Преглед на кодот на Мера (математика)

[[Податотека:Measure illustration.png|десно|мини|Неформално, мерата ги пресликува собирите во ненегативни реални броеви, така да повеќе собири се пресликуваат во поголеми броеви.]]

'''Мера''', во [[математика]]та, концепт при кој на дадено множество од некој [[простор (математика)|простор]] му се придружува ненегативен [[реален број]].

Грубо и лаички кажано, мерата означува ''колку од просторот зафаќа множеството''. Таа се воведува од практични причини во [[Реален Евклидов простор|реалниот Евклидов простор]]. ''Мерата'' во еднодимензионалниот Евклидов простор е всушност ''должина'', во дводимензионалниот е ''плоштина'', додека во тридимензионалниот - ''волумен''. За сите димензии над третата се користи само терминот ''мера''.

== Конструкција на мерата ==
Едни од наједноставните подмножества од [[Реален број|множеството реални броеви]] се [[интервал]]ите. Особено важни се ''отворените интервали'' од облик
: <math>(a,b)=\{x\in \mathbb{R} | a<x<b\}</math>

бидејќи секое непразно и [[Отворено множество|отворено подмножество]] од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина <math>\ell</math> со:

: <math>\ell(a,b)=b-a</math>

Нека <math>E\subseteq \mathbb{R}</math> е произволно подмножество од реалните броеви, а <math>\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> е произволна фалимија отворени интервали таква што:

: <math>E\subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}} I_n = \mathcal{U}</math>

Дефинираме '''надворешна мера на множеството E''' - ''m*(E)'' со:

: <math>m^{*}(E) = \inf_{E\subseteq \mathcal{U}} \left \{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n)\right \}</math>

Нека <math>E\subseteq \mathbb{R}</math> е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за <math>E</math> велиме дека е мерливо множество ако:

: <math>\left ( \forall A\subseteq \mathbb{R} \right ),\,\,\ m^*(A\cap E)+m^*(A\cup E^c)=m^*(A)</math>

Ако <math>E</math> е мерливо множество, тогаш надворешната мера на <math>E</math> се вика Лебегова мера на <math>E</math>, и пишуваме:

: <math>m(E)=m^*(E)</math>

== Својства на мерата ==
Најважните својства на мерата се:

* '''Преброива субадитивност:''' за произволна фамилија множества <math>\{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}</math> важи:
:: <math>m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \le \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)</math>

специјално, ако фамилијата е дисјунктна, т.е. ако <math>E_i \cap E_j = \emptyset,\;i\neq j</math>, тогаш важи:
:: <math>m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)</math>

* Ако за фамилијата множества <math>\{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}</math> со конечна мера важи: <math>E_1\supseteq E_2\supseteq\dots\supseteq E_n\supseteq\dots</math>, тогаш:
:: <math>m\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \lim_{n\to\infty} m(E_n)</math>

== Поврзано ==
* [[Количество]]
* [[Должина]]
* [[Плоштина]]
* [[Волумен]]
{{математика-никулец}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Математичка анализа]]
[[Категорија:Теорија на мерата]]