Преглед на кодот на Парцијален извод

Во [[Математика|математиката]], '''парцијален извод''' или '''делумен извод''' на [[Функција (математика)|функција од неколку променливи]] е неговиот [[извод]] во однос на една од тие променливи, при што другите променливи се држат константни (за разлика од [[Вкупен извод|вкупниот извод]], во кој на сите променливи им е дозволено да варираат). Парцијалните изводи се користат во [[Векторска анализа|векторската пресметка]] и [[Диференцијална геометрија|диференцијалната геометрија]].

Ако во точката <math>P(x, y, \dots)</math> постојат конечни [[Гранична вредност|гранични вредности]] на количникот на прираст на функцијата <math>f(x, y, \dots)</math> со соодветни зголемувања на независните променливи такви што тежат кон нула, тие гранични вредности се нарекуваат парцијални изводи на функцијата <math>f(x, y, \dots)</math> во точката <math>P(x, y, \dots)</math>.

Парцијалниот извод на функцијата <math>f(x, y, \dots)</math> по променлива <math>x</math> се означува на различни начини:

: <math>f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f,\ D_xf,\ D_1f,\ \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}.</math>

Понекогаш, ако <math>z=f(x, y, \dots),</math> парцијалниот извод на <math>z</math> во однос на <math>x</math> се означува со <math>{\partial z}\over{\partial x}</math>. Бидејќи, во општ случај, парцијалните изводи се  функции на истите променливи како и изворните функции, оваа функционална зависност понекогаш е видливо вклучена во ознаката:

: <math>f_x(x, y, ...), \ \frac{{\partial f}}{{\partial x}} (x, y, ...).</math>

За означување на парцијални изводи се користи симболот [[∂]]. Една од првите познати употреби на тој симбол во математиката е присутна во делото на маркизот [[Никола де Кондорсе]] во 1770 година, каде што го користел за парцијални изводи. Современото обележување на парцијалните изводи потекнува од [[Адриен-Мари Лежандр]] (1786), иако подоцна го напуштил. [[Карл Густав Јакоб Јакоби]] повторно го вовел симболот во 1841 година. година.<ref name="jeff_earliest">{{Наведена мрежна страница|url=http://jeff560.tripod.com/calculus.html|title=Earliest Uses of Symbols of Calculus|last=Miller|first=Jeff|date=14. 6. 2009.|work=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols|accessdate=20. 2. 2009.}}</ref>

== Дефиниција ==
Како и обичните изводи, парцијалниот извод се дефинира како [[Гранична вредност на функција|гранична вредност]]. Нека ''U'' е [[Отворено множество|отвореното подмножество]] од <math>\R^n</math> и <math>f:U\to\R</math> функција. Парцијалниот извод од ''f''  во точката <math>\mathbf{a}=(a_1, \ldots, a_n) \in U</math> во однос на ''i''-тата променлива е дефинирана како:

: <math>\begin{align}
\frac{\partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \ldots ,a_n) -
f(a_1, \ldots, a_i, \dots ,a_n)}{h} \\ 
& = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{e_i}) -
f(\mathbf{a})}{h}
\end{align}</math>

Fункцијата не мора да биде [[Непрекинатост на функција|континуирана]] во дадена точка, дури и ако во таа точка постојат сите парцијални изводи. Меѓутоа, ако сите парцијални изводи постојат во околината и се континуирани во неа, тогаш функцијата е [[Вкупен извод|целосно диференцијабилна]] во тоа соседство и вкупниот извод е континуиран. Во овој случај се вели дека ''f'' е функција ''C''<sup>1</sup>1. Ова може да се користи за обопштување на векторските функции, {{Безпрелом|<math>f:U \to \R^m</math>,}} притоа треба внимателно да се користи аргументот на компонентата.

Парцијалниот извод <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> може да се гледа како уште една дефинирана функција на ''U'' и повторно може парцијално да се диференцира. Ако сите мешани парцијални изводи од втор ред се континуирани во точката (или во множеството), таа се нарекува ''C''<sup>2</sup> функција. во таа точка (или на тоа множество). Во овој случај парцијалните изводи може да се заменат со [[Клероова теореме|Клероовата теорема]]:

: <math>\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j \partial x_i}.</math>

== Означување ==
 
За следните примери, нека <math>f</math> е функција во <math>x, y</math> и <math>z</math>.

Парцијални изводи од прв ред:

: <math>\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.</math>

Парцијални изводи од втор ред:

: <math>\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f = \partial_x^2 f.</math>

[[Хесеова матрица|Мешани]] изводи од втор ред:

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \,\partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = (f_{x})_{y} = f_{xy} = \partial_{yx} f = \partial_y \partial_x f .</math>

Парцијални и повисоки изводи од повисок ред:

: <math>\frac{\partial^{i+j+k} f}{\partial x^i \partial y^j \partial z^k } = f^{(i, j, k)} = \partial_x^i \partial_y^j \partial_z^k f.</math>

Кога се работи за функции од повеќе променливи, некои од овие променливи може да се поврзани една со друга, па за да се избегнат нејаснотии може да биде неопходно експлицитно да се наведат кои променливи се одржуваат константни. Во подрачја како што се [[Статистичка механика|статистичката механика]], парцијалниот извод на <math>f</math> во однос на <math>x</math>, при што <math>y</math> и <math>z</math> се држат константни, често се изразува како:

: <math>\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z} .</math>

Следствено, за јасност и едноставност на записот, парцијалниот извод на ''функцијата'' и ''вредноста'' на функцијата во одредена точка се поврзани со вклучување на аргументите на функцијата кога се користи симболот за парцијален извод (Лајбницов запис). Значи, израз како:

: <math>\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}</math>

се користи за функцијата, додека:

: <math>\frac{\partial f(u,v,w)}{\partial u}</math>

може да се користи за изразување на вредноста на функцијата во точка <math>(x,y,z)=(u,v,w)</math>. Сепак, ова прифатено правило не се користи кога се сака да се процени парцијалниот извод во точка како <math>(x,y,z)=(17, u+v, v^2)</math>. Вреднувањето на функцијата во овој случај, мора да биде изразено на несмасен начин:

: <math>\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}(17, u+v, v^2)</math>

или

: <math>\left. \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\right |_{(x,y,z)=(17, u+v, v^2)}</math>

за да се користи Лајбницовиот запис. Затоа, во овие случаи, можеби е подобро да се користи Ојлеровиот диференцијален запис на операторот со <math>D_i</math> како симбол на парцијалниот извод во однос на ''i''-тата променлива. На пример, за гореопишаниот пример може да се напише <math>D_1 f(17, u+v, v^2)</math>, додека изразот <math>D_1 f</math> ја претставува  ''функцијата'' на парцијалниот извод во однос на првата променлива.<ref>{{Наведена книга|url=https://archive.org/details/SpivakM.CalculusOnManifoldsPerseus2006Reprint|title=Calculus on Manifolds|last=Spivak|first=M.|publisher=W. A. Benjamin, Inc.|year=1965|isbn=9780805390216|location=New York|pages=44}}</ref>

За парцијални изводи од повисок ред, парцијалниот извод (функција) од <math>D_i f</math> во однос на  ''i''-тата променлива се бележи со <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math>. Следствено, <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, така што променливите се наведени по редослед на вадење на изводите, а оттука и во обратен редослед од тоа како обично се пишува композицијата на операторот. Се разбира, [[Клероова теорема|Клероовата теорема]] го подразбира тоа <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math> сè додека се задоволени релативно благите услови за регуларност на ''f''.

== Градиент ==
Важен пример за функција од повеќе променливи е случајот на [[Скаларно поле|функција со скаларна вредност]] во доменот во Евклидовиот простор <math>\R^n</math> (на пр. на <math>\R^2</math> или <math>\R^3</math>). Во овој случај постои парцијален извод во однос на секоја променлива. Во точка, овие парцијални изводи дефинираат вектор:

: <math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math>

Овој вектор се нарекува [[градиент]] од ''f'' во ''a''. Ако е диференцијабилна во секоја точка во одреден домен, тогаш градиентот е функција со векторска вредност која ја води точката во вектор. Следствено, градиентот произведува [[векторско поле]].

Вообичаена [[Abuse of notation|злоупотреба на записот]] е да се дефинира [[Набла оператор|набла операторот]] (∇) на следниов начин во тродимензионален [[Евклидов простор]] <math>\R^3</math> со [[Единични вектори|единечни вектори]] <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math> :

: <math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math>

Во општ случај, за ''n''-димензионален Евклидов простор <math>\R^n</math>, со координати <math>x_1, \ldots, x_n</math> и единични вектори <math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math>набла операторот е:

: <math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math>

== Насочен извод ==
[[Податотека:Directional_derivative_contour_plot.svg|мини|250x250пкс| Контурен графикон на <math>f(x, y)=x^2 + y^2</math>, покажувајќи го градиентот во црно и единечниот вектор <math>\mathbf{u}</math> скалиран според насочениот извод во насока <math>\mathbf{u}</math> во портокалова боја. Векторот на градиентот е подолг, бидејќи градиентот е ориентиран во насока на најголемата стапка на зголемување на функцијата.]]
''Насочениот извод на'' [[Скаларна функција|скаларната функција]]

: <math>f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>

по должината на векторот

: <math>\mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_n)</math>

е [[Функција (математика)|функција]] <math>\nabla_{\mathbf{v}}{f}</math> дефинирана со [[Гранична вредност|граничната вредност]]<ref>{{Наведена книга|url=https://archive.org/details/schaumsoutlinesa0000wred|title=Advanced Calculus|last=R. Wrede|last2=M.R. Spiegel|publisher=Schaum's Outline Series|year=2010|isbn=978-0-07-162366-7|edition=3rd}}</ref>

: <math>\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math>

Оваа дефиниција важи во широк спектар на контексти, на пример кога [[Евклидов простор|нормата]] на векторот (а со тоа и единичниот вектор) е недефинирана.

== Пример ==
Да претпоставиме функција од повеќе од една променлива. На пример,

: <math>z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2</math>. 

{{multiple image
 | align  = right
 | direction = vertical
 | width  = 250

 | image1 = Partial func eg.svg
 | caption1 = Графикон на {{nowrap|''z'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>}}. За парцијалниот извод во {{nowrap|(1, 1)}} то даје константу ''y'', што кореспондира на допирка што е паралелна са ''xz''-рамнината.
 
 | image2 = X2+X+1.svg
 | caption2 = Дел од горниот графикот кој ја прикажува функцијата во ''xz''-рамнината во {{nowrap|''y'' {{=}} 1}}. Треба да се има на ум дека овие две оски се прикажани со различни скали. Нагибот на допирната линија е 3.
}}

[[График на функција|Графиконот]] на оваа функција дефинира површина во [[Евклидов простор]]. За секоја точка на оваа површина има бесконечен број [[Допирка|допирки]]. Парцијална диференцијација е чин на избор на една од овие линии и наоѓање на нејзиниот [[Наклон (математика)|наклон]]. Обично најинтересните линии се оние кои се паралелни со <math>xz</math>-рамнината, и оние кои се паралелни со из <math>yz</math>-рамнината (кои произлегуваат од држење <math>y</math> или <math>x</math> константни).

За да се најде наклонот на правата што е допирка на функцијата во <math>P(1, 1)</math> и е [[Паралелност|напоредна]] со <math>xz</math>-рамнината, <math>y</math> се третира како константа. Десно се прикажани графиконот и оваа рамнина. Подолу се гледа како изгледа функцијата во рамнината <math>y=1</math>. Со изнаоѓање на [[Извод|изводот]] на равенката под претпоставка дека <math>y</math> е константна, се открива дека наклонот ''<math>f</math>'' во точка <math>(x, y)</math> е:

: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y</math> .

Значи, во <math>(1, 1)</math>, со замена, наклонот е 3. Затоа,

: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>

во точката <math>(1, 1)</math>. Со зборови кажано, а истото е прикажано на графиконот, парцијалниот извод на <math>z</math> во однос на <math>x</math> во <math>(1, 1)</math> е 3.

Функцијата може повторно да се толкува како семејство функции од една променлива индексирана од други променливи:

: <math>f(x,y) = f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>

Со други зборови, секоја вредност ''на y'' дефинира функција, означена со ''f<sub>y</sub>'', која е функција со една променлива ''x''.{{Efn|Ова може да се изрази и како придружување меѓу конструкцијата на просторот на производот и функционалниот простор.}} Т. е,

: <math>f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>

Во овој дел, ознаката ''f<sub>y</sub>'' означува функција зависна од фиксна вредност ''y'', а не парцијален извод.

Кога ќе се избере вредност на ''y'', да речеме ''a,'' тогаш таа ја одредува функцијата што ја следи кривата ''x''<sup>2</sup> + ''ax'' + ''a''<sup>2</sup> на <math>xz</math>-рамнината:

: <math>f_a(x) = x^2 + ax + a^2</math> .

Во овој израз, ''a'' е ''константа'', а не ''променлива'', и е функција од само една реална променлива, променливата ''x''. Следствено на тоа, се применува дефиницијата за извод за функција со една променлива:

: <math>f_a'(x) = 2x + a</math> .

Горенаведената постапка може да се изврши за кој било избор на ''a''. Со склопување на изводите заедно во функција, се добива функција  ''f''  која ја опишува варијацијата во насоката ''x'':

: <math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x + y.</math>

Ова е парцијалниот извод ''на f'' во однос на ''x''. Овде ''∂'' е заокружено ''d'' кој се нарекува ''[[Симбол за парцијален извод|симбол на парцијален извод]].''

== Парцијални изводи од повисок ред ==
Аналогно на изводите од повисок ред за едноваријантните функции се дефинираат и парцијалните изводи од втор и повисок ред. За функцијата <math>f(x, y, ...)</math> „сопствениот“ втор парцијален извод во однос на ''x'' е едноставно парцијален извод на парцијалниот извод (двата во однос на ''x''):{{Rp|316–318}}

: <math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math>

Вкрстениот парцијален извод во однос на ''x'' и ''y'' се добива со земање на парцијалниот извод во однос на ''x'', а потоа од резултатот се вади парцијален извод во однос на ''y'', за да се добие:

: <math>\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial y\, \partial x}} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial y}} \equiv \frac{{\partial f_x}}{{\partial y}} \equiv f_{{xy}}.</math>

[[Шварцова теорема|Шварцовата теорема]] вели дека ако вторите изводи се континуирани, изразот за вкрстениот парцијален извод нема ефект врз тоа по која променлива е првоизведен парцијалниот извод. Со други зборови,

: <math>\frac {{\partial ^2 f}}{{\partial x\, \partial y}} = \frac{{\partial ^2 f}}{{\partial y\, \partial x}}</math>

или еквивалентно <math>f_{{yx}}=f_{{xy}}.</math>

Сопствените и вкрстените парцијални изводи се појавуваат во [[Хесеова матрица|Хесеовата матрица]] што се користи во [[Изводен тест|услови од втор ред]] во  проблемите за [[Математичка оптимизација|оптимизација]].

== Белешки ==
<references group="б"/>

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
{{рвр|Partial derivative}}
* {{Springer |title = Partial derivative |id = p/p071620}}
* -{[http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html Partial Derivatives] at [[MathWorld]]}-

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Сметање со повеќе променливи]]