Преглед на кодот на Питагорова теорема

[[Податотека:Pythagoras.svg|мини|140x140пкс| '''Питагорова теорема''': Збирот на плоштините [[Квадрат|на квадратите]] конструирани над [[Катета|катетите]] ( и ) е еднаков на плоштината на квадратот над [[хипотенуза]]та ().]]
Во [[математика]]та, '''Питагоровата теорема''' ја изразува врската што постои помеѓу трите страни на [[правоаголен триаголник]] во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]]. Ако ''a'' и ''b'' се [[Катета|катетите]], а ''c'' [[хипотенуза]]та на правоаголен триаголник, важи еднаквоста:

: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

односно изразено со зборови:

{{Цитат|''Плоштината на квадратот конструиран над хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаква на збирот на плоштините на квадратите конструирани над катетите на тој триаголник.''}}

[[Теорема]]та го добила името по [[Стара Грција|старогрчкиот]] [[Математика|математичар]] [[Питагора]], за кој традиционално се смета дека ја открил и докажал,<ref name="Heath">Heath,, pp. 144</ref> иако денес е сигурно дека била позната многу пред Питагора.{{Sfn|Миланковић|2017}} {{Sfn|Логос|2017}}

[[Питагора|Питагоровата]] теорема е една од најосновните и најважните математички теореми. Препознатливата слика на правоаголен триаголник со конструирани [[квадрат]]и на сите три страни, користена за визуелна претстава на самото тврдење, послужила како основа за генерирање на [[фрактал]]от наречен [[Питагорово дрво]].

== Историја ==
[[Податотека:Chinese_pythagoras.jpg|мини|300x300пкс| Визуелен доказ на Питагоровата теорема за [[триаголник]] чии страни се [[Питагорина тројка|Питагорова тројка]] (3, 4, 5) од еден од најстарите [[Народна Република Кина|кинески]] математички текстови, 500–200 г. пр. н. е.]]
Историски гледано, откривањето и разбирањето на Питагоровата теорема поминало низ неколку фази:

* алгебарско истражување на постоење [[Питагорина тројка|на Питагорова тројка]],
* подобро разбирање на односот помеѓу страните на правоаголен [[триаголник]], односно односот помеѓу соседните [[Агол|агли]] на триаголникот, што е последица на стекнување на сè поголеми знаења за рамнините и површините и
* наоѓање голем број на различни докази на [[Докази|теоремата]].

=== Древни цивилизации ===
Врската што постои помеѓу страните на триаголникот чии должини се 3, 4 и 5 им била позната уште на [[Вавилон]]ците, 2000 г. пр. н. е.{{Sfn|Андрић|1989}} а може да се најде и во познатата [[Народна Република Кина|кинеска]] книга ''Девет книги за математичка вештина,'' која се претпоставува дека е напишана околу [[1100 п.н.е.|1100 година пр. н. е.]]<ref name="smith">Smith,, pp. 288</ref>

Познатата вавилонска глинена плоча која го носи бројот 322 во Плимптоновата збирка е таблица од Питагорови тројки со 15 реда создадена во 1800 пр. н. е. [[Стар Египет|Старите Египќани]] знаеле за четири Питагорови тројки, како што е потврдено во [[папирус]] датиран за време на владеењето на XII династија, околу [[20 век пр. н. е.|2000 пр. н. е.]], во која меѓу другото е можно да се најде и односот:

: <math>1^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \left(1\frac{1}{4}\right)^2\, </math> .<ref name="smith">Smith,, pp. 288</ref>

Таа е еквивалентно на Питагоровата тројка (3, 4, 5) ако изразот се прошири за да се ослободи од [[Дропка|дропките]].

Питагоровите тројки може да се најдат и во ''Сулвасутрите'', светите песни на [[Хиндуизам|хиндусите]], од  5-4 век пр .н. е., кои кажуваат за начинот на добивање прави агли со помош на јаже со 3-4-5, т.е. 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 и 12-35-37 јазли врзани на еднакви растојанија. Користењето јаже за одредување прав агол имало своја практична примена во древно време, на пример парцелизирање на земјиштето, а луѓето што се занимавале со тоа биле наречени ''затегнувачи на јаже'' ({{Lang-el|Λρπεδονάπται}}).<ref name="strojk">[[Дирк Стројк|Стројк]], ''Кратак преглед историје математике'', pp. 21</ref> Сепак, според некои автори, малку е веројатно дека Египќаните всушност користеле јаже со 12 јазли за да одредат прав агол, и нема очигледни докази дека знаеле дека триаголникот со страни (3, 4, 5) е правоаголен.<ref name="Maor15">Maor,, pp. 15</ref>

=== Питагора ===
Традиционално, откривањето на теоремата му се припишува на [[Питагора]], старогрчки филозоф и научник, кој денес е познат посредно преку подоцнежните извори. Според нив, Питагора е роден околу [[570 п.н.е.|570 г. пр. н. е.]] на островот [[Самос]], веројатно бил ученик на [[Талес од Милет|Талес]], а дел од својот живот го поминал патувајќи низ [[Стар Египет|Египет]] и [[Ахеменидско Царство|Персија]], така што, по враќањето во родниот Самос, наишол на тиранската власт на [[Поликрат]], за што се верува, дека била причина да се пресели во [[Кротон (град)|Кротон]] каде ја основал познатата [[Питагорејци|Питагорејската школа]].<ref>Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'', pp. 17.</ref> Питагорејците тврделе дека теоремата ја открил Питагора и дека во знак на благодарност им жртвувал стотина [[Домашно говедо|бикови]] на [[бог]]овите.<ref>Стројк, ''Кратак преглед историје математике'', pp. 52</ref> Проблемот со прецизното утврдување на правата вистина е последица на тоа што Питагорејците усно го пренесувале стекнатото знаење, кое се сметало за свето и било строго чувано. Покрај тоа, новите откритија често му се припишувале на голем учител, додека вистинскиот пронаоѓач останувал непознат. Ова е поткрепено со фактот дека името на Питагора не се споменува никаде во изјавата за теоремата што се појавува во [[Евклид]]овите [[Елементи (Евклид)|''Елементи'']].<ref name="Maor42">Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'', pp. 42.</ref> Денес постојат неколку хипотези:

* Питагора ја презел [[теорема]]та од [[Вавилон]]ците, односно бил само посредник помеѓу знаењето што доаѓало од Исток и [[Стара Грција|Грците]]. Иако, според античките извори, Питагора ги посетил Египет и Вавилон, оваа инобликција не е сигурна.
* Питагора ја формулирал и [[Докази|докажал]] теоремата за прв пат независно од вавилонските извори. Овој пристап бил широко прифатен во древно време.
* Питагора слушнал за теоремата на неговите патувања, но тој бил првиот што го докажал тоа. Сосема е јасно дека ниту Египќаните ниту Вавилонците не отишле подалеку од секојдневната примена на теоремата за практични цели. На пример, во [[Каиро|Каирскиот]] [[папирус]], откриен во [[1938]] година, а дешифриран во [[1962]] година, има 40 математички задачи, од кои девет се решени со помош на Питагоровата теорема. Една од тие задачи гласи:

: ''„Скала долга 10 [[Лакот (мерка)|лакти]] е потпрена на ѕид, така што нејзината основа е 6 лакти од работ на ѕидот. Колку високо се протега таа скала?“''
: Меѓутоа, иако теоремата се користи во решавањето на проблемот, нема обид да се обопшти, ниту да се докаже.{{Sfn|Burton|2005}}

* Питагора не учествувал во откривањето на теоремата, но првиот доказ го пронашле неговите студенти.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://plato.stanford.edu/entries/pythagoras/#WasPytMatCos|title=Pythagoras - 5. Was Pythagoras a Mathematician or Cosmologist?|accessdate=22 март 2009}}</ref>

Првото зачувано дело во кое Питагора се поврзува со исказот на теоремата е [[Плутарх]]овиот ''Етички зборник - Моралија'', напишан на крајот на [[1 век|првиот]] или почетокот на [[2 век|вториот век]] од новата ера. Во него се наведуваат стихови од едно незачувано  [[Аполодор]]ово дело од [[2 век п.н.е.|вториот век пр. н. е.]] Според Плутарх,
{{Цитат|''кога Питагора го открил тој прочуен став,<br />заради тоа понудил сјајна жртва волови.''}}
Истите стихови ги наведува Атенеј од Невкратис, во неговото дело ''Гозба на учените'', на почетокот на [[3 век|третиот век од нашата ера.]]{{Sfn|Лучић|2009}}

=== Следбеници ===
Првиот писмен доказ за Питагоровата теорема се појавува само 150 години подоцна, во првата и шестата книга од [[Евклид]]овите ''[[Елементи (Евклид)|Елементи]]'', каде што, според [[Прокло]], доказот од шестата книга е единствениот изворен Евклидов доказ во ''Елементите'', додека доказот од првата книга му се припишува на [[Евдокс]].<ref name="Maor42"/>

Околу [[250 п.н.е.|250]] пр. н. е. [[Архимед]] приближно ја одредува вредноста на бројот [[Пи]] користејќи ја Питагоровата теорема и впишани и опишани [[Многуаголник|многуаголници]] во [[круг]]. Во 2 век пр. н. е., [[Клавдиј Птоломеј]] ја докажува [[Птоломеева теорема|теоремата]] во неговиот ''[[Алмагест]]'':

: ''„Производот на [[Дијагонала|дијагоналите]] на [[тетивен четириаголник]] е еднаков на збирот на производите на неговите спротивни страни.“'' {{Sfn|Митровић|1988}}

Оттука, во посебниот случај кога тетивниот четириаголник е всушност [[правоаголник]], се добива Питагоровата теорема.

[[Херон Александриски|Херон]] од [[Александрија]] подоцна<ref>Због недостатка извора тешко је одредити када се то тачно десило. Према књизи у питању је период између [[100. п. н. е.]] и 100. године н. е.</ref> ја докажал [[Херонова формула|формулата]] со која може да се пресмета плоштината на произволен [[триаголник]] преку неговите страни користејќи пропорции. Денес, таа формула се докажува со помош на Питагоровата теорема.

Во 3 век од нашата ера [[Папос]] докажал проширена верзија на Питагоровата теорема која се применува на произволен триаголник, а шест века подоцна, Ал Харани дал доказ за друго обопштување што се применува на произволен триаголник.

== Формулирање на теоремата ==
[[Податотека:Pythagorean_proof.svg|мини|200x200пкс| Визуелен доказ на Питагоровата теорема]]
Според теоремата:<blockquote>Во кој било [[правоаголен триаголник]], плоштината на [[квадрат]]от конструиран над [[хипотенуза]]та (страната спроти правиот агол) е еднаква на збирот на плоштините на квадратите конструирани над катетите (страните што се среќаваат во правиот агол на триаголникот).</blockquote>Овој исказ обично се наведува во следниов облик:
{{Цитат|''Квадратот над хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите над катетите.''}}
Ако ''c'' е [[должина]]та на хипотенузата, а ''a'' и ''b'' се должините на преостанатите две страни, теоремата може да се напише користејќи ја следната еднаквост:

: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

или, изразено од таму:

: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>

Ако хипотенузата е позната и треба да се одреди една од катетите, можно е да се користи една од следните две еднаквости (кои се добиваат од почетната еднаквост, со решавање на соодветната непозната):

: <math>c^2 - a^2 = b^2\, </math>

или

: <math>c^2 - b^2 = a^2\, </math>

Од наведените еднаквости може да се забележи дека односот меѓу страните на правоаголен триаголник е таков што, во случај една од нив да е со непозната должина, може да се определи со помош на преостанатите две познати страни. Обопштувањето на оваа теорема, позната како [[косинусна теорема]], овозможува пресметување на должината на третата страна на произволен триаголник, ако се познати должините на преостанатите две страни и големината на аголот што тие го покриваат, што е една од поставките на задачата наречена [[решавање на триаголник]]. Ако познатите страни определат прав агол, косинусната теорема се сведува на Питагоровата теорема.

=== Неевклидски геометрии ===
[[Податотека:Triangle_esfèric.png|мини|131x131пкс| Сферичен триаголник]]
Во [[Сферна геометрија|сферната геометрија]], на [[Единична сфера|единичната сфера]], за правоаголен [[сферен триаголник]] ABC чии должини на страните се соодветно a, b и c, Питагоровата теорема има облик:

: <math>\cos a=\cos b\cdot\cos c. </math>{{Sfn|Дугошија|1999}}

Доколку полупречникот на сфера е со должина РРР, еднаквоста станува:

: <math>\cos \frac{a}{R}=\cos \frac{b}{R} \cdot\cos \frac{c}{R}.</math> <ref>Оваа еднаквост се добива како специјален случај на [[Косинусна теорема (сферна геометрија)|косинусната теорема]] за сферен триаголник. Доколку косинусната функција се развие со помош на [[Колин Маклорен|Маклореновиот]] [[Маклоренов ред|ред]], можно е да се покаже дека наведениот облик на Питагоровата теорема ќе се приближува на својот евклидски еквивалент кога полупречникот на сферата тежи кон [[бескончност]].</ref>

Во [[Хиперболична геометрија|хиперболична рамнина]] претставена со [[Анри Поенкаре|Поенкаревиот]] модел на диск, ако е правоаголен триаголник со катети и хипотенуза, Питагоровата теорема има облик:

: <math>\cosh c=\cosh a\cdot\cosh b, </math><ref>{{Наведена книга|url=http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122|title=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry|last=Stahl|first=Saul|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=1993|isbn=978-0-86720-298-4|chapter=Theorem 8.3}}<br /><br />За доказ погледати {{Наведена мрежна страница|url=http://www.math.uncc.edu/~ghetyei/courses/old/S06.6118/hypsin.pdf|title=Sines and cosines in the Poincar´e disk model of the hyperbolic plane|pages=122|accessdate=24 февруари 2009}}{{Мртва_врска|date=May 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>

каде [[Хиперболичен косинус|хиперболичниот косинус]] е дефиниран со:

: <math>\cosh x=\frac{e^x + e^{-x}}{2}. </math>

=== Хилбертови простори ===
Вообичаена [[Вектор|норма]] на [[Реален број|реалниот]] [[Евклидов простор]] <math>\scriptstyle R^{k}</math> се воведува со користење на [[скаларен производ]] . [[Векторски простор|Векторскиот простор]] со норма воведена со помош на скаларен производ се нарекува предхилбертов простор. Ако предхилбертовиот простор е [[Метрички простор|комплетен]] во однос на неговата метрика, тој се нарекува [[Хилбертов простор]]. Ова е секогаш случај во [[Димензии на векторски простор|конечнодимензионални]] простори како што е <math>\scriptstyle R^{k}</math>, но бесконечнодимензионалните предхилбертови простори не мора да бидат Хилбертови.

Ако е во реален простор <math>\scriptstyle X</math> со скаларен производ (предхилбертовиот простор) воведена норма на векторот со:

: <math>\left\|x\right\|=\sqrt{x\cdot x}</math> ,

со соодветните својства<ref>За особине погледати Д. Аднађевић, З. Каделбург,''Математичка анализа '', pp. 268</ref>, потоа за [[Ортогоналност|ортогонални]] [[вектор]]и <math>\scriptstyle x</math> и <math>\scriptstyle y</math> Питагоровата теорема добива облик:

: <math>\left\|x+y\right\|^2=\left\|x\right\|^2+\left\|y\right\|^2</math> .<ref name="Analiza2">{{Harvnb|Каделбург|1991}}</ref>

== Докази ==
Со векови, Питагоровата теорема служела како вдахновение за нови математички [[докази]], кои ги пронашле и луѓе кои не биле професионални математичари. Во книгата ''Питагорово тврдење'' ({{Lang-en|The Pythagorean Proposition}}) од Елиша Скот Лумис ( {{Lang-en|Elisha Scott Loomis}}), првично објавена во [[1927]] година, која била дополнета со нови докази во [[1940]] година, можно е да се најдат сите познати докази до нивното објавување, вкупно 371. Меѓу другото, таму се наведени [[Питагора|Питагоровиот]] и [[Евклид]]овиот доказ, потоа најкраткиот и најдолгиот доказ кој му се припишува на [[Адриен-Мари Лежандр|Лежандр]], па [[Клавдиј Птоломеј|Птоломеевиот]], [[Леонардо да Винчи|Леонардовиот]], [[Кристијан Хајгенс|Хајгенсовиот]] и [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбницовиот]], како и доказот на [[Џејмс Гарфилд]], од времето пред да стане [[Претседател на Соединетите Американски Држави|претседател на САД]].<ref name="Maor">Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History''</ref>

=== Питагоров доказ ===

Иако постојат материјални докази дека врската помеѓу [[Катета|катетите]] и [[хипотенуза]]та на правоаголен триаголник им била позната на древните цивилизации, она што одлучило дека [[теорема]]та го добила името по Питагора е фактот што тој бил првиот што го [[Докази|докажал]] тоа. Меѓутоа, бидејќи во негово време немало соодветен материјал за запишување, знаењето стекнато од [[питагорејците]] било пренесувано усно, а не постои сигурен извор врз основа на кој со сигурност би можело да се тврди како изгледал изворниот Питагоров доказ. Во неговите ''[[Елементи (Евклид)|Елементи]]'', [[Евклид]] дал два докази за теоремата, прв во првата книга,<ref>Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_47.HTML књига, тврђење ], Приступљено 23. 4. 2013.</ref> доказ целосно заснован на односите на површините, а потоа во шестата книга,<ref name="euklidVI">Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID06_T_31.HTML књига, тврђење ], Приступљено 23. 4. 2013.</ref> доказ кој користи [[Сличност (геометрија)|сличност]] и е многу поедноставен. Со оглед на тоа што [[геометрија]]та не била доволно развиена во времето на Питагора, малку е веројатно дека тој го користел првиот доказ, а ако го користел вториот, тогаш тој не бил целосен, бидејќи целосната теорија на сразмерност ја дал дури [[Евдокс]], кој живеел два века по Питагора. Од друга страна, многу е веројатно дека Питагора прв ја докажал теоремата во случај на рамнокрак правоаголен триаголник, бидејќи овој доказ бил познат дури и на Хиндусите, а тој можел да го слушне на неговите патувања по [[Средоземно Море|Средоземјето]]. Дали и тој го докажал општиот случај не се знае, но се претпоставува дека го разгледувал. Тој е традиционално заслужен за докажување на општ случај кој веќе бил познат во древна [[Народна Република Кина|Кина]].<ref name="Maor" />

=== Евклидови докази ===
Во своите ''[[Елементи (Евклид)|Елементи]]'', [[Евклид]] ја докажува Питагоровата теорема на две места, прво во првата, а потоа во шестата книга. Првиот доказ е доста тежок за следење, и според [[Прокло]], му припаѓа на претходникот на Евклид, [[Евдокс]], како и теоријата на пропорционалност изложена во петтата книга на ''Елементите.''<ref name="Maor"/> Постојат различни толкувања за тоа зошто Евклид избрал да ја докаже теоремата на потежок начин во првата книга, иако во негово време биле познати поедноставни докази. Од една страна, повеќето од овие докази вклучуваат поделба на [[Правоаголен триаголник|правоаголниот триаголник]] на помали, [[Сличност (геометрија)|слични]] [[Триаголник|триаголници]] и користење на својствата на пропорционалност за да се изведе соодветната еднаквост, но тие не се претставени до петтата книга, додека сличноста е опфатена во шестата книга. Од друга страна, бидејќи старите Грци ги толкувале сите [[Аритметика|аритметички операции]] преку [[геометрија]]та, многу е веројатно дека првиот доказ дошол природно кај Евклид - бидејќи тој ја гледал Питагоровата теорема како однос помеѓу површините. Според Прокло, вториот доказ е целосно Евклидов, згора на тоа, тој е единствениот изворен Евклидов доказ во ''Елементите''.<ref name="Maor" />
[[Податотека:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg|мини| Доказ од првата книга [[Евклид|на Евклидовите]] ''[[Елементи (Евклид)|Елементи]]'']]
Суштината на првиот доказ е дека, ако со ''A'', ''B'' и ''C'' се означени темињата на правоаголен триаголник со прав агол кај темето ''A'', и ако од тоа теме се спушти висина на хипотенузата која се продолжува до спротивната страна на квадратот над хипотенузата, таа ќе го подели тој квадрат на два правоаголници, чии плоштини ќе бидат еднакви на плоштините на квадратот над поблиската катета.

За формален доказ, прво е потребно да се покаже дека важат следните елементарни [[Лема|леми]]:

# (САС став кон складноста на триаголниците) Ако две страни на еден триаголник се еднакви на две страни на друг триаголник, и ако аглите кои ги зафаќаат тие парови со еднакви страни се исто така еднакви, тогаш триаголниците се складни.<ref>Евклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_4.HTML книга, тврдење ], Пристапено 23. 4. 2013.</ref>
# Плоштината на триаголникот е еднаква на половина од плоштината на кој било паралелограм конструиран над двете страни од тој триаголник.<ref>Евклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_41.HTML книга, тврдење ], Пристапено 23. 4. 2013.</ref>
# Плоштината на кој било правоаголник е еднаква на производот на две соседни страни.
# Плоштината на кој било квадрат е еднаква на производот на неговите две страни (тоа следи од претходната лема).

Интуитивната идеја на доказот е дека квадратите над катетите се преобразуваат во паралелограми со иста плоштина, кои потоа со нова преобразба се вклопуваат во правоаголниците на кои е поделен квадратот над хипотенузата.<ref>Ради једноставнијег праћења доказа погледати следећи [http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/bookI/images/bookI-47.html визуелни доказ], [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/morey.shtml трансформацију] приказану помоћу јава-аплета, и [http://www.takayaiwamoto.com/Pythagorean_Theorem/Euclid_47_anim.gif анимацију].</ref>
[[Податотека:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem2.svg|мини|194x194пкс| Слика со нацртани нови должини]]

# Нека е правоаголен [[триаголник]] со прав агол на темето.
# На секоја од страните, и се нацртани квадрати, и соодветно.
# Од точка, нормала се спушта на страницата, која е продолжена до пресекот со страницата и е исто така паралелна со i . Нејзините пресеци со страни и соодветно се означени со и .
# Со поврзување на точките i, односно i, се добиваат триаголници i.
# Аглите и се правилни, па точките, и [[Колинеарност|се колинеарни]] . Сличен заклучок е донесен и за точките и .
# Аглите и се правилни, што значи дека аголот е еднаков на аголот, бидејќи и двата се еднакви на збирот на правиот агол и аголот.
# Бидејќи страната е еднаква на страната и еднаква, триаголникот е складен на триаголникот.
# Бидејќи точките се колинеарни, правоаголникот има двојно поголема површина од триаголникот.
# Бидејќи точките се колинеарни, квадратот има двојно поголема површина од триаголникот.
# Од горенаведеното произлегува дека правоаголникот има иста површина како квадрат, што е еднакво на ².
# Слично на тоа, можно е да се покаже дека правоаголникот мора да има иста површина како квадрат кој е ².
# Додавањето на добиените равенства ќе биде ² + ² =
# Како што е, важи
# Оттука ² + ² = ², бидејќи е квадрат.

[[Податотека:Pythagoras_generalizatoin_1.JPG|лево|мини|150x150пкс| Пример за обопштување на Питагоровата теорема]]
[[Податотека:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|лево|мини|150x150пкс| Доказ од шестата книга [[Евклид|на Евклидовите]] ''елементи'']]
Можно е Евклид да бил свесен за тешкотијата на овој доказ и затоа во шестата книга докажал малку поопшт случај на Питагоровата теорема користејќи сличност. Според ова тврдење, во случај на правоаголен триаголник, [[геометриска фигура|геометриската фигура]] (без ограничувањето дека мора да биде квадрат) конструирана над [[хипотенуза]]та е еднаква по површина на збирот на плоштините на слични и слично конструирани геометриски фигури. над [[Катета|нозете]] .<ref name="euklidVI"/>

# Нека биде правоаголен триаголник со прав агол на темето.
# Аналогно на претходниот доказ, потребно е да се спушти нормалата од темето на правиот агол до хипотенузата. Основата на нормалата е означена со .
# Бидејќи е нормално на и е нормално на, аглите и се еднакви на аглите со нормални катети.
# Последица е тоа што триаголниците се и слични едни на други и слични на почетниот триаголник, па нивните соодветни страни се пропорционални.
# Од еднаквоста и, со вкрстено множење се добива дека ²= и ²= се валидни.
# Додавањето на добиените равенства ќе биде ²+²=
# Бидејќи, ²+²=² е валиден.

Покрај горенаведените изјави, во првата книга ''на Елементите'', Евклид докажал и изјава во спротивна насока од Питагоровата теорема, според која правоаголен триаголник е единствениот триаголник каде што важи еднаквоста ²+²=².<ref>Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_48.HTML књига, тврђење ], Приступљено 23. 4. 2013.</ref>

=== Гарфилдов доказ ===
[[Податотека:Teorema_de_Pitágoras.Garfield.svg|мини|150x150пкс| Слика со [[Џејмс Гарфилд|Гарфилдовиот]] доказ за Питагоровата теорема]]
Друг особено значаен геометриски доказ, во кој не се користат квадрати над страните, бил откриен околу [[1876|1876 година]] од [[Џејмс Гарфилд]], кој подоцна станал дваесеттиот [[Претседател на Соединетите Американски Држави|претседател на САД]]. Според Илиша Лумис, доказот бил резултат на една од математичките дискусии на Гарфилд со другите членови на Конгресот.<ref name="Maor"/>

Идејата на доказот е да се додаде уште еден соодветен триаголник на почетниот [[триаголник]], така што пократката [[катета]] од првиот и подолгата катета од вториот ќе лежат на права линија и ќе тргнуваат од истото теме. Потоа, со спојување на преостанатите две темиња од триаголниците кои припаѓаат на [[Хипотенуза|хипотенузите]], се добива правоаголен [[трапез]] чии основи се со должина i и висина со должина . Од една страна, неговата плоштина може да се добие како производ од полузбирот на основите и висината, а од друга страна, како збир на плоштините на трите триаголници на кои е поделен, така што:

: <math> \frac {(a+b)^2} 2 = \frac {{ab}} 2 + \frac {{ab}} 2 + \frac {c^2} 2 \,\, \Rarr \,\, a^2 + b^2 = c^2 </math>

=== Леонардов доказ ===
[[Податотека:Teorema_de_Pitágoras.Leonardo_da_Vinci.svg|мини|213x213пкс| [[Леонардо да Винчи|Леонардоовиот]] доказ на Питагоровата теорема]]
[[Податотека:Pythagoras_theorem_leonardo_da_vinci.png|мини|202x202пкс| Идејата за [[Леонардо да Винчи|Леонардовиот]] доказ на Питагоровата теорема]]
Следниот доказ му се припишува на познатиот [[италија]]нски уметник и научник [[Леонардо да Винчи]],{{Sfn|Петковић|2006}} и се потпира на [[Осна симетрија|симетријата]] и [[Вртење|ротацијата]].<ref>Ради једноставнијег праћења доказа погледати следећу [http://www.takayaiwamoto.com/Pythagorean_Theorem/Euclid_47_5_anim.gif анимацију] и [https://web.archive.org/web/20081120085300/http://www.math.csusb.edu/courses/m129/leo_pyth.html архивирану][https://web.archive.org/web/20081120085300/http://www.math.csusb.edu/courses/m129/leo_pyth.html трансформацију] коју је могуће интерактивно направити уз подршку јава-аплета.</ref>

# Нека ''ABC'' е правоаголен [[триаголник]] со прав агол кај темето ''C''.
# Над секоја од страните ''CA'', ''BC'' и ''AB'' конструирани се [[квадрат]]и, ''ACED'', ''BCFG'' и ''ABHJ'' соодветно.
# Над странита ''HJ'', конструиран е триаголник ''HJI'' кој е складен со триаголникот ''ABC'', но заротиран за 180 [[Степен (агол)|°]] (степени) во однос на него.
# [[Шестаголник]]от ''AJIHBC'' се преполовува со неговата дијагонала ''CI''.
# Со поврзување на точките ''Е'' и ''F'' се добива шестаголник ''ABGFED'' кој се преполовува со својата дијагонала ''DG''. Триаголниците ''ABC'' и ''ECF'' се симетрични во однос на дијагоналата ''DG'', што што за последица има точките ''D'', ''C'' и ''G'' да се [[Колинеарност|колинеарни]].
# Ако четириаголникот DABG се заротира околу точката ''A'' за 90° (во насока на стрелките на часовникот на приложената слика), тој ќе се совпадне со четириаголникот ''CAJI'', што значи дека тие имаат еднакви плоштини. Ова е последица на тоа што аглите ''DAC'' и ''BAJ'' се прави, што значи дека аголот ''DAB'' е еднаков на аголот ''CAJ'', бидејќи и двата се еднакви на збирот на правиот агол и аголот ''CAB''. Слично на тоа, аголот ''AJI'' е еднаков на аголот ''ABG'', бидејќи и двата се еднакви на збирот на правиот агол и ''ABC'' аголот. Ова значи дека отсечката ''AD'' преминува во ''AC'', отсечката ''AB'' преминува во ''AI'', а отсечката ''BG'' во ''JI''.
# Бидејќи четириаголниците ''DABG'' и ''CAJI'' имаат еднакви плоштини (да речеме, ''S''), и шестаголници ''ABGFED'' и ''AJIHBC'' имаат меѓусебно еднакви плоштини (''2S''). Ако од шестаголникот ''ABGFED'' се изостават складните триаголници '''ABC''' и ''ECF'', неговата плоштина се намалува на збирот на плоштините на квадратите ''ACED'' и ''BCFG''. Од друга страна, ако плоштините на складните триаголници ''ABC'' и ''HJI'', се одземат од плоштината на шестаголникот ''AJIHBC'', добиената површина е еднаква на плоштината на квадратот ABHJ, а оттаму непосредно следи еднаквоста ''AC''²+''BC''²=''AB''².

=== Доказот на Џорџ Ејри ===
[[Податотека:Airy_tdp.gif|лево|мини|150x150пкс| Сликата што ја користел Ејри за да ја докаже Питагоровата теорема. Во белиот [[петаголник]] бил испишан доказот во стихови.]]
[[Англија|Англискиот]] [[Математика|математичар]] и [[астроном]], [[Џорџ Бидел Ејри]], го формулирал својот доказ во стих што бил испишан на придружната слика, а изворно гласи:
{{Цитат|''I am, as you can see, <br />a² + b² - ab<br />When two triangles on me stand,<br />Square of hypothenuse is plann'd<br />But if I stand on them instead<br />The squares of both sides are read.''<ref>{{cite web|url=http://web.math.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/pitagora/exh_pitagora/scheda3.html#2|title=Још један врло једноставан доказ|accessdate=22 ноември 2008|archive-date=2023-10-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20231030080134/http://web.math.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/pitagora/exh_pitagora/scheda3.html#2|url-status=dead}}</ref>}}
што на [[Македонски јазик|македонски]] може да се преведе со:

: „''Јас сум, како што се гледа, a² + b² - ab. Кога на мене стојат два триаголници, се добива квадрат над хипотенузата. Но, ако застанам на нив, се добиваат квадрати над катетите.“''

Идејата на доказот е да се забележи белиот [[петаголник]] кој е заеднички елемент за двете страни на равенката. На приложената слика е добиено така што [[квадрат]]от на страната a и квадратот на страната b, се ставаат на иста линија и се потпираат еден на друг, а потоа се одземаат два сини правоаголни [[Триаголник|триаголници]] чии катети се со должини a и b. Плоштината на тој петаголник е точно a² + b² - ab. Ако му се додадат два црвени триаголници што се совпаѓаат со сините триаголници, плоштината на таа втора фигура ќе биде c², со што теоремата е докажана.

== Обопштување на теоремата ==

=== Косинусна теорема ===
[[Податотека:Driehoek-cosinusregel.png|мини|150x150пкс| Нерамностран остроаголен триаголник]]
Едно од значајните обопшување на Питагоровата теорема е [[Косинусна теорема|косинусната теорема]], која, покрај за правоаголните, важи и за острите и тапите триаголници, односно може да се примени на кој било триаголник. Ако темињата, страните и аглите на триаголникот се означени како на сликата, важат еднаквостите:

: <math>\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha,</math>
: <math>\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta,</math> 
: <math>\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma.</math> {{Sfn|Дугошија|Ивановић|Милин|1999}}

Собирокот на вишокот може да се толкува како двоен [[Скаларен производ|скаларен производ на векторите]] определени од соодветните страни. Кога е <math>\gamma</math> прав агол, ќе биде <math>\cos\gamma = 0 </math>, па тогаш последната еднаквост се сведува на Питагоровата теорема.

=== Просторна Питагорова теорема ===
[[Податотека:De_gua_theorem_2.svg|мини|157x157пкс| [[Тетраедар]]]]
Еден просторен аналог на Питагоровата теорема е посебен случај на [[Косинусна теорема|косинусната теорема]] за [[тетраедар]], според кој, за површините на страните на тетраедарот означени со <math>\scriptstyle S_O</math>, <math>\scriptstyle S_A</math>, <math>\scriptstyle S_B</math> и <math>\scriptstyle S_C</math>, кои се спротивни на соодветните темиња во нивниот индекс, а за диедарските агли на рабовите (диедрален агол ???), (???) и (???), важи еднаквоста:

: <math>S^{2}_{O} = S^{2}_{A} + S^{2}_{B} + S^{2}_{C} - 2S_{B}S_{C}\cos\alpha - 2S_{C}S_{A}\cos\beta - 2S_{A}S_{B}\cos\gamma. </math> <ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/nm/230/nm513406.pdf|title=Милорад Бељић, ''Косинусна теорема за тетраедар''|accessdate=23 октомври 2008}}</ref>

Ако аглите <math>\scriptstyle \alpha</math>, <math>\scriptstyle \beta</math> и <math>\scriptstyle \gamma</math> се прави, така што [[триедар]]от при темето е правоаголен, претходната еднаквост се сведува на:

: <math>S^{2}_{O} = S^{2}_{A} + S^{2}_{B} + S^{2}_{C}, </math>

што може да се смета за обопштување на Питагоровата теорема во просторот <math>\scriptstyle R^{3}</math>. Оваа теорема била претставена на Париската академија на науките од [[Франција|францускиот]] математичар [[Жан-Пол де Ги де Малвес]] во [[1783]] година, заради што го носи неговото име, иако истото веќе му било познато на [[Рене Декарт|Декарт]].<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/deGuasTheorem.html|title=de Gua's Theorem|accessdate=23 октомври 2008}}</ref>

=== Парсевалова еднаквост ===
Обопштувањето на Питагоровата теорема до бесконечнодимензионални [[Сепарабилен простор|сепарабилни]] [[Пред-Хилбертов простор|предхилбертови простори]] е познато како [[Марк Антоан Парсевал|Парсевалова]] еднаквост. Ако е <math>\scriptstyle X</math> еден таков простор, а <math>\scriptstyle\left\{e_{1},e_{2},\cdots\right\}</math> еден од неговите [[Ортонормална основа|ортонормални основи]], потоа за секој вектор <math>\scriptstyle x\in X</math> важи:

: <math>\sum_{n=1}^{+\infty}\left(x\cdot e_n\right)^2 = \left\|x\right\|^2</math> <ref name="Analiza2"/> .

== Последици и употреба на теоремата ==

=== Питагорови тројки ===
Питагоровата тројка е подредена тројка [[Природен број|од природни броеви]], и за која важи еднаквоста ²+²=², односно, Питагоровата тројка се состои од целобројните должини на страните на правоаголен триаголник. [[Вавилонија|Вавилонски]] глинени плочи <ref>Видети [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html  7289] и [http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html  322]</ref> ( {{Lang-en|YBC 7289, Plimpton 322}}) датирани  1800-1600 г. пр. н. е. покажуваат дека таквите тројки биле познати многу пред Питагора. Денес не е баш јасно каква употребна вредност имало тоа знаење. Според некои извори<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.maa.org/news/monthly105-120.pdf|title=Eleanor Robson, Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|accessdate=16 ноември 2008}}</ref>, се чини дека тоа е список на готови решенија за проблем што му овозможил на еден древен предавач по [[математика]] веднаш да ја провери точноста на ученичките трудови без дополнителни пресметки.

Секоја Питагорова тројка е со облик (''ka'',&nbsp;''kb'',&nbsp;''kc''), каде ''k''е  природен број, а (''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'') е примитивна Питагорова тројка (односно сочинуваат заемно прости броеви). Има бесконечно многу различни примитивни Питагорови тројки и позната е нивната експлицитна параметризација.

=== Геометриска конструкција на ирационални броеви ===
[[Податотека:Square_root_of_2_triangle.svg|лево|мини|150x150пкс| [[Корен из 2|Ко нарен од 2]] е конструкбилен број - правоаголен триаголник со катети со единична должина има дијагонала со должина √2]]
Откривањето [[Ирационален број|на ирационалните броеви]] им се припишува на [[питагорејци]]те, но не е точно познато дали до нив стигнале со проучување на [[Геометриска средина|геометриската средина]] или со разгледување на должината на дијагоналата на квадрат.<ref>Стројк, ''Кратак преглед историје математике'', pp. 53</ref> Покрај тоа што утврдиле дека постојат ''несомерливи'' броеви, покажале дека тие можат да се конструираат, што сериозно го загрозило нивното верување дека во основата на сè е она што сега се нарекува [[рационален број]], па откритието било строго чувано. Постои предание дека еден од членовите на братството, кој се осмелил јавно да проговори за тоа, за казна бил удавен во морето.<ref>Heath, ''A History Of Greek Mathematics, volume I'', pp. 154.</ref>

Иако тие не можат да се изразат како количник од два [[Цел број|цели броја]], некои ирационални броеви може да се [[Конструкција со шестар и линијар|конструираат со помош на линијар и шестар]]. Така, √2, која понекогаш се нарекува ''Питагорова константа'' {{Sfn|Finch|2003}}, може да се добие како [[хипотенуза]] на правоаголен триаголник со двете катети со единица должина. Ако катетите се со должина 1 и √2, хипотенузата ќе биде со должина √3 и слично за квадратен корен од кој било природен број.

Не може сите позитивни ирационални броеви да се конструираат со помош на линијар и шестар. Конструктибилните броеви сочинуваат посебно подмножество од множеството алгебарски броеви и затоа ги има преброиво многу, додека останатите, неконструктибилни реални броеви ги има непреброиво многу. Неконструктибилни се на пример броевите <math>\sqrt[3]{2}</math>.

=== Базелски проблем ===
[[Италија]]нскиот [[Математика|математичар]] [[Пјетро Менголи]] во [[1644|1644 година]] го поставил прашањето за определување на збирот на реципрочните вредности на квадратите на сите [[Природен број|природни броеви]]. Иако поставувањето на проблемот е релативно едноставно, решението се чекало речиси еден век, бидејќи [[Леонард Ојлер|Ојлер]] дури во [[1735|1735 година]] го објавил резултатот, за кој во [[1741]] година и докажал дека навистина е бараниот збир. Со помош на математичка нотација, базелскиот проблем може да се напише на следниов начин:

: <math>
\sum_{n=1}^{+\infin} \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6},
</math>

а збирот на дадениот ред може геометриски да се [[Апроксимација|апроксимира]] со помош на Питагоровата теорема. Со конструирање правоаголен триаголник со [[Катета|катети]] со должина 1 и 1/2 се добива [[хипотенуза]] чија должина е квадратен корен од збирот на првите два члена од дадениот ред. Ако потоа се конструира нов правоаголен триаголник над таа хипотенуза како катета, чија втора катета со должина 1/3, неговата хипотенуза ќе има должина еднаква на квадратниот корен од збирот на првите три члена на истиот ред. Со проширување на постапката до [[бесконечност]], должината на хипотенузата на секој следен [[триаголник]] е сè поблиску и поблиску до вредноста <math>\frac{\pi}{\sqrt{6}}</math>.

=== Растојанието помеѓу две точки во аналитичката геометрија ===
Формулата за растојанието помеѓу две точки во [[Рене Декарт|Декартовиот]] [[Декартов координатен систем|правоаголен координатен систем]] е изведена со помош на Питагоровата теорема. Ако се <math>\scriptstyle A\,=\,(x_a,y_a)</math> и <math>\scriptstyle B\,=\,(x_b,y_b)</math> две точки во [[Рамнина (математика)|рамнината]], тогаш нивното [[Евклидово растојание]] е:

: <math>\left|AB\right| = \sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2}.</math>{{Sfn|Кечкић|1994}}

Во општ случај, во повеќедимензионалниот [[Евклидов простор]], растојанието помеѓу точките <math>\scriptstyle A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> и <math>\scriptstyle B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)</math> се одредува со формулата:

: <math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>

=== Фермаовата последна теорема ===
[[Последна Фермаова теорема|Последната Фермаова теорема]] е тврдење што [[Пјер де Ферма]] ја запишал без доказ на маргините на втората [[Диофант]]ова книга ''Аритметика'', а се однесува на прашањето дали постојат природни броеви што би го задоволиле обопштувањето на равенката со која се дефинираат Питагоровите тројки. Тврдењето до кое дошол околу [[1637]] година,{{Sfn|Синг|1999}} дека не постојат природни броеви за кои важи еднаквоста:

: <math>a^n + b^n = c^n\, </math>

секогаш кога [[Природен број|природниот број]] е поголем од 2, е претпоставка со векови, но тоа било докажано дури во [[1995]] година од [[Ендрју Вајлс]].

== Обратна Питагорова теорема ==
Таканаречената Обратна Питагорова теорема гласи: ''Ако плоштината на квадратот конструиран над хипотенузата е еднаков на збирот на плоштините на квадратите конструирани над катетите, тогаш триаголникот е правоаголен.''

== Спомнување на Питагоровата теорема во општата култура ==
Во книгата ''Автобиографија'', [[Бранислав Нушиќ]] ја наведува формулацијата во стих:

{{quote|''Квадрат од хипотенузе,<br />То зна свако дете,<br />Раван је квадратима<br />Од обе катете.''{{sfn|Нушић|1963|pp= 125,127}}|id=}}

што на македонски би било:

{{Цитат|''Квадратот над хипотенузата,<br />Знае секое дете,<br />Еднаков е на квадратите<br />Над двете катети.''}}
[[Германија|Германскиот]] [[поет]] и [[Ботаника|ботаничар]], [[Аделберт фон Шамисо]], посветил една од своите песни на откривањето на Питагоровата теорема.<ref>Погледати оригинални текст на немачком, и превод на енглески Брајана Кола: {{Наведена мрежна страница|url=http://colecizj.easyvserver.com/pgchapyt.htm|title=Adalbert von Chamisso, ''Vom Pythagoreischen Lehrsatz''|archive-url=https://web.archive.org/web/20120326102554/http://colecizj.easyvserver.com/pgchapyt.htm|archive-date=26 март 2012|accessdate=22 ноември 2008}}</ref>

На една од седумте слики на [[Франција|францускиот]] сликар [[Лоран де ла Ер]] ({{Lang-fr|Laurent de La Hyre}}) што ги претставува седумте слободни вештини, древниот тривиум и квадривиум, под назив ''Алегорија на геометријата,'' е прикажана жена која држи [[пергамент]] со неколку геометриски фигури во десната рака.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.ateg.org/whitfield.php|title=Laurent de La Hyre (1601—1666), Allegory of Geometry|archive-url=https://web.archive.org/web/20160307120354/http://ateg.org/whitfield.php|archive-date=7. 03. 2016|accessdate=16 ноември 2008}}</ref> Првата во серијата е токму сликата што [[Евклид]] ја дал во својот доказ за Питагоровата теорема во првата книга на [[Елементи (Евклид)|''Елементите'']].<ref name="Maor"/>

Во филмот на [[Виктор Флеминг]] [[Волшебникот од Оз|„Волшебникот од Оз“]], заснован на истоимената книга на [[Л. Френк Баум]], постои сцена<ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://www.youtube.com/watch?v=uCOxU2rKLas|title=Wizard of Oz, Scarecrow's Mathematical Error|accessdate=5 август 2017}}</ref> во која еден од главните ликови, Страшилото, во мигот кога на подарок од Волшебникот добива диплома, го покажува своето знаење со експлицитно наведување на неточна изјава на теоремата во следниов облик:
{{Цитат|''Збирот на квадратните корени на кои било страни на рамнокрак триаголник е еднаков на квадратниот корен на третата страна.''<ref>{{cite web|url=http://www.imdb.com/character/ch0004328/quotes|title=Реплике Страшила из филма „Чаробњак из Оза“|accessdate=15 ноември 2008}}</ref>}}
Формулацијата на Страшилото ја наведува [[Хомер Симпсон]] во десеттата епизода од петтата серија на „[[Симпсонови]]“, откако ги употребил очилата на [[Хенри Кисинџер]] пронајдени во тоалетот на Спрингфилдската јадрена електрана. За разлика од исказот на Страшилото, кој останува неточен, во [[Цртан филм|цртаната серија,]] од позадина се слуша глас кој делумно го поправа Хомер („''Тоа е правоаголен триаголник, идиот.''“).<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.imdb.com/title/tt0701040/quotes|title=Реплике Симпсонових из епизоде „$прингфилд“|accessdate=15 ноември 2008}}</ref>

Во [[Грција]], [[Јапонија]], [[Сан Марино]], [[Македонија]] и [[Суринам]] биле издадени [[Поштенска марка|поштенски марки]] со визуелен приказ на Питагоровата теорема.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://jeff560.tripod.com/stamps.html|title=Images of Mathematicians on Postage Stamps|last=Miller|first=Jeff|date=|accessdate=20 април 2014}} <br /><br /> Погледати поштанске марке издате у [http://jeff560.tripod.com/images/theorem.jpg Грчкој], [http://jeff560.tripod.com/images/pythagoras7.jpg Јапану], [http://jeff560.tripod.com/images/pythag3.jpg Сан Марину], [http://jeff560.tripod.com/images/pythagoras6.jpg Македонији] и [http://jeff560.tripod.com/images/theorem2.jpg Суринаму].</ref>

Во [[Уганда]] во [[2000|2000 година]] во оптек била [[Пари|монета]] во облик на правоаголен триаголник, на чија задна страна е фигурата на Питагора и алгебарската нотација на теоремата, заедно со текстот „Питагоров милениум“.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|title=Le Saviez-vous?|archive-url=https://web.archive.org/web/20090921060307/http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|archive-date=21 септември 2009|accessdate=7 октомври 2008}}</ref>

Слика што ја симболизира Питагоровата теорема може да се види и на [[грб]]от на [[Шведска|шведскиот]] инженер Кристофер Полхем ({{Lang-sv|Christopher Polhem}}).<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.numericana.com/arms/polhem.htm|title=Christopher Polhem (1661-1751).Swedish engineer, knighted in 1716.|accessdate=24 февруари 2009}}</ref>

Во седумнаесеттата и триесет и четвртата книга на англиското издание на [[стрип]]от [[Астерикс]] се појавува ликот на младиот римски [[архитект]] Квадратнадхипотенузис ({{Lang-en|Squareonthehypothenus}}), чие име е вдахновено од теоремата.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.asterix.com/encyclopedia/characters/squareonthehypothenus.html|title=Squareonthehypothenus|archive-url=https://web.archive.org/web/20101120003750/http://asterix.com/encyclopedia/characters/squareonthehypothenus.html|archive-date=20 ноември 2010|accessdate=20 февруари 2011}}</ref>

== Наводи ==

[[Категорија:Геометрија на триаголникот]]
[[Категорија:Равенки]]
[[Категорија:Агол]]
[[Категорија:Плоштина]]
[[Категорија:Евклидова геометрија]]
[[Категорија:Триаголници]]
[[Категорија:Математички теореми]]