Преглед на кодот на Инверзни тригонометриски функции

'''Инверзни тригонометриски функции''' (понекогаш нарекувани и '''аркус функции''',<ref name="Taczanowski_1978"/><ref name="Hazewinkel_1994"/><ref name="Ebner_2005"/><ref name="Mejlbro_2010"/><ref name="Duran_2012"/> '''антитригонометриски функции'''<ref name="Hall_1909"/> или '''циклометрични функции'''<ref name="Klein_1924"/><ref name="Klein_2004"/><ref name="Dörrie_1965"/>) – во [[математика]]та се [[инверзна функција|инверзни функции]] на [[тригонометриски функции|тригонометриските функции]] (со соодветно ограничени [[домен на функција|домени]]). Конкретно, тие се инверзни функции на функциите [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]], [[котангенс]], [[секанс]] и [[косеканс]] и се користат за да се добие аголот од кој било од тригонометриските односи. Инверзните тригонометриски функции широко се користат во [[инженерство]]то, [[навигација]]та, [[физика]]та и [[геометрија]]та.

==Обележување==
Постојат неколку обележувања кои се користат за инверзните тригонометриски функции.

Најприфатена конвенција е инверзните тригонометриски функции да се именуваат со користење на претставката „arc“: {{math|arcsin(''x'')}}, {{math|arccos(''x'')}}, {{math|arctan(''x'')}}, etc.<ref name="Hall_1909"/> (Оваа конвенција се користи во статијава.)  Ова обележување произлегува од следните геометриски односи:
При мерење во радијани, агол од ''θ'' радијани ќе соодветствува на лак чија должина е ''rθ'', каде ''r'' е полупречникот на кругот. Така, во [[единична кружница]], "лакот чиј косинус е ''x''" е ист со  "аголот чиј косинус е ''x''", бидејќи должината на лакот во кругот во радијани е ист со аголот во радијани.<ref name="Americana_1912"/> Во сметачките програмски јазици инверзните тригонометрски функции вообичаено се нарекуваат според нивните скратени облици asin, acos, atan.

Обележувањата {{math|sin<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|cos<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|tan<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, итн., како што биле воведени од [[Џон Хершел]] во 1813 година,<ref name="Cajori"/><ref name="Herschel_1813"/> исто така често се користат во изворите на англиски јазик <ref name="Hall_1909"/> и оваа конвенција е во согласност со обележувањето на [[инверзна функција]]. Ова може да изгледа како логичен конфликт со општата семантика за изрази како {{math|sin<sup>2</sup>(''x'')}}, што повеќе реферира на бројно степенување отколку на функциски состав, па следствено може да доведе до забуна меѓу [[реципрочна вредност]] и [[инверзна функција|композициска инверзија]]. Забуната е намалена во извесна мера со фактот што секоја од реципрочните тригонометриски функции има свое име – на пример, {{math|(cos(''x''))<sup>&minus;1</sup>}} = {{math|sec(''x'')}}. Сепак, одредени автори препорачуваат да не се користи заради нејзината двосмисленост.<ref name="Hall_1909"/><ref name="Korn_2000"/> Друга конвенција која се користи од одредени автори е да се користи прва голема буква заедно со &minus;1 superscript: {{math|Sin<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|Cos<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|Tan<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, etc.<ref name="Bhatti_1999"/>  Со ова потенцијално се избегнува забуната со степенувањето со негативни вредности, кое треба да биде претставено со {{math|sin<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|cos<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, итн.

Од 2009 година, стандардот [[Меѓународна организација за стандардизациај|ISO 80000-2]] го специфицира единствено претставката "arc" за овие инверзни функции.

==Основни својства==

===Главни вредности===
Со оглед дека ниедна од шесте тригонометриски функции не е [[инјективна функција]], тие се ограничени за да може да имаат инверзни функции. Затоа, областите на инверзните функции се прави [[подмножество|подмножества]] од домените на оригиналните функции.

На пример, со користење ''функција'' во смисла на  [[повеќезначна функција|повеќезначни функции]], како функцијата [[квадратен корен]] {{math|''y'' {{=}} {{sqrt|''x''}}}} може да биде дефинирана од {{math|''y''<sup>2</sup> {{=}} ''x''}}, функцијата {{math|''y'' {{=}} arcsin(''x'')}} е дефинирана така што sin(''y'') = ''x''. За даден реален број ''x'', со −1 ≤ ''x'' ≤ 1, постојат повеќе (фактички, броиво бесконечно многу) броеви ''y'' така што {{math|sin(''y'') {{=}} ''x''}}; за на пример, {{math|sin(0) {{=}} 0}}, но исто така {{math|sin(&pi;) {{=}} 0}}, {{math|sin(2&pi;) {{=}} 0}}, итн. Кога се сака само една вредност, функцијата може да биде ограничен на нејзината главна гранка. Со ова ограничување, за секое ''x'' во доменот изразот {{math|arcsin(''x'')}} ќе се определува вредноста само на една вредност, наречена [[главна вредност]]. Овие својства важат за сите инверзни тригонометриски функции.

Главните вредности се дадени во следниот список.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!Име
!Вообичаено обележување
!Дефиниција
!Домен на ''x'' за реален резултат
!Опсег на вообичаена главна вредност <br /> ([[радијан]]и)
! Опсег на вообичаена главна вредност <br /> ([[степен (агол)|степени]])
|-
| '''аркус синус''' || ''y'' = {{math|arcsin(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[синус|sin]](''y'')}} || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −{{sfrac|{{pi}}|2}} ≤ ''y'' ≤ {{sfrac|{{pi}}|2}} || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
| '''аркус косинус''' || ''y'' = {{math|arccos(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[косинус|cos]](''y'')}} || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ {{pi}} || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''аркус тангенс''' || ''y'' = {{math|arctan(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[тангенс|tan]](''y'')}} || сите реални броеви || −{{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''аркус тангенс''' || ''y'' = {{math|arccot(''x'')}} ||''x'' = {{math|[[котангенс|cot]](''y'')}} || сите реални броеви
| 0 < ''y'' < {{pi}} || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''аркус секанс''' || ''y'' = {{math|arcsec(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[секанс|sec]](''y'')}} || ''x'' ≤ −1 или 1 ≤ ''x'' || 0 ≤ ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} or {{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' ≤ {{pi}} || 0° ≤ ''y'' < 90° или 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
| '''аркус косеканс''' || ''y'' = {{math|arccsc(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[косеканс|csc]](''y'')}} || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || −{{sfrac|{{pi}}|2}} ≤ ''y'' < 0 или 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|{{pi}}|2}} || −90° ≤ ''y'' < 0° или 0° < ''y'' ≤ 90°
|-
|}
(Забелешка: Некои автори го дефинираат опсегот на аркус секанс како ( 0 ≤ ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} or {{pi}} ≤ ''y'' < {{sfrac|3{{pi}}|2}} ), бидејќи функцијата тангенс е ненегативна во овој домен. Ова ги прави одредени пресметки поконзистентни. На пример, користејќи го опсегот, {{math|tan(arcsec(''x'')) {{=}} {{sqrt|''x''<sup>2</sup> − 1}}}}, додека во опсегот ( 0 ≤ ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} или {{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' ≤ {{pi}} ), би требало да се напише {{math|tan(arcsec(''x'')) {{=}} ±{{sqrt|''x''<sup>2</sup> − 1}}}}, бидејќи тангенсот е ненегативен во 0 ≤ ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} но непозитивен во {{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' ≤ {{pi}}. Од слична причина, истите автори го дефинираат опсегот на аркус косеканс да е −{{pi}} < ''y'' ≤ −{{sfrac|{{pi}}|2}} или 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|{{pi}}|2}}.)

Доколку е дозволено ''x'' да биде [[комплексен број]], тогаш опсегот на ''y'' важи само за неговиот реален дел.

===Врски меѓу тригонометриските функции и инверзните тригонометриски функции ===
Тригонометриските функции од инверзните тригонометриски функции се дадени во долната табела. Може брзо да се изведат земајќи ја предвид геометријата на правоаголен триаголник чија една страна е со должина 1 и друга со должина ''x'' (кој било реален број меѓу 0 и 1), потоа со примена на [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] и дефинициите на тригонометриските односи. Чисто алгебарските изведувања се подолги.

{|class="wikitable"
|-
!<math>\theta</math>
!<math>\sin(\theta)</math>
!<math>\cos(\theta)</math>
!<math>\tan(\theta)</math>
!Дијаграм
|-
!<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\sin(\arcsin(x)) = x </math>
|<math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse3.svg|150px]]
|-
!<math>\arccos(x)</math>
|<math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos(\arccos(x)) = x </math>
|<math>\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse.svg|150px]]
|-
!<math>\arctan(x)</math>
|<math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arctan(x)) = x</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse2.svg|150px]]
|-
!<math>\arccsc(x)</math>
|<math>\sin(\arccsc(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos(\arccsc(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\tan(\arccsc(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse5.svg|150px]]
|-
!<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\sin(\arcsec(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\cos(\arcsec(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan(\arcsec(x)) = \sqrt{x^2-1}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse6.svg|150px]]
|-
!<math>\arccot(x)</math>
|<math>\sin(\arccot(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arccot(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arccot(x)) = \frac{1}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse4.svg|150px]]
|-
|}

===Врски меѓу инверзните тригонометриски функции ===
[[Слика:Arcsine Arccosine.svg|168px|десно|мини|Вообичаените главни вредности на функциите arcsin(''x'') (црвено) и arccos(''x'') (сино) нацртани во [[Декартов координатен систем]].]]
[[Слика:Arctangent Arccotangent.svg|294px|десно|мини| Вообичаените главни вредности на функциите arctan(''x'') и arccot(''x'') нацртани во Декартов координатен систем.]]
[[Слика:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|десно|мини| Главните вредности на функциите arcsec(''x'') and arccsc(''x'') нацртани во Декартов координатен систем.]]

[[Комплементарни агли]]:
:<math>\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\[0.5em]
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\[0.5em]
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x)
\end{align}</math>

Негативни аргументи:
:<math>\begin{align}
\arcsin(-x) &= -\arcsin(x) \\
\arccos(-x) &= \pi -\arccos(x) \\
\arctan(-x) &= -\arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi -\arccot(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi -\arcsec(x) \\
\arccsc(-x) &= -\arccsc(x)
\end{align}</math>

Реципрочни аргументи:
:<math>\begin{align}
\arccos\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsec(x) \\[0.3em]
\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccsc(x) \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) \, , \text{ if } x > 0 \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) - \pi \, , \text{ if } x < 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) = \arctan(x) \, , \text{ if } x > 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) = \pi + \arctan(x) \, , \text{ if } x < 0 \\[0.3em]
\arcsec\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccos(x) \\[0.3em]
\arccsc\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsin(x)
\end{align}</math>

Корисни идентитети доколку се има само фрагмент од синусна табела:
:<math>\begin{align}
\arccos(x) &= \arcsin\left(\sqrt{1 - x^2}\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arccos(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(2x^2-1\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(1-2x^2\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \\
\arctan(x) &= \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}</math>

Секогаш кога тука се користи квадратен корен од комплексен број, се бира корен со позитивен реален дел (или позитивен имагинарен дел ако квадратниот корен бил реален негативен).

Од формулата за тангенс на половина агол, <math>\tan\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \tfrac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}</math>, се добива:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right) \\[0.5em]
\arccos(x) &= 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x}\right) \, , \text{ if } -1 < x \leq + 1 \\[0.5em]
\arctan(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}</math>

===Формула за собирање на аркус тангенс ===
:<math>\arctan(u) \pm \arctan(v) = \arctan\left(\frac{u \pm v}{1 \mp uv}\right) \pmod \pi \, , \quad u v \ne 1 \, .</math>
Ова е изведено од формулата за собирање на тангенс
:<math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} \, ,</math>
со допуштање
:<math>\alpha = \arctan(u) \, , \quad \beta = \arctan(v) \, .</math>

==Во математичката анализа==

==={{anchor|Derivatives}}Изводи на инверзни тригонометриски функции ===
:{{Главна|Диференцирање на тригонометриски функции }}

[[Извод]]ите за комплексни вредности на ''z'' се:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin(z) &{} = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;   &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos(z) &{} = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;  &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arctan(z) &{} = \frac{1}{1+z^2} \; ;          &z &{}\neq -i, +i\\
\frac{d}{dz} \arccot(z) &{} = -\frac{1}{1+z^2} \; ;         &z &{}\neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec(z) &{} = \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;   &z &{}\neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;  &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}</math>
Само за реални вредности на ''x'':
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ;  & |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc(x) &{} = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ; & |x| > 1
\end{align}</math>

Како пример за извод: ако <math>\theta = \arcsin(x)</math>, се добива:
:<math>\frac{d \arcsin(x)}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin(\theta)} = \frac{d \theta}{\cos(\theta)d \theta} = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

===Изразување како определени интеграли ===
Со интегрирање и фиксирање на вредноста во една точка се добива израз за инверзната тригонометриска функција како определен интеграл:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arccos(x) &{}= \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arctan(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arccot(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arcsec(x) &{}= \int_1^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \pi + \int_x^{-1} \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz\; , & x &{} \geq 1\\
\arccsc(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \int_{-\infty}^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz \; , & x &{} \geq 1\\
\end{align}</math>
Кога ''x'' е еднаков на 1, интегралите со ограничени домени се [[несвојствен интеграл|несвојствени интеграли]], но сè уште добро дефинирани.

===Бесконечни редови===
Како функциите синус и косинус, инверзните тригонометриски функции може да се пресметуваат користејќи [[степенен ред|степени редови]], како што следи. За аркус синус, редовите може да се изведат со проширување на неговиот дериватив, <math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math>, како [[биномен ред]], и со интегрирање член по член (користејќи ја горната дефиниција за интеграл). Слично, редовите за аркус тангенс може да се изведат со проширување на неговиот дериватив <math>\frac{1}{1+z^2}</math> во [[геометриски ред]] и применувајќи ја горната дефиниција за интеграл (види [[Лајбницов ред]]).

: <math>
\begin{align}
\arcsin(z) & = z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{z^7}{7} + \cdots \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)! \, z^{2n+1}}{(2n+1)\left(2^{n}n!\right)^{2}} \, ; \qquad |z| \le 1
\end{align}
</math>

:<math>\arctan(z)
= z - \frac{z^3}{3} +\frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1 \qquad z \neq i,-i</math>

Редовите за другите инверзни тригонометриски функции може да се дадат според овие согласно погоре дадените врски. На пример, <math>\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x)</math>, <math>\arccsc(x) = \arcsin(1/x)</math>, итн.  Друг ред е даден со:<ref name="Borwein_2004"/>

:<math>2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n^2\binom {2n} n}</math>

[[Леонард Ојлер]] пронашол ред за аркус тангенс кој конвергира побрзо од неговиот [[Тејлоров ред]]:

: <math>\arctan(z) = \frac z {1 + z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k + 1)(1 + z^2)}.</math><ref>{{citation|title= An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function|journal = The Mathematical Gazette | author = Hwang Chien-Lih | doi = 10.1017/S0025557200178404 | year = 2005 | volume = 89 | issue = 516|pages = 469–470 }}</ref>
(Членот во збирот за ''n'' = 0 е [[празен производ]], така што е 1.)

Алтернативно, ова може да биде изразено како

:<math>\arctan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n + 1)!} \; \frac{z^{2n + 1}}{(1 + z^2)^{n + 1}}.</math>

Друг ред за функцијата аркус тангенс е даден со

:<math>\arctan(z) = i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n - 1}\left(\frac{1}{(1 + 2i/z)^{2n-1}} - \frac{1}{(1 - 2i/z)^{2n - 1}}\right),</math>

where <math>i=\sqrt{-1}</math> е [[имагинарна единица]].

====Континуирани дропки за аркус тангенс ====
Две алтернативи за степените редови за аркус тангенс се овие обопштени континуирани дропки:

: <math>\arctan(z) =
\frac z {1 + \cfrac{(1z)^2}{3 - 1z^2 + \cfrac{(3z)^2}{5 - 3z^2 + \cfrac{(5z)^2}{7 - 5z^2 + \cfrac{(7z)^2}{9-7z^2 + \ddots}}}}} =
\frac{z}{1 + \cfrac{(1z)^2}{3 + \cfrac{(2z)^2}{5 + \cfrac{(3z)^2}{7 + \cfrac{(4z)^2}{9 + \ddots}}}}}
</math>

Вториот е валиден во пресечена комплексна рамнина. Има два пресечени дела, од &minus;'''i''' до бесконечност, надолу по имагинарната оска, и од '''i''' до бесконечност, нагоре по истата оска. Најдобро работи за реални броеви од −1 до 1. Парцијалните именители се непарни природни броеви, а парцијалните броители (после првиот) се (''nz'')<sup>2</sup>, при што секој совршени квадрат се јавува само еднаш. Првиот го развил [[Леонард Ојлер]], вториот [[Карл Фридрих Гаус]] користејќи [[Гаусов хипергеометриски ред]].

===Неопределени интеграли на инверзни тригонометриски функции ===

За реални и комплексни вредности на ''z'':
:<math>\begin{align}
\int \arcsin(z) \, dz &{}= z \, \arcsin(z) + \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arccos(z) \, dz &{}= z \, \arccos(z) - \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arctan(z) \, dz &{}= z \, \arctan(z) - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arccot(z) \, dz &{}= z \, \arccot(z) + \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arcsec(z) \, dz &{}= z \, \arcsec(z) - \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C\\
\int \arccsc(z) \, dz &{}= z \, \arccsc(z) + \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C
\end{align}</math>

За реално ''x'' ≥ 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C
\end{align}</math>

За сите реални ''x'' кои не се меѓу -1 и 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C
\end{align}</math>

Апсолутната вредност е неопходна за да се надоместат и негативните и позитивните вредности од функциите аркус секанс и аркус косеканс. Функцијата сигнум е исто така неопходна заради апсолутните вредности во деривативите на двете функции, кои создаваат две различни решенија за позитивни и негативни вредности на x. Понатаму ова може да се поедностави со користење на логаритамските дефиниции на [[инверзни хиперболични функции|инверзните хиперболични функции]]:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\end{align}</math>

Апсолутната вредност во аргументот на функцијата аркус хиперболичен косинус ја прави негативната половина од нејзиниот графикон, правејќи го идентичен со логаритамската сигнум функција прикажана погоре.

Сите овие антидеривативи може да бидат изведени користејќи интегрирање по делови и гореприкажаните едноставни деривативни облици.

====Пример====
Користејќи <math>\int u \, dv = u v - \int v \, du</math> ( [[интегрирање по делови]]), нека

:<math>\begin{align}
u &= \arcsin(x) & dv &= dx \\
du &= \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & v &= x
\end{align}</math>

потоа

:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx,</math>

Што со едноставна [[интегрирање со замена|замена]] го дава конечниот резултат:

:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C </math>

==Наводи==
{{Reflist
|refs =
<ref name="Hall_1909">{{Наведена книга |title=Trigonometry |volume=Part I: Plane Trigonometry |author1-first=Arthur Graham |author1-last=Hall |author2-first=Fred Goodrich |author2-last=Frink |date=January 1909 |location=Ann Arbor, Michigan, USA |department=Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions |publisher=[[Henry Holt and Company]] / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA |publication-place=New York, USA |page=15 |url= https://archive.org/stream/planetrigonometr00hallrich#page/n30/mode/1up |access-date=2017-08-12 |url-status= |quote=[…] <tt>α&nbsp;= arcsin&nbsp;''m''</tt>: It is frequently read "[[arc-sine]] ''m''" or "[[anti-sine]] ''m''," since two mutually inverse functions are said each to be the [[anti-function]] of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other [[trigonometric function]]s. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, <tt>α&nbsp;= sin{{sup|-1}}''m''</tt>, is still found in English and American texts. The notation <tt>α&nbsp;= inv sin ''m''</tt> is perhaps better still on account of its general applicability. […]}}</ref>
<ref name="Klein_1924">{{Наведена книга |title=Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis |volume=1 |author-first=Christian Felix |author-last=Klein |author-link=Christian Felix Klein |date=1924<!-- 1927 --> |orig-year=1902<!-- 1908 --> |edition=3 |publisher=[[J. Springer]] |location=Berlin |language=de}}</ref>
<ref name="Klein_2004">{{Наведена книга |title=Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis |author-first=Christian Felix |author-last=Klein |author-link=Christian Felix Klein |date=2004 |orig-year=1932 |edition=Translation of 3rd German |publisher=[[Dover Publications, Inc.]] / [[The Macmillan Company]] |translator-first1=E. R. |translator-last1=Hedrick |translator-first2=C. A. |translator-last2=Noble |isbn=978-0-48643480-3 |url=https://books.google.com/books?id=8KuoxgykfbkC |access-date=2017-08-13 }}</ref>
<ref name="Taczanowski_1978">{{Наведено списание |title=On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis |author-first=Stefan |author-last=Taczanowski |journal=[[Nuclear Instruments and Methods]] |volume=155 |issue=3 |publisher=[[ScienceDirect]] |date=1978-10-01 |pages=543–546 |url = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0029554X78905414 |access-date=2017-07-26 |doi=10.1016/0029-554X(78)90541-4 }}</ref>
<ref name="Hazewinkel_1994">{{Наведена книга |title=Encyclopaedia of Mathematics |title-link=Encyclopedia of Mathematics |author-first=Michiel |author-last=Hazewinkel |author-link=Michiel Hazewinkel |publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] / [[Springer Science & Business Media]] |orig-year=1987 |date=1994 |edition=unabridged reprint |isbn=978-155608010-4 }}</ref>
<ref name="Ebner_2005">{{Наведена книга |title=Preparatory Course in Mathematics |author-first=Dieter |author-last=Ebner |publisher=Department of Physics, [[University of Konstanz]] |date=2005-07-25 |edition=6 |url=https://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/vorkurs-skript.pdf |access-date=2017-07-26 |url-status= |archive-url=https://web.archive.org/web/20170726195140/https://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/vorkurs-skript.pdf |archive-date=2017-07-26 }}</ref>
<ref name="Mejlbro_2010">{{Наведена книга |title=Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory |author-first1=Leif |author-last1=Mejlbro |publisher=[[Ventus Publishing ApS]] / [[Bookboon]] |date=2010-11-11 |edition=1 |isbn=978-87-7681-702-2 |url=http://netsaver.myds.me/sym/pub/Netsaver%20Library/Mejlbro,%20Leif/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20S%20(2365)/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20Mejlbro,%20Leif.pdf |access-date=2017-07-26 |url-status= |archive-url=https://web.archive.org/web/20170726203321/http://netsaver.myds.me/sym/pub/Netsaver%20Library/Mejlbro,%20Leif/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20S%20(2365)/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20Mejlbro,%20Leif.pdf |archive-date=2017-07-26}}</ref>
<ref name="Duran_2012">{{Наведена книга |title=Mathematical methods for wave propagation in science and engineering |volume=1: Fundamentals |author-first=Mario |author-last=Durán |publisher=Ediciones UC |date=2012 |edition=1 |isbn=978-956141314-6 |page=88}}</ref>
<ref name="Dörrie_1965">{{Наведена книга |title=Triumph der Mathematik |author-first=Heinrich |author-last=Dörrie |translator-first=David |translator-last=Antin |publisher=[[Dover Publications]] |year=1965 |isbn=978-0-486-61348-2 |page=69}}</ref>
<ref name="Americana_1912">{{Наведена книга |department=Inverse trigonometric functions |title=The Americana: a universal reference library |volume=21 |editor-first1=Frederick Converse |editor-last1=Beach |editor-first2=George Edwin |editor-last2=Rines |date=1912|title-link=The Americana }}</ref>
<ref name="Cajori">{{Наведена книга |url = https://books.google.com/books?id=bBoPAAAAIAAJ |author-last=Cajori |author-first=Florian |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematics |page=272 |edition=2 |year=1919 |publisher=[[The Macmillan Company]] |location=New York, NY }}</ref>
<ref name="Herschel_1813">{{Наведено списание |url=https://books.google.com/books?id=qpRJAAAAYAAJ&pg=PA8 |author-last=Herschel |author-first=John Frederick William |author-link=John Frederick William Herschel |title=On a remarkable Application of Cotes's Theorem |journal=Philosophical Transactions |page=8 |volume=103 |number=1 |date=1813 |publisher=Royal Society, London|doi=10.1098/rstl.1813.0005 }}</ref>
<ref name="Korn_2000">{{Наведена книга |title=Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review |first1=Grandino Arthur |last1=Korn |first2=Theresa M. |last2=Korn |edition=3<!-- (based on 1968 edition by McGrawHill, Inc.) --> |year=2000 |orig-year=1961 |publisher=[[Dover Publications, Inc.]] |location=Mineola, New York, USA |department=21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions |page=811 |isbn=978-0-486-41147-7}}</ref>
<ref name="Bhatti_1999">{{Наведена книга |title=Calculus and Analytic Geometry |date=1999 |publisher=Punjab Textbook Board |location=[[Lahore]] |edition=1 |page=140 |author-first1=Sanaullah |author-last1=Bhatti |author-last2=Nawab-ud-Din |author-first3=Bashir |author-last3=Ahmed |author-first4=S. M. |author-last4=Yousuf |author-first5=Allah Bukhsh |author-last5=Taheem |editor-first1=Mohammad Maqbool |editor-last1=Ellahi |editor-first2=Karamat Hussain |editor-last2=Dar |editor-first3=Faheem |editor-last3=Hussain |language=en-PK |department=Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions }}</ref>
<ref name="Borwein_2004">{{Наведена книга |title=Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery |author-first1=Jonathan |author-last1=Borwein |author-first2=David |author-last2=Bailey |author-first3=Roland |author-last3=Gingersohn |edition=1 |date=2004 |publisher=:[[A. K. Peters]] |page=51 |location=Wellesley, MA, USA |isbn=978-1-56881-136-9 }}</ref>
}}

==Надворешни врски==
* {{MathWorld |urlname=InverseTrigonometricFunctions |title=Inverse Trigonometric Functions}}
* {{MathWorld |urlname=InverseTangent |title=Inverse Tangent}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Тригонометриски функции]]
[[Категорија:Бездимензионални броеви]]