Преглед на кодот на Ердеш-Морделово неравенство

Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]], '''Ердеш-Морделовото неравенство''' вели дека за секој [[триаголник]] ''ABC'' и точка ''P'' во ''ABC'', збирот на растојанијата од ''P'' до [[страна (планиметрија)|страните]] е помал или еднаков на половина од збирот на растојанијата од ''P'' до [[теме (геометрија)|темињата]]. Именуван е по [[Пал Ердеш]] и [[Луис Мордел]]. {{Harvard citation text|Ердеш|1935}} го поставил проблемот за докажување на нееднаквоста; доказот го дале Мордел и Д. Ф. Бароу (1935) две години подоцна. Но, ова решение не било многу елементарно. Последователни поедноставни докази биле дадени од {{Harvard citation text|Казариноф|1957}}, {{Harvard citation text|Банкоф|1958}} и {{Harvard citation text|Алсина|Нелсен|2007}}.

Неравенството на Бароу е зајакната верзија на Ердеш-Морделовото неравенство во која растојанијата од ''P'' до страните се заменети со растојанијата од ''P'' до точките каде симетралите на аглите на ∠''APB'', ∠''BPC'' и ∠''CPA'' ги сечат страните. Иако заменетите растојанија се подолги, нивниот збир сепак е помал или еднаков на половина од збирот на растојанијата до темињата.

== Формулација ==
[[Податотека:Ungleichung_erdos_mordell2.svg|десно|мини|Ердеш-Морделово неравенство (Erdős–Mordell)]]
Нека <math>P</math> е произволна точка во даден триаголник <math>ABC</math>, и нека <math>PL</math>, <math>PM</math> и <math>PN</math> се нормалите од <math>P</math> кон страните на триаголникот. (Ако триаголникот е тапоаголен, една од овие нормали може да пресече друга страна на триаголникот и да заврши на потпорната права која содржи една од страните.) Тогаш неравенството гласи

: <math>\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}\geqslant 2(\overline{PL}+\overline{PM}+\overline{PN})</math>

== Доказ ==
Нека страните на ABC се: ''a'' e ''наспроти'' A, ''b'' е наспроти B и ''c'' е наспроти C. Исто така, нека <math>\overline{PA} = p, \overline{PB} = q, \overline{PC} = r; d(P,BC)=x, d(P,CA)=y, d(P,AB)=z.</math> Прво,  докажуваме дека

: <math>cr\geq ax+by.</math>

што е еквивалентно на

: <math>\frac{c(r+z)}2\geq \frac{ax+by+cz}2.</math>

Десната страна е плоштината на триаголникот ABC, но на левата страна, ''r'' + ''z'' не е помал од висината на триаголникот. Следствено, левата страна не може да биде помала од десната страна. Сега, ја пресликуваме P симетрично во однос на симетралата на аголот при темето C. Гледаме дека ''cr'' ≥ ''ay'' + ''bx'' за сликата (рефлексијата) на P. Слично на тоа, ''bq'' ≥ ''az'' + ''cx'' и ''ap'' ≥ ''bz'' + ''cy'' . Ги решаваме овие неравенки за ''r'', ''q'' и ''p'' :

: <math>r\geq (a/c)y+(b/c)x,</math>

: <math>q\geq (a/b)z+(c/b)x,</math>

<math>p\geq (b/a)z+(c/a)y.</math>

Се собираат трите неравенки и добиваме

: <math>
  p + q + r
\geq
  \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) x +
  \left( \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \right) y +
  \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) z.
</math>

Бидејќи збирот на позитивен број и неговиот реципрочен број е најмалку 2, заради неравенството помеѓу аритметичката и геометриската средина, доказот е завршен. Еднаквост важи само за рамностран триаголник, каде што P е неговиот центар.

== Друга (појака) верзија ==
Нека ABC е триаголник впишан во кружница (O) и P е точка во внатрешноста на ABC. Нека D, E, F се ортогоналните проекции на P врз BC, CA, AB. M, N, Q се ортогоналните проекции на P врз [[тангента|тангентите]] на (O) во A, B, C соодветно, тогаш:

: <math> \overline{PM} + \overline{PN} + \overline{PQ} \geqslant 2(\overline{PD} + \overline{PE} + \overline{PF})</math>

Eднаквост важи ако и само ако триаголникот ABC е рамностран ({{Harvnb|Dao|Nguyen|Pham|2016}} ; {{Harvnb|Marinescu|Monea|2017}} )

== Обопштувањe ==
Нека <math>A_1A_2...A_n</math> е конвексен многуаголник и <math>P</math> е точка од внатрешноста на <math>A_1A_2...A_n</math>. Нека <math>R_i</math> е растојанието помеѓу <math>P</math> и темето <math>A_i</math>, <math>r_i</math> е растојанието од <math>P</math> до страната <math>A_iA_{i+1}</math>, <math>w_i</math> е отсечката на симетралата на аголот <math>A_iPA_{i+1}</math> од <math>P</math> до нејзиниот пресек со страната <math>A_iA_{i+1}</math>, тогаш ({{Харвардски навод|Ленард|1961}}):

: <math> \sum_{i=1}^{n}R_i \ge \left(\sec{\frac{\pi}{n}}\right)\sum_{i=1}^{n} w_i \ge \left(\sec{\frac{\pi}{n}}\right)\sum_{i=1}^{n} r_i </math>

== Во апсолутна геометрија ==
Во апсолутната геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство е еквивалентно, како што е докажано во {{Harvard citation text|Pambuccian|2008}}, на ставот дека збирот на аглите во триаголник е помал или еднаков на два прави агли.

== Поврзано ==
* [[Список на неравенства за триаголници]]

== Наводи ==
* {{Наведување|last=Alsina|first=Claudi|last2=Nelsen|first2=Roger B.|journal=Forum Geometricorum|pages=99–102|title=A visual proof of the Erdős-Mordell inequality|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html|volume=7|year=2007|accessdate=2024-06-26|archive-date=2020-07-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20200716220711/http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html|url-status=dead}}.
* {{Наведување|last=Bankoff|first=Leon|author-link=Леон Банкоф|journal=American Mathematical Monthly|page=521|title=An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem|number=7|jstor=2308580|volume=65|year=1958|doi=10.2307/2308580}}.
* {{Наведување|last=Dao|first=Thanh Oai|last2=Nguyen|first2=Tien Dung|last3=Pham|first3=Ngoc Mai|journal=Forum Geometricorum|mr=3556993|pages=317–321|title=A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality|volume=16|year=2016|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201638.pdf|accessdate=2024-06-26|archive-date=2018-04-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20180424053838/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201638.pdf|url-status=dead}}.
* {{Наведување|last=Erdős|first=Paul|author-link=Пал Ердеш|journal=American Mathematical Monthly|page=396|title=Problem 3740|volume=42|year=1935|doi=10.2307/2301373|jstor=2301373}}.
* {{Наведување|last=Kazarinoff|first=D. K.|doi=10.1307/mmj/1028988998|number=2|journal=Michigan Mathematical Journal|pages=97–98|title=A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles|volume=4|year=1957}}.
* {{Наведување|last=Lenhard|first=Hans-Christof|doi=10.1007/BF01650566|journal=Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung|mr=0133060|pages=311–314|title=Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone|volume=12|year=1961}}.
* {{Наведување|last=Marinescu|first=Dan Ștefan|last2=Monea|first2=Mihai|title=About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality|journal=Forum Geometricorum|volume=17|year=2017|pages=197–202|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201723.pdf|accessdate=2024-06-26|archive-date=2018-04-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20180424054822/http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201723.pdf|url-status=dead}}.
* {{Наведување|last=Mordell|first=L. J.|author1-link=Луис Мордел|authorlink2=David Francis Barrow|last2=Barrow|first2=D. F.|journal=[[American Mathematical Monthly]]|pages=252–254|title=Solution to 3740|volume=44|year=1937|doi=10.2307/2300713|jstor=2300713}}.
* {{Наведување|last=Pambuccian|first=Victor|journal=Journal of Geometry|pages=134–139|title=The Erdős-Mordell inequality is equivalent to non-positive curvature|volume=88|year=2008|number=1–2|doi=10.1007/s00022-007-1961-4}}.

== Надворешни врски ==
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Erdős-Mordell Theorem}}
* Alexander Bogomolny, "[http://www.cut-the-knot.org/triangle/ErdosMordell.shtml Erdös-Mordell Inequality]", from Cut-the-Knot.

[[Категорија:Неравенства на триаголници]]