Преглед на кодот на Кружница

'''Кружница''' — множество точки (формално поточно: [[Геометриско место на точки|геометриското место на точки]]) кои се еднакво оддалечени од некоја фиксирана точка <math>\ O </math> од рамнината. Точката <math>\ O </math> се вика '''центар''' на кружницата, а [[Метрика|растојанието]] <math>\ r>0</math> од центарот до било која точка од кружницата се вика '''[[полупречник]]''' (полупречник) на кружницата.

[[Податотека:Kruznica01.PNG|200px|right|Кружница со центар во точка ''O'' и полупречник ''r'']]

Кружницата е една од [[Криви од втор ред|елементарните рамнински криви]]. Нејзината конструкција е мошне едноставна, додека нејзиниот изглед е речиси волшебен. Затоа кружницата била позната и проучувана уште од многу одамна.

Математички, кружницата е ''само'' специјален случај на [[елипса]], односно елипса чии фокуси и центарот се совпаѓаат. Таа е затворена рамнинска крива, што подразбира дека има определен [[обиколка]] (периметар) и заградува дел од рамнината со одредена [[плоштина]].

Кружницата (како и останатите елементарни криви) може да се разгледува на два начини: '''геометриски''' (конструктивно) или '''аналитички'''. За проучување на одредени работи посоодветен е геометрискиот начин, за други аналитичкиот, но најважно од сѐ е дека тие даваат исти резултати и меѓусебно се надополнуваат. Аналитичкото претставување на кружницата е клучно во нејзиното обопштување во просторот.

== Геометриски својства на кружницата ==
=== Елементи на кружница ===

Во суштина кружницата е една од наједноставните рамнински криви. При проучувањето многу битно е да се прави разлика помеѓу '''кружница''' и '''круг'''. Имено, под кружница се подразбира само множеството точки кои се еднакво (<math>\ r</math> мерни единици) оддалечени од центарот, додека под круг се подразбира фигурата, делот од рамнината затворен со кружницата. Токму заради ова се избегнува ословувањето на кружницата со поимот ''фигура''.

[[Податотека:Kruznica02.PNG|250px|right|Елементи на кружницата]]
* Секоја кружница има свој '''центар''' или '''средиште''';
* Секоја [[отсечка]] чиј еден крај е во центарот, а другиот лежи на кружницата се нарекува или '''[[полупречник]]''' или '''полупречник''' на кружницата и се бележи најчесто со <math>\ r</math>. Сите полупречници се еднакви по должина која изнесува колку и растојанието помеѓу центарот и било која точка од кружницата;
* Секоја отсечка чии крајни точки лежат на кружницата се нарекува '''тетива''';
* Секоја тетива која минува низ центарот на кружницата се нарекува '''пречник''' или '''пречник''' на кружницата и се бележи најчесто со <math>\ d</math>. За пречникот важи: <math>\ d = 2r</math>. Заради еднаквоста на полупречниците, може да заклучиме дека сите пречници се еднакви меѓу себе;
* Секоја [[права]] која ја ''сече'' кружницата во две точки се нарекува '''секанта''' на кружницата. Уште повеќе, правата на која лежи било која тетива е секанта на кружницата;
* Секоја права која ја ''допира'' кружницата во една единствена точка се нарекува тангента на кружницата во таа точка и се бележи најчесто со <math>\ t</math>. Уште повеќе, во произволна точка од кружницата, тангентата и полупречникот се заемно нормални, т.е. затвораат [[прав агол]];
* Аголот чие [[теме (геометрија)|теме]] се наоѓа во центарот на кружницата се нарекува '''централен агол''';
* Аголот чие теме лежи на кружницата, а чии краци ја сечат кружницата се нарекува '''периферен агол''';

== Делови од кружницата и кругот ==

[[Податотека:Kruznica03.PNG|200px|right|Делови од круг и кружница]]
* Делот од кружницата ограничен со две точки кои лежат на неа се вика '''[[кружен лак]]''';
* Делот од кругот ограничен со кружницата и било кои два полупречника се нарекува '''[[кружен исечок]]''';
* Делот од кругот ограничен со кружницата и една нејзина тетива се нарекува '''[[кружен отсечок]]''';

'''Напомена:''' иако на сликата десно обележени се: лак, исечок и отсечок, да напоменеме дека и остатокот од кружницата кој не е обележен како лак, исечок или отсечок, исто така може да се смета за лак, исечок или отсечок соодветно зашто ги задоволува претходно наведените дефиниции. Но, под поимите лак, [[кружен исечок|исечок]] и [[кружен отсечок|отсечок]], по договор, се подразбираат само соодветно обележените на сликата.

== Обиколка на кружница и нејзините делови ==

Математичарите уште во [[Антика]]та забележале дека односот помеѓу обиколката на кружницата и нејзиниот пречник е константен, па затоа вложувале големи напори за негово пресметување. Како и да е, пресметувањето на точната вредност се покажало како многу тешка задача. Низ вековите се јавувале различни вредности кои релативно многу варирале една од друга. Денес се знае дека овој однос е [[ирационален број]] (т.е. има бесконечен непериодичен децимален запис); се бележи со грчката буква <math>\ \pi</math> ('''[[пи]]'''), а неговата апроксимација на педесет децимали е:

:: <math>\ \pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...</math>

Нека <math>\ L</math> е обиколката на кружницата, а <math>\ d</math> нејзиниот пречник. Тогаш од нивниот однос имаме:

: <math>\ \frac{L}{d} = \pi</math>,

т.е.

: <math>\ L = d\cdot \pi</math>

или

: <math>\ L = 2r\pi</math>

каде <math>\ r</math> е полупречникот на кружницата.

[[Податотека:Kruznica04.PNG|250px|right]]
Нека <math>\ A</math> и <math>\ B</math> се точки од кружницата такви што полупречниците во нив затвораат агол <math>\ \alpha</math> (како на сликата десно). Тогаш кружниот лак <math>\ \widehat{AB}</math> има должина:

: <math>\ l = \frac{r\pi \alpha}{180^\circ}</math>

ако аголот е зададен во [[степен]]и, или пак:

: <math>\ l=r\alpha</math>

ако аголот е зададен во [[радијан]]и.

== Плоштина на кругот и неговите делови ==

Плоштината ограничена со кружницата (т.е. плоштината на самиот круг), слично како и нејзината обиколка, уште одамна била предмет на истражување.Со текот на времето се менувале и алатките и начините со кои можело да се изрази оваа плоштина. Бидејќи при пресметување на плоштината (а слично и кај обиколката) фигурира барем една [[Ирационален број|ирационална величина]], во почетокот се работело на ''приближно'' претставување на плоштината, т.е. нејзина ''апроксимација''. За оваа цел [[Архимед]] користел [[Многуаголник|правилни многуаголници]], па дури и успеал да покаже дека: '''плоштината ограничена со кружницата, т.е. плоштината на кругот, е еднаква со плоштината на правоаголниот триаголник со [[основа (геометрија)|основа]] еднаква на [[обиколка]]та на кружницата и висина еднаква на полупречникот на таа кружница''', што е всушност точната плоштина на кругот!

Современата математика користи поинакви средства за пресметување на плоштината на кругот. Тука пред сѐ се користат [[Аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]] и [[Интегрално сметање|интегралното сметање]].

Плоштината <math>\ P</math> ограничена со кружница која има полупречник <math>\ r</math> изнесува:

:: <math>\ P = r^2 \pi</math>

квадратни единици. Истата, изразена преку [[пречник]]от <math>\ d</math> и изнесува:

:: <math>\ P = \frac{d^2 \pi}{4}</math>

Плоштината <math>\ P_i</math> на ''кружниот исечок'' кој е формиран од два полупречника што меѓу себе затвораат агол :: <math>\ \alpha</math> изнесува:

:: <math>\ P_i = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^\circ}</math>

ако аголот <math>\ \alpha</math> е изразен во степени, или пак:

:: <math>\ P_i = \frac{r^2 \alpha}{2}</math>

ако аголот <math>\ \alpha</math> е изразен во радијани.

Плоштината, пак, на кружниот отсечок може да се пресмета како разлика меѓу плоштината на кружниот исечок и рамнокракиот триаголник формиран од двата полупречника и тетивата. Имајќи ја предвид плоштината на овој триаголник која, изразена преку познатите величини <math>\ r</math> и <math>\ \alpha</math>, изнесува:

:: <math>\ P_{\Delta} = \frac{r^2 \sin{\alpha}}{2}</math>

за плоштината <math>\ P_o</math> на отсечокот добиваме:

:: <math>\ P_o = P_i - P_{\Delta} = \frac{r^2\pi \alpha}{360^\circ} - \frac{r^2 \sin{\alpha}}{2}</math>
[[Податотека:Kruznica07.PNG|right|200px]]

Плоштината <math>\ P</math> на прстенот определен со две ''[[концентрични кружници]]'' (кружници чии центри се совпаѓаат) со полупречници <math>\ R</math> и <math>\ r, \,\,\, R>r</math> се пресметува како разлика на нивните плоштини:

:: <math>\ P = P_R - P_r = R^2\pi - r^2\pi = (R-r)(R+r)\pi</math>

= Аналитички својства на кружницата =

Аналитичкото толкување на кружницата и кругот секако спаѓа во рамките на [[Аналитичка геометрија|аналитичката геометрија]] и [[Математичка анализа|математичката анализа]]. Разгледувањето на кружницата, нејзините елементи и својства во ваквото толкување е чисто апстрактно, па во некоја рака и без цртање. Сета работа се сведува на алгебарско решавање на претходно посочените појави.

== Равенка на кружницата и кругот ==

Кружницата е множество точки од рамнината; уште повеќе множество од точки кои се „правилно“ распоредени, што значи дека овој правилен распоред може да се изрази математички т.е. алгебарски.

Нека во рамнината е воведен правоаголен [[Рене Декарт|декартов]] [[координатен систем]]. Нека центарот на кружницата е точката <math>\ S</math> со координати: <math>\ S = (p,q)</math> и нека таа има полупречник <math>\ r>0</math>. Тогаш за координатите на секоја точка <math>\ M=(x,y)</math> која лежи на кружницата важи:

:: <math>\ (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2</math>

За последново равенство велиме дека е ''[[равенка]] на кружница со центар во точката <math>\ S=(p,q)</math> и полупречник <math>\ r>0</math>''.

Доколку ги [[Биномна формула|квадрираме]] изразите во последното равенство, се добива:

: <math>\ x^2 + y^2 + (-2p)x + (-2q)y + p^2 + q^2 - r^2 =0</math>

Ако формално запишеме:
:: <math>\ -2p = D</math>
:: <math>\ -2q = E</math>
:: <math>\ p^2 + q^2 - r^2 = F</math>

тогаш добиваме дека кружницата може да се претстави со равенката:

: <math>\ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0</math>

Обратно, кружницата може да биде зададена токму како [[квадратна равенка]] со две непознати, од облик:

: <math>\ Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0</math>

Тогаш координатите на центарот и полупречникот ги определуваме како:

:: <math>\ p = -\frac{D}{2A}</math>
:: <math>\ q = -\frac{E}{2A}</math>
:: <math>\ p^2 + q^2 - r^2 = \frac{F}{A}</math>

Специјално, пак, ако центарот на кружницата се наоѓа во [[координатен почеток|координатниот почеток]] т.е. <math>\ S \equiv O = (0,0)</math>, тогаш <math>\ p=q=0</math>, па равенката е од облик:

:: <math>\ x^2+y^2=r^2</math>

Кружницата чиј центар е во координатниот почеток се нарекува '''централна кружница'''. Уште повеќе, ако централната кружница има полупречник <math>\ r=1</math>, тогаш таа се нарекува '''[[единечна кружница]]''' и оваа кружница е клучна при дефинирањето на [[Тригонометрија|тригонометриските функции]] од произволен агол. Равенката на единечната кружница е:

:: <math>\ x^2+y^2=1</math>

Точките од '''кругот''', пак, се наоѓаат во „внатрешноста“ на кружницата, односно растојанието од центарот до било која точка од кругот е помало од растојанието од центарот до точка на кружницата (кое е точно полупречникот!), па ако точка со координати <math>\ (x,y)</math> припаѓа кругот, за неа важи:

:: <math>\ (x-p)^2 + (y-q)^2 \le r^2 </math>

каде со <math>\ (p,q)</math> е зададен центарот на кружницата со која е определен кругот. Слично за централниот круг:

:: <math>\ x^2+y^2 \le r^2</math>

'''Тангентата''' која кружницата со центар во <math>\ (p,q)</math> и полупречник <math>\ r</math> ја допира во точката <math>\ (x_0,y_0)</math> има равенка:

:: <math>\ t: (x_0-p)(x-p)+(y_0-q)(y-q)=r^2</math>

За тангентата на централната кружница во истата точка би имале:

:: <math>\ t: xx_0+yy_0 = r^2</math>

== Обиколка и плоштина ==

Пресметувањето на обиколката и плоштината на кружницата (кругот) аналатички се врши со помош на [[Интеграл|определен интеграл]].

Плоштината на кругот со полупречник <math>\ r</math> е определена како:

:: <math>\ P= 2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx</math>

Решението на овој интеграл е точно позната формула за пресметување на плоштина на круг:

::<math>\ P = r^2\pi</math>

Обиколката на кружницата со полупречник <math>\ r</math> е определена како:

:: <math>\ L = 2r\int_{-r}^{r} \frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}</math>

Решението на интегралот е точно <math>\ \pi</math>, па за обиколката се добива:

:: <math>\ L=2r\pi</math>

= Некои поважни теореми =

* '''Нека <math>\ A, B, C</math> се три неколинеарни точки од рамнината. Тогаш постои една и само една кружница која минува низ трите точки.''' Центарот на оваа кружница лежи на пресекот на симетралите на отсечките <math>\ \overline{AB}</math> и <math>\ \overline{BC}</math>, под претпоставка дека <math>\ B</math> лежи помеѓу <math>\ A</math> и <math>\ C</math>. Уште повеќе, ако точките ги имаат координатите: <math>\ A=(x_1,y_1), \,\, B=(x_2,y_2), \,\, C=(x_3,y_3)</math>, тогаш равенката на оваа кружница е претставена со [[детерминанта]]та:

<math>
\det\begin{bmatrix}
x   & y   & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.
</math>

[[Податотека:Kruznica05.PNG|300px|right|Степен на точка во однос на кружница]]
* '''Нека <math>\ O</math> е произволна точка која не лежи ниту на кружницата ниту во кругот и нека низ неа се повлечени две секанти на кружницата. Ако пресечните точки се обележени како на сликата, тогаш точно е равенството:'''

:: <math>\ \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \overline{OC} \cdot \overline{OD}</math>

или

:: <math>\ \overline{OA} : \overline{OC} = \overline{OD} : \overline{OB} \,\,\,</math> '''(Теорема секанта-секанта)'''

Специјално, ако имаме една секанта и една тангента, т.е., на пример, <math>\ C \equiv D</math>, тогаш важи:

:: <math>\ \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \overline{OC}^2</math> '''(Теорема секанта-тангента)'''

Овие две теореми се познати како ''степен на точка во однос на кружница''.

[[Податотека:Kruznica06.PNG|200px|right]]
* '''Нека е дадена кружница, еден нејзин централен агол и еден периферен агол такви што ја сечат кружницата во истите точки (т.е. се ''конструирани над иста тетива''). Тогаш централниот агол е двапати поголем од периферниот, или, според сликата:''' <math>\ \alpha = 2\beta</math>

Специјално, ако <math>\ \alpha = 180^\circ</math>, тогаш тетивата од теоремата е всушност пречник на кружницата, па тогаш <math>\ \beta</math> е половина од <math>\ \alpha</math>, т.е. <math>\ \beta=90^\circ</math>. Значи: '''периферниот агол конструиран над пречникот во кружницата е прав агол (Теорема на Талес)'''

Напомена: на една тетива одговара единствен централен агол, но бесконечно многу периферни.

= Интересно =
* '''Noli tangere circulos meos!''' (исто и: '''Noli turbare circulos meos!''', [[Латински јазик|лат.]]), во превод: '''Не ги допирај/растурај моите кругови!''',

според преданието се последните зборови кои ги изрекол големиот старогрчки [[Математика|математичар]] и [[Физика|физичар]] [[Архимед]], обраќајќи му се на еден римски војник што го вознемирил големиот научник кој бил задлабочен во некоја задача околу кружници, при [[Римско Царство|римското освојување]] на Сиракуза, градот во кој живеел Архимед. Навреден од индиферентноста на старецот, војникот посегнал по својот меч и така завршил животот на еден од најголемите умови на [[Антика]]та.

== Поврзано ==
* [[Единична кружница]]
* [[Пи]]
* [[Тригонометрија]]
* [[Обиколка]]

{{Избрана}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Кружници| ]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]