Преглед на кодот на Делење со нула

[[Податотека:Hyperbola_one_over_x.svg|алт=Graph showing the diagrammatic representation of limits approaching infinity|мини| Функцијата <math> y = 1/x \!\, </math> . Кога <math> x \!\,</math> се доближува до 0 од десно, <math> y \!\,</math> се приближува до [[бесконечност]]. Кога <math> x \!\,</math> се приближува 0 од лево, <math> y \!\,</math> се приближува до негативната бесконечност.]]
Во [[Математика|математиката,]] '''делењето со нула''' е [[делење]] во кое [[Делител|делителот]] ([[Imenovalec|именителот]]) е еднаков [[0 (број)|на нула]] . Таквата поделба може формално да [[Израз (математика)|се изрази]] како {{Ндроп|''a''|0}}, каде што ''a'' е [[деленик]] ([[Števec|броител]]). Во обичната [[Аритметика|аритметика,]] изразот нема смисла, бидејќи не постои [[број]], кој при [[множење]] со 0 дава ''a'' ''(''претпоставувајќи ''a'' ≠ 0) и затоа делењето со нула е [[Nedoločeno (matematika)|недефинирано]]. Бидејќи секој број помножен со нула е еднаков на нула, изразот {{Ндроп|0|0}} исто така е недефиниран; кога е во [[Гранична вредност на функција|граничен]] облик, е во [[Indeterminantna oblika|неодреден облик]]. Низ историјата, еден од најраните извори на математичката неповеќекратност на одредувањето на вредноста на поимот {{Ндроп|''a''|0}} е критиката на [[Џорџ Беркли]] од 1734 година за [[Калкулус|инфинитиземално сметање]] во ''[[The Analyst|Аналитичарот]]'' („духови на напуштени вредности“).<ref>{{Наведување|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|journal=The Mathematics Teacher|volume=22|number=6|jstor=27951153|pages=366–368|title=Absurdities due to division by zero: An historical note|year=1929}}</ref>

Постојат [[Математичка структура|математички структури]] каде што {{Ндроп|''a''|0}} е дефинирано за некои ''a,'' како на пример на [[Риманова сфера|Римановата сфера]] и [[Projektivna razširjena realna premica|проективно продолжена реална линија]], но таквите структури не ги задоволуваат ниту нормалните аритметички правила ([[Поле (математика)|аксиома на полето]]).

Во [[Информатика|информатиката]], делењето со нула може да предизвика [[Програмирање|програмерска грешка]]. Излезот зависи од програмерската околина и видот на бројот (т.е. [[подвижна запирка]], [[цел број]]): може да испише [[Razširjena realna premica|позитивен или негативен бесконечност]] според стандардот [[IEEE 754]] за подвижна запирка, може да исфрли исклучоци, да произведе [[Sporočilo napake|порака за грешка]], да ја прекине програмата, испише посебна вредност [[NaN]] <ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://perldoc.perl.org/bigint.html#Sign|title=Perl BigInt documentation|publisher=Perl 5 Porters|archive-url=https://web.archive.org/web/20190926042410/https://perldoc.perl.org/bigint.html#Sign|archive-date=26 September 2019|accessdate=1 March 2020}}</ref> или да [[Zrušitev (računalništvo)|колабира.]]

== Алгебра ==
Четирите основни операции - [[собирање]], [[одземање]], [[множење]] и [[делење]] - на [[Природни броеви|природните броеви]] резултираат со различни проширувања на тоа множество. На пример, ако сакаме да одземеме кој било природен број од друг, ни треба ново продолжување на множеството природни броеви, сега наречени [[Цел број|цели броеви]], каде што се вклучени и негативните цели броеви. Меѓутоа, за да можеме да поделиме кои било два броја, мора дополнително да го прошириме добиеното множество во збир на [[Рационален број|рационални броеви]]. Како што ги прошируваме новите и новите множества, треба да внимаваме „проширените операции“ да не даваат различни резултати на истите стари броеви. Со други зборови, бидејќи делењето со нула нема никакво значење (тоа е ''недефинирано'') во множеството цели броеви, ова мора да остане точно дури и кога ќе го прошириме ова множество на [[Реален број|реални]] или [[Комплексен број|сложени броеви]].

Како што реалноста на броевите се проширува за да вклучи повеќе операции, нивното значење исто така се менува. Кај целите броеви, одземањето повеќе не е основна операција, туку само собирање на реципрочното.<ref>{{Harvnb|Klein|1925}}</ref> Делењето кај рационалните броеви повеќе не е основна операција, бидејќи може да се замени со множење на број. Кога ќе размислиме, прашањето од „Зошто не можеме да делиме со нула?“ променето во „Зошто рационалниот број не може да има именител нула?“ Одговорот на ова изменето прашање вклучува увид во самата дефиниција на рационалните броеви.

Во современиот дизајн на полето на реални броеви, рационалните броеви делуваат како среден чекор во развојот кој се заснова на теоријата на множества. Природните броеви (со нула) прво се ставаат на аксиоми, како што се [[Peanovi aksiomi|Пеановите аксиоми]], но потоа ова се проширува на [[Kolobar celih števil|прстенот од цели броеви]]. Следниот чекор е да се дефинираат рационални броеви, кои можат да се дефинираат само со множества и претходно дефинираните основни операции, а тоа се собирање, множење и цели броеви. Ако започнеме со множеството подредени парови цели броеви, {{Мат|{(''a'', ''b'')}} } каде {{Мат|''b'' ≠ 0}}, можеме да дефинираме [[Binarna relacija|бинарна операција]] на ова множество со {{Мат|(''a'', ''b'') ≃ (''c'', ''d'')}} ако и само ако {{Мат|1=''ad'' = ''bc''}} Оваа релација е [[Однос на еквивалентност|еквивалентна релација]], а нејзините [[Класа за еквивалентност|класи на еквивалентност]] се рационални броеви. Формалниот доказ наведува дека ова е еквивалентна врска со условот втората координата да не е еднаква на нула (да се условува транзитивноста).<ref>{{Harvnb|Schumacher|1996}}</ref> <ref>{{Harvnb|Hamilton|1982}}</ref> <ref>{{Harvnb|Henkin|Smith|Varineau|Walsh|2012}}</ref>

Горенаведеното објаснување е премногу апстрактно и техничко за многу употреби, но ако ги претпоставиме постоењето и својствата на рационалните броеви, како што обично се прави во елементарната математика, „причината“ за неделивоста со нула е скриена. Но, можеме да дадеме (помалку строг) облик на објаснување:

Од својствата на бројните системи што ги користиме (целобројни, рационални, реални броеви), за {{Мат|''b'' ≠ 0}} и {{Мат|1={{sfrac|''a''|''b''}} = ''c''}} важи {{Мат|1=''a'' = ''b'' × ''c''}} . Ако претпоставиме дека {{Мат|{{sfrac|''a''|0}}}} е бројот {{Мпром|c}}, тогаш треба да важи {{Мат|1=''a'' = 0 × ''c'' = 0}} . Но, тогаш бројот {{Мпром|c}} може да се определи со равенката {{Мат|1=0 = 0 × ''c''}}, која е задоволена со кој било број, така што не можеме да му доделиме вистинска нумеричка вредност на изразот {{Мат|{{sfrac|0|0}}}} .<ref name="#1">{{Harvnb|Bunch|1997}}</ref>

=== Делењето како инверзија на множењето ===
Концептот што го објаснува [[Делење|делењето]] во алгебрата е дека делењето е инверзија на множењето. На пример, <ref>{{Наведена книга|url=https://archive.org/details/ezmath00prin|title=E-Z Math|last=Prindle|first=Anthony|last2=Prindle|first2=Katie|publisher=Barron's Educational Series|year=2009|isbn=978-0-7641-4132-4|edition=revised|page=[https://archive.org/details/ezmath00prin/page/35 35]}} [https://books.google.com/books?id=3zQIrGLwkQkC&pg=PA35 Extract of page 35]</ref>

: <math>\frac{6}{3}=2</math>

бидејќи бројот 2 е вредноста за непознатата величина за да равенката:

: <math>?\times 3=6</math>

биде точна. Но, изразот:

: <math>\frac{6}{0}=\,x</math>

треба да има вредност што би ја задоволила равенката:

: <math>x\times 0=6.</math>

Но, секој број помножен со 0 е еднаков на 0, така што тука нема број за да се реши оваа равенка.

На изразот:

: <math>\frac{0}{0}=\,x</math>

потребна му е вредноста во равенката:

: <math>x\times 0=0.</math>

Повторно, секој број помножен со 0 е еднаков на 0, така што овде секој број секогаш ја решава равенката наместо еден конечен резултат што може да се смета како вредност на изразот 0/0.

Накратко, не можеме да доделиме една вредност на дропка чиј именител е 0, па вредноста е недефинирана.

=== Математички заблуди ===
Голема причина да не се дозволи делење со нула е тоа што ако се дозволи делење ќе произведе многу апсурдни резултати ([[Matematična zmota|математички заблуди]]). Кога работиме со нумерички величини, лесно е да се види кога правиме нелегален обид да се дели со нула. Да ја погледнеме следната пресметка.

Со претпоставките:

: <math>\begin{align} 0\times 1 &= 0, \\ 0\times 2 &= 0, \end{align}</math>

важи следново:

: <math>0\times 1 = 0\times 2.</math>

Ако двете страни се поделат со нула се добива:

: <math>\begin{align} \frac{0\times 1}{0} &= \frac{0\times 2}{0} \\[6px] \frac{0}{0}\times 1 &= \frac{0}{0}\times 2. \end{align}</math>

Поедноставувајќи, добиваме:

: <math>1 = 2.</math>

Заблудата овде е претпоставката дека делењето на 0 со 0 е правилна операција со исти својства како делењето со други броеви.

Можно е прикриено да се користи делење со нула во [[Алгебра|алгебарски]] аргумент,<ref name="Kaplan">{{Наведена книга|url=https://archive.org/details/nothingthatisnat00kapl|title=The Nothing That Is: A Natural History of Zero|last=Kaplan|first=Robert|publisher=Oxford University Press|year=1999|isbn=978-0-19-514237-2|location=New York|pages=[https://archive.org/details/nothingthatisnat00kapl/page/68 68–75]}}</ref> што резултира со [[Matematična zmota|невалидни докази]], како што се {{Мат|1=1 = 2}} : <ref name="#1">{{Harvnb|Bunch|1997}}</ref>

: Нека {{Мат|1=1 = ''x''}} .
: Множиме со {{Мпром|x}} па добиваме:
:: <math>x = x^2.</math>
: Одземаме {{Мат|1}} од двете страни и добиваме:
:: <math>x - 1 = x^2 - 1.</math>
: Ги делиме двете страни со {{Мат|''x'' − 1}}
:: <math>\begin{align} \frac{x-1}{x-1} &= \frac{x^2 -1}{x - 1} \\[6pt] &= \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}, \end{align}</math>
: кога ќе се поедностави се добива
:: <math>1 = x + 1.</math>
: Бидејќи {{Мат|1=''x'' = 1}}, добиваме
:: <math>1 = 1 + 1 = 2.</math>

Овде заблудата се јавува затоа што делевме со {{Мат|1=''x'' − 1 = 0}} кога {{Мат|1=''x'' = 1}}.

== Историски грешки ==
* На 21 септември 1997 година, делењето со нула во системот „''Remote Data Base Manager''“ на ''бродот УСС Јорктаун (CG-48)'' ги срушил сите уреди во мрежата, предизвикувајќи пад на целата мрежа.<ref>{{Наведени вести|url=http://archive.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987|title=Sunk by Windows NT|date=1998-07-24|work=[[Wired News]]}}</ref> <ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Boulder.pdf|title=Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering|last=William Kahan|date=14 October 2011}}</ref>

== Поврзано ==
* [[Асимптота]]

== Наводи ==
{{наводи}}

==Надворешни врски==
{{refbegin}}
* {{нмс|url=http://www.badscience.net/?p=335|title=Maths Professor Divides By Zero, Says BBC|date=2006-12-07|author=Ben Goldacre|author-link=}}
* [http://www.metaphysica.de/texte/mp2005_2-Cooke.pdf To Continue with Continuity] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20190921011602/http://www.metaphysica.de/texte/mp2005_2-Cooke.pdf |date=2019-09-21 }} ''Metaphysica'' 6, pp.&nbsp;91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.
{{refend}}

[[Категорија:Сметачка аритметика]]
[[Категорија:Дропки]]
[[Категорија:Бесконечност]]
[[Категорија:Математичка анализа]]