Преглед на кодот на Интегрирање со смена на променливата

{{Без извори|датум=ноември 2009}}
{{Анализа}}
'''Интегрирање со смена на променливата''', во [[математика]]та т.е. [[Интегрално сметање|интегралното сметање]] еден од основните методи за решавање на интеграли. Ова правило допушта, т.е. ги дава потребните услови под кои, слично како кај [[Гранична вредност на функција|лимес на функција]], може да се изврши смена на променливата во определен интеграл. Заедно со методот на интегрирање по делови, овој метод е едно од двете најнужни тврдења кои треба да се познаваат при решавањето на интегралите.

= Формална дефиниција =

Нека <math>A \subseteq \mathbb{R}</math> е интервал и нека е дефинирана непрекината функција: <math>f:A \to \mathbb{R}</math> и нека <math>\phi:[a,b]\to A</math> е непрекинато-диференцијабилна функција на интервалот <math>[a,b]</math>. Тогаш важи следново равенство:

: <math>\int_a^b f\left( \phi(t) \right) \phi^\prime (t)\,dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\,dx</math>

Ќе го докажеме тврдењето:

Нека се исполнети условите и нека <math>F(x)</math> е примитивна за <math>f(x)</math> на <math>A</math>, т.е. <math>F^\prime(x)=f(x), \,\,\ x\in A</math>. Тогаш пак функцијата <math>F(\phi(x))</math> е примитивна за <math>f(\phi(x))\phi^\prime(x)</math> бидејќи

: <math>\left[ F(\phi(x)) \right]^\prime = F^\prime(\phi(x))\phi^\prime(x) = f(\phi(x))\phi^\prime(x)</math>

Тогаш според [[Основна теорема на анализата|формилата на Њутн-Лајбниц]] имаме:

: <math>\int_a^b f(\phi(x)) \phi^\prime (x)\,dx = F(\phi(x))|_a^b = F(x)|_{\phi(a)}^{\phi(b)} = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\,dx</math>

= Пример =

* Да се пресмета интегралот: <math>\int_1^2 \frac{\ln{x}}{x}\,dx</math>

Ќе ја воведеме смената: <math>t=\ln{x}</math>. Следствено имаме: <math>dt = \frac{1}{x}dx</math> и за смената на границите: <math>x=1 \Rightarrow t=\ln{1}</math>   и   <math>x=2 \Rightarrow t=\ln{2}</math>

Сега „настапува“ смената. Еве што всушност правиме:

:: [[Податотека:Smena na promenliva.png]]

односно добиваме:

: <math>\int_1^2 \frac{\ln{x}}{x}\,dx = \int_{\ln{1}}^{\ln{2}} t\,dt = \frac{t^2}{2}|_{\ln{1}}^{\ln{2}} = \frac{1}{2}(\ln^2{2} - \ln^2{1}) = \frac{\ln^2{2}}{2}</math>

== Поврзано ==

* [[Интегрално сметање]]
* [[Интегрирање по делови]]
* [[Интегрално сметање на функции од повеќе променливи]]

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Математичка анализа]]