Преглед на кодот на Диференцијална равенка

{{Differential equations}}
[[File:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|350px|Преглед на топлинскиот пренос во оклопот на пумпа, добиен со разрешување на [[топлинска равенка|топлинската равенка]]. [[Топлина]]та се создава во внатрешноста и се изладува на граничната површина, со што температурата се распределува во [[стационарна состојба|стационарната состојба]].]]

'''Диференцијална равенка''' — [[математика|математичка]] [[равенка]] што ги поврзува [[функција (математика)|функција]] со нејзините [[извод]]и. Всушност, функциите најчесто претставуваат физички величини а изводите се нивните чекори на промена, и притоа равенката го покажува заемодејството меѓу двете. Бидејќи ваквите односи се крајно чести, диференцијалните равенки имаат важна улога во многу дисциплини како што се: [[инженерство]]то, [[физика]]та, [[економија]]та и [[биологија]]та.

Во [[чиста математика|чистата математика]], диференцијалните равенки се изучувани од различни гледишта, најчесто се изнаоѓаат нивните решенија, збирот на функции кои важат за равенката. Само наједноставните диференцијални равенки се решливи со експлицитни равенки, сепак, некои својства на решенијата на дадена диференцијална равенка можат да се определат без да се определи нивниот точен облик.

Во равенка за која не е можно да се добие решение, решението може да се добие приближно бројчено со употреба на сметачи. Теоријата на [[динамички систем]]и осврнува на квалитативната анализа на системите опишани со диференцијалните равенки, додека пак многуте [[бројчени методи]] кои се развиени за определување на решенијата имаат определена точност.

==Историја==

Диференцијалните равенки првпат се појавуваат со осмислувањето на [[инфитизимално сметање|инфинитизималното сметање]] од страна на [[Исак Њутн|Њутн]] и [[Лајбниц]]. Во второто поглавје на неговото дело од 1671 година [[Метод на флуксии|"Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum"]],<ref>Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].</ref> Исак Њутн набројува три вида на диференцијални равенки:

:<math>
\begin{align}
& \frac {dy}{dx} = f(x) \\[5pt]
& \frac {dy}{dx} = f(x,y) \\[5pt]
& x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y
\end{align}
</math>

тој ги разрешува овие примери со употреба на бесконечни низи и го дискутира нееднаквоста на решенијата.

[[Јакоб Бернули]] ја создал [[Бернулиева диференцијална равенка|Бернулиевата диференцијална равенка]] во 1695 година.<ref>{{Citation | last1=Bernoulli | first1=Jacob| title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | year=1695 | journal=Acta Eruditorum}}</ref> Станува збор за [[обична диференцијална равенка]] со облик

: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>

за која следната година Лајбниц изнашол решенија со нејзино упростување.<ref>{{Citation | last1=Hairer | first1=Ernst | last2=Nørsett | first2=Syvert Paul | last3=Wanner | first3=Gerhard | title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 | year=1993}}</ref>

Историски, проблемот на жица која вибрира како кај [[музички инструмент|музичките инструменти]] биле изучувани од страна на [[Жан ле Рон Даламбер]], [[Леонард Ојлер]], [[Даниел Бернули]] и [[Жозеф-Луј Лагранж]].<ref>[http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf {{Наведено списание|last1= Cannon |first1=John T.|last2=Dostrovsky|first2=Sigalia|title=The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742|year=1981|volume=  6|series=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|ISBN= 0-3879-0626-6|publisher=Springer-Verlag|location=New York|pages=ix + 184 pp.}}] {{Наведено списание|last= GRAY|first=JW|title=BOOK REVIEWS |journal=BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY |date=July 1983 |volume= 9| issue = 1}} (retrieved 13 Nov 2012).</ref><ref>{{Наведено списание |first=Gerard F. |last=Wheeler |first2=William P. |last2=Crummett |title=The Vibrating String Controversy |journal=American Journal of Physics|year=1987 |volume=55 |issue=1 |pages=33–37 |doi=10.1119/1.15311 |bibcode = 1987AmJPh..55...33W }}</ref><ref>For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see [http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20200209023122/http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= |date=2020-02-09 }} (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.</ref><ref>For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult [https://books.google.com/books?id=D8GqhULfKfAC&pg=PA18 Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications] Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)</ref>  Во 1746 година, Даламбер ја открива еднодимензионалната бранова равенка, а по десетина години Ојлер ја открива тридимензионалната бранова равенка.<ref name=Speiser>Speiser, David.  ''[https://books.google.com/books?id=9uf97reZZCUC&pg=PA191 Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800]'', p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).</ref>

[[Ојлер–Лагранжова равенка|Ојлер-Лагранжовата равенка]] била развиена во 1750-ите од страна на Ојлер и Лагранж и се надоврзувала на нивните изучувања на  [[тавтохрона крива|тавтохроните криви]]. Станува збор за определување на крива на која честичка со маса ќе се движи до определена точка за определено време, независно од почетната точка.

Лагранж го разрешил оој проблем во 1755 година и му го испратил решението на Ојлер. Двајцата го доразвиле Лагранжовиот метод и го примениле во [[механика]]та, што довело до создавањето на [[Лагранжова механика|Лагранжовата механика]].

[[Жозеф Фурје|Фурје]] ја објавил својата работа за [[топлински пренос|топлинскиот пренос]] во делото ''Théorie analytique de la chaleur'' (Аналитичка теорија на топлината),<ref>{{Наведена книга | last = Fourier | first = Joseph | title = Théorie analytique de la chaleur | publisher = Firmin Didot Père et Fils | year = 1822 | location = Paris | language = fr | url=https://books.google.com/books?id= | oclc=2688081 }}</ref> во која тој своето мислење го заснова на [[Њутнов закон за ладење|Њутновиот закон за ладење]], имено, дека преносот на топлината меѓу двете соседни молекули е пропорционален со крајно малата разлика на нивните температури. Во оваа книга го има и Фуриевиот предлог за неговата [[топлинска равенка]] за спроводна дифузија на топлината. Оваа парцијална диференцијална равенка сега се изучува од секој студент на математичка физика.

==Пример==

На пример, во [[класична механика|класичната механика]], движето на телото е опишано со неговата местоположба и брзината како што времето се менува. [[Њутнови закони|Њутновите закони]] овозможуваат (ако се знае местоположбата, брзината, забрзувањето и различните сили кои дејствуваат на телото) да се изразат овие променливи динамички како диференцијална равенка за непознатата положба на телото како функција од времето.

Во некои случаи, оваа диференцијална равенка (наречена [[равенки на движење|равенка на движење]]) може да се реши експлицитно.

Пример за моделирање на вистинит проблем користејќи ги диференцијалните равенки е определување на брзината на топка која паѓа низ воздухот, земајќи ги предвид само гравитацијата и отпорот на воздухот. Забрзувањето на топката кон површината е забрзувањето поради гравитацијата минус забрзувањето од отпорот на воздухот. Гравитацијата се смета за константа, а пак отпорот на воздухот може да се моделира како пропорционално зависен од брзината на топката. Ова значи дека забрзувањето на топката, кое е извод на брзината, зависи од брзината ( брзината зависи од времето). Определувањето на брзината како функција од времето вклучува разрешување на диференцијална равенка и потврдување на нејзината точност.

==Видови==
Диференцијалните равенки можат да се поделат на неколку видови. Покрај опишувањето на својствата на самата равенка, овие класи на диференцијални равенки можат да помогнат во изборот за пристап кон решение. Обично користените разлики вклучуваат дали равенката е: обична/парцијална, линиска/нелиниска и хомогена/нехомогена. Овој список не е исцрпен, постојат многу својства и подкласи на диференцијални равенки кои можат да бидат многу корисни определени случаи.

===Обични диференцијални равенки===
{{Главна|Обична диференцијална равенка}}
[[Обична диференцијална равенка]] е равенка која содржи функција со една [[зависна и независна променлива|независна променлива]] и нејзините изводи. Поимот „''обична''“ како спротивност на поимот [[парцијална диференцијална равенка]], која може да има повеќе од една независна променлива.

Линиските диференцијални равенки, кои имаат решенија кои можат да се собираат или множат со коефициенти, се добро дефинирани и разбрани, и се добиваат точно определени решенија. За споредба, ОДР кои имаат недостиг на собирни решенија се нелиниски, и нивното разрешување е доста посложено, бидејќи многу ретко можат да се определат како [[елементарна функција|елементарни функции]] во затворен облик: наместо ова, точните и аналитичките решенија на ОДР се во низа или интегрален облик. Графичките и [[бројчени методи за обични диференцијални методи|бројчени]] методи, пресметани рачно или пак комјутерски, можат да ги добијат приближните решенија за ОДР и да дадат корисна информација, и се задоволителни кога немаме точни, аналитички решенија.

===Парцијални диференцијални равенки===
{{Главна|Парцијална диференцијална равенка}}
[[Парцијална диференцијална равенка]] (''ПДР'') е диференцијална равенка која содржи непозната [[Анализа на повеќе променливи|повеќепроменлива функција]] и нивните  [[парцијален извод|парцијални изводи]]. (ова е во спротивност со [[обична диференцијална равенка|обичната диференцијална равенка]], каде функцијата има една единствена променлива и единечен извод.) ПДР се користат за да се опишат проблемите кои вклучуваат функции со неколку променливи, и се разрешени во затворен облик, или се користат да се создаде важен [[компјутерски модел]].

ПДР можат да се употребат за да се опишат бројни појави како што се: [[звук]], [[топлина]], [[електростатика]], [[електродинамика]], [[динамика на флуиди]], [[еластичност (физика)|еластичност]] или [[квантна механика]]. Овие навидум различни физички појави можат да се прикажат со ПДР на сличен начин. Како што обичните диференцијални равенки честопати ги моделираат еднодимензионалните [[динамички системи]], парцијалните диференцијални равенки четопати ги моделираат [[повеќедимензионален систем|повеќедимензионалните системи]]. ПДР се воопштени во [[стохастичка парцијална диференцијална равенка|стохастичките парцијални диференцијални равенки]].

===Линиски диференцијални равенки===
{{Главна|Линиска диференцијална равенка}}

[[Линиска диференцијална равенка|Диференцијалната равенка е ''линиска'']] ако непознатата функција и нејзините изводи имаат 
[[степен на полином|''степен'']] 1 (производите на непознатата функција и нејзините изводи не се дозволени) и во спротивно се [[нелиниски систем#нелиниски диференцијални равенки|''нелиниски'']]. Карактеристичното својство на линиските равенки е дека нивните решенија образуваат [[афинов простор|афинов потпростор]] од соодветен ункциски простор, кој доведува до поразвиена теорија за линиските диференцијални равенки.

[[Хомогена диференцијална равенка|''Хомогени'' линиски диференцијални равенки]] се подкласи на линиски диференцијални равенки за кои просторот на решенија е линиски потпростор т.е. збирот на секој збир на решенија или рупи на решенија е исто така решение. Коефициентите на непознатите функции и нејзините изводи кај линиската диференцијална равенка се дозволени да бидат познати функции од независна променлива или променливи, ако овие коефициенти се постојани тогаш станува збор за ''линиска диференцијална равенка со константни коефициенти''.

===Нелиниски диференцијални равенки===
'''Нелиниски диференцијални равенки''' се добиваат кога ''производите на непознатата функција и нејзините изводи'' се дозволени и нивниот степен е '''> '''1. Постојат многу малку методи за точно разрешување на нелиниските диференцијални равенки, тие кои се познати вообичаено се зависни од [[симетрија|симетриите]] на равенката. Нелиниските диференцијални равенки може да имаат сложено однесувае во подолги временски периоди, карактеристични за [[теорија на хаосот|хаосот]]. Дури и основниоте прашања за постоењето, уникатноста и постојаноста на решенијата за нелиниските диференцијални равенки, и добропоставеноста на проблемот со почетната и граничната вредност на нелиниските ПДР се сложени проблеми и нивното разрешување во специјални случаи се смета за значаен напредок на математичката теорија (сл. [[Навие–Стоксова суштественост и глаткост]]). Сепак, ако диференцијалните равенки се точен приказ на значаен физички процес, тогаш може да се очекува истиот да има решение.<ref>{{Наведена книга
 | last = Boyce
 | first = William E.
 | last2 = DiPrima
 | first2 = Richard C.
 | authorlink =
 | title = Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
 | publisher =John Wiley & Sons
 | series =
 | volume =
 | edition=4
 | year = 1967
 | location =
 | pages = 3
 | language =
 | url =
 | doi =
 | id =
 | isbn =
 | mr =
 | zbl =
 | jfm = }}</ref>

Линиските диференцијални равенки честопати се појавуваат како [[линизијација|приближности]] на нелиниските равенки. Овие приближности се само важечки под одредени услови. На пример, равенката на хармонискиот осцилатор е приближност за нелиниската равенка за нишало која ажи за мали осцилации (Погледајте подолу).

==={{anchor|Second order}} Степени на равенки===

Диференцијалните равенки се опишани според нивниот степен, определен од условот на [[извод#високи изводи|највисоките изводи]]. Равенката која има само први изводи е  ''диференцијална равенка од прв степен'', равенка која го содржи [[втор извод|вториот извод]] се ''диференцијални равенки од втор степен'' итн.<ref>Eric W Weisstein "Ordinary Differential Equation Order." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html</ref><ref>[http://www.kshitij-iitjee.com/Maths/Differential-Equations/order-and-degree-of-a-differential-equation.aspx Order and degree of a differential equation] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20160401070512/http://www.kshitij-iitjee.com/Maths/Differential-Equations/order-and-degree-of-a-differential-equation.aspx |date=2016-04-01 }}, accessed Dec 2015.</ref> Диференцијалните равенки кои ги опишуваат природните појави скоро секогаш имаат прв или втор степен на извод, но постојат некои исклучоци како што е [[равенка на тенок филм|равенката на тенок филм]] која е диференцијална равенка на четврти степен.

===Примери===

Во првата група на примери, нека ''u'' биде непознатата функција за ''x'', а пак ''c'' и ''ω'' познати константи. Да се има предвид дека и обичните и парцијалните диференцијални равенки се класифицирани како ''линиски'' и ''нелиниски''.

* Нехомогена линиска обична диференцијална равенка од прв ред со константен коефициент:

:: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math>

* Хомогена линиска обична диференцијална равенка од втор ред:

:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math>

* Хомогена линиска обична диференцијална равенка од втор степен со константен коефициент со која се опишува [[хармониски треперник|хармонискиот осцилатор]]:

:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math>

* Нехомогена обична диференцијална равенка од прв степен:

:: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 4. </math>

* Нелиниска (синусна функција) обична диференцијална равенка од втор степен со која се опишува движењето на [[нишало]] со должина ''L'':

:: <math> L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. </math>

Во следната група на примери, непознатата функција ''u'' зависи од две променливи ''x'' и ''t'' или ''x'' и ''y''.

* Хомогена линиска парцијална диференцијална равенка од прв степен:

:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>

* Хомогена линиска парцијална равенка од втор степен со константен коефициент од елиптичен вид, [[Лапласова равенка]]:

:: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>

:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>

==Постоење на решенија==
Решавањето на диференцијалните равенки не е исто како и решавањето на [[алгебарски равенки|алгебарските равенки]]. Не само што нивните решенија се честопати нејасни, но дали и тие се единствени или пак постојат се значајни теми од интерес.

За проблемте со почетна вредност од прв ред, [[Пеанова теорема|Пеановата теорема]] дава еден збир на услови според кои постои решение. За една дадена точка <math>(a,b)</math> во xy-рамнината, се дефинира некоја правоаголна област <math>Z</math>, така што <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> и <math>(a,b)</math> е внатрешноста на <math>Z</math>. Доколку пак имаме диференцијална равенка <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x,y)</math> и условот дека <math>y=b</math> кога <math>x=a</math>, тогаш имаме решение на овој проблем ако <math>g(x,y)</math> и <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> се продолжение на <math>Z</math>. Ова решение постои во определен интервал со својот центар во <math>a</math>. Решението можеби не е единствено. (Погледајте [[Обична диференцијална равенка]] за други резултати.)

Сепак, ова помага со проблеми од прв ред со почетна вредност. Да претпоставиме дека ние имаме проблем со линиска почетна вредност од n-ти степен:

:<math>
f_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x} + f_{0}(x)y = g(x)
</math>
така што
:<math>
y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y''(x_{0}) = y''_{0}, \cdots
</math>

За секое ненулто <math>f_{n}(x)</math>, ако <math>\{f_{0},f_{1},\cdots\}</math> и <math>g</math> се непрекинати за некој интервал кој содржи <math>x_{0}</math>, <math>y</math> е единствено и истото постои.<ref>{{Наведена книга|last1=Zill|first1=Dennis G.|title=A First Course in Differential Equations|publisher=Brooks/Cole|isbn=0-534-37388-7|edition=5}}</ref>

== Програмска опрема ==

* [[ExpressionsinBar]]
* Maple:<ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve|title=dsolve - Maple Programming Help|work=www.maplesoft.com|accessdate=2020-05-15}}</ref> dsolve
* [[SageMath]]<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html|title=Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0|work=doc.sagemath.org|accessdate=2020-05-15}}</ref>
* [[Xcas]]:<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf|title=Symbolic algebra and Mathematics with Xcas|last=|first=|date=|work=|archive-url=|archive-date=|dead-url=|accessdate=}}</ref> desolve(y'=k*y,y)

==Поврзано==
{{Div col|3}}
*[[Сложена диференцијална равенка]]
*[[Точна диференцијална равенка]]
*[[Функционална диференцијална равенка]]
*[[Почетен услов]]
*[[Интегрална равенка]]
*[[Бројчени методи#Диференцијални равенки|Бројчени методи]]
*[[Пикард–Линделофова теорема]] 
{{Div col end}}

==Наводи==
{{reflist|30em}}

==Дополнителна литература==
* P. Abbott and H. Neill, ''Teach Yourself Calculus'', 2003 pages 266-277
* P. Blanchard,R. L. Devane, G. R. Hall, ''Differential Equations'', Thompson, 2006
* E. A. Coddington and N. Levinson,  ''Theory of Ordinary Differential Equations'', McGraw-Hill, 1955
* E. L. Ince, ''Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, 1956
* W. Johnson, [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 ''A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations''], John Wiley and Sons, 1913, in [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. {{ISBN|1-58488-297-2}}.
* R. I. Porter, ''Further Elementary Analysis'', 1978, chapter XIX Differential Equations
* {{Наведена книга| last = Teschl| given = Gerald| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=American Mathematical Society| place = Providence| year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.

==Надворешни врски==
{{Wikibooks|Ordinary Differential Equations}}
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/video-lectures/ Lectures on Differential Equations] MIT Open CourseWare Videos
* [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/de.aspx Online Notes / Differential Equations] Paul Dawkins, Lamar University
* [http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Differential Equations], S.O.S. Mathematics
* [http://www.fioravante.patrone.name/mat/u-u/en/differential_equations_intro.htm Introduction to modeling via differential equations] Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=ode Mathematical Assistant on Web] Symbolic ODE tool, using Maxima software
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm Exact Solutions of Ordinary Differential Equations]
* [http://www.hedengren.net/research/models.htm Collection of ODE and DAE models of physical systems] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20081219003453/http://www.hedengren.net/research/models.htm |date=2008-12-19 }} MATLAB models
* [http://www.jirka.org/diffyqs/ Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers] An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC
* [http://www.khanacademy.org/math/differential-equations Khan Academy Video playlist on differential equations ] Topics covered in a first year course in differential equations.
* [http://math.rareinfos.com/category/courses/solutions-differential-equations/homogeneous-linear-systems/  MathDiscuss Video playlist on differential equations ] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20130607120716/http://math.rareinfos.com/category/courses/solutions-differential-equations/homogeneous-linear-systems/ |date=2013-06-07 }}

{{Areas of mathematics | state=collapsed}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Диференцијални равенки| ]]