Преглед на кодот на Множење

{{основно сметање}}
[[Податотека:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|мини|десно|Четири ќесиња со по три џамлии сочинуваат дванаесет џамлии. Постојат и 3 множества со по 4 џамлии со иста боја.]]

[[Податотека:Multiplication as scaling integers.gif|мини|десно|Множењето може да се сфати и како сразмерно зголемување. На анимацијата 2 се множи со 3, што дава 6]]

[[Податотека:Multiply field fract.svg|мини|десно|Површина на [[чаршаф (постелнина)|чаршаф]] 4,5&nbsp;м&nbsp;·&nbsp;2,5&nbsp;м&nbsp;= 11,25&nbsp;м<sup>2</sup>; 4½&nbsp;·&nbsp;2½ =&nbsp;11¼]]

'''Множење''' — [[математичка операција]] повеќекратно зголемување на еден број и претставува една од четирите основни операции во [[аритметика]]та.

Може да се претстави и како скратено собирање на еднакви собироци:<ref>{{наведена книга|last=Андреевски|first=Венцислав П.|title=Прирачник за математички поими и формули|publisher=Винсент графика|location=Скопје|date=2007|pages=56|chapter=3.2.3. Множење|isbn=978-9989-2474-4-6}}</ref>

:<math>3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.\!\,</math>

Во случајот 3 и 4 се '''множител''' и '''множеник''' ([[факторизација|фактори]]), а 12 е „[[производ (математика)|производ]]“.

или пак

:<math>3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12.\!\,</math>

каде собироците се три четворки, наместо четири тројки, што не прави никаква разлика во резултатот.

Множењето на [[рационален број|рационални броеви]] (дропки) и [[реален број|реални броеви]] се одликува со систематско [[#Множење на разни видови броеви|воопштување]] на оваа основна идеја.

Оваа операција може да се претстави и како броење на предмети распоредени во [[правоаголник]] (за цели броеви) или со наоѓањето на [[плоштина]] на правоаголник со страни со извесни [[должина|должини]] (општо за сите броеви). Плоштината на правоаголникот не зависи од тоа од која страна ќе почнеме, па така множењето не зависи од редоследот, т.е. кој број ќе биде множител, а кој множеник.

Еве еден пример:

:<math>2{,}5\,\mbox{m} \cdot 4{,}5\,\mbox{m} = 11{,}25\,\mbox{m}^2,\!\,</math>
:<math>11\,\mbox{m/s} \cdot 9\,\mbox{s} = 99\,\mbox{m}.\!\,</math>

Обратна операција на множењето е [[делење]]то. На пример, 4 по 3 дава 12. А 12 поделено со 3 дава 4. Ако нешто помножиме со 3, а потоа го поделиме со 3, го добиваме првичниот број.

Множењето важи и за други видови броеви (како [[комплексен број|комплексни броеви]]) и поапстрактни поимања како [[матрица (математика)|матрици]]. Кај ваквите поапстрактни случаи редоследот на множење понекогаш мора да се запази (т.е. не важи комутативноста)

== Означување ==
Операцијата множење се означува со средна точка „'''·'''“ помеѓу бројките, а пред резултатот се става знакот за еднаквост. На пример,

:<math>2 \cdot 3 = 6</math> (со зборови: „два по три е еднакво на шест“)

:<math>3 \cdot 4 = 12</math>

:<math>2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30</math>

:<math>2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32</math>

*Во некои земји множењето се означува со крвче „'''{{уникод|×}}'''“:

:<math>5 \times 2</math>

*при [[множење на матрици]], точката и крвчето играат различна улога. Крвчето означува [[вектор]]ско множење, а точката означува [[скалар]]но .

Бројот што се множи се нарекува „множеник“, т.е. тоа е бројот што го повторуваме онолку пати колку што изнесува множителот. Во алгебрата, бројот што е множител на некоја променлива или израз (како на пр. 3 во 3''xy''<sup>2</sup>) се нарекува „[[коефициент (математика)|коефициент]]“.

Резултатот од множењето се нарекува „[[производ (математика)|производ]]“, кој е [[содржател]] на секој од неговите множители, доколку се цели броеви. На пример, 15 е производ од 3 и 5, и содржател на броевите 3 и 5.

== Методи на пресметка ==
=== Историска позадина ===
Најстар метод е рачното множење со научена [[таблица множење]], но истото е макотрпно и подложно на грешки кога се работи со големи и децимални броеви. Со цел да се упрости постапката се измислени декадните [[логаритам|логаритми]] и разни помагала. [[Логаритмар]]от е посебен лизгачки линијар кој бргу го наоѓа производот на бараните броеви со точност од три места. Кон почетокот на XX век се измислени механички [[сметалка|сметалки]] кои работеле со поголеми броеви до 10 цифри. Денешните [[сметач]]и и дигитрони претставуваат огромен напредок во моќноста на обработка на математички операции.

=== Бесконечни производи ===
{{Главна|Бесконечен производ}}

Можеме да имаме и производ со бесконечно многу [[член (математика|членови]]. Ваквите производи се нарекуваат [[бесконечен производ|бесконечни производи]]. Написмено, горенаведеното ''n'' го заменуваме со знакот за [[бесконечност]] ∞. Производот од оваа низа се определува со [[лимес на низа|лимесот]] (границата) на производот на првите ''n'' члена, како што ''n'' расте до бескрај. По дефиниција,

: <math> \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}. </math>

Така можеме да го замениме и ''m'' со негативна бесконечност, па да определиме:

:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n x_i\right),</math>

под услов да постојат обата лимеса.

== Својства ==
Работејќи со природни броеви, цели броеви, дропки, реални и комплексни броеви, за множењето важат следниве својства:

;'''[[комутативност|Комутативно својство]]'''
: Редоследот по кој се множат броевите не е важен:
::<math>x\cdot y = y\cdot x</math>.

;'''[[асоцијативност|Асоцијативно својство]]'''
: Изразите што содржат само множење се неменливи во однос на редоследот на операциите:
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>

;'''[[дистрибутивност|Дистрибутивно својство]]'''
: Важи за множењето во однос на собирањето. Ова е [[идентитет (математика)|идентитет]] од првостепена важност при упростувањето на алгебарските изрази:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>

;'''[[Неутрален елемент]]'''
: Умножителниот идентитет е 1; сè што ќе се помножи со еден е еднакво само на себе. Ова се нарекува идентитетно својство:
::<math>x\cdot 1 = x</math>

;'''Нулти елемент'''
: Секој број помножен со нула дава нула. Ова се нарекува нулто својство на множењето:
::<math>x\cdot  0 = 0</math>
:Нулата понекогаш не се смета за природен број.

Постојат уште некои својства кои не се задоволени кај сите видови броеви.

;[[Логичка негација|Негација]]
:Минус еден помножен со секој број го дава спротивниот на тој број.
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math>

: Негативно еден помножено со негативно еден дава позитивно еден.
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>

:Негативните броеви не спаѓаат во природните броеви.

;'''[[Обратен елемент]]'''
:Секој број ''x'' (освен нула) има '''[[реципрочна вредност]]''' (превртување), <math>\frac{1}{x}</math>, така што <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.
:Природните и целите броеви немаат реципрочни вредности.

;Зачувување на редослед
: Множењето со позитивен број го зачувува редоследот: ако ''a''&nbsp;>&nbsp;0, тогаш ако ''b''&nbsp;>&nbsp;''c'' тогаш ''ab''&nbsp;>&nbsp;''ac''.  Множењето со негативен број го '''превртува''' редоследот: ако ''a''&nbsp;<&nbsp;0, а ''b''&nbsp;>&nbsp;''c'' тогаш ''ab''&nbsp;<&nbsp;''ac''.
:Комплексните броеви немаат поредочен предикат.

Не сите математички системи ги имаат овие својства. На пример, комутативноста по правило не важи при множење на матрици и [[кватернион]]и, туку само во исклучителни случаи.

== Множење на разни видови броеви ==
;'''Цели броеви'''
:<math>N \cdot M</math> е збир од ''M'' примероци (собироци) на ''N'', па тогаш ''N'' и ''M'' се позитивни цели броеви. Со ова го добиваме бројот на собироци во низа со ширина ''N'' и висина ''M''. Можеме да воопштиме за негативни броеви со <math>N \cdot (-M) = (-N) \cdot M = - (N \cdot M)</math> и <math>(-N) \cdot (-M) = N \cdot M</math>. истите правила за предзнак важат и за рационални и реални броеви.

;'''[[Рационален број|Рационални броеви]]'''
:Воопштување во дропки <math>\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}</math> се добива со множење на броителите и именителите: <math>\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{(A \cdot C)}{(B \cdot D)}</math>. Ова дава плоштина на правоаголник со висина од <math>\frac{A}{B}</math> и ширина од <math>\frac{C}{D}</math>, и е истоветен со бројот на собироци во низа кога рационалните броеви се воедно и цели.

;'''[[Реален број|Реални броеви]]'''
:<math>(x)(y)</math> е границата на производите на соодветните членови во извесни низи на рационални броеви што се стремат кон ''x'' и ''y'', и како таква е значајна во [[математичка анализа|математичката анализа]]. Ова дава плоштина на правоаголник со висина од ''x'' и ширина ''y''.

;'''[[Комплексен број|Комплексни броеви]]'''
:Ако земеме комплексните броеви <math>z_1</math> и <math>z_2</math> да се подредени парови од реални броеви <math>(a_1, b_1)</math> и <math>(a_2, b_2)</math>, производот <math>z_1 \cdot z_2</math> е <math>(a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2, a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1)</math>. Ова е исто како за реални броеви, <math>a_1 \cdot a_2</math>, кога  ''имагинарните делови'' <math>b_1</math> и <math>b_2</math> се нула.

== Степенување ==
{{Главна|Степенување}}
Операцијата на повторување на множењето се нарекува '''степенување'''. На пример, производот од трипати два (2·2·2) ќе биде „два дигнат на трет степен“ и се означува со надзнак: 2<sup>3</sup>. Во овој случај бројот два е '''основа''', а бројот три е '''степен''', што означува колку пати основата треба да се помножи сама со себе. Така, изразот

:<math>a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n</math>

покажува дека основата ''a'' треба да се помножи сама со себе ''n'' пати.

==Множењето како мотив во уметноста==
* „Табелата на множењето“ - песна на рускиот поет [[Владимир Казаков]] од 1969 година.<ref>Антологија руске лирике – X-XXI век. Књига III: Средина XX века – поч. XXI века (неомодернизам, неоавангарда, постмодернизам и нова трагања). Београд: Paidea, 2007, стр. 122.</ref>

== Поврзано ==
* [[Таблица множење]]
* [[Факториел]]
* [[Производ (математика)]]
* [[Логаритмар]]

== Надворешни врски ==
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/multiplication.shtml Множење] и [http://www.cut-the-knot.org/blue/SysTable.shtml аритметички операции во разни бројни системи] — cut-the-knot {{en}}

== Наводи ==
{{наводи}}
* {{наведена книга|author = Boyer, Carl B. (прер. Merzbach, Uta C.)|title = History of Mathematics|publisher = John Wiley and Sons, Inc.|year = 1991|isbn = 0-471-54397-7}}

{{елементарна аритметика}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Елементарна аритметика]]
[[Категорија:Бинарни операции]]
[[Категорија:Математичко означување]]
[[Категорија:Множење]]