Преглед на кодот на Делење

{{основно сметање}}
[[Податотека:Divide20by4.svg|мини|десно|200п|Делење на јаболки:<br /><math>20 :\ 4=5</math>]]

'''Делење''' — основна [[аритметика|аритметичка]] операција со чија помош од познат [[производ (математика)|производ]] и еден [[множител]] се определува другиот множител.<ref>{{наведена книга|last=Андреевски|first=Венцислав П.|title=Прирачник за математички поими и формули|publisher=Винсент графика|location=Скопје|date=2007|pages=57|chapter=3.2.4. Делење|isbn=978-9989-2474-4-6}}</ref> 
Поконкретно, ако ''c'' по ''b'' е еднакво на ''a'':
:<math>c \cdot b = a\,</math>
каде ''b'' не е [[нула]], тогаш ''a'' поделено со ''b'' е еднакво на ''c'', што се запишува:
:<math>a :\ b = c</math>
На пример, 
:<math>6 :\ 3 = 2</math>
бидејќи
:<math>2 \cdot 3 = 6\,</math>.

Во овој израз, ''a'' се нарекува '''[[деленик]]''', ''b'' се нарекува '''[[делител]]''', а ''c'' се нарекува '''[[количник]]'''.

Делењето е тесноповрзано со [[дропка|дропките]]. За разлика од другите аритметички операции, множеството на сите [[цел број|цели броеви]] не е [[затворање (математика)|затворено]] при делење и може да даде [[остаток (математика)|остаток]]. Потоа делењето се довршува со проширување на бројниот систем со [[рационален број|рационални броеви]].

== Означување ==
[[Податотека:DivisionQuotientReste mk.svg|мини|десно|300п|Односот на броевите при делење]]
Делењето се означува со две точки: <math>a :\ b</math> или со дробна црта меѓу деленикот и делителот: <math>\frac ab</math>

Во тој случај се вели „''a'' врз ''b''“ наместо „''a'' поделено со ''b''“.

Во англосферата и некои други земји најзастапен е знакот за делење <math>a \div b</math>, а се среќава и косата црта <math>a/b\,</math>.

== Начини на делење ==
Делењето како поим означува раздвојување на една целина на повеќе делови и може да се претстави како повторливо одземање.

Количникот може да се добие со проверка на [[таблица множење]] каде деленикот или делителот можат да се пронајдат во колоната или редот што води до производот. Друг начин на добивање на количникот е со „рачно“ делење, и тоа скратено делење за прости делители или столбно делење за поголеми броеви.

Два броја можат да се поделат и со помош на [[логаритам]]ска таблици: се одземаат логаритмите на двата броја, а потоа се наоѓа антилогаритамот на резултатот.

Делењето може да се изврши и со [[логаритмар]] (логаритамски линијар) со тоа што ќе го порамниме делителот на скалата C со деленикот на скалата D. Количникот го добиваме на скалата D каде ќе бидеп порамнет со левиот индекс на скалата C. Корисникот треба самиот да внимава на децималната запирка.

== Делење на цели броеви ==

Делењето на цели броеви не е [[затворање (математика)|затворено]]. Освен делењето со нула, кое е неопредлено, количникот нема да биде цел број доколку деленикот не е целоброен множител на делителот; на пример 26 не може да се подели со 10 без остаток. Во тој случај постојат четири можни приоди.
# ако 26 не може да се подели со 10, делењето станува [[делумна функција]].
# резултатот се изразува како [[децимална дропка]] или [[мешан број]], што значи <math>\tfrac{26}{10} = 2{,}6</math> или <math>\tfrac{26}{10} = 2 \tfrac 35.</math> Ова е вообичаениот приод.
# резулатот го изразуваме како целоброен ''[[количник]]'' со ''[[остаток (математика)|остаток]]'', што значи <math>\tfrac{26}{10} = 2 \mbox{ CO OCTATOK } 6.</math>
# резултатот го изразуваме како целоброен количник, занемарувајќи го остатокот, што значи <math>\tfrac{26}{10} = 2.</math> („делење без остаток“).

== Делење на рационални броеви ==

Ако поделиме два [[рационален број|рационални броја]] добиваме рационален број, доколку не делиме со 0. Двата рационални броја ''p''/''q'' и ''r''/''s'' се делат вака:

:<math>{p/q \over r/s} = {p \over q} \cdot {s \over r} = {ps \over qr}.</math>

Сите четири величини се вели броеви, а само ''p'' може да биде 0. По оваа дефиниција делењето е обратна операција на [[мнможење]]то.

== Делење на реални броеви ==

Ако поделиме два [[реален број|реални броја]] добиваме реален број, под услов делителот да не е 0: ''a'':''b'' = ''c'' [[ако и само ако]] ''a'' = ''cb'', а ''b'' ≠ 0.

== Делење со нула ==
Делењето на било кој број со [[нула]] дава неопределен резултат. Бидејќи секој конечен број помножен со нула дава [[производ (математика)|производ]] нула. Така, операцијата секогаш завршува со број истоветен на деленикот.

== Делење на комплексни броеви ==

Ако поделиме два [[комплексен број|комплексни броја]] добиваме комплексен број, доколку делителот не е 0, и тоа вака:

:<math>{p + iq \over r + is} = {p r + q s \over r^2 + s^2} + i{q r - p s \over r^2 + s^2}.</math>

Сите четири величини се реални броеви. ''r'' и ''s'' не може да бидат 0.

Делењето на комплексни броеви изразено во поларен облик е поедноставно од горенаведената дефиниција:

:<math>{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}.</math>

Сите четири величини повторно се реални броеви. ''r'' не може да биде 0.

== Делење на матрици ==
Можеме да определиме операција за делење на матрици. Ова обично се врши со задавање на {{безпрелом|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>&minus;1</sup>}}, каде {{безпрелом|''B''<sup>&minus;1</sup>}} означува [[обратна матрица|обратно]] од ''B'', но многупочесто се запишува како {{безпрелом|''AB''<sup>&minus;1</sup>}} за да се избегне забуна.

=== Лево и десно делење ===
Бидејќи множењето на [[матрица (математика)|матрици]] не е [[комутативност|комутативно]], можеме да определиме [[лево делење]] со {{безпрелом|1=''A'' \ ''B'' = ''A''<sup>&minus;1</sup>''B''}}. За ова ќе биде добро определено, треба {{безпрелом|''B''<sup>&minus;1</sup>}} да не постои, но треба да постои {{безпрелом|''A''<sup>&minus;1</sup>}}. За да се избегне забуна, делењето определено како {{безпрелом|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>&minus;1</sup>}} во овој контекст се нарекува „десно делење“.

Вака определеното лево и есно делење, {{безпрелом|''A''/(''BC'')}} општо земено не е исто што и {{безпрелом|(''A''/''B'')/''C''}}, ниту пак {{безпрелом|(''AB'')\''C''}} е исто што и {{безпрелом|''A''\(''B''\''C'')}}, туку {{безпрелом|1=''A''/(''BC'') = (''A''/''C'')/''B''}} и {{безпрелом|1=(''AB'')\''C'' = ''B''\(''A''\''C'')}}.

=== Делење на матрици и псевдообратност ===
За да се избегне проблемот кога не постои {{безпрелом|''A''<sup>&minus;1</sup>}} и/или {{безпрелом|''B''<sup>&minus;1</sup>}}, делењето може да се определи и како множење со [[псевдообратна матрица|псевдообратноста]], т.е. {{безпрелом|1=''A'' / ''B'' = ''AB''<sup>+</sup>}} и {{безпрелом|1=''A'' \ ''B''  = ''A''<sup>+</sup>''B''}}, каде {{безпрелом|''A''<sup>+</sup>}} и {{безпрелом|''B''<sup>+</sup>}} ги означуваат псевдообратностите на ''A'' и ''B''.

== Делење во апстрактната алгебра ==

Во [[апстрактна алгебра|апстрактните алгебри]] како [[матрица (математика)|матричните]] и [[кватернион]]ските, дропките како <math>{a \over b}</math> се дефинираат како <math>a \cdot {1 \over b}</math> или <math>a \cdot b^{-1}</math> каде <math>b</math> се зема за обратен елемент (т.е. постои [[реципрочна вредност]] <math>b^{-1}</math> така што <math>bb^{-1} = b^{-1}b = 1</math> каде <math>1</math> е реципрочниот [[идентитет (математика)|идентитет]]). Во еден [[интегрален домен]], каде таков елемент може да не постои, сепак можеме да извршиме делење на равенките од обликот <math>ab = ac</math> или <math>ba = ca</math> со лево или десно поништување. Поопшто земено, „делењето“ во смисла на „поништување“ може да се изврши кај секој [[прстен (математика)|прстен]] со споменатите својства на поништување. Ако таквиот прстен е конечен, тогаш применувајќи го [[Дирихлеов принцип|Дирихлеовиот принцип]], секој ненуларен елемент на прстенот е обратлив, па затоа во раков прстен ќе биде можно „делењето“ на секој ненуларен елемент.

== Поврзано ==
* [[Поле (математика)|Поле]]
* [[Група (математика)|Група]]
* [[Редослед на операции]]
* [[Квазигрупа]] (лево делење)

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
{{рв|Division (mathematics)}}
* {{planetmath reference|id=6148|title=Делење}}

{{елементарна аритметика}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Елементарна аритметика]]
[[Категорија:Бинарни операции]]
[[Категорија:Делење| ]]