Преглед на кодот на Равенка на сложени брзини

'''Равенка на сложени брзини''' — тридимензионална равенка која се однесува на брзината на објекти во различни [[појдовен систем|појдовни системи]]. Ваквите равенки важат за последователните [[Лоренцови трансформации]], така што и тие се однесуваат на различни системи. Придужната сложена брзина е кинематски ефект познат како [[Томасова прецесија|Томасовата прецесија]], каде подоцнежните неколинеарни Лоренцови поттици стануваат еднакви на составот на ротацијата на координатниот систем и поттик.

Стандардните примени на равенките на сложени брзини вклучуваат: [[Доплеров ефект|Доплерова смена]], [[Доплеров ефект|Доплерова навигација]], [[Светлинска аберација|аберација на светлината]] и завлекувањето на светлината во вода во движење набљудувани во [[Физов експеримент|Физовиот експеримент]]  во 1851 година.<ref>{{harvnb|Kleppner|Kolenkow|1978|loc=Chapters 11&ndash;14}}</ref>

== Историја ==

Брзината на светлината во течност е побавна од брзината на светлината во вакуум и се менува ако течноста се движи заедно со светлината. Во 1851 година, [[Иполит Физо|Физо]] ја [[Физов експеримент|измерил]] брзината на светлината во течност, кој се движи паралелно на светлината, користејќи [[Мајкелсонов интерферометар]]. Резултатите на Физо не се согласувале со тогашните преовладувачки теории. Физо експериментално правилно го утврдил почетниот однос на ширењето на релативистичкиот точен закон за сложување на брзините запишан преку {{math|{{frac|''V''|''c''}}}} како што е опишано подолу. Физовите резултати ги довеле физичарите да ја прифатат емпириската важност на прилично незадоволителната теорија на [[Огистен-Жан Френел|Френел]], дека течноста која се движи во однос на стационарениот етер ''делумно'' ја завлекува светлина со него, односно брзината е {{math|''c'' + (1 - {{frac|1|''n''<sup>2</sup>}})''V''}} наместо {{math|''c'' + ''V''}}, каде {{math|''c''}} е брзината на светлината во етерот, а {{math|''V''}} е брзината на течноста во однос на етерот.

[[Аберација на светлината|Аберацијата на светлината]], за која најлесно објаснување е релативистичката равенка на сложени брзини, заедно со Физовите резултати предизвикаа развој на теориите како што е [[Лоренцова теорија за етерот|Лоренцовата теорија за етерот]] на електромагнетизмот од 1892 година. Со воведувањето на [[Специјална релативност|специјалната релативност]] во 1905 година, прашањата кои го содржеа зборот етер беа, постепено со текот на годините, разрешени.

== Галилеева релативност ==
[[Галилео Галилеј|Галилео]] забележал дека личност на брод кој се движи со постојана брзина има претстава дека е во мирување кога ќе набљудува тело кое паѓа вертикално надолу.<ref>Galileo 1632 ''Dialogue on the two World Systems'' This observation is now regarded as the first clear statement of the principle of mechanical relativity.</ref> Галилео забележал дека од гледната точка на личноста која стои на брегот, движењето на телото кое паѓа надолу на бродот ќе биде комбинирано или пак на истото ќе биде додадено движењето на бродот.<ref>Galileo 1638 in ''Two New Sciences'' who used this insight to show that the path of the weight when seen from the shore would be a parabola.</ref> Па така гледано преку брзините може да се каже дека брзината на телото кое е во пад релативно на брегот е еднакво на брзината на тоа тело релативно на брдот плус брзината на бродот релативно на брегот.

Воопштено за три тела A (пр. Галилео), B (пр. брод), C (пр. тело кое е во пад на бродот) векторот на брзината {{math|'''s'''}} за C релативно на A (брзината на телото во пад што ја набљудува Галилео) е збирот од брзината {{math|'''v'''}} на C релативно на B (брзината на телото во пад релативно во однос на брегот) плус брзината {{math|'''u'''}} на B релативно на A (брзината на бродот релативно на брегот). Сложувањето тука е векторското сложување од векторската алгебра и резултантната брзина е вообичаено претставена со равенката:
:<math> \mathbf{s} = \mathbf{v} + \mathbf{u}.</math>
Во класичната механика:<math> \mathbf{v}, \mathbf{u} </math> може да се поврзат (користејќи [[истобројност]]) со истото потекло и вообичаено се прави тоа. Но по дефиниција тие се релативни брзини кои имаат различно потекло. Ова тврдење е важно при воопштувањето на специјалната релативност каде не важи истобројноста.

Светот на Галилео се состои од [[апсолутен време-простор]] и сложувањето на бзините е во согласност со [[Галилееви трансформации|Галилеевите трансормации]]. Релативистичкиот принцип се нарекува [[Галилеева инваријантност|Галилеева релативност]]. Се раководи според [[Класична механика|Њутновата механика]].
== Специјална релативност ==

Според теоријата на [[специјална релативност]], во рамката на бродот има различен часовник и насока, и поимот на истовременост во насоката на движењето е променет, па сложениот закон за брзините е сменет. Оваа промена не се приметува кај малите брзини, но со зголемување на брзината кон брзината на светлината станува важна. Сложениот закон е исто така наречен '''композиционен закон на брзините'''. За колинеарни движења, брзината на мувата во однос на брегот е дадена со

:<math> s = {v+u \over 1+(vu/c^2)} . </math>

Сложената равенка може да има алгебарски еквивалентен облик, која лесно може да се изведе со помош на принципот на постојаноста на брзината на светлината:<ref>Mermin, N. David (2005). It's About Time: Understanding Einstein's Relativity. Princeton University Press, p. 37. ISBN 0-691-12201-6.</ref>
:<math> {c-s \over c+s} = \left({c-u \over c+u}\right)\left({c-v \over c+v}\right). </math>
Светот во специјалната релативност се состои од  [[Минковскиев простор]] и сложувањето на брзинитее цо согласност со [[Лоренцови трансформации|Лоренцовите трансормации]]. Во специјалната теорија на релативноста Њутновата механика е променета во [[релативистичка механика]].

== Стандардна конфигурација ==
Формулите за поттиците на [[Стандардна конфигурација|стандардната конфигурација]] произлегуваат правопропорционално од диференцијалите на [[Лоренцови трансформации|инверзните Лоренцови поттици]] во стандардната конфигурација.<ref name=LL>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|p=13}}</ref><ref>{{harvnb|Kleppner|Kolenkow|1978|p=457}}</ref> Ако 'прим' системот се движи со брзина <math>V</math> во позитивна <math>x</math> насока релативна на 'не-прим' системот, тогаш формулите се

:<math>dx = \gamma_V(dx' + vdt'), \quad dy = dy', \quad dz = dz', \quad dt = \gamma_V\left(dt' + \frac{V}{c^2}dx'\right).</math>

Делејќи ги првите три равенки со четвртата,

:<math>\frac{dx}{dt} = \frac{\gamma_V(dx' + vdt')}{\gamma_V(dt' + \frac{V}{c^2}dx')},
 \quad \frac{dy}{dt} = \frac{dy'}{\gamma_V(dt' + \frac{V}{c^2}dx')}, \quad \frac{dz}{dt} = \frac{dz'}{\gamma_V(dt' + \frac{V}{c^2}dx')},</math>

или

:<math>\frac{dx}{dt} = \frac{dx' + vdt'}{dt'(1 + \frac{V}{c^2}\frac{dx'}{dt'}')},
\quad \frac{dy}{dt} = \frac{dy'}{\gamma_V dt'(1 + \frac{V}{c^2}\frac{dx'}{dt'})}, 
\quad \frac{dz}{dt} = \frac{dz'}{\gamma_V dt'(1 + \frac{V}{c^2}\frac{dx'}{dt'})},</math>

следи
{{Equation box 1
|title='''Трансформација на брзината''' (''Декартови компоненти'') 
|indent =:
|equation = 
:<math>v_x = \frac{v_x' + V}{1 + \frac{V}{c^2}v_x'},
\quad v_y = \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}v_y'}{1 + \frac{V}{c^2}v_x'}, 
\quad v_z = \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}v_z'}{1 + \frac{V}{c^2}v_x'}</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

Ако координатите се одбрани така што сите брзини да лежат на (заедничка) {{math|''x''-''y''}} рамнина, тогаш брзините може да се претстават како

:<math>v_x = v\cos \theta, v_y = v\sin \theta,\quad v_x' = v'\cos \theta', \quad v_y' = v'\sin \theta',</math>

(Погледајте [[поларни координати]]) и се добива<ref>{{harvnb|Jackson|1999|p=531}}</ref>
{{Equation box 1
|title='''Трансформација на брзината''' (''Поларни компонентни на рамнината'')
|indent =:
|equation = 
:<math>\begin{align}v &= \frac{\sqrt{v'^2 +V^2+2Vv'\cos \theta' - (\frac{Vv'\sin\theta'}{c})^2}}{1 + \frac{V}{c^2}v'\cos \theta'},\\
\tan \theta &= \frac{v_y}{v_x} = \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}v_y'}{v_x' + v} = \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}v'\sin \theta'}{v'\cos \theta' + V}.\end{align}</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

{{Hidden begin| titlestyle = color:green;background:lightgrey;|title=Детали за v}}
:<math>\begin{align}v &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \frac{\sqrt{(v_x'+v)^2 + (1-\frac{V^2}{c^2})v_y'^2}}{1 + \frac{V}{c^2}v_x'}
= \frac{\sqrt{v_x'^2+V^2+2v_x'v + (1-\frac{V^2}{c^2})v_y'^2}}{1 + \frac{V}{c^2}v_x'}\\
&=\frac{\sqrt{v'^2 \cos^2 \theta'+V^2+2Vv'\cos \theta' + v'^2\sin^2\theta' - \frac{V^2}{c^2}v'^2\sin^2\theta'}}{1 + \frac{V}{c^2}v_x'}\\
&=\frac{\sqrt{v'^2 +V^2+2Vv'\cos \theta' - (\frac{Vv'\sin\theta'}{c})^2}}{1 + \frac{V}{c^2}v'\cos \theta'}\end{align}</math>
{{Hidden end}}

Дадениот доказ е многу формален. Постојат и многу други докази кои се поточни, како следниот подолу.
{{Hidden begin| titlestyle = color:green;background:lightgrey;|title=Доказ користејќи {{math|4}}-вектори и Лоренцови трансформациони матрици}}
Бидејќи релативистичката трансформација ги ротира просторот и времето меѓусебно исто како геометриската ротација во рамнината која ги ротира {{math|''x''}}- и {{math|''y''}}-оските, погодно е да се користат истите единици за просторот и времето, во спортивно ќе се пројавува единичен фактор на претворање низ релативистичките формули, како [[брзина на светлината|брзината на светлината]]. Во систем каде што должините и времињата се мерат со исти мерни единици, брзината на светлината е бездимензионална и еднаква на {{math|1}}. Брзината тогаш се изразува како дел од брзината на светлината.

За да се најде релативистичкиот закон за трансформација, корисно е да се воведат четири-брзини {{math|''V'' {{=}} (''V''<sub>0</sub>, ''V''<sub>1</sub>, 0, 0)}} и {{math|''U'' {{=}} (''U''<sub>0</sub>, ''U''<sub>1</sub>, ''U''<sub>2</sub>, ''U''<sub>3</sub>)}}. [[Четири вектор#Четири-брзини|четири-брзините]] се дефинирани да бидат [[четири-вектор]]и со [[Минковскиева метрика|релативистичка должина]] еднаква на {{math|1}}, идно-насочена и тангента на [[светска линија|светската линија]] на тело во времепросторот. Овде, {{math|''V''<sub>0</sub>}} одговара на компонентата на времето и  {{math|''V''<sub>1</sub>}} на {{math|''x''}} компонентата на четири-брзините на телото набљудувани од бродот. Погодно е да се земе {{math|''x''}}-оската да биде насоката на движење на бродот и {{math|''y''}}-оската така што {{math|''x''–''y''}} рамнината се протега поради движењето на бродот и телото. Од ова произлегува дека неколку компоненти на брзините се нула; {{math|''V''<sub>2</sub> {{=}} ''V''<sub>3</sub> {{=}} ''U''<sub>3</sub> {{=}} 0}}.

Обичната брзина е односот на стапката со која просторните координати растат во однос на стапката со која временската координата расте,

:<math>\begin{align} \mathbf{v} &= (v_1, v_2, v_3) = (V_1/V_0, 0, 0),\\
 \mathbf{u} &= (u_1, u_2, u_3) = (U_1/U_0, U_2/U_0, 0).\end{align}</math>

Бидејќи релативистичката должина {{math|''V''}} е {{math|1}}, 
:<math> V_0^2 - V_1^2 = 1,</math>
следува 
:<math> V_0 = 1/\sqrt{1-v_1^2} \ , \quad V_1 = v_1/\sqrt{1-v_1^2}.</math>

[[Лоренцови трансформации|Лоренцовите трансформациони]] матрици што го зголемуваат системот во мирување до четири-брзината {{math|''V''}} е

:<math>
\begin{pmatrix} V_0 & V_1 & 0 & 0 \\ V_1 & V_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
</math>

Оваа матрица ја ротира временската векторска оска {{math|(1, 0, 0, 0)}} до {{math|(''V''<sub>0</sub>, ''V''<sub>1</sub>, 0, 0)}} и сите негови колони се релативистички ортогонални едни на други што се дефинира како Лоренцова трансформација.

Ако телото се движи со четири-брзина{{math|''U''}} во системот на мирување и се зголеми со множење на горе наведената матрица, новата четири-брзина е {{math|''S'' {{=}} (''S''<sub>0</sub>, ''S''<sub>1</sub>, ''S''<sub>2</sub>, ''S''<sub>3</sub>)}},

:<math>\begin{align} S_0 &= V_0 U_0 + V_1 U_1,\\
S_1 &= V_1 U_0 + V_0 U_1,\\
S_2 &= U_2,\\
S_3 &= U_3.\end{align} </math>

Делејќи со временската компонента {{math|''S''<sub>0</sub>}} и со замена на компонентите на четири-векторите {{math|''U''}} и {{math|''V''}} во однос на компонентите на три-векторите {{math|'''u'''}} и {{math|'''v'''}} го дава релативистичкиот состав на законот како

:<math>\begin{align} s_1 &= { v_1 + u_1 \over 1 + v_1 u_1 },\\
s_2 &= { u_2 \over (1 + v_1 u_1) }{ 1 \over V_0 } = { u_2 \over 1 + v_1 u_1 } \sqrt{1 - v_1^2},\\
s_3 &= 0.\end{align} </math>

Обликот на релативистичкиот закон на сложување може да се сфати како ефект на неуспехот на истовременоста да важи во далечината. За паралелната компонента, временската дилатација ја намалува брзината, контракцијата на должината ја зголемува и двата ефекта се поништуваат.  Неуспехот на истовременост значи дека телото менува истовремени парчиња како проекција на {{math|'''u'''}} кон {{math|'''v'''}}. Бидејќи во овој ефект целосно се должи на временското режење, истиот фактор се множи со нормалната компонента, така што временската дилатација се множи со фактор  {{math|{{frac|1|''V''<sub>0</sub>}} {{=}} {{sqrt|(1 − ''v''<sub>1</sub><sup>2</sup>)}}}}.
{{Hidden end}}

== Општа конфигурација ==
[[File:Velocity decomposition sr.svg|thumb|200px|Разложувањето на 3-брзината {{math|'''v'''}} во паралелни и нормални компоненти и пресметка на тие компоненти. Постапката за {{math|'''v'''&prime;}} е идентична.]]

Почнувајќи од изразот во координати за {{math|''V''}} паралелна на {{nowrap|{{math|''x''}}-оската}}, изразите за нормални и паралелни компоненти може да се вметнат во векторска облик како што следува, трик којшто исто така функционира и за Лоренцовите трансформации на други 3Д физички количества првично поставени во стандардната конфигурација. Со воведување на векторот за брзина {{math|'''v'''}} во не-прим системот и {{math|'''v'''&prime;}} во прим системот и да ги поделиме на компоненти паралелни ( ∥ ) и нормални (&perp;) на релативистичкио вектор за брзина {{math|'''V'''}} така што

:<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\parallel + \mathbf{v}_\perp,\quad \mathbf{v}' = \mathbf{v}'_\parallel + \mathbf{v}'_\perp ,</math>

потоа со вообичаените [[Декартов координатен систем|основни декартови единици за вектор]] {{math|'''e'''<sub>''x''</sub>, '''e'''<sub>''y''</sub>, '''e'''<sub>''z''</sub>}}, брзината во не-прим системот ќе биде

:<math>\mathbf{v}_\parallel = v_x \mathbf{e}_x,\quad \mathbf{v}_\perp = v_y \mathbf{e}_y + v_z \mathbf{e}_z ,\quad \mathbf{V} = V\mathbf{e}_x,</math>

што дава

:<math>\mathbf v_\parallel = \frac{\mathbf v_\parallel' + \mathbf V}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v_\parallel'}{c^2}},
\quad \mathbf v_\perp = \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\mathbf v_\perp'}{1 + \frac{\mathbf V\cdot \mathbf v_\parallel'}{c^2}}. 
</math>

каде · е [[Скаларен производ|скаларниот производ]]. Бидејќи овие се векторски равенки, тие сè уште го имаат истиот облик за {{math|'''V'''}} во ''сите'' насоки. Единствената разлика од координатните изрази е дека горенаведените изрази се однесуваат на ''вектори'', а не на компоненти. {{Hidden begin|titlestyle=color:green;background:lightgrey;|title=Алгебра}}
:<math>\begin{align}\frac{\mathbf v'_\parallel + \mathbf V}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}} + \frac{\alpha_V \mathbf v'_\perp}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}} &= \frac{\mathbf V + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{V^2}\mathbf V}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}} 
+ \frac{\alpha_V \mathbf v' - \alpha_V\frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{V^2}\mathbf V}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\\

&=\frac{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{V^2}(1 - \alpha_V)}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf V + 
\alpha_V\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf v'\\

&=\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf V + 
\alpha_V\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf v' +
\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{V^2}(1 - \alpha_V)\mathbf V\\

&=\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf V + 
\alpha_V\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf v' +
\frac{1}{c^2}\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{V^2/c^2}(1 - \alpha_V)\mathbf V\\

&=\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf V + 
\alpha_V\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\mathbf v' +
\frac{1}{c^2}\frac{1}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{c^2}}\frac{\mathbf V \cdot \mathbf v'}{(1-\alpha_V)(1+\alpha_V)}(1 - \alpha_V)\mathbf V\\

&= \frac{1}{1+\frac{\mathbf{V}\cdot\mathbf{v}'}{c^{2}}}\left[\alpha_V\mathbf{v}'+ \mathbf{V} + (1-\alpha_V)\frac{(\mathbf{V}\cdot\mathbf{v}')}{V^{2}}\mathbf{V}\right].

\end{align}
</math>
----
{{Hidden end}}

{{Hidden begin| titlestyle = color:green;background:lightgrey;|title=Разложување на парелни и нормални компоненти во однос на {{math|''V''}}}}Треба да се определи паралелната или нормалната компонента за секој вектор, бидејќи другата компонента ќе биде отстранета со замена на целосните вектори.

Паралелната компонента на {{math|'''v'''&prime;}} ќе се најде со [[Векторска проекција|проекција на главниот вектор]] во насока на релативното движење

:<math>\mathbf{v}'_\parallel = \frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{v}'}{V^2}\mathbf V,</math>

и нормалната компонента на {{math|'''v'''&prime;}} ќе се најде со геометриските својства на [[векторски производ|векторискиот производ]] (Погледајте ја сликата десно),

:<math>\mathbf{v}'_\perp = - \frac{\mathbf{V} \times (\mathbf{V} \times \mathbf{v}')}{V^2}.</math>

Во секој случај, {{math|'''V'''/''V''}} е [[единичен вектор]] во насока на релативно движење.

Изразите за {{math|'''v'''<sub>{{!}}{{!}}</sub>}} и {{math|'''v'''<sub>&perp;</sub>}} ќе се најдат на ист начин. Со замена на паралелната компонента во

:<math>\mathbf v =  \frac{\mathbf v_\parallel' + \mathbf V}{1 + \frac{\mathbf V \cdot \mathbf v_\parallel'}{c^2}}
+\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}(\mathbf v - \mathbf v_\parallel')}{1 + \frac{\mathbf V\cdot \mathbf v_\parallel'}{c^2}},
</math>

е резултат во горната равенка.<ref>{{harvnb|Lerner|Trigg|1991|p=1053}}</ref>
{{Hidden end}}

Трансформацијата на брзините се однесува на брзината која е мерена два инетрни системи, едниот систем F&prime; се движи со брзина {{math|'''V'''}} релативна на F. Брзините {{math|'''v'''}} и {{math|'''v'''&prime;}} можат да ја претставуваат ''константната'' брзина на некој масивен обејкт, или трет инерцијален систем (на пример F&prime;&prime;), но во секој случај се означува овој ентитет со X. Тогаш X се движи со брзина {{math|'''v'''}} релативна на F, или еквивалентна со брзината {{math|'''v'''&prime;}} релативна на F&prime;, пак F&prime; се движи со брзина {{math|'''V'''}} релативна на F. Ова може да се запише

:<math>\mathbf{v} = \mathbf v_\parallel + \mathbf v_\perp = \frac{1}{1+\frac{\mathbf{V}\cdot\mathbf{v}'}{c^{2}}}\left[\alpha_V\mathbf{v}'+ \mathbf{V} + (1-\alpha_V)\frac{(\mathbf{V}\cdot\mathbf{v}')}{V^{2}}\mathbf{V}\right] \equiv \mathbf V \oplus \mathbf v',</math>

каде {{math|''α''<sub>''V''</sub> {{=}} 1/''γ''<sub>''V''</sub>}} е реципрочна вредност на [[Лоренцов фактор|Лоренцовиот фактор]]. Подредувањето на операнди во дефиниција е избрано за да го одрази подредувањето на додавање на брзините, прво {{math|'''V'''}} (брзината на F&prime; релативна на F), потоа {{math|'''v'''&prime;}} (брзината на X релативна на F&prime;) за да се добие {{math|'''v''' {{=}} '''V''' &oplus; '''v'''&prime;}} (брзината на X релативна на F).

Со цел да се олесни генерализација и да се избегне зголемувањето на бројот на прости броеви, се променува записот на {{math|'''V'''}} во {{math|'''u'''}} и {{math|'''v'''&prime;}} во {{math|'''v'''}}. Дефинирање на ''релативистичкото сложување'' на новите {{math|'''u'''}} и {{math|'''v'''}} од горенаведената формула,<ref>{{harvnb|Friedman|2002|pp=1&ndash;21}}</ref><ref group=nb>These formulae follow from inverting {{math|''α<sub>u</sub>''}} for {{math|''u''<sup>2</sup>}} and applying the [[difference of two squares]] to obtain

:{{math|''u''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>(1 − ''α''<sub>''u''</sub><sup>2</sup>) {{=}} ''c''<sup>2</sup>(1 − ''α''<sub>''u''</sub>)(1 + ''α''<sub>''u''</sub>)}}

so that

:{{math|{{sfrac|(1 − ''α''<sub>''u''</sub>)|''u''<sup>2</sup>}} {{=}} {{sfrac|1|''c''<sup>2</sup>(1 + ''α''<sub>''u''</sub>)}} {{=}} {{sfrac|''γ''<sub>''u''</sub>|''c''<sup>2</sup>(1 + ''γ''<sub>''u''</sub>)}}}}.</ref>

{{Equation box 1
|title=
|indent =:
|equation =

:<math>\begin{align}\mathbf u \oplus \mathbf v
&=\frac{1}{1 + \frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2}}\left[\mathbf u + 
\frac{\mathbf v}{\gamma_u} +
\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_u}{1+\gamma_u}(\mathbf u \cdot \mathbf v)\mathbf u\right]\\
&= \frac{1}{1 + \frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2}}\left[\mathbf u + \mathbf v +
\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_u}{1+\gamma_u} \mathbf u \times(\mathbf u \times \mathbf v)\right],\end{align}</math>

|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

каде што последниот израз е од стандардна [[Векторска анализа|формула на векторска анализа]] {{math|'''u''' × ('''u''' × '''v''') {{=}} ('''u''' ⋅ '''v''')'''u''' − ('''u''' ⋅ '''u''')'''v'''}}, а како резултат на крстор производите тоа е точно само во три-просторните димензии. Првиот израз се однесува на било кој број од просторните димензии.

===Својства===

Релативистичката сложеност на 3-брзините е [[Нелиниски систем|нелиниска]]

:<math>(\lambda \mathbf{u}) \oplus (\mu \mathbf{v}) \neq \lambda \mu (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) , </math>

за секој [[реален број]] {{math|''λ''}} и {{math|''μ''}}, иако е точно дека

:<math>(-\mathbf{u}) \oplus (-\mathbf{v}) = - (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) , </math>

Исто, поради последните поими, не е [[Комутативно својство|комутативна]]

:<math>\mathbf u \oplus \mathbf v  \ne \mathbf v \oplus \mathbf u, </math>

ниту [[Асоцијативно својство|асоцијативна]]<ref>The so-called "Mocanu paradox". See Mocanu, C. I. (1992). "On the relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation". Foundations of Physics (Plenum) 5: 443–456.</ref>

:<math>\mathbf u \oplus (\mathbf v \oplus \mathbf w) \ne (\mathbf u \oplus \mathbf v) \oplus \mathbf w. </math>

Ако {{math|'''u'''}} и {{math|'''v'''}} се однесуваат на ''поттици на брзините'', тогаш и {{math|'''u''' ⊕ '''v'''}} и {{math|'''v''' ⊕ '''u'''}} се ''точни'' изрази за комбинираната поттик брзина. Тие се само дадени во различен координатен систем, неприм и (што би бил) двојно примуван соодветно на стариот запис, се поврзани со ротацијата. Овој феномен е познат како [[Томасова прецесија]].

Нормата е дадена со<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|p=37}} Equation (12.6) This is derived quite differently by consideration of invariant cross sections.</ref>

:<math>|\mathbf u \oplus \mathbf v|^2 = \frac{1}{\left(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2}\right)^2}\left[\left(\mathbf u + \mathbf v \right)^2 - \frac{1}{c^2}\left(\mathbf u \times \mathbf v\right)^2 \right] = |\mathbf v \oplus \mathbf u|^2.</math>

{{Hidden begin| titlestyle = color:green;background:lightgrey;|title=За доказ, кликни овде.}}
:<math>\begin{align}\left(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2}\right)^2|\mathbf u \oplus \mathbf v|^2 &= \left[ \mathbf u + \mathbf v + \frac{1}{c^2}\frac{\gamma_u}{1+\gamma_u}\mathbf u \times(\mathbf u \times \mathbf v)\right]^2\\

&=(\mathbf u + \mathbf v)^2 +2\frac{1}{c^2} \frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}  \left[(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2-(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf v)\right] + \frac{1}{c^4}\left(\frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}\right)^2\left[(\mathbf u\cdot\mathbf u)^2(\mathbf v \cdot \mathbf v) - (\mathbf u\cdot \mathbf v)^2(\mathbf u\cdot \mathbf u)\right]\\

&=(\mathbf u + \mathbf v)^2 +2\frac{1}{c^2} \frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}  \left[(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2-(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf v)\right] 
+ \frac{u^2}{c^4}\left(\frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}\right)^2\left[(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v \cdot \mathbf v) - (\mathbf u\cdot \mathbf v)^2\right]\\

&=(\mathbf u + \mathbf v)^2 +2\frac{1}{c^2} \frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}  \left[(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2-(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf v)\right] 
+ \frac{(1-\alpha_u)(1+\alpha_u)}{c^2}\left(\frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}\right)^2\left[(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v \cdot \mathbf v) - (\mathbf u\cdot \mathbf v)^2\right]\\

&=(\mathbf u + \mathbf v)^2 +2\frac{1}{c^2} \frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}  \left[(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2-(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf v)\right] 
+ \frac{(\gamma_u-1)}{c^2(\gamma_u + 1)}\left[(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v \cdot \mathbf v) - (\mathbf u\cdot \mathbf v)^2\right]\\

&=(\mathbf u + \mathbf v)^2 +2\frac{1}{c^2} \frac{\gamma_u}{\gamma_u + 1}  \left[(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2-(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf v)\right] 
+ \frac{(1-\gamma_u)}{c^2(\gamma_u + 1)}\left[(\mathbf u\cdot \mathbf v)^2 - (\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v \cdot \mathbf v)\right]\\

&=(\mathbf u + \mathbf v)^2 +\frac{1}{c^2} \frac{\gamma_u+1}{\gamma_u + 1}  \left[(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2-(\mathbf u\cdot\mathbf u)(\mathbf v\cdot\mathbf v)\right]\\

&=(\mathbf u + \mathbf v)^2 -\frac{1}{c^2}  |\mathbf u \times \mathbf v|^2

\end{align}</math>
{{Hidden end}}
Јасно е дека некомутативноста се манифестира како дополнителна ''ротација'' на координатиот систем кога станува збор за два поттици, бидејќи квадратната норма е еднаква за двете големини на поттиците.

Гама факторот за комбинираната брзина се пресметува како
:<math>\gamma_{\mathbf u \oplus \mathbf v} =\left[ 1 -   \frac{1}{c^2}\frac{1}{(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
\left( (\mathbf u + \mathbf v)^2 - \frac{1}{c^2}(u^2v^2 - (\mathbf u \cdot \mathbf v)^2)\right)\right]^{-\frac{1}{2}}=\gamma_u\gamma_v\left(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2}\right).</math>

{{Hidden begin| titlestyle = color:green;background:lightgrey;|title=Кликни за детален доказ.}}
:<math>\begin{align}\gamma_{\mathbf u \oplus \mathbf v} &= \left[ \frac{c^2(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}{c^2(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
 -   \frac{1}{c^2}\frac{ (\mathbf u + \mathbf v)^2 - \frac{1}{c^2}(u^2v^2 - (\mathbf u \cdot \mathbf v)^2)}{(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}\right]^{-\frac{1}{2}}\\

&=\left[ \frac{c^2(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2 - (\mathbf u + \mathbf v)^2 + \frac{1}{c^2}(u^2v^2 - (\mathbf u \cdot \mathbf v)^2)}{c^2(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
\right]^{-\frac{1}{2}}\\

&=\left[ \frac{c^2(1+2\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2} + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2}{c^4}) - u^2 - v^2 - 2(\mathbf u \cdot \mathbf v) + \frac{1}{c^2}(u^2v^2 - (\mathbf u \cdot \mathbf v)^2)}{c^2(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
\right]^{-\frac{1}{2}}\\

&=\left[ \frac{1+2\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2} + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2}{c^4} - \frac{u^2}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} - \frac{2}{c^2}(\mathbf u \cdot \mathbf v) + \frac{1}{c^4}(u^2v^2 - (\mathbf u \cdot \mathbf v)^2)}{(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
\right]^{-\frac{1}{2}}\\

&=\left[ \frac{1 + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)^2}{c^4} - \frac{u^2}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{c^4}(u^2v^2 - (\mathbf u \cdot \mathbf v)^2)}{(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
\right]^{-\frac{1}{2}}\\

&=\left[ \frac{(1-\frac{u^2}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})}{(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
\right]^{-\frac{1}{2}}\\

&=\left[ \frac{1}{\gamma_u^2\gamma_v^2(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})^2}
\right]^{-\frac{1}{2}}\\

&=\gamma_u\gamma_v(1+\frac{\mathbf u \cdot \mathbf v}{c^2})\end{align}</math>
{{Hidden end}}

Покрај нелинеарноста во сложените брзини, можно е да се добие композицијата на бета векторите {{math|'''β'''<sub>''u''</sub> {{=}} '''u'''/''c''}} и {{math|'''β'''<sub>''v''</sub> {{=}} '''v'''/''c''}}, кои се пропорционални на релативните брзини. Дефинирање на {{math|'''β'''<sub>''u''</sub>&oplus;'''β'''<sub>''v''</sub> {{=}} ('''u'''&oplus;'''v''')/''c''}}, следува

:<math>\boldsymbol{\beta}_u\oplus\boldsymbol{\beta}_v=\frac{1}{1+\boldsymbol{\beta}_u\cdot\boldsymbol{\beta}_v }\left[\boldsymbol{\beta}_u+\frac{\boldsymbol{\beta}_v}{\gamma_u}+\frac{\gamma_u}{\gamma_u+1}(\boldsymbol{\beta}_v\cdot\boldsymbol{\beta}_u)\boldsymbol{\beta}_u\right]</math>

===Записи и конвенции===

Записите и конвенциите за сложените брзини се разликуваат од автор до автор. Различни симболи можат да се користат за операциите и операндите можат да се вклучат за истиот израз. Бидејќи сложените брзини не се комутативни, не можеме наивно да се префрлиме на операндите без да се промени резултатот.

;Од лево кон десно подредување на операндите

Мокану (1986, 1992) се користи во оваа статија,

:<math>\mathbf{u}\oplus\mathbf{v} = \frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left[\mathbf{v}+\mathbf{u}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}\mathbf{u}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\right] </math>

Унгар (1988, 1989)

:<math>\mathbf{u}*\mathbf{v}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left[\mathbf{v}+\mathbf{u}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}\mathbf{u}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\right] </math>

;Од десно кон лево подредување на операндите

Сексл и Урбантке (1992)

:<math>\mathbf{v}\circ\mathbf{u}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^{2}}}\left[\frac{\mathbf{v}}{\gamma_\mathbf{u}}+\mathbf{u}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{u}+1}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}\right]</math>

== Примени ==

=== Физов експеримент ===
[[Image:Hippolyte Fizeau.jpg|thumb|[[Иполит Физо]] (1819 &ndash; 1896), француски физичар, во 1851 година, е првиот кој ја измерил брзината на светлината во подвижна вода.]]
{{Главна|Физов експеримент}}
Кога светлината се движи низ одредена средина, нејзината брзина се намалува, во рамката на мирување на средината, од {{math|''c''<sub>''m''</sub> {{=}} {{frac|''c''|''n''<sub>''m''</sub>}}}}, каде {{math|''n''<sub>''m''</sub>}} е [[показател на прекршување]] на средината {{math|''m''}}. Брзината на светлината во средината која рамномерно се движи со брзина {{math|''V''}} во позитивната насока на {{math|''x''}}-оската мерена во лабораторискиот систем се определува според равенките за сложени брзини. За движењето во таа насока (стандардна конфигурација, упадниот индекс {{mvar|m}} на {{math|''n''}}) се добива,<ref>{{harvnb|Kleppner|Kolenkow|1978|p=474}}</ref>

:<math>\begin{align}c_m &= \frac{V + c_m'}{1+\frac{Vc_m'}{c^2}} = \frac{V + \frac{c}{n}}{1+\frac{Vc}{nc^2}} = \frac{c}{n}\frac{1 + \frac{nV}{c}}{1+\frac{V}{nc}}\\
& =           \frac{c}{n}(1 + \frac{nV}{c})\frac{1}{1+\frac{V}{nc}} =
(\frac{c}{n} + V)\left(1 - \frac{V}{nc} +  \left(\frac{V}{nc}\right)^2 - \cdots\right).\end{align}</math>

Собирајќи ги најголемите придонеси експлицитно,
:<math>c_m = \frac{c}{n} + V(1 - \frac{1}{n^2} - \frac{V}{nc} + \cdots).</math>
[[Иполит Физо|Физо]] ги определил првите три услови.<ref>{{harvnb|Fizeau|1851E}}</ref><ref>{{harvnb|Fizeau|1860}}</ref> Класичниот резултат се првите два услови.

=== Аберација на светлината ===
{{Главна|Аберација на светлината}}

Друга основна примена е да се разгледа отстапувањето на светлината, односно промената на насоката, кога преминува во нов појдовен систем со паралелни оски, појава наречена [[аберација на светлината]]. Во овој случај, {{math|''v''&prime; {{=}} ''v'' {{=}} ''c''}} и вметнувањето во формулата за {{math|tan ''θ''}} се добива

:<math>\tan \theta = \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}c\sin \theta'}{c\cos \theta' + V}
= \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin \theta'}{\cos \theta' + \frac{V}{c}}.</math>

За овој случај може да се пресметаат и {{math|sin ''θ''}} и {{math|cos ''θ''}} од стандардните формули,<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|p=14}}</ref>

:<math>\begin{align}\sin \theta &=\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin \theta'}{1+\frac{V}{c}\cos \theta'},\end{align}</math>

{{Hidden begin| titlestyle = color:green;background:lightgrey;|title=Тригонометрија}}
:<math>\begin{align}\frac{v_y}{v}
&= \frac{\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}v_y'}{1 + \frac{V}{c^2}v_x'}}{\frac{\sqrt{v'^2 +V^2+2Vv'\cos \theta' - (\frac{Vv'\sin\theta'}{c})^2}}{1 + \frac{V}{c^2}v'\cos \theta'}}\\

&= \frac{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin \theta'}{\sqrt{c^2 +V^2+2Vc\cos \theta' - V^2\sin^2\theta'}}\\

&= \frac{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin \theta'}{\sqrt{c^2 +V^2+2Vc\cos \theta' - V^2(1 - \cos^2\theta')}}
= \frac{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin \theta'}{\sqrt{c^2 +2Vc\cos \theta' + V^2\cos^2\theta'}}\\

&= \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin \theta'}{1+\frac{V}{c}\cos \theta'},
\end{align}</math>
{{Hidden end}}
:<math>\cos \theta = \frac{\frac{V}{c} + \cos \theta'}{1+\frac{V}{c}\cos \theta'},</math>
[[Image:James Bradley by Thomas Hudson.jpg|left|thumb|[[Џејмс Брадли]] (1693 &ndash; 1762) [[Соработник на кралското друштво|СКД]], дал точно објаснување на аберацијата на светлината во класични нивоа,<ref>{{harvnb|Bradley|1727–1728}}</ref> подоцна била во судир со теориите кои преовладуваат во деветнаесеттиот век, чија оснава е постоењето на [[етер]].]]

тригонометриските идентитети во суштина се идентични при случајот со {{math|cos}} и идентитетите во случајот со {{math|sin}}. Земете ја предвид разликата,

:<math>\begin{align}\sin \theta - \sin \theta' &= \sin \theta'\left(\frac{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}{1 + \frac{V}{c} \cos \theta'} - 1\right)\\ 
&\approx \sin \theta'\left(1 -\frac{V}{c} \cos \theta' - 1\right) = -\frac{V}{c}\sin\theta'\cos\theta',\end{align}</math>

со премин на  {{math|{{frac|''v''|''c''}}}}. со цел да се овозможи примена на методот на приближни вредности на мали агли во тригонометриската равенка,

:<math>\begin{align}\sin \theta' - \sin \theta &= 2\sin \frac{1}{2}(\theta'-\theta)\cos\frac{1}{2}(\theta + \theta')
\approx (\theta' - \theta)\cos\theta',
\end{align}</math>
каде {{math|cos{{sfrac|1|2}}(''θ'' + ''θ''&prime;) ≈ cos ''θ''&prime;, sin{{sfrac|1|2}}(''θ'' − ''θ''&prime;) ≈ {{sfrac|1|2}}(''θ'' − ''θ''&prime;)}}.

Така
:<math>\Delta \theta \equiv \theta' - \theta = \frac{V}{c}\sin \theta',</math>
'''аголот на класичната аберација''', се добива при граничната вредност {{math|{{frac|''V''|''c''}} → 0}}.

=== Релативистичка Доплерова смена ===
[[Image:Christian Doppler.jpg|thumb|[[Кристијан Доплер]] (1803&ndash;1853) бил австриски математичар и физичар кој открил дека набљудуваната честота на еден бран зависи од релативната брзина на изворот и  набљудувачот.]]
{{Главна|Релативистички Доплеров ефект}}

Овде се користат ''компонентите на брзината'' наместо ''брзината'' за поголема општост и со цел да се избегне [[Ad hoc network|ад хок]] воведувањето на минус знаци. Минус знаците што се случуваат овде ќе се користат за да се разјаснат случаите кога брзините се помали од брзината на светлината.

За светлосните бранови во вакуум, [[Временска дилатација|временската дилатација]] заедно со едноставното геометриско набљудување, се доволни за да се пресметаат Доплеровата смена во стандардната конфигурација (колинеарно релативна брзина на оддавачот и набљудувачот, како и од набљудуваниот светлосен бран).

Сите брзини, понатаму, се паралелни на заеднички позитивната {{nowrap|{{math|''x''}}-насока}}, па така индексите на компонентите на брзината се отрфрлени. Во системот на набљудувачот, се воведува геометриското набљудување

:<math>\lambda = -sT + VT = (-s + V)T</math>

како просторното растојание или [[бранова должина]], помеѓу два пулса (бранови девијации), каде {{math|''T''}} е поминатото време помеѓу оддавањето на двата пулса. Поминатото време помеѓу преминот од двата пулса ''во иста точка во просторот'' е ''временскиот период'' {{mvar|τ}}, и инверзно {{math|''ν'' {{=}} {{frac|1|''τ''}}}} е набљудуваната (временска) [[честота]]. Соодветните величини во системите на оддавачите се означени со прим.<ref>{{harvnb|Kleppner|Kolenkow|1978|p=477}} In the reference, the speed of an ''approaching'' emitter is taken as ''positive''. Hence the sign difference.</ref>

За светлосни бранови 
:<math>s = s' = -c,</math>

и набљудуваната честота е:<ref>{{harvnb|Tipler|Mosca|2008|pp=1328–1329}}</ref><ref>{{harvnb|Mansfield|O'Sullivan|2011|pp=491–492}}</ref>

:<math>\nu = {-s \over \lambda} = {-s \over (V-s)T} = {c \over (V+c)\gamma_V T'}
= \nu'\frac{c\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}}{c+V} = \nu'\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\,.</math>

каде {{math|''T'' {{=}} ''γ''<sub>''V''</sub>''T''&prime;}} е стандардна [[Временска дилатација|временска дилатациона]] равенка.

Претпоставувајќи дека наместо бранот да не биде создаден од светлосен бран со брзина {{mvar|''c''}}, за полесна визуализација, куршумите испукани од релативистичката автоматска пушка, со брзина {{math|''s''&prime;}} во системот на оддавачот. Тогаш, општо земено, геометриското набљудување е ''исто''. Но сега, {{math|''s''&prime; ≠ ''s''}}, и {{math|''s''}} е добиена од сложената брзина,

:<math>s = \frac{s' + V}{1+{s'V\over c^2}}.</math>

Пресметката тогаш во суштина е иста, освен што тука е полесно да се пресметува со {{mvar|τ {{=}} {{frac|1|''ν''}}}} наместо {{mvar|ν}}.

{{Equation box 1|indent =:|equation = 
<math>\tau= {1 \over \gamma_V\nu'}\left(\frac{1}{1+{V\over s'}}\right), \quad \nu = \gamma_V\nu'\left(1+{V\over s'}\right)</math>
|cellpadding=6|border|border colour = #0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

{{Hidden begin| titlestyle = color:green;background:lightgrey;|title=Детали во изведувањето}}
:<math>\begin{align}{L\over -s} &= \frac{\left(\frac{-s'-V}{1+{s'V\over c^2}} + V\right) T} {\frac{-s'-V}{1+{s'V\over c^2}}}\\

&={\gamma_V \over \nu'}\frac{-s'-V + V(1+{s'V\over c^2})}{-s'-V}\\
&={\gamma_V \over \nu'}\left(\frac{s'\left(1-{V^2\over c^2}\right)}{s'+V}\right)\\
&={\gamma_V \over \nu'}\left(\frac{s'\gamma^{-2}}{s'+V}\right)\\
&={1 \over \gamma_V\nu'}\left(\frac{1}{1+{V\over s'}}\right).\\
\end{align}</math>
{{Hidden end}}

Забележуваме дека во типичен случај, {{math|''s''&prime;}} која влегува е ''негативна''. Равенката сепак има општа важност.<ref group=nb>Note that {{math|''s''&prime;}} is negative in the sense for which that the problem is set up, i.e. emitter with ''positive'' velocity fires ''fast'' bullets  ''towards'' observer in unprimed system. The convention is that {{math|−''s'' > ''V''}} should yield ''positive'' frequency in accordance with the result for the ultimate velocity, {{math|''s'' {{=}} −''c''}}. Hence the minus sign is a convention, but a very natural convention, to the point of being canonical.

<p>The formula may also result in negative frequencies. The interpretation then is that the bullets are approaching from the negative {{math|''x''}}-axis. This may have two causes. The emitter can have large positive velocity and be firing slow bullets. It can also be the case that the emitter has small negative velocity and is firing fast bullets. But if the emitter has a large negative velocity and is firing slow bullets, the frequency is again positive.

<p>For some of these combination to make sense, it must be required that the emitter has been firing bullets for sufficiently long time, in the limit that the {{math|''x''}}-axis at any instant has equally spaced bullets everywhere.</ref> Кога {{math|''s''&prime; {{=}} −''c''}}, формулата се сведува на равенка за директно пресметување на горенаведените светлосни бранови,

:<math>\nu = \nu'\gamma_V(1-\beta) = \nu'\frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta}\sqrt{1+\beta}}=\nu'\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\,.</math>

Ако оддавачот не испукува куршуми во празниот простор, но оддава бранови во средината, тогаш ''равенката сè уште важи'', но сега, потребно е прво да се пресмета {{math|''s''&prime;}} од брзината на оддавачот релативно на средината.

Во случајот со оддавачот на светлина, во случајот кога набљудувачот и оддавачот не се колинеарни, но сепак се движат во прави линии со релативна брзина, резултатот има мала модификација:<ref>{{harvnb|Lerner|Trigg|1991|p=259}}</ref><ref>{{harvnb|Parker|1993|p=312}}</ref>

:<math>\nu = \gamma_V\nu' \left(1+\frac{V}{s'}\cos\theta\right)</math>

каде {{math|''θ''}} е аголот помеѓу оддавачот на светлина и набљудувачот. Ова го намалува претходниот резултат за колинеарно движење кога {{math|''θ'' {{=}} 0}}, но за попречно движење одговара {{math|''θ'' {{=}} ''π''/2}}, честотата е преместена од [[Лоренцов фактор|Лоренцовиот фактор]]. Ова не се случува кај класичниот оптички Доплеров ефект.

== Хиперболична геометрија ==
Сложениот закон во колинеарна форма е ист со сложениот закон на [[Тангента (појаснување)|хиперболично тангенти]]

:<math>
\tanh(a + b) = {\tanh a + \tanh b \over 1+ \tanh a \tanh b }
</math>

каде

:<math>
{v\over c} = \tanh a \ , \quad {u \over c}=\tanh b \ , \quad\, {s\over c}=\tanh(a + b)
,</math>

која кажува дека композицијата на колинеарните брзини е асоцијативна и комутативна.

Величините {{math|''a''}} и {{math|''b''}} (еднакви на [[Инверзна хиперболична функција|arctanh]] од брзините поделени со {{math|''c''}}) се познати како [[брзост]]и. Причината што брзините се хиперболични тангенти е поради тоа што [[Лоренцови трансформации|Лоренцовите трансфромации]] можат да се сметаат за применета хиперболична ротација во [[хиперболичен агол]] што паак е [[брзина]]. Да претпоставиме дека брзината на права во времепросторот е [[Наклон (математика)|наклон]] на правата, што е хиперболична тангента на брзината, исто како и наклонот на {{math|''x''}}-оската откако му е дадена ротација од тангента на вртежниот агол. Кога рамнина е сукцесивно ротирана од два агли, последната ротација е збирот од двата агли. Значи последниот наклон на {{math|''x''}}-оската е тангента од збирот на двата агли. На ист начин, наклонот на временската оска после два [[Лоренцови трансформации|поттици]] е хиперболична тангента од збирот на двете брзини.

Горенаведените {{math|''a''}} и {{math|''b''}} може да се сметаат за радијални координати на 3-димензионалниот потпростор со [[Координати|сферични координати]], или норма на декартов вектор, од [[Лијева алгебра|Лијевата алгебра]] на Лоренцовата група протегнати од генераторите на поттик. Овој простор е [[хомеоморфичен]] со {{math|ℝ<sup>3</sup>}} и е одбележан на отворена единица топка {{math|''B''<sup>3</sup>}} со<ref>{{harvnb|Jackson|1999|p=547}}</ref>

:<math>\mathfrak{so}(3,1) \supset \mathrm{span}\{K_1, K_2, K_3\} \approx \mathbb{R}^3 \ni \boldsymbol{\zeta} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{B}^3,</math>

каде {{math|'''ζ'''}} е 3-вектор во потпросорен поттик, изразен во [[Декартов координатен систем|декартови координати]], наречен поттик на параметар и е норма на брзината. Елементот на линија {{math|ℝ<sup>3</sup>}} е даден со<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|p=38}}</ref>

:<math>dl_\boldsymbol{\zeta}^2 = \frac{d\mathbf \zeta^2 - (\boldsymbol \zeta \times d\boldsymbol \zeta)^2}{(1-\zeta^2)^2} = \frac{d\zeta^2}{1-\zeta^2}(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2).</math>

Со воведување на {{mvar|β}} во

:<math>\zeta = |\boldsymbol \zeta| = \tanh^{-1}\beta,</math>

каде {{math|''θ''}} и {{mvar|φ}} основните сферични аголни координати, и линискиот елемент на отворената единица топка стануваат

:<math>dl_{\boldsymbol \zeta}^2 = d\beta^2 + \sinh^2\beta(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2).</math>

== Поврзано ==
* [[Бикватернион]]

== Белешки ==
{{reflist|group=nb}}

== Наводи ==
{{Reflist|30em}}

== Наводи ==
*{{Наведена книга|first=J. D.|last=Jackson|title=Classical Electrodynamics|edition=3d|year=1999|orig-year=1962|isbn=0-471-30932-X|publisher=John Wiley & Sons|department=Chapter 11}} (graduate level)
*{{Наведена книга|first1=D.|last1=Kleppner|first2=R. J.|last2=Kolenkow|title=An Introduction to Mechanics|year=1978|orig-year=1973|isbn=0-07-035048-5|publisher=McGraw-Hill|location=London}} (introductory level)
*{{Наведена книга|last1=Landau|first1=L.D.|last2=Lifshitz|first2=E.M.|title=The Classical Theory of Fields|series=Course of Theoretical Physics|volume=2|edition=4|publisher=Butterworth&ndash;Heinemann|isbn=0 7506 2768 9|year=2002|orig-year=1939}} (graduate level)
*{{Наведена книга|first1=R.G.|last1=Lerner|first2=G.L.|last2=Trigg|title=Encyclopaedia of Physics|publisher=VHC Publishers, Springer|edition=2|year=1991|isbn=978-0-07-025734-4}}
*{{Наведена книга|first1=S. P.|last1=Parker|title=McGraw Hill Encyclopaedia of Physics|publisher=McGraw Hill |edition=2|year=1993|isbn=978-0070514003}}
*{{Наведена книга|title=Physical applications of homogeneous balls|first1=Yaakov|last1=Friedman|first2=Tzvi|last2=Scarr|publisher=Birkhäuser|year=2005|isbn=0-8176-3339-1|pages=1&ndash21|url=http://books.google.com/books?id=D_zYVBu0KAIC}}
*{{Наведена книга|first1=R. U.|last1=Sexl|first2=H. K.|last2=Urbantke|title=Relativity, Groups Particles. Special Relativity and Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics|year=2001|orig-year=1992|pages=38–43|publisher=Springer|isbn=978-3211834435|url=https://books.google.co.uk/books?id=iyj0CAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=sexl+relativity&hl=en&sa=X&ved=0CB8Q6wEwAGoVChMIo7itmMnnxgIVCz4UCh3rVQR1#v=onepage&q=sexl%20relativity&f=false}}
*{{Наведена книга|first1=P. |last1=Tipler|first2=G. |last2=Mosca|title=Physics for Scientists and Engineers|edition=6|year=2008|pages=1328–1329|publisher=Freeman|isbn=978-1429202657|url=https://books.google.co.uk/books?id=AttDBYgLeZkC&dq=tipler+physics&hl=en&sa=X&ved=0CCcQ6wEwAWoVChMI3Z_E4bLqxgIVRW8UCh1D2wAM}}
*{{Наведена книга|first1=M. |last1=Mansfield|first2=C. |last2=O'Sullivan|title=Understanding Physics|edition=2|year=2011|pages=491–492|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-74637-0|url=https://books.google.co.uk/books?id=MInmSDQXo8sC&printsec=frontcover&dq=Understanding+Physics+mansfield&hl=en&sa=X&ved=0CCUQ6wEwAGoVChMIvdzCxrPqxgIVh7sUCh3tRQD2#v=onepage&q=Understanding%20Physics%20mansfield&f=false}}

=== Историски ===

*{{Наведено списание|last=Bradley|first=James|title=A Letter from the Reverend Mr. James Bradley Savilian Professor of Astronomy at Oxford, and F.R.S. to Dr.Edmond Halley Astronom. Reg. &c. Giving an Account of a New Discovered Motion of the Fix'd Stars|year=1727–1728|doi=10.1098/rstl.1727.0064|journal=Phil. Trans. R. Soc.|volume=35|issue=399–406|pages=637–661|type=PDF|doi-access=free}}
*{{citation|last=Doppler|first=C.|year=1903|orig-year=1842|title=Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels|trans-title=About the coloured light of the binary stars and some other stars of the heavens|publisher=Abhandlungen der Königl. Böhm. Gesellschaft der Wissenschaften|volume=2|issue=V|pages=465&ndash;482|location=Prague|language=de|url=http://www.archive.org/stream/ueberdasfarbigel00doppuoft#page/n5/mode/2up}}
*{{Наведено списание|author=Fizeau, H.|title=Sur les hypothèses relatives à l’éther lumineux|journal=Comptes Rendus|trans-title=The Hypotheses Relating to the Luminous Aether|volume=33|year=1851F|pages=349–355|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29901/f351.chemindefer|language=fr}}
*{{Наведено списание|author=Fizeau, H.|title=[[s:The Hypotheses Relating to the Luminous Aether|The Hypotheses Relating to the Luminous Aether]]|journal=Philosophical Magazine|volume=2|year=1851E|pages=568–573}}
*{{Наведено списание|author=Fizeau, H.|title=Sur les hypothèses relatives à l’éther lumineux|trans-title=On the Effect of the Motion of a Body upon the Velocity with which it is traversed by Light|journal=Ann. de Chim. et de Phys.|volume=57|year=1859|pages=385–404 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k347981/f381.table|language=fr}}
*{{Наведено списание|author=Fizeau, H.|title=[[s:On the Effect of the Motion of a Body upon the Velocity with which it is traversed by Light|On the Effect of the Motion of a Body upon the Velocity with which it is traversed by Light]]|journal=Philosophical Magazine|volume=19|year=1860|pages=245–260}}
*[[Albert Einstein|Einstein, A]]: Zur Elektrodynamik bewegter Körper (On the Electrodynamics of moving bodies) Ann. der Physik 1905, vol,322(10), pp.&nbsp;891–921, See section 5 "The composition of velocities" url=https://en.wikisource.org/wiki/On_the_Electrodynamics_of_Moving_Bodies_%281920_edition%29}

==Надворешни врски==
*Sommerfeld, Arnold (1909): [[s:On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity|On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity]], Verh. der DPG, 21: 577-582

{{DEFAULTSORT:Velocity-Addition Formula}}
[[Категорија:Специјална релативност]]
[[Категорија:Равенки]]
[[Категорија:Брзина]]
[[Категорија:Кинематика]]