливи во n-димензионален [[континуум (математика)|континуум]] '''x''', [[вкрстена коваријанса|вкрстената коваријанса]] од променливите A['''x'''] и B['''x'''] како функција од n-димензионалното векторско разместување '''Δx''' може да се дефинира како σ<sub>AB</sub>['''Δx'''] ≡ 〈(A['''x'''+'''Δx''']-μ<sub>A</sub>)(B['''x''']-μ<sub>B</sub>)〉<sub>'''x'''</sub>. Овде популацијата (како разлика од примерок) просечно изнесува повеќе, а '''x''' е обележан со аглестите загради 〈 〉<sub>'''x'''</sub> или грчката буква μ.

Оваа количина е нречена второмоментна [http://knowledgetoday.org/wiki/index.php/Correlation мерка на корелација], бидејќи тоа е воопштување на второмоментната статистичка ''варијанса'', понекогаш се става во бездимензионален облик со нормализирање со популациското стандардно отстапување од A и B (на пр. σ<sub>A</sub>≡Sqrt[σ<sub>AA</sub>[0]]).. Ова резултира со [[корелација|корелациски коефициент]] ρ<sub>AB</sub>['''Δx'''] ≡ σ<sub>AB</sub>['''Δx''']/(σ<sub>A</sub>σ<sub>B</sub>) којшто поприма вредност меѓу плус и минус еден. Кога A е идентично со B, претходниот израз ппоприма вредности за [[автоковаријанса]]та, количина позната и во [[теорија на растурање|теоријата на растурање]] како корелациски пар (или [[Патерсонова функција|Патерсонова]]) функција.

Ако е дефиниран ''простиот склон коефициент'' ρ како просек од [[автокорелација|автокорелацискиот]] коефициент ρ<sub>AA</sub>['''Δx'''] над сите парови во низата од M прости точки<ref>P. Fraundorf (1980) "Microcharacterization of interplanetary dust collected in the earth's stratosphere" (Ph.D. Dissertation in Physics, Washington University, Saint Louis MO), [http://arxiv.org/abs/cond-mat/0403013 Appendix E]</ref>, склона проценка за ''очекуваната грешка во средината'' од A е квдаратен корен од: простата варијанса (земена како популација) помниожена со (1+(M-1)ρ)/((M-1)(1-ρ)). Кога ρ iе многу поголем од 1/(M-1), ова го намалува квадратниот корен од: простата варијанса (земена како ппопулација) помножена со ρ/(1-ρ). Кога |ρ| е многу пмало од 1/(M-1), ова поприма посоодветен израз за [[стандардна грешка (статистика)|стандардна грешка]], имено квдратен корен од: простата варијанса (земена како популација) над (M-1).

== Историја ==
Поимот ''варијанса'' бил воведен од страна на [[Роналд Фишер]] во неговиот напис од 1918, ансловен ''[[Корелацијата меѓу релативностите на претпоставката на Менделеевото наследтсво]]''<ref>Ronald Fisher (1918) [http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf The correlation between relatives on the supposition of Mendelian Inheritance] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20051213204345/http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf |date=2005-12-13 }}</ref>:

<blockquote>Големото тело на достапната статистика ни покажува дека отстапувањата на [[биометрија|човечките димензии]] од неговата средина е многу блиску со [[нормална распределба|нормалнуиот закон за грешки]] и поради тоа дека променливоста може да биде be единствено мерена со [[стандардно отстапшување|стандардното отстапување]], според [[квадратен корен|квадратниот корен]] од [[средна квадратна грешка|средната квадратна грешка]]. Кога има две независни причини на променливите од создавањето на распределба на популациите во друг облик со стандардно отстапување <math>\theta_1</math> and <math>\theta_2</math>, пронајдено е дека распределбата, кога двете причина настануваат заедно има стандардно отстапување <math>\sqrt{\theta_1^2 + \theta_2^2}</math>. Поради тоа, ппжелно е во анализирањето на причините на променливоста да се подели со tквадратот од стандардните отстапувања како мерка за променливост. Оваа количина ќе ја поимаме варијанса...</blockquote>

== Момент на инерција ==
Варијансата од распределба на веројатноста е аналогна на [[момент на инерција|моментот на инерција]] во [[класична механика|класичната механика]] на аналогната распределба на масата во линијата, со почит на ротацијата околу центарот на масата. Тоа е поради оваа аналогија, со која некои работи како варијанса се наречени ''[[момент (математика)|момент]]и'' на [[распеделба на веројатност|распределба на веројатностите]]. Коваријансната матрица  е поврзана со моментот на инерција за повеќеваријациските дистрибуции. Моментот на инерција од ''n''-точки со коваријансна матрица од <math>\Sigma</math> е претставена со 
:<math>I=n (\mathbf{1}_{3\times 3} \operatorname{tr}(\Sigma)  - \Sigma).</math>
Оваа разлика меѓу моментот на инерција во физиката и во статистиката е јасна за точките кои се собрани околу линијата. Претпоставка е дека многу точки се блиску до ''x'' и се распоредени околу неа. Коваријансната матрица може да изгледа
:<math>\Sigma=\begin{bmatrix}10 & 0 & 0\\0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.1\end{bmatrix}.</math>
Тоа е најголемата варијанса во правец на ''x''. И покрај тоа, физичарите сметаат дека ова има слаб момент ''околу'' ''x'' оската, па моментотна инерција е
:<math>I=n\begin{bmatrix}0.2 & 0 & 0\\0 & 10.1 & 0 \\ 0 & 0 & 10.1\end{bmatrix}.</math>

== Поврзано ==
{{Wiktionarypar|Варијанса}}
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Алгоритам за пресемтување на варијанса]]
* [[Нееднаквост во состојбата и опсежните параметри]]
* [[Коваријанса]]
* [[Чебишово нервенство]]
* [[Проценување на коваријансните матрици]]
* [[Објаснета варијанса]] и [[необјаснета варијанса]]
* [[Коефициент на ексцес]]
* [[Средна апсолутна грешка]]
* [[Квалитативна варијанса]]
* [[Проста средина и коваријанса]]
* [[Полуваријанса]]
* [[Коефициент на асиметрија]]
* [[Стандардно отстапување]]
* [[Вистинска варијанса]]
</div>

== Наводи ==
{{reflist}}

== Надворешни врски ==
* [http://www.stats4students.com/Essentials/Measures-Of-Spread/Overview_3.php A Guide to Understanding & Calculating Variance] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20100420134759/http://www.stats4students.com/Essentials/Measures-Of-Spread/Overview_3.php |date=2010-04-20 }}
* [http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf Fisher's original paper] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20051213204345/http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf |date=2005-12-13 }} (pdf format)
* [http://www.celiagreen.com/charlesmccreery/statistics/anova.pdf A tutorial on Analysis of Variance devised for first-year Oxford University students]

{{Теорија на веројатносните распределби}}
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Теорија на веројатноста]]
[[Категорија:Статистичко отстапување и дисперизја]]
[[Категорија:Анализа на податоци]]
[[Категорија:Статистика]]