Преглед на кодот на Ејрова бранова теорија

Во [[хидродинамика]]та, Ејровата бранова теорија (често наречена '''линеарна бранова теорија''') дава линеаризиран опис на ширењето на гравитациските бранови на површината на хомоген [[флуид]]ен слој. Теоријата претпоставува дека флуидниот слој има рамномерна средна длабочина и дека [[Хидродинамика|протокот]] на течноста е [[Вискозност|невидлив]], некомпресибилен и иротационен. Оваа теорија првпат била објавена, во правилна форма, од Џорџ Бидел Ејри во 19 век.<ref name="Craik2004">Craik (2004).</ref>

Теоријата често се применува во океанското инженерство и крајбрежното инженерство за моделирање на случајни морски состојби - дава опис на [[кинематика]]та на брановите и [[Динамика (физика)|динамиката]] на доволно висока точност за многу цели.<ref name="Goda">{{Наведена книга|title=Random Seas and Design of Maritime Structures|last=Goda|first=Y.|publisher=World Scientific Publishing Company|year=2000|isbn=978-981-02-3256-6|series=Advanced Series on Ocean Engineering|volume=15|location=Singapore|oclc=45200228}}</ref><ref>Dean & Dalrymple (1991).</ref> Понатаму, неколку нелинеарни својства од втор ред на површинските гравитациски бранови и нивното ширење, може да се проценат од неговите резултати.<ref>Phillips (1977), §3.2, pp. 37–43 and §3.6, pp. 60–69.</ref> Ејровата бранова теорија е исто така добра апроксимација за брановите на [[цунами]] во океанот.

Оваа линеарна теорија често се користи за да се добие брза и груба проценка на одликите на брановите и нивните ефекти. Ова приближување е точно за мали соодноси на висината на бранот до длабочината на водата (за бранови во плитка вода) и висината на бранот до брановата должина (за брановите во длабока вода).

== Опис ==
[[Податотека:Sine_wave_amplitude.svg|десно|мини| Одлики на бранови.]]
[[Податотека:Dispersion_gravity_1.svg|десно|мини| Дисперзија на гравитациските бранови на течна површина. [[Фазна брзина|Фазна]] и [[групна брзина]]]]
Теоријата на воздушни бранови користи пристап на потенцијален проток (или брзински потенцијал) за да го опише движењето на гравитациските бранови на флуидната површина. Употребата на (невидлив и иротационен) потенцијален проток во водните бранови е извонредно успешна, со оглед на неуспехот да опише многу други текови на течност каде што често е неопходно да се земат предвид [[вискозност]]а, виртичноста, турбуленцијата или раздвојувањето на протокот. Ова се должи на фактот дека за осцилаторниот дел од движењето на флуидот, вителот предизвикан од бранот е ограничен на некои тенки осцилаторни Стоуксови  гранични слоеви.<ref>{{Наведено списание|last=Lighthill|first=M. J.|author-link=M. J. Lighthill|year=1986|title=Fundamentals concerning wave loading on offshore structures|journal=J. Fluid Mech.|volume=173|pages=667–681|bibcode=1986JFM...173..667L|doi=10.1017/S0022112086001313}}</ref>

Ејровата бранова теорија често се користи во океанското инженерство и крајбрежното инженерство. Особено за случајни бранови, понекогаш наречени бранови турбуленции, еволуцијата на брановата статистика - вклучувајќи го брановиот [[спектар]] - се предвидува добро на не премногу долги растојанија (во однос на брановите должини) и во не премногу плитка вода. [[Дифракција]]та е еден од брановите ефекти што може да се опише со теоријата за бранови во воздух. Понатаму, со користење на приближувањето на WKBJ, може да се предвидат брановидни бранови и [[Прекршување (физика)|прекршување.]] <ref name="Goda"/>

Претходните обиди да се опишат површинските гравитациски бранови користејќи потенцијален тек биле направени од, меѓу другите, [[Пјер Симон Лаплас|Лаплас]], [[Симеон Дени Поасон|Поасон]], [[Огистен Луј Коши|Коши]] и Келанд. Но, Ејри бил првиот што ја објавил точната изведба и формулација во 1841 година.<ref name="Craik2004">Craik (2004).</ref> Набргу потоа, во 1847 година, линеарната теорија на Ејри била проширена од Стоукс за нелинеарно браново движење - познато како Стоуксова бранова теорија - точно до трет ред во брановата стрмност.<ref name="Stokes1847">Stokes (1847).</ref> Дури и пред линеарната теорија на Ејри, Герстнер извел теорија на нелинеарни трохоидни бранови во 1802 година, која сепак не е иротациона.<ref name="Craik2004" />

Ејровата бранова теорија е линеарна теорија за ширење на брановите на површината на потенцијалниот тек и над хоризонталното дно. Висината на слободната површина {{Мат|''η''(''x'',''t'')}} на една бранова компонента е [[Синусен бран|синусоидна]], како функција на хоризонталната положба {{Мпром|x}} и времето {{Мпром|t}} :

: <math>\eta(x,t) = a \cos \left( kx - \omega t\right)</math>

каде

* {{Мпром|a}} е замав на бранот во метри,
* {{Мат|cos}} е функција,
* k е аголниот бранов број во радијани по метар, поврзан со брановата должина λ за {{Мат|''k'' {{=}} {{sfrac|2''π''|''λ''}}}},
* {{Мпром|ω}} е аголна честота во радијани во секунда, поврзана со периодот T и честотата f со {{Мат|''ω'' {{=}} {{sfrac|2''π''|''T''}} {{=}} 2''πf''}}.

Брановите се шират по површината на водата со [[фазна брзина]] {{Мпром|c<sub>p</sub>}} :

: <math>c_p = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T}.</math>

Аголниот бранов број {{Мпром|k}} и честотата {{Мпром|ω}} не се независни параметри (а со тоа и брановата должина {{Мпром|λ}} и периодот {{Мпром|T}} не се независни), туку се споени. Површинските гравитациски бранови на течност се дисперзивни бранови - што покажуваат дисперзија на честотата - што значи дека секој брановиден број има своја честота и брзина на фаза.

Во инженерството, висината {{Мпром|H}} - разликата во височината помеѓу гребенот и коритото - често се користи:

: <math>H = 2 a \quad \text{and} \quad a = \tfrac12 H,</math>

валидни во конкретниот случај на линеарни периодични бранови.
[[Податотека:Orbital_wave_motion.svg|лево|мини|400x400пкс| Орбитално движење под линеарни бранови. Жолтите точки ја означуваат моменталната положба на течните честички на нивните (портокалови) орбити. Црните точки се центри на орбитите.]]
Под површината има флуидно движење поврзано со движењето на слободната површина. Додека површинската височина покажува бран кој се шири, честичките на течноста се во орбитално движење. Во рамките на теоријата на Воздушните бранови, орбитите се затворени кривини: кругови во длабока вода и елипси во конечна длабочина - при што елипсите стануваат порамни во близина на дното на флуидниот слој. Така, додека бранот се шири, честичките на течноста само орбитираат (осцилираат) околу нивната [[Просек|просечна]] положба. Со движењето на брановите кои се шират, честичките од течноста пренесуваат енергија во насока на ширење на бранот, без да имаат средна брзина. Пречникот на орбитите се намалува со длабочината под слободната површина. Во длабока вода, пречникот на орбитата е намален на 4% од вредноста на нејзината слободна површина на длабочина од половина бранова должина.

На сличен начин, постои и [[Притисок|осцилација на притисокот]] под слободната површина, при што осцилации на притисокот предизвикани од бранови се намалуваат со длабочина под слободната површина.

== Математичка формулација на брановото движење ==

=== Формулација на проблемот со протокот ===
Брановите се шират во хоризонтална насока, со [[Декартов координатен систем|координата]] {{Мпром|x}}, и домен на течност врзан горе со слободна површина на {{Мат|''z'' {{=}} ''η''(''x'',''t'')}}, при што {{Мпром|z}} вертикалната координата (позитивна во насока нагоре) и {{Мпром|t}} е време.<ref name="solution">For the equations, solution and resulting approximations in deep and shallow water, see Dingemans (1997), Part 1, §2.1, pp. 38–45. Or: Phillips (1977), pp. 36–45.</ref> Нивото {{Мат|''z'' {{=}} 0}} одговара на средната површинска кота. Непропустливото корито под флуидниот слој е на {{Мат|''z'' {{=}} −''h''}}. Понатаму, се претпоставува дека протокот е некомпресибилен и иротациски - добра апроксимација на протокот во внатрешноста на течноста за бранови на течна површина - и потенцијалната теорија може да се користи за да се опише протокот. Потенцијалот за брзина {{Мат|Φ(''x'',''z'',''t'')}} е поврзан со компонентите на брзината {{Мпром|u<sub>x</sub>}} и {{Мпром|u<sub>z</sub>}} во хоризонталните ({{Мпром|x}}) и вертикалните ({{Мпром|z}}) насоки со:

: <math> u_x = \frac{\partial\Phi}{\partial x} \quad \text{and} \quad u_z = \frac{\partial\Phi}{\partial z}.</math>

Потоа, поради равенката на континуитет за некомпресибилен проток, потенцијалот {{Мат|Φ}} треба да ја задоволи [[Лапласова равенка|Лапласовата равенка]] :

: <math> \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2} = 0. \qquad (1) </math>

Потребни се гранични услови кај слободната површина за да се затвори системот на равенки. За нивно формулирање во рамките на линеарната теорија, потребно е да се определи каква е основната состојба (или решение од нула ред) на протокот. Овде, се претпостава дека основната состојба е мирување, што значи дека средните брзини на проток се нула.

: <math> \frac{\partial\Phi}{\partial z} = 0 \quad \text{ at } z = -h. \qquad (2) </math>

Во случај на длабока вода – под која се подразбира [[Бесконечност|бесконечна]] длабочина на вода, од математичка гледна точка – брзините на протокот треба да одат на нула во [[Гранична вредност|границата]] бидејќи вертикалната координата оди до минус бесконечност: {{Мат|''z'' → −∞}}.

На слободната површина, за бесконечно мали бранови, вертикалното движење на протокот треба да биде еднакво на вертикалната брзина на слободната површина. Ова води до кинематска гранична состојба на слободна површина:

: <math> \frac{\partial\eta}{\partial t} = \frac{\partial\Phi}{\partial z} \quad \text{ at } z = \eta(x,t). \qquad (3)</math>

Ако висината на слободната површина {{Мат|''η''(''x'',''t'')}} е позната функција, тоа би било доволно за да се реши проблемот со протокот. Сепак, површинската кота е дополнителна непозната, за која е потребна дополнителна гранична состојба. Ова е обезбедено од [[Бернулиев принцип|Бернулиовата равенка]] за нестабилен потенцијален тек. Притисокот над слободната површина се претпоставува дека е константен. Овој постојан притисок се зема еднаков на нула, без губење на општоста, бидејќи нивото на таков постојан притисок не го менува протокот. По линеаризацијата, ова ја дава [[Динамика (физика)|динамичната]] гранична состојба на слободна површина:

: <math> \frac{\partial\Phi}{\partial t} + g \eta = 0 \quad \text{ at } z = \eta(x,t). \qquad (4)</math>

Бидејќи ова е линеарна теорија, и во граничните услови на слободна површина - кинематичка и динамичка, равенките (3) и (4) - вредноста на {{Мат|Φ}} и {{Мат|{{sfrac|∂Φ|∂''z''}}}} на фиксно средно ниво се користи {{Мат|''z'' {{=}} 0}}

=== Решение за прогресивен монохроматски бран ===
За бран кој се шири со една честота - монохроматски бран - површинската кота е во форма:<ref name="solution"/>

: <math>\eta = a \cos ( k x - \omega t ).</math>

Поврзаниот брзински потенцијал, кој ја задоволува Лапласовата равенка (1) во внатрешноста на течноста, како и кинематичките гранични услови на слободната површина (2) и креветот (3), е:

: <math>\Phi = \frac{\omega}{k} a \frac{\cosh k (z+h) }{\sinh k h} \sin ( k x - \omega t),</math>

со {{Мат|sinh}} и {{Мат|cosh}} [[Хиперболични функции|хиперболичната синусна]] и [[Хиперболични функции|хиперболична косинусна]] функција, соодветно. Но, {{Мпром|η}} и {{Мат|Φ}} исто така, треба да ја задоволат динамичката гранична состојба, што резултира со нетривијални (не-нула) вредности за амплитудата на бранот {{Мпром|a}} само ако е задоволена врската на линеарната дисперзија:

: <math>\omega^2 = g k \tanh k h ,</math>

со {{Мат|tanh}} [[Хиперболични функции|хиперболичната тангента]]. Значи, аголната честота {{Мпром|ω}} и брановиот број {{Мпром|k}} - или еквивалентно период {{Мпром|T}} и бранова должина {{Мпром|λ}} - не можат да се изберат независно, туку се поврзани. Ова значи дека ширењето на брановите на површината на течноста е својствен проблем. Кога {{Мпром|ω}} и {{Мпром|k}} задоволуваат релацијата на дисперзија, брановата амплитуда {{Мпром|a}} може слободно да се избере (но доволно мала за Ејровата бранова теорија да биде валидна апроксимација).

=== Табела со количини на бранови ===
Во табелата подолу, дадени се неколку количини на проток и параметри според Ејровата бранова теорија.<ref name="solution"/> Дадените количини се за малку поопшта ситуација како за решението дадено погоре. Прво, брановите може да се шират во произволна хоризонтална насока во {{Мат|'''x''' {{=}} (''x'',''y'')}} рамнина. Векторот на брановиот број {{Мат|'''k'''}} и е нормален на брановите врвови. Второ, се прави додаток за средна брзина на проток {{Мат|'''U'''}}, во хоризонтална насока и униформа над (независно од) длабочината {{Мпром|z}}. Ова воведува [[Доплеров ефект|доплеровско поместување]] во односите на дисперзија. На локација фиксирана на Земјата, ''набљудуваната аголна честота'' (или ''апсолутна аголна честота'') е {{Мпром|ω}}. Од друга страна, во [[Појдовен систем|референтна рамка]] која се движи со средната брзина {{Мат|'''U'''}} (така што средната брзина како што е забележана од оваа референтна рамка е нула), аголната честота е различна. Се нарекува ''внатрешна аголна честота'' (или ''релативна аголна честота'' ), означена {{Мпром|σ}}. Така, при чисто браново движење, со {{Мат|'''U''' {{=}} '''0'''}}, двете честоти {{Мпром|ω}} и {{Мпром|σ}} се еднакви. Брановиот број {{Мпром|k}} (и брановата должина {{Мпром|λ}}) се независни од [[Појдовен систем|референтната рамка]], и немаат доплерово поместување (за монохроматски бранови).

Табелата ги дава само осцилаторните делови на количините на проток - брзини, поместување на честички и притисок - а не нивната средна вредност. Поместувањата на осцилаторните честички {{Мат|'''ξ'''<sub>''x''</sub>}} и {{Мат|''ξ''<sub>''z''</sub>}} се временските интеграли на брзините на осцилаторниот тек {{Мат|'''u'''<sub>''x''</sub>}} и {{Мат|''u''<sub>''z''</sub>}} соодветно.

Длабочината на водата е класифицирана во три режими:<ref>Dean & Dalrymple (1991) pp. 64–65</ref>

** '''длабока вода''' – за длабочина на вода поголема од половина од [[Бранова должина|брановата должина]],  {{Мат|''h'' > {{sfrac|1|2}}''λ''}}, [[фазна брзина]] на брановите е под влијание на длабочина (ова е случај за повеќето бранови на морето и океанот површина),<ref>The error in the phase speed is less than 0.2% if depth {{Мпром|h}} is taken to be infinite, for {{Мат|''h'' > {{sfrac|1|2}}''λ''}}.</ref>
* '''плитка вода''' – за длабочина на вода помала од 5% од брановата должина,  {{Мат|''h'' < {{sfrac|1|20}}''λ''}}, фазната брзина на брановите зависи само од длабочината на водата и повеќе не е во функција на периодот или брановата должина;<ref>The error in the phase speed is less than 2% if wavelength effects are neglected for {{Мат|''h'' < {{sfrac|1|20}}''λ''}}.</ref> и
* '''средна длабочина''' - сите други случаи,  {{Мат|{{sfrac|1|20}}''λ'' < ''h'' < {{sfrac|1|2}}''λ''}}, каде што и длабочината на водата и периодот (или брановата должина) имаат значително влијание врз решението на Ејровата бранова теорија.

Во ограничувачките случаи на длабока и плитка вода, може да се направат поедноставни приближувања на растворот. Додека за средна длабочина, треба да се користат целосните формулации.
{| class="wikitable" style="width:90%; text-align:center;"
! colspan="6" |Својствата на гравитациските бранови на површината на длабока вода, плитка вода и на средна длабочина, според Ејрова бранова теорија
|- 
! style="width:13%;" |квантитет
! style="width:7%;" |симбол
! style="width:4%;" |единици
! style="width:22%;" |длабока вода <br /><br />({{Мат|''h'' > {{sfrac|1|2}}''λ''}})
! style="width:22%;" |плитка вода <br /><br />({{Мат|''h'' < {{sfrac|1|20}}''λ''}})
! style="width:22%;" |средна длабочина<br /><br />({{Мпром|λ}} и {{Мпром|h}})
|- style="height:80px"
!надморска височина на површината
|<math>\eta(\mathbf{x},t)</math>
|m
| colspan="3" |<math>a \cos \theta(\mathbf{x},t)</math>
|- style="height:80px"
!бранова фаза
|<math>\theta(\mathbf{x},t)</math>
|[[Радијан|rad]]
| colspan="3" |<math>\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t</math>
|- style="height:80px"
!аголна честота
|<math>\omega</math>
|rad·[[Секунда|s]]<sup>−1</sup>
| colspan="3" |<math> \left( \omega - \mathbf{k}\cdot\mathbf{U} \right)^2 = \bigl( \Omega(k) \bigr)^2 \quad \text{ with } \quad k= |\mathbf{k}|  </math>
|- style="height:80px"
!внатрешна аголна честота
|<math>\sigma</math>
|rad·[[Секунда|s]]<sup>−1</sup>
| colspan="3" |<math> \quad \sigma^2 = \bigl( \Omega(k) \bigr)^2 \quad \text{ with } \quad \sigma = \omega - \mathbf{k}\cdot\mathbf{U} </math>
|- style="height:80px"
!единица вектор во насока на ширење на бранот
|<math> \mathbf{e}_k</math>
|–
| colspan="3" |<math>\frac{\mathbf{k}}{k}</math>
|- style="height:80px"
!дисперзивен однос
|<math>\Omega(k)</math>
|rad·[[Секунда|s]]<sup>−1</sup>
|<math>\Omega(k) = \sqrt{g k}</math>
|<math>\Omega(k) = k \sqrt{g h}</math>
|<math>\Omega(k) = \sqrt{g k \tanh k h}</math>
|- style="height:80px"
!фазна брзина
|<math>c_p=\frac{\Omega(k)}{k}</math>
|m·s<sup>−1</sup>
|<math>\sqrt{\frac{g}{k}} = \frac{g}{\sigma}</math>
|<math>\sqrt{g h}</math>
|<math>\sqrt{\frac{g}{k} \tanh k h}</math>
|- style="height:80px"
!групна брзина
|<math>c_g = \frac{\partial\Omega}{\partial k}</math>
|m·s<sup>−1</sup>
|<math>\tfrac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{k}} = \tfrac{1}{2} \frac{g}{\sigma}</math>
|<math>\sqrt{g h}</math>
|<math>\tfrac{1}{2} c_p \left( 1 + k h \frac{1 - \tanh^2 k h}{\tanh k h} \right)</math>
|- style="height:80px"
!ратио
|<math> \frac{c_g}{c_p}</math>
|–
|<math>\tfrac{1}{2}</math>
|<math>1</math>
|<math>\tfrac{1}{2} \left( 1 + k h \frac{1 - \tanh^2 k h}{\tanh k h} \right)</math>
|- style="height:80px"
!хоризонтална брзина
|<math>\mathbf{u}_x(\mathbf{x},z,t)</math>
|m·s<sup>−1</sup>
|<math>\mathbf{e}_k \sigma a\, e^{k z} \cos \theta</math>
|<math>\mathbf{e}_k \sqrt{\frac{g}{h}} a \cos \theta</math>
|<math>\mathbf{e}_k \sigma a \frac{\cosh k (z+h) }{\sinh k h} \cos \theta</math>
|- style="height:80px"
!вертикална брзина
|<math>u_z(\mathbf{x},z,t)</math>
|m·s<sup>−1</sup>
|<math>\sigma a\, e^{k z} \sin \theta</math>
|<math>\sigma a \frac{z + h}{h} \sin \theta</math>
|<math>\sigma a \frac{\sinh k (z+h) }{\sinh k h} \sin \theta</math>
|- style="height:80px"
!хоризонтално поместување на честички
|<math>\boldsymbol{\xi}_x(\mathbf{x},z,t)</math>
|m
|<math>-\mathbf{e}_k a\, e^{k z} \sin \theta</math>
|<math>-\mathbf{e}_k \frac{1}{k h} a \sin \theta</math>
|<math>-\mathbf{e}_k a \frac{\cosh k (z+h) }{\sinh k h} \sin \theta</math>
|- style="height:80px"
!вертикално поместување на честички
|<math>\xi_z(\mathbf{x},z,t)</math>
|m
|<math>a\, e^{k z} \cos \theta</math>
|<math>a \frac{z + h}{h} \cos \theta</math>
|<math>a \frac{\sinh k (z+h) }{\sinh k h} \cos \theta</math>
|- style="height:80px"
!осцилација на притисокот
|<math>p(\mathbf{x},z,t)</math>
|[[Њутн (единица)|N]]·m<sup>−2</sup>
|<math>\rho g a\, e^{k z} \cos \theta</math>
|<math>\rho g a \cos \theta</math>
|<math>\rho g a \frac{\cosh k (z+h) }{\cosh k h} \cos \theta</math>
|}

== Ефекти на површинска напнатост ==
[[Податотека:Dispersion_capillary.svg|десно|мини| Дисперзија на гравитациско-капиларните бранови на површината на длабоката вода. Фазна и групна брзина поделена со {{Мат|{{sqrt|''gσ'' / ''ρ''|4}}}} како функција од обратна релативна бранова должина {{Мат|{{sfrac|1|''λ''}}{{sqrt|''σ'' / ''ρg''}}}}.

Сини линии (A): фазна брзина {{Мпром|c<sub>p</sub>}}, Црвени линии (B): групна брзина {{Мпром|c<sub>g</sub>}}. Исцртани линии: гравитациско-капиларни бранови.Испрекинати линии: гравитациски бранови.<br />Линии со цртичка: чисти капиларни бранови.

Забелешка: {{Мат|''σ''}} е површински напон во овој график.]]
Поради [[Површински напон|површинскиот напон]], односот на дисперзија се менува на:<ref name="Phillips_37">Phillips (1977), p. 37.</ref>

: <math> \Omega^2(k) = \left( g + \frac{\gamma}{\rho} k^2 \right) k\, \tanh k h ,</math>

со {{Мпром|γ}} површинскиот напон во њутни на метар. Сите горенаведени равенки за линеарни бранови остануваат исти, ако гравитациското забрзување {{Мпром|g}} се замени со <ref>Lighthill (1978), p. 223.</ref>

: <math>\tilde{g} = g + \frac{\gamma}{\rho} k^2.</math>

Како резултат на површинскиот напон, брановите се шират побрзо. Површинскиот напон има влијание само за кратки бранови, со бранови должини помали од неколку [[Дециметар|дециметри]] во случај на интерфејс вода-воздух. За многу кратки бранови должини - 2&nbsp;mm или помалку, во случај на интерфејс помеѓу воздухот и водата – ефектите на гравитацијата се занемарливи. треба да се има предвид дека површинскиот напон може да се промени со [[сурфактант]]и.

[[Групна брзина|Групната брзина]] {{Мат|{{sfrac|∂Ω|∂''k''}}}} на капиларните бранови - доминирани од ефектите на површинскиот напон - е поголема од [[Фазна брзина|брзината на фазата]] {{Мат|{{sfrac|Ω|''k''}}}}. Ова е спротивно на ситуацијата на површинските гравитациски бранови (со површински напон занемарлив во споредба со ефектите на гравитацијата) каде што фазната брзина ја надминува брзината на групата.<ref name="Phillips_175">Phillips (1977), p. 175.</ref>

== Интерфејсни бранови ==
Површинските бранови се посебен случај на меѓуфабрични бранови, на интерфејсот помеѓу две течности со различна [[густина]].

=== Два слоја на бесконечна длабочина ===
Доколку постојат две течности разделени со интерфејс, и без дополнителни граници, тогаш нивната дисперзивна врска {{Мат|''ω''<sup>2</sup> {{=}} Ω<sup>2</sup>(''k'')}} е дадена преку <ref name="Phillips_37">Phillips (1977), p. 37.</ref><ref>[[Horace Lamb|Lamb, H.]] (1994), §267, page 458–460.</ref><ref>Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.</ref>

: <math> \Omega^2(k) = |k| \left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'} g + \frac{\gamma}{\rho+\rho'} k^2 \right),</math>

каде {{Мпром|ρ}} и {{Мат|''ρ''′}} се густината на двете флуиди, под ({{Мпром|ρ}}) и над ({{Мат|''ρ''′}}) интерфејсот, соодветно. Понатаму ''γ'' е површинскиот напон на интерфејсот.

За да постојат интерфејсни бранови, долниот слој треба да биде потежок од горниот, {{Мат|''ρ'' > ''ρ''′}}. Во спротивно, интерфејсот е нестабилен и се развива нестабилност на Рејли-Тејлор.

=== Два слоја помеѓу хоризонтални крути рамнини ===
[[Податотека:Interfacial_wave_rigid_boundaries.svg|десно|мини| Движење на бранови на интерфејсот помеѓу два слоја на [[Вискозност|невидливи]] хомогени течности со различна густина, ограничени помеѓу хоризонтални крути граници (на врвот и на дното). Движењето е принудено од гравитацијата. Горниот слој има средна длабочина {{Мат|''h''′}} и густина {{Мат|''ρ''′}}, додека долниот слој има средна длабочина {{Мпром|h}} и густина {{Мпром|ρ}}. Амплитудата на бранот е {{Мпром|a}}, брановата должина се означува со {{Мпром|λ}} (поврзана со брановиот број {{Мпром|k}} со {{Мат|''k'' {{=}} {{sfrac|2''π''|''λ''}}}}), гравитациското забрзување за {{Мпром|g}} и [[Фазна брзина|брзината]] на фазата за {{Мпром|c<sub>p</sub>}} (со {{Мат|''c<sub>p</sub>'' {{=}} {{sfrac|Ω(''k'')|''k''}}}}).]]
За два хомогени слоеви на течности, со средна дебелина {{Мпром|h}} под интерфејсот и {{Мат|''h''′}} над – под дејство на гравитацијата и ограничени горе и долу со хоризонтални крути ѕидови – {{Мат|''ω''<sup>2</sup> {{=}} Ω<sup>2</sup>(''k'')}} за гравитациските бранови од:<ref>{{Наведување|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0521297264|last=Turner|first=J. S.|title=Buoyancy effects in fluids|year=1979|page=18}}</ref>

: <math> \Omega^2(k) = \frac{g k (\rho - \rho')}{\rho \coth k h + \rho' \coth k h'},</math>

каде повторно {{Мпром|ρ}} и {{Мат|''ρ''′}} се густините под и над интерфејсот, додека {{Мат|coth}} е [[Хиперболични функции|хиперболична котангентна]] функција. За случајот {{Мат|''ρ''′}} е нула, ова се сведува на односот на дисперзија на површинските гравитациски бранови на вода со конечна длабочина {{Мпром|h}}.

=== Два слоја ограничени погоре со слободна површина ===
Во овој случај, релацијата на дисперзија дозволува два режима: баротропски режим каде што [[замав]]от на слободната површина е голем во споредба со замавот на меѓуфазалниот бран и бароклинички режим каде што е спротивното - меѓуфазалниот бран е повисок од и во антифаза со бранот на слободна површина. Дисперзивниот однос за овој случај е од покомплициран облик.<ref>{{Наведување|publisher=Academic Press|isbn=9780080570747|last=Apel|first=J. R.|title=Principles of ocean physics|year=1987|pages=231–239}}</ref>

== Одлики на бранови од втор ред ==
Неколку својства на бранови од втор ред, оние кои се квадратни во брановиот замав {{Мпром|a}}, може да се изведат директно од Ејровата бранова теорија. Тие се од важност во многу практични примени, како што се предвидувањата на условите на брановите.<ref>See for example: the [http://www.weather.gov/om/marine/zone/hsmz.htm ''High seas forecasts''] of [[NOAA]]'s National Weather service.</ref> Користејќи WKBJ приближување, својствата на брановите од втор ред, исто така, ја наоѓаат својата примена во опишувањето на брановите во случај на бавно променлива [[батиметрија]] и варијации на средниот тек на струите и површинската височина. Како и во описот на интеракциите на бранот и среден-протокот поради времето и просторот-варијации во амплитудата, честотата, брановата должина и насоката на самото браново поле.

=== Табела со својства на бранови од втор ред ===
Во табелата подолу, дадени се неколку својства на бранови од втор ред - како и динамичките равенки што ги задоволуваат во случај на бавно променливи услови во просторот и времето. Повеќе детали за нив може да се најдат подолу. Табелата дава резултати за ширење на брановите во една хоризонтална просторна димензија. Понатаму во овој дел се дадени подетални описи и резултати за општиот случај на ширење во дводимензионален хоризонтален простор.
{| class="wikitable" style="width:90%; text-align:center;"
! colspan="4" |Количини од втор ред и нивната динамика, користејќи резултати од теоријата на воздушни бранови
|-
! style="width:25%;" | квантитет
! style="width:10%;" | симбол
! style="width:10%;" | единици
! style="width:45%;" | формула
|- style="height:80px"
! средна густина на бранова енергија по единица хоризонтална површина
| <math>E</math>
| [[Џул|J]] ·m <sup>−2</sup>
| <math>E = \tfrac12 \rho g a^2</math>
|- style="height:80px"
! стрес на зрачење или вишок хоризонтален флукс на [[Импулс (механика)|импулсот]] поради движењето на брановите
| <math>S_{xx}</math>
| N·m <sup>−1</sup>
| <math>S_{xx} = \left( 2 \frac{c_g}{c_p} - \tfrac12 \right) E</math>
|- style="height:80px"
! браново дејство
| <math>\mathcal{A}</math>
| J·s·m <sup>−2</sup>
| <math>\mathcal{A} = \frac{E}{\sigma} = \frac{E}{\omega - k U}</math>
|- style="height:80px"
! средна маса-флукс поради движењето на бранот или брановиот псевдо-импулс
| <math>M</math>
| kg·m <sup>−1</sup> ·s <sup>−1</sup>
| <math>M = \frac{E}{c_p} = k \frac{E}{\sigma}</math>
|- style="height:80px"
! средна хоризонтална брзина на транспорт на маса
| <math>\tilde{U}</math>
| m·s <sup>−1</sup>
| <math>\tilde{U} = U + \frac{M}{\rho h} = U + \frac{E}{\rho h c_p}</math>
|- style="height:80px"
! Стоукс лебдат
| <math>\bar{u}_S</math>
| m·s <sup>−1</sup>
| <math>\bar{u}_S = \tfrac12 \sigma k a^2 \frac{\cosh 2k(z+h)}{\sinh^2 kh}</math>
|- style="height:80px"
! ширење на бранова енергија
|
| J·m <sup>−2</sup> ·s <sup>−1</sup>
| <math>\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \bigl( (U + c_g) E \bigr) + S_{xx} \frac{\partial U}{\partial x} =0</math>
|- style="height:80px"
! браново дејство
|
| J·m <sup>−2</sup>
| <math>\frac{\partial \mathcal{A}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \bigl( (U + c_g) \mathcal{A} \bigr) = 0</math>
|- style="height:80px"
! зачувување на брановидниот врв
|
| rad·m <sup>−1</sup> ·s <sup>−1</sup>
| <math>\frac{\partial k}{\partial t} + \frac{\partial \omega}{\partial x} = 0 \quad \text{with} \quad \omega = \Omega(k) + k U</math>
|- style="height:80px"
! масовно зачувување
|
| kg·m <sup>−2</sup> ·s <sup>−1</sup>
| <math>\frac{\partial}{\partial t}( \rho h ) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \rho h \tilde{U} \right) = 0</math>
|- style="height:80px"
! средна еволуција со хоризонтален момент
|
| N·m <sup>−2</sup>
| <math>\frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \tilde{U} \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \rho h {\tilde U}^2 + \tfrac12 \rho g h^2 + S_{xx} \right) = \rho g h \frac{\partial d}{\partial x}</math>
|}
Последните четири равенки ја опишуваат еволуцијата на бавно променливите бранови возови преку [[батиметрија]] во интеракција со средниот проток и може да се изведат од варијацискиот принцип: просечен Лагранжов метод на Витам.<ref name="Whitham_559">{{Наведена книга|title=Linear and nonlinear waves|last=Whitham|first=G.B.|publisher=Wiley-Interscience|year=1974|isbn=978-0-471-94090-6|oclc=815118|author-link=Gerald B. Whitham}}, p. 559.</ref> Во средната равенка на хоризонтален импулс, {{Мат|''d''(''x'')}} е длабочината на мирната вода, односно коритото под флуидниот слој се наоѓа на {{Мат|''z'' {{=}} −''d''}}. Забележливо е дека просечната брзина на проток во равенките на масата и моментот е ''брзината на транспорт'' {{Мпром|Ũ}}, вклучувајќи ги ефектите на брановите во зоната на прскање на хоризонталниот транспорт на масата, а не средната Ојлеровата брзина (на пример, како што се мери со фиксен проток метар).

=== Густина на енергија на брановите ===
Брановата енергија е количина од примарен интерес, бидејќи е примарна количина што се транспортира со брановите возови.<ref>Phillips (1977), p. 23–25.</ref> Како што може да се види погоре, многу бранови величини како површинската височина и орбиталната брзина се осцилаторни по природа со нулта средна вредност (во рамките на линеарната теорија). Кај водените бранови, најкористената енергетска мерка е средната густина на енергијата на брановите по единица хоризонтална површина. Тоа е збир на [[Кинетичка енергија|кинетичката]] и [[Потенцијална енергија|потенцијалната]] густина на енергијата, интегрирани во длабочината на флуидниот слој и просечен во фазата на бранови. Наједноставно е да се изведе средната густина на потенцијалната енергија по единица хоризонтална површина {{Мат|''E''<sub>pot</sub>}} на површинските гравитациски бранови, што е отстапување на потенцијалната енергија поради присуството на брановите:<ref name="Phillips_39">Phillips (1977), p. 39.</ref>

: <math>\begin{align}
E_\text{pot} &= \overline{\int_{-h}^{\eta} \rho gz\,\mathrm{d}z} - \int_{-h}^0 \rho gz\, \mathrm{d}z \\[6px]
       &= \overline{\tfrac12\rho g\eta^2} = \tfrac14 \rho ga^2.
\end{align}</math>

Надбарот ја означува средната вредност (која во овој случај на периодични бранови може да се земе или како временски просек или како просек над една бранова должина во просторот).

Просечната густина на кинетичката енергија по единица хоризонтална површина {{Мат|''E''<sub>kin</sub>}} на движењето на брановите е слично:<ref name="Phillips_39">Phillips (1977), p. 39.</ref>

: <math>\begin{align}
E_\text{kin} &= \overline{\int_{-h}^0 \tfrac12 \rho \left[ \left| \mathbf{U} + \mathbf{u}_x \right|^2 + u_z^2 \right]\, \mathrm{d}z} - \int_{-h}^0 \tfrac12 \rho \left| \mathbf{U} \right|^2\, \mathrm{d}z \\[6px]
       &= \tfrac14 \rho \frac{\sigma^2}{k \tanh k h}a^2, 
\end{align}</math>

со {{Мпром|σ}} внатрешната честота. Користејќи ја релацијата дисперзија, резултатот за површинските гравитациски бранови е:

: <math>E_\text{kin} = \tfrac14 \rho g a^2.</math>

Како што може да се види, средната кинетичка и потенцијалната густина на енергијата се еднакви. Ова е општо својство на енергетските густини на прогресивните линеарни бранови во конзервативен систем.<ref name="Phillips_38">Phillips (1977), p. 38.</ref><ref>{{Наведено списание|last=Lord Rayleigh (J. W. Strutt)|author-link=Lord Rayleigh|year=1877|title=On progressive waves|url=https://zenodo.org/record/1447762|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=9|pages=21–26|doi=10.1112/plms/s1-9.1.21}} Reprinted as Appendix in: ''Theory of Sound'' '''1''', MacMillan, 2nd revised edition, 1894.</ref> Додавајќи ги потенцијалните и кинетичките придонеси, {{Мат|''E''<sub>pot</sub>}} и {{Мат|''E''<sub>kin</sub>}}, средната енергетска густина по единица хоризонтална површина {{Мпром|E}} на движењето на брановите е:

: <math>E = E_\text{pot} + E_\text{kin} = \tfrac12 \rho g a^2.</math>

Во случај ефектите на површинскиот напон да не се занемарливи, нивниот придонес исто така ја зголемува густината на потенцијалот и кинетичката енергија, што дава <ref name="Phillips_38">Phillips (1977), p. 38.</ref>

: <math> E_\text{pot} = E_\text{kin} = \tfrac14 \left( \rho g + \gamma k^2 \right) a^2, </math>

така

: <math> E = E_\text{pot} + E_\text{kin} = \tfrac12 \left( \rho g + \gamma k^2 \right) a^2, </math>

со {{Мпром|γ}} [[Површински напон|површинскиот напон]].

=== Дејство на бранови, енергетски флукс и стрес на зрачење ===
Општо земено, може да има пренос на енергија помеѓу движењето на брановите и средното движење на течноста. Ова значи дека густината на енергијата на бранот не е во сите случаи зачувана количина (занемарувајќи ги дисипативните ефекти), туку вкупната енергетска густина - збирот на енергетската густина по единица површина на движењето на бранот и средното движење на протокот е. Сепак, за бавно променливи бранови возови, кои се шират во полека променлива [[батиметрија]] и полиња со среден проток, постои слична и зачувана бранова количина, дејството {{Мат|{{mathcal|A}} {{=}} {{sfrac|''E''|''σ''}}}} :<ref name="Whitham_559"/><ref name="Phillips_26">Phillips (1977), p. 26.</ref><ref>{{Наведено списание|last=Bretherton|first=F. P.|last2=Garrett|first2=C. J. R.|year=1968|title=Wavetrains in inhomogeneous moving media|journal=Proceedings of the Royal Society of London, Series A|volume=302|issue=1471|pages=529–554|bibcode=1968RSPSA.302..529B|doi=10.1098/rspa.1968.0034}}</ref>

: <math>\frac{\partial \mathcal{A}}{\partial t} + \nabla\cdot\left[ \left(\mathbf{U}+\mathbf{c}_g\right) \mathcal{A}\right] = 0,</math>

со {{Мат|('''U''' + '''c'''<sub>''g''</sub>) {{mathcal|A}}}} акциониот флукс и {{Мат|'''c'''<sub>''g''</sub> {{=}} ''c''<sub>''g''</sub>'''e'''<sub>''k''</sub>}} векторот на [[Групна брзина|групната брзина.]] Зачувувањето на дејството ја формира основата за многу модели на бранови на ветер и модели на бранови турбуленции.<ref>Phillips (1977), pp. 179–183.</ref> Тоа е, исто така, основата на крајбрежните инженерски модели за пресметување на брановидните бранови.<ref>Phillips (1977), pp. 70–74.</ref> Проширувањето на горната равенка за зачувување на дејството на брановите води до следнава еволуциска равенка за густината на брановата енергија:<ref name="Phillips_66">Phillips (1977), p. 66.</ref>

: <math>\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla\cdot\left[\left( \mathbf{U}+\mathbf{c}_g\right) E \right] + \boldsymbol{S}:\left(\nabla\mathbf{U}\right) = 0,</math>

со:

* {{Мат|('''U''' + '''c'''<sub>''g''</sub>)''E''}} е просечниот бран на густината на енергијата,
* {{Мпром|'''S'''}} е тензорот на стресот на зрачење и
* {{Мат|∇'''U'''}} е тензорот на стапката [[:en:Shear rate|shear rate]].

Во оваа равенка во неконзервативна форма, внатрешниот производ {{Мат|'''''S''''' : (∇'''U''')}} е изворниот термин што ја опишува енергетската размена на движењето на брановите со средниот тек. Само во случај кога просечната брзина на смолкнување е нула, {{Мат|∇'''U''' {{=}} '''0'''}}, средната густина на енергијата на бранот {{Мпром|E}} е зачувана. Двата тензори {{Мпром|'''S'''}} и {{Мат|∇'''U'''}} се во [[Декартов координатен систем]] од формата:<ref>Phillips (1977), p. 68.</ref>

: <math>
 \begin{align}
 \boldsymbol{S} &= \begin{pmatrix} S_{xx} & S_{xy} \\ S_{yx} & S_{yy} \end{pmatrix}
  = \boldsymbol{I} \left( \frac{c_g}{c_p} - \frac12 \right) E
  + \frac{1}{k^2} \begin{pmatrix} k_x k_x & k_x k_y \\[2ex] k_y k_x & k_y k_y \end{pmatrix} \frac{c_g}{c_p} E,
 \\[6px]
 \boldsymbol{I} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, 
 \\[6px]
 \nabla \mathbf{U} &= 
  \begin{pmatrix}
   \displaystyle \frac{\partial U_x}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial U_y}{\partial x}
   \\[2ex]
   \displaystyle \frac{\partial U_x}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial U_y}{\partial y}
  \end{pmatrix},
 \end{align}
</math>

со {{Мпром|k<sub>x</sub>}} и {{Мпром|k<sub>y</sub>}} компонентите на векторот на брановиот број {{Мат|'''k'''}} и слично {{Мпром|U<sub>x</sub>}} и {{Мпром|U<sub>y</sub>}} компонентите во векторот на средната брзина {{Мат|'''U'''}}

=== Флукс на маса на бранови и импулс на бранови ===
Просечниот хоризонтален [[Импулс (механика)|импулс]] по единица површина {{Мат|'''M'''}} индуциран од брановото движење - а исто така и брановидниот масен флукс или транспорт на маса - е:<ref name="Phillips_mass">Phillips (1977), pp. 39–40 & 61.</ref>

: <math>\begin{align}
\mathbf{M} &= \overline{\int_{-h}^\eta \rho \left( \mathbf{U}+\mathbf{u}_x\right)\, \mathrm{d}z} - \int_{-h}^0 \rho \mathbf{U}\, \mathrm{d}z \\[6px]
      &= \frac{E}{c_p} \mathbf{e}_k,
\end{align}</math>

што е точен резултат за периодични прогресивни водни бранови, исто така валиден за нелинеарни бранови.<ref>Phillips (1977), p. 40.</ref> Сепак, неговата важност силно зависи од начинот на кој се дефинира брановиот момент и масовниот флукс. Стоукс веќе идентификувал две можни дефиниции за [[фазна брзина]] за периодични нелинеарни бранови:<ref name="Stokes1847">Stokes (1847).</ref>

* ''Стоуксова прва дефиниција за бранова [[Фазна брзина|јачина]]'' (S1) - со средна брзина на Ојлеров проток еднаква на нула за сите височини {{Мпром|z}} ' под брановите корита, и
* ''Стоуксова втора дефиниција за јачина на бранови'' (S2) - со средна маса на пренос еднаков на нула.

Горенаведената врска помеѓу брановиот импулс {{Мат|'''M'''}} и густината на брановата енергија {{Мпром|E}} е валидна во рамките на првата дефиниција на Стоукс.

Меѓутоа, за бранови нормални на крајбрежната линија или во затворен лабораториски бранов канал, втората дефиниција (S2) е посоодветна. Овие бранови системи имаат нулта масен флукс и импулс кога се користи втората дефиниција.<ref>Phillips (1977), p. 70.</ref> Спротивно на тоа, според првата дефиниција на Стоукс (S1), постои бранови-индуциран масен флукс во насоката на ширење на бранот, кој треба да се балансира со просечен проток {{Мат|'''U'''}} во спротивна насока - наречен подвод.

Тоа значи дека наместо брановиден момент се користи терминот псевдо-импулс на брановите.<ref>{{Наведено списание|last=McIntyre|first=M. E.|year=1978|title=On the 'wave-momentum' myth|journal=Journal of Fluid Mechanics|volume=106|pages=331–347|bibcode=1981JFM...106..331M|doi=10.1017/S0022112081001626}}</ref>

===Равенки за еволуција на маса и импулс===

За полека променлива батиметрија, бранови и полиња со среден проток, еволуцијата на средниот проток може да се опише во однос на средната брзина на пренос на маса Ũ дефинирана како:<ref name=Phillips_61_63>Phillips (1977), pp. 61–63.</ref>

:<math>\tilde{\mathbf U} = \mathbf{U} + \frac{\mathbf{M}}{\rho h}.</math>

Забележливо е дека за длабоки води, кога средната длабочина h оди до бесконечност, средната Ојлеровата брзина U и средната брзина на пренос Ũ стануваат еднакви.

Равенката за зачувување на масата е:<ref name="Whitham_559"/><ref name=Phillips_61_63/>

:<math>  \frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \right) + \nabla \cdot \left( \rho h\tilde{\mathbf{U}} \right)  = 0,</math>

каде што {{math|''h''('''x''',''t'')}} е средна длабочина на водата, полека варира во просторот и времето.

Слично на тоа, средниот хоризонтален момент еволуира како:<ref name="Whitham_559"/><ref name=Phillips_61_63/>

:<math>  \frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \tilde{\mathbf{U}}\right)  + \nabla \cdot \left( \rho h \tilde{\mathbf{U}} \otimes \tilde{\mathbf{U}} + \tfrac12\rho gh^2\boldsymbol{I} + \boldsymbol{S} \right)   = \rho g h \nabla d,</math>

со {{mvar|d}} длабочина на мирна вода (морското корито е на z = –d ), S е тензор на браново зрачење-напрегање, I е идентитетска матрица и ⊗ е дијадичен производ:

:<math> \tilde{\mathbf{U}} \otimes \tilde{\mathbf{U}} =
  \begin{pmatrix} 
    \tilde{U}_x \tilde{U}_x & \tilde{U}_x \tilde{U}_y \\
    \tilde{U}_y \tilde{U}_x & \tilde{U}_y \tilde{U}_y 
  \end{pmatrix}.</math>
Забележливо е дека средниот хоризонтален момент е зачуван само ако морското дно е хоризонтално (длабочината на мирната вода d е константа), во согласност со Нотеровата теорема.

Системот на равенки е затворен преку описот на брановите. Распространувањето на брановата енергија е опишано преку равенката за зачувување на браново дејство (без дисипација и нелинеарни бранови интеракции):<ref name="Whitham_559"/><ref name="Phillips_26" />

:<math>  \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{E}{\sigma} \right)  + \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf{U} +\mathbf{c}_g \right) \frac{E}{\sigma} \right]  = 0.</math>

Кинематиката на брановите е опишана преку равенката:<ref>Phillips (1977), p. 23.</ref>

:<math>\frac{\partial \mathbf{k}}{\partial t} + \nabla \omega = \mathbf{0},</math>

со аголна честота ω функција од (аголниот) брановит број k, поврзан преку дисперзионата релација. За ова да биде возможно, брановото поле мора да биде кохерентно. Со преземање на свиокот на зачувувањето на брановиот врв, може да се види дека иницијално ирротациското поле на брановиот број останува иротациско.

== Наводи ==

=== Историски ===

* {{Наведена книга|title=Encyclopædia Metropolitana|title-link=Encyclopædia Metropolitana|last=Airy|first=G. B.|year=1841|editor-last=Hugh James Rose|editor-link=Hugh James Rose|series=Mixed Sciences|volume=3|publication-date=1817–1845|chapter=Tides and waves|author-link=George Biddell Airy|display-editors=etal}} Also: "Trigonometry, On the Figure of the Earth, Tides and Waves", 396&nbsp;pp.
* {{Наведено списание|last=Stokes|first=G. G.|author-link=George Gabriel Stokes|year=1847|title=On the theory of oscillatory waves|journal=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|volume=8|pages=441–455}}

Reprinted in: {{Наведена книга|url=https://archive.org/details/mathphyspapers01stokrich|title=Mathematical and Physical Papers, Volume I|last=Stokes|first=G. G.|publisher=Cambridge University Press|year=1880|pages=[https://archive.org/details/mathphyspapers01stokrich/page/n214 197]–229}}

=== Дополнително читање ===

* {{Наведено списание|last=Craik|first=A. D. D.|year=2004|title=The origins of water wave theory|journal=Annual Review of Fluid Mechanics|volume=36|pages=1–28|bibcode=2004AnRFM..36....1C|doi=10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118}}
* {{Наведена книга|title=Water wave mechanics for engineers and scientists|last=Dean|first=R. G.|last2=Dalrymple|first2=R. A.|publisher=World Scientific|year=1991|isbn=978-981-02-0420-4|series=Advanced Series on Ocean Engineering|volume=2|location=Singapore|oclc=22907242}}
* {{Наведена книга|title=Water wave propagation over uneven bottoms|last=Dingemans|first=M. W.|publisher=World Scientific|year=1997|isbn=978-981-02-0427-3|series=Advanced Series on Ocean Engineering|volume=13|location=Singapore|oclc=36126836}} Two parts, 967 pages.
* {{Наведена книга|title=Hydrodynamics|last=Lamb|first=H.|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=978-0-521-45868-9|edition=6|oclc=30070401|author-link=Horace Lamb}} Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
* {{Наведена книга|title=Fluid mechanics|last=Landau|first=L. D.|last2=Lifschitz|first2=E. M.|publisher=Pergamon Press|year=1986|isbn=978-0-08-033932-0|edition=2 revised|series=Course of Theoretical Physics|volume=6|oclc=15017127|author-link=Lev Landau|author-link2=Evgeny Lifshitz}}
* {{Наведена книга|title=Waves in fluids|last=Lighthill|first=M. J.|publisher=Cambridge University Press|year=1978|isbn=978-0-521-29233-7|oclc=2966533|author-link=M. J. Lighthill}} 504 pp.
* {{Наведена книга|title=The dynamics of the upper ocean|last=Phillips|first=O. M.|publisher=Cambridge University Press|year=1977|isbn=978-0-521-29801-8|edition=2|oclc=7319931|author-link=Owen Martin Phillips}}
* {{Наведување|first=J. V.|pages=653–667, §27|archiveurl=https://web.archive.org/web/20130521123440/http://coe.berkeley.edu/SurfaceWaves/|access-date=2013-05-05|oclc=612422741|url=http://coe.berkeley.edu/SurfaceWaves/|publisher=Springer Verlag|year=1960|journal=Encyclopaedia of Physics|title=Surface Waves|volume=9|last=Wehausen|editor2-link=Clifford Truesdell|editor2-last=Truesdell|editor2-first=C.|editor1-link=Siegfried Flügge|editor1-last=Flügge|editor1-first=S.|last2=Laitone|first2=E. V.|author1-link=John V. Wehausen|archivedate=2013-05-21}}

== Наводи ==
{{наводи}}
== Надворешни врски ==

* [http://www.wikiwaves.org/Linear_Theory_of_Ocean_Surface_Waves Линеарна теорија на површинските бранови] на океаните на WikiWaves.
* [http://web.mit.edu/fluids-modules/www/potential_flows/LecturesHTML/lec19bu/node1.html Водни бранови] на МИТ.

{{Физичка океанографија}}

[[Категорија:Бранова механика]]