Преглед на кодот на Лема на Ван дер Корпут (хармониска анализа)

Во [[математика]]та, во областа на [[хармониска анализа|хармониската анализа]], '''Лемата на Ван дер Корпут''' е проценка за осцилаторните интеграли именувана по [[Холандија|холандскиот]] математичар [[Јоханес ван дер Корпут]].

Следниот резултат го наведува [[Елијас Стајн]]:<ref>Elias Stein, ''Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals''. Princeton University Press, 1993. {{ISBN|0-691-03216-5}}</ref>

Да претпоставиме дека реалната функција <math>\phi(x)</math> е монотона во отворениот интервал <math>(a,b)</math>, и тоа <math>|\phi^{(k)}(x)|\ge 1</math> за сите <math>x\in (a,b)</math>. Да претпоставиме дека или <math>k\ge 2</math>, или дека <math>k=1</math> и <math>\phi'(x)</math> е монотон за <math>x\in\R</math>. Постои константа <math>c_k</math>, што не зависи од <math>\phi</math>, таква што

: <math>
\Big|\int_a^b e^{i\lambda\phi(x)}\Big|\le c_k\lambda^{-1/k},
</math>

за секоја <math>\lambda\in\R</math>.

== Проценки на множество на подниво==
Лемата на Ван дер Корпут е тесно поврзана со проценките на множеството на подниво (види на пример <ref>M. Christ, ''Hilbert transforms along curves'', Ann. of Math. '''122''' (1985), 575--596</ref> ), кои ја даваат горната граница на [[Мера (математика)|мерката]] на множеството каде што функцијата зема вредности не поголеми од <math>\epsilon</math>.

Да претпоставиме дека реалната функција <math>\phi(x)</math> е монотона на конечен или бесконечен интервал <math>I\subset\R</math>, и тоа <math>|\phi^{(k)}(x)|\ge 1</math> за сите <math>x\in I</math>. Постои константа <math>c_k</math>, што не зависи од <math>\phi</math>, таква што за кој било <math>\epsilon\ge 0</math> мерката на множеството на подниво <math>\{x\in I:|\phi(x)|\le\epsilon\}</math> е ограничена со <math>c_k\epsilon^{1/k}</math>.

== Наводи ==
<references />

[[Категорија:Фуриерова анализа]]
[[Категорија:Хармониска анализа]]
[[Категорија:Неравенства]]