Преглед на кодот на Е (број)

{{lowercase}}
[[Податотека:Exp derivative at 0.svg|right|frame|''e'' е единствен број ''a'', чијашто вредност на изводот (наклонетоста на тангентата) на експоненцијалната функција ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' (сината крива) во точката ''x''&nbsp;=&nbsp;0 е точно 1. За споредба, функциите 2<sup>''x''</sup> (точкестата крива) и 4<sup>''x''</sup> (испрекинатата крава) се привидни; тие не се тангента на наклонетата линија во точката на ординатата со кордината 1 (црвената права).]]
'''''e''''' — [[математичка константа]], приближно еднаква на '''2,71828''', и единствен [[реален број]], чијашто функција ''e<sup>x</sup>'' има иста вредност на [[извод|наклонот на тангентата]] за сите вредности на ''x''.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_03_01.html Derivatives of Exponential Functions and the Number e]</ref> Појасно, единствените функции, кои се еднакви на сите свои [[извод]]и се во облик ''Ce<sup>x</sup>'', каде ''C'' е константа.<ref>Keisler, H.J. [http://www.vias.org/calculus/08_exp-log_functions_06_01.html General Solution of First Order Differential Equation]</ref> Функцијата ''e<sup>x</sup>'' е наречена [[експоненцијална функција]] и нејзината [[инверзна функција]] е [[природен логаритам|природниот логаритам]] или логаритам со [[основа (математика)|основа]] ''e''. Бројот ''e'' обично е дефиниран како основа на природниот логаритам (дефиницијата со примена на [[интеграл]] се користи подоцна) како [[гранична вредност на низа|гранична вредност]] на секоја [[низа]] или како збир на сите [[ред (математика)|редови]] (видете [[#Прикажување на е|прикажување на е]]).

Бројот ''e'' е еден од најважните броеви во математиката,<ref>{{наведена книга| title = An Introduction to the History of Mathematics | author = Howard Whitley Eves | year = 1969 | publisher = Holt, Rinehart & Winston | url = http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1 }}</ref> паралелно со додатните и мултипликативни идентитети [[0 (број)|0]] и [[1 (број)|1]], константата [[пи|π]] и [[имагинарна единица|имагинарната единица]] ''i''.

Бројот ''e'' понекогаш се нарекува „Ојлеров број“, по името на [[Швајцарија|швајцарскиот]] [[математичар]] [[Леонард Ојлер]]. (''e'' не треба да се меша со γ – [[Ојлер-Маскерониева константа|Ојлер-Маскерониевата константа]] - понекогаш наречена ''Ојлерова константа''.)

Бројот ''e'' е [[трансцендентен број|трансцендентен]] и поради тоа [[ирационален број|ирационален]], односно неговата вредност не може да се пресмета во ограничен број на децимали или, пак, во децимали кои се повторуваат. Бројчената вредност на ''e'', заокружена на 20 [[децимален број|децимали]] е {{nowrap|2,71828 18284 59045 23536…}}.

== Историја ==
Првите знаци за појавата на бројот се појавиле во 1618 во табелата со додатоци од работа на логаритмите од страна на [[Џон Непер]].<ref name="OConnor">O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; ''The MacTutor History of Mathematics archive'': [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html "The number ''e''"]; University of St Andrews Scotland (2001)</ref> И покрај тоа, ова не ја содржело константата, туку едноставно список на природни логаритми пресметани од константата. Се смета дека табелата била напишана од [[Вилијам Отред]]. „Откривањето“ на константата му се припишува на [[Јакоб Бернули]], кој се обидел да ја најде вредноста на следниот израз (што всушност е ''e''):

: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.</math>
Првата позната примена на константата, претставена со буквата ''b'' била во дописот од [[Готфрид Лајбниц]] до [[Кристијан Хајгенс]] во 1690 и 1691. [[Леонард Ојлер]] започнал да ја употребува буквата ''e'' за ознака на константата во 1727 година и првата употреба на буквата ''e'' била во Ојлеровата ''Механика'' (1736). Додека во следните години некои истражувачи ја употребувале буквата ''c'', буквата ''e'' била повообичаена и станала стандардна ознака на бројот.

== Примена ==
=== Проблемот на сложена камата ===
[[Јакоб Бернули]] ја открил константа, анализирајќи го прашањето за [[сложена камата|сложената камата]].

Еден прост пример е пресметката, која започнува со $1,00, за кој се плаќа 100% камата годишно. Ако каматата се плаќа еднаш на крајот од годината, тогаш сумата која треба да се плати е $2,00; но ако каматата се пресметува двапати во годината, сумата од еден $1 се множи двапати со 1,5, односно $1,00×1,5²&nbsp;=&nbsp;$2,25. Доколку камата се пресметува квартално, тогаш $1,00×1,25<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,4414…, а ако тоа се пресметува секој месец, $1,00×(1,0833…)<sup>12</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,613035….

Бернули открил дека граничната вредност на низата ([[сложена камата|сложени камати]]) за сè помали интервали расте со помал интензитет. Вкаматувањето неделно изнесува $2,692597…, додека дневно $2,714567…. Доколку бројот на интервали на вкаматувањето е ''n'', со камата од 1/''n'' во секој интервал, тогаш граничната вредност е број кој е еднаков на ''e'', односно со ''континуиран'' раст вредноста којашто се достигнува е $2,7182818…. Поедноставно, доколку вкаматувањето започнува од $1, а се враќаат (1+''R'') долари со проста камата, тогаш со континуелно вкаматување ќе се пресметаат ''e''<sup>''R''</sup> долари.

=== Бернулиевите обиди ===
Бројот ''e'' има примена и во [[теорија на веројатност|теоријата на веројатност]], каде расте на начин кој очигледно не е поврзан со експоненциојалниот пораст. Да претпоставиме дека комарџија игра на машина која исплаќа со веројатност од еден од n и игра n пати. Тогаш, за поголема вредност, на n (на пр. милион) [[веројатност]]а дека комарџијата нема да добие ништо е отприлика 1⁄''e''.

Ова е пример од [[Бернулиеви обиди|Бернулиевите обиди]]. Секој пат кога комарџијата ќе се реши да игра, шансата за добивка е еден во милион. Играјќи милион пати, според [[биномна распределба|биномната распределба]], која е поврзана со [[Њутнов бином|биномната теорема]]. Веројатноста да се добие ''k'' пати од милион обиди е;
:<math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.</math>
Впрочем, веројатноста да се добие 0 пати (''k''=0) е
:<math>\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.</math>
Ова е поврзано со граничната вредност на 1⁄''e'':
:<math>\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.</math>

=== Дисмутации ===
Друга примена на ''e'' е исто така откриена од Јакоб Бернули, но заедно со [[Пјер Ремон де Монмор]] и претставува проблем на [[дисмутација|дисмутации]], познат и како ''проблем на проверка на капата''.<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L. [http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html ''Introduction to probability theory''] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |date=2011-07-27 }} (published online under the [[GFDL]]), p. 85.</ref> Овде,''n'' гости се повикани на забава и пред вратата секој гостин ја проверува капата со домаќинот, кој потоа ги става во обележани кутии. Но, домаќинот не го знае името на гостинот, па мора да ги стави во случајно одбрани кутии. Проблемот на Де Монмор е: која е веројатноста дека ''ниту една'' од капите не е ставена во вистинската кутија. Одговорот е:

:<math>p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}.</math>

Како што бројот на гости ''n'' се движи кон бесконечност, ''p''<sub>n</sub> се стреми кон <sup>1</sup>⁄''<sub>e</sub>''. Освен тоа, бројот на начини капите да се ставени во кутиите, така што ниту една од капите да не е ставена во вистинската кутија е точно <sup>''n''!</sup>⁄<sub>''e''</sub>, заокружено на најблискиот цел број.<ref>Knuth (1997) ''[[The Art of Computer Programming]]'' Volume I, Addison-Wesley, p. 183.</ref>

=== Асимптотска анализа ===
Бројот ''e'' природно се појавува во поврзаноста со многу проблеми, вклучувајќи ги и оние во [[асимптотска анализа|асимптотската анализа]]. Познат пример е [[Стирлингова формула|Стирлинговата формула]] за пресметување на [[факториел]] на многу големи броеви, во која се употребуваат и бројот ''e'' и [[пи|π]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}.</math> Од ова следува дека
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>

== ''e'' во анализата ==
[[Податотека:Ln+e.svg|рамка|десно|200px|Природниот логаритам од е, ln(e) е еднаков на 1]]

Основно образложение за воведување на бројот ''e'' во [[математичка анализа|математичката анализа]] е за да може да се олесни пресметувањето на [[извод]]и и [[интеграл]]и од [[експоненцијална функција|експоненцијални функции]] и [[логаритам|логаритми]].<ref>See, for instance, Kline, M. (1998) ''Calculus: An intuitive and physical approach'', Dover, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."</ref> Типичната експоненцијална функција ''y''=''a''<sup>''x''</sup> има извод, претставен како [[Асимптотска вредност на функција|асимптотска вредност]]:
:<math>\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).</math>
Асимптотската вредност на десната страна е независна од [[променлива]]та ''x'': таа зависи само од основата ''a''. Кога основата е ''e'', оваа асимптотска вредност е еднаква на 1, па ''e'' симболички се претставува со равенството:
:<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>

Како последица на ова, експоненцијалната функција со основа ''e'' особено се применува во математичката анализа. Избирајќи го бројот ''e'', наместо некој друг број од експоненцијалните функции, пресметките за добивање на извод стануваат многу полесни.

Друго образложение доаѓа од разгледувањето на [[логаритам]] со основа ''a''.<ref>This is the approach taken by Klein (1998).</ref> Разгледувањето на дефиницијата за извод од ''log''<sub>a</sub>''x'' како асимптотска вредност:
:<math>\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),</math>
каде замената ''u'' = ''h''/''x'' е направена во последниот чекор. Последното појавување на асимптотска вредност во оваа пресметка е повторно неопределена асимптотска вредност, која зависи само од основата ''a'' и ако основата е ''e'', тогаш асимптотска вредност е еднаква на 1. Симболично,
:<math>\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.</math>
Логаритмот со основа ''е'' е наречен [[природен логаритам]], кој често се обележува со „ln“ и често се однесува на диференцијацијата, додека нема недетерминирана асимптотска вредност за време на пресметките.

Има два начини, во кои се претставува ''a''=''e''. Едниот е да се пресмета извод од експоненцијалната функција ''a''<sup>x</sup> за ''a''<sup>x</sup>. Другиот е да се пресмета извод од логаритам од 1/''x'' со основа ''a''. И во двата случаи доаѓа до соодветен избор на основата за пресметка на изводите. Всушност, овие две основи го содржат бројот ''e''.

=== Алтернативни карактеризирања ===
{{Поврзано|Претставувања на e}}
Можни се и други карактеризирања на бројот ''e'': една е [[асимптотска вредност на низа|асимптотската вредност на низа]], другата е збир од [[ред (математика)|редови]], а другите се поврзани со [[интеграл]]ите. Одамна биле воведени следните два еквиваленти:

1. Бројот ''e'' е единствен позитивен [[реален број]] за кој важи
:<math>\frac{d}{dt}e^t = e^t.</math>

2. Бројот ''e'' е единствен позитивен реален број за кој важи
:<math>\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.</math>

Следните три карактеризирања на експоненцијалната функција се еквивалентни:

3. Бројот ''e'' е [[асимптотска вредност]]
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>

Слично:
:<math>e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{1/x}</math>

[[Податотека:hyperbola E.svg|мини|десно|Површината под кривата ''y'' = 1/''x'' е еднаква на 1 во интервалот 1 ≤ ''x'' ≤ ''e''.]]

4. Бројот ''e'' е збир на [[ред (математика)|редови]]
:<math>e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots</math>
каде ''n''! е [[факториел]] од ''n''.

5. Бројот ''e'' е единствениот позитивен реален број за кој важи
:<math>\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}</math>.

== Својства ==
=== Анализа ===
Како и во образложението, [[експоненцијална функција|експоненцијалната функција]] ''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup> е значајна, бидејќи е единствена нетривијална функција, која има [[извод]] еднаков на самата функција.
:<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x</math>
и поради тоа нејзиниот [[неопределен интеграл]] е:

:<math>e^x= \int_{-\infty}^x e^t\,dt </math>

::<math>= \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_{0}^x e^t\,dt </math>

::<math>\qquad= 1 + \int_{0}^x e^t\,dt.</math>

=== Експоненцијална функција ===
Нека бројот ''x'' = ''e'', каде [[екстрем]]от се појавува за функцијата:

:<math> f(x) = x^{1/x}.\, </math>

Поедноставно, ''x'' = <sup>''n''</sup>√<span style="text-decoration:overline">''e''</span> е каде екстремот се појавува за функцијата

:<math> \!\ f(x) = x^{1/x^n}. </math>

Бесконечната [[тетрација]]

:<math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math>

конвергира само ако ''e''<sup>−''e''</sup> ≤ ''x'' ≤ ''e''<sup>1/''e''</sup>, според теоремата на [[Леонард Ојлер]].

=== Теорија на броеви ===
Реалниот број ''e'' е [[ирационален број|ирационален]] (видете [[доказ дека e е ирационален број]]) и [[трансцендентен број|трансцендентен]] ([[Линдеман-Ваерштрасова теорема]]). Тоа е првиот број за кој се докажало дека е трансцендентен без да биде разложуван за таа цел (споредба со [[лиувилов број|Лиувиовиот број]]); доказот бил направен од страна на [[чарлс Хермит]] во 1873. Бројот е хипотетички е [[нормален број|нормален]].

=== Комплексни броеви ===

[[експоненцијална функција|Експоненцијалната функција]] ''e''<sup>''x''</sup> може да биде запишана и со примена на [[Тејлоров ред|Тејлоровиот ред]]

:<math> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>

Бидејќи редот има многу значајни својства за ''e''<sup>''x''</sup> дури и кога ''x'' е [[комплексен број]], вообичаено се употребува за да се укаже на дефиницијата за ''e''<sup>''x''</sup> до комплексните броеви. Ова со Тејлоровиот ред за [[синус|sin]] и [[косинус|cos]] ''x'', доведува до докажување на [[Ојлерова формула|Ојлеровата формула]]:

:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!</math>

што важи за сите ''x''. Специјален случај е кога ''x'' = [[пи|π]], кој е познат како [[Ојлеров идентитет]]:

:<math>e^{i\pi}+1 =0 .\,\!</math>

Како последица на ова

:<math>e^{i\pi}=-1,\,\!</math>

од што следува во основниот вид на логаритам

:<math>\log_e (-1) = i\pi.\,\!</math>

Освен тоа, примената на законите за степенување,

:<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),</math>

ја чинат [[Моаврова формула|Моавровата формула]].

Случајот

:<math>\cos (x) + i \sin (x)\,\!</math>

обично е познат како Cis(x).

=== Диференцијални равенки ===

Основната функција

:<math>y(x) = ce^x\,</math>

е решението на [[диференцијална равенка|диференцијалната равенка]]:

:<math>y' = y.\,</math>

== Претставувања ==
{{Главна|Претставувања на e}}

Бројот ''e'' може да биде претставен како [[реален број]] на различни начини: како [[бесконечен ред]], [[бесконечен производ]], [[бесконечна дропка]] или [[гранична вредност на низа]]. Основното меѓу овие претставувања, делумно во воведот од [[математичка анализа|математичката анализа]] е граничната вредност
:<math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,</math>
дадена погоре, како и редот
:<math>e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>
даден со изведување на редот за ''e''<sup>x</sup> за ''x''=1.

Можни се и други понеобични претставувања. На пример, ''e'' може да биде претставен како бесконечна дропка:

:<math>e=2+
\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 2}+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 4}+\cfrac{1}{
 \ddots
 }
 }
 }
 }
 }
}
</math>

Или во пократката формула:

:<math>e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, \ldots,1, \textbf{2n}, 1,\ldots]], \,</math>

којашто може да биде запишана хармонично со додавање на 0:<ref>Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995)</ref>

:<math> e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, \ldots]]. \,</math>

Многу други редови, низи, бесконечни дропки и бесконечни производи биле развиени како претставувања на ''e''.

=== Стохастички претставувања ===
Покрај детерминистичките аналитички изрази за претставувањето на ''e'', кои се опишани погоре, постојат неколку схоластички протоколи за пресметување на ''e''. Во еден таков протокол, случајните примери <math>X_1, X_2, ..., X_n</math> од n од [[непрекината рамномерна прераспределба|непрекинатата рамномерна прераспределба]] на (0, 1) се применуваат за пресметување на ''e''. Ако

:<math>U=  \min { \left \{ n \mid X_1+X_2+...+X_n > 1 \right \} },</math>

тогаш очекувањето за ''U'' е ''e'': <math>E(U) = e</math>.<ref>Russell, K. G. (1991) ''[http://www.jstor.org/discover/10.2307/2685243 Estimating the Value of e by Simulation]'' The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (Feb., 1991), pp. 66-68.</ref><ref>Dinov, ID (2007) ''[http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_EduMaterials_Activities_LawOfLargeNumbers#Estimating_e_using_SOCR_simulation Estimating e using SOCR simulation]'', SOCR Hands-on Activities (retrieved [[December 26]], [[2007]]).</ref> Освен тоа, едноставниот просек на ''U'' променливите е отприлика ''e''.

=== Познати децимали ===
Бројот на познати децимали на ''e'' драматично се зголемувал во последните неколку декади. Ова е поради подобрувањето на можностите на компјутерите, како и на напредокот на алгоритмите.<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html The constant e and its computation]</ref><ref>Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html Reported large computations with PiFast]</ref>

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ '''Познат број на децимали на ''e'' '''
! Година || Децимали || Пресметал
|-
| 1748 ||align=right| 18 || [[Леонард Ојлер]]<ref>New Scientist 21 јули 07, стр. 40</ref>
|-
| 1853 ||align=right| 137 || [[Вилијам Шенкс]]
|-
| 1871 ||align=right| 205 || [[Вилијам Шенкс]]
|-
| 1884 ||align=right| 346 || Маркус Бурман
|-
| 1946 ||align=right| 808 || ?
|-
| 1949 ||align=right| 2.010 || [[Џон фон Нојман]] (на [[ENIAC]])
|-
| 1961 ||align=right| 100.265 || [[Даниел Шенкс]] и Џон Френч
|-
| 1981 ||align=right| 116.000 || [[Стивен Гери Вознијак]] (на [[Apple II]]<ref>Byte Magazine, том 6, бр. 6 (јуни 1981) стр. 392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"</ref>)
|-
| 1994 ||align=right| 10.000.000 || Роберт Немирог и Џери Бонел
|-
| 1997 (мај) ||align=right| 18.199.978 || Патрик Демикел
|-
| 1997 (август) ||align=right| 20.000.000 || Биргер Зајферт
|-
| 1997 (септември) ||align=right| 50.000.817 || Патрик Демикел
|-
| 1999 (февруари) ||align=right| 200.000.579 || Себастијан Веденивски
|-
| 1999 (октомври) ||align=right| 869.894.101 || Себастијан Веденивски
|-
| 1999 (21 ноември) ||align=right| 1.250.000.000 || Хавиер Гурдон
|-
| 2000 (10 јули) ||align=right| 2.147.483,648 || Шигеру Кондо и Хавиер Гурдон
|-
| 2000 (16 јули) ||align=right| 3.221.225.472 || Колин Мартин и Хавиер Гурдон
|-
| 2000 (2 август) ||align=right| 6.442.450.944 || Шигеру Кондо и Хавиер Гурдон
|-
| 2000 (16 август) ||align=right| 12.884.901.000 || Шигеру Кондо и Хавиер Гурдон
|-
| 2003 (21 август) ||align=right| 25.100.000.000 || Шигеру Кондо и Хавиер Гурдон
|-
| 2003 (18 септември) ||align=right| 50.100.000.000 || Шигеру Кондо и Хавиер Гурдон
|-
| 2007 (27 април) ||align=right| 100.000.000.000 || Шигеру Кондо и Стив Паљаруло
|}

== Информатичка технологија ==
Во современата [[интернет култура]], поединци и организации имаат почит кон бројот ''e''.

На пример, во [[IPO]] картотеката за [[Google]], во 2004, наместо некој стандарден број на пари, компанијата ја соопшти својата намера да достигне $2,718,281,828, што се ''e'' милијарда [[долар]]и. Компанијата Google беше одговорна и за мистериозната рекламна табла <ref>[http://braintags.com/archives/2004/07/first-10digit-prime-found-in-consecutive-digits-of-e/ First 10-digit prime found in consecutive digits of e - Brain Tags<!-- Bot generated title -->]</ref> која се појави во срцето на [[Силициумска Долина|Силициумската Долина]], а подоцна и во [[Кембриџ, Масачусетс]]; [[Сиетл, Вашингтон]]; и [[Остин, Тексас]]. Можеше да се прочита ''{first 10-digit prime found in consecutive digits of ''e''}.com''. Решавањето на овој проблем и посетувањето на рекламираното мрежно место водело до уште поголем проблем, којшто води до [[лаборатории на Google|лабораториите на Google]], каде посетителот е повикан да поднесе резиме.<ref>{{наведени вести|first=Andrea|last=Shea|url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=3916173|title=Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle|work=NPR|accessdate=2007-06-09}}</ref> Првите 10 децимали на бројот ''e'' се 7427466391, ред што започнува и од 99-тата децимала<ref>{{нмс|first=Marcus|last=Kazmierczak|url=http://mkaz.com/math/google-billboard|title=Math : Google Labs Problems|publisher=mkaz.com|date=2004-07-29|accessdate=2007-06-09|archive-date=2010-09-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20100923111259/http://mkaz.com/math/google-billboard/|url-status=dead}}</ref>

Во друг пример, еминентниот информатичар [[Доналд Кнут]] пуштил верзија на броеви на својот програм [[METAFONT]] пристапувајќи до e. Верзиите се 2, 2,7, 2,71, 2,718 итн.

== Наводи ==
{{Reflist|2}}

== Наводи ==
* Maor, Eli; ''e: The Story of a Number'', ISBN 0-691-05854-7

== Надворешни врски ==
* [<!--http://www.gutenberg.org/etext/127-->http://www.gutenberg.org/zipcat2.php/127/127.txt{{Мртва_врска|date=September 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} The number ''e'' to 1 million places] and [<!--http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/rjn_dig.html-->http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.2mil 2] and [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil 5 million places]
* [http://jeff560.tripod.com/constants.html Earliest Uses of Symbols for Constants]
* [http://www.austms.org.au/Modules/Exp/ e the EXPONENTIAL - the Magic Number of GROWTH] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20090303205814/http://www.austms.org.au/Modules/Exp/ |date=2009-03-03 }} - Keith Tognetti, University of Wollongong, NSW, Australia
* [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ An Intuitive Guide To Exponential Functions & e]
* [http://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/the-story-of-e "The story of ''e''"], by Robin Wilson at Gresham College, 28 февруари 2007 (available for audio and video download)
* [http://www.ginac.de/CLN/ Class Library for Numbers] (part of the GiNaC distribution) includes example code for computing ''e'' to arbitrary precision.

{{Избрана}}
{{Ирационални броеви}}
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Математички константи]]
[[Категорија:Броеви]]
[[Категорија:Математика]]