Преглед на кодот на Растојание

[[Податотека:01 Abstand zweier Punkte.svg|мини|десно|300п|Растојанието помеѓу две точки <math>d(A,B)</math> е должината на најкратката врска од <math>A</math> до <math>B</math>]]

'''Растојание''' ('''оддалеченост''' или '''далечина''') — степенот или [[мерење|мерата]] на оддалеченоста меѓу две точки.<ref>{{ДРМЈ|растојание}}</ref><ref>{{ДРМЈ|оддалеченост}}</ref><ref>{{ДРМЈ|далечина}}</ref> Во [[физика]]та или секојдневната употреба, под поимот се подразбира [[должина]] или проценка според други критериуми. Бидејќи просторното поимување е богат извор на концептуални метафори во човековата мисла,<ref>{{наведена книга|last1=Schnall |first1=Simone |chapter=Are there basic metaphors? |title=The power of metaphor: Examining its influence on social life. |publisher=American Psychological Association |date=2014 |pages=225–247 |doi=10.1037/14278-010}}</ref> поимот честопати се користи преносно за да се означи разликата помеѓу слични објекти (на пр. [[статистика|статистичко]] растојание помеѓу [[веројатносна распределба|веројатносни распределби]] или уредувачко растојание помеѓу [[низа (информатика)|низи текст]]), или пак степен на раздалеченост (на пр. оддалеченоста меѓу луѓето во една [[друштвена мрежа]]). Поимувањето на растојанието е формализирано во [[математика]]та користејќи [[метрички простор]].

Во [[општествени науки|општествените науки]], оддалеченоста е квалитатнвна мерка за одделеност, како на пример [[друштвено растојание]] или психолошка оддалеченост.

==Растојанија во физиката и геометријата==

Растојанието меѓу две физички места се дефинира на различни начини во разни полиња.

===Праволиниско или Евклидово растојание===
{{Главна|Евклидово растојание}}

Растојанието меѓу точки во физички [[простор]] е [[должина]]та на [[отсечка|правата]] меѓу нив, која е најкусата можна патеа. Ова е вообичаеното поимување на растојанието во [[класична физика|класичната физика]], вклучувајќи ја [[Њутхнова механика|Њутновата механика]]. 

Праволиниското растојание се формализира математички како [[Евклидово растојание|Евклидовото растојание]] во [[дводимензионален простор|дво-]] или [[тридимензионален простор]]. Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]], растојанието меѓу две точки {{мпром|A}} и {{мпром|B}} се означува со <math>|AB|</math>. Во [[Декартов координатен систем|координатната геометрија]], Евклидовот орастојание се пресметува со [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]]. Растојанието меѓу точките {{мат|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} и {{мат|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} на рамнината ќе биде:<ref name=":0">{{нмс|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Distance|url=https://mathworld.wolfram.com/Distance.html|access-date=1 септември 2020|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{нмс|title=Distance Between 2 Points|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/distance-2-points.html|access-date=1 септември 2020|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
<math display="block">d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.</math>
Слично на тоа, земајќи ги точките (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>) и (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''z''<sub>2</sub>) во тридимензионален простор, растојанието меѓу нив ќе биде:<ref name=":0" />
<math display="block">d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.</math>
This idea generalizes to higher-dimensional [[Евклидов простор|Евклидови простори]].

==== Мерење ====
{{Главна|Мерење на растојание}}
Постојат многу начини за [[мерење]] на праволиниски растојанија. На пример, можат да се измерат непосредно со [[линијар]] или посредно со [[радар]] (за долги растојанија) или [[интерферометрија]] (за многу кратки растојанија). [[Скала на вселенски растојанија|Скалата на вселенските растојанија]] претставува збир од начини на изразување на крајно долги растојанија.

===Растојание по најкратка патека на закривена површина===
[[Податотека:Greatcircle Jetstream routes mk.svg|мини|400п|Авионите на линијата Лос Анџелес - Токио патуваат по голема кружница кога одат на запад, но ја следат млазната струја кога одат на исток. Најкраткото растојание личи на крива наместо права линија поради закривеноста на Земјата.]]

Праволиниското растојание помеѓу две точки Земјината површина не е корисно за највеќето цели бидејќи не можеме да пробиеме тунел низ Земјата. Наместо тоа обично се мери најкратката патека долж Земјината површина, по воздушна линија. Ова математички се воопштува како [[ортодрома]] на сферата.

Поопшто земено, најкратката патека помеѓу две точки долж закривена површина се нарекува [[геодезиска линија]]. [[Лачна должина|Лачната должина]] на една геодетска линија е начин на изразување на растојанието од гледиштето на една [[мравка]] или друго безлетно суштество што живее на таа површина.

===Ефекти на релативноста===
Во [[теорија за релативноста|теријата за релативноста]], поради појави како [[контракција на должината]] и [[релативност на едновременоста|релативноста на едновременоста]], растојанијата меѓу предметите зависат од избраниот [[инерцијален појдовен систем]]. Во галактички и поголеми размери, мерењето на растојание е засегнато и од [[ширење на вселената|ширењето на вселената]]. За убројчување на таквите растојанија се користат разни мерки во [[космологија]]та.

===Други просторни растојанија===
[[Податотека:Manhattan distance.svg|мини|200п|Менхетнско растојание на решетка]]
Понеобичните дефиниции за растојанието можат да бидат корисни за моделирање на извесни физички ситуации, но се користат и во теоретската математика:
* Почесто во практика луѓето сакаат да го знаат растојанието меѓу две точки долж патишта наместо по воздушна линија. Кај планските улици правени по решеткаст план, патното растојание се изразува како [[менхетнско растојание|менхетнското растојание]]: бројот на блокови исток-запад и север-југ кои треба да се поминат за да се стаса до точката.
* Шаховничкото растојание, формализирано како [[Чебишово растојание]], е најмалиот број на потези што мора да ги направи [[крал (шах)|кралот]] на една [[шаховска табла]] за да пропатува од едно до извесно друго поле.

==Растојанија во преносна смисла==
Многу апстрактни поими за растојание кои се користат во математиката, науката и инженерството претставуваат степен на разлика или одвоеност помеѓу слични објекти. Еве некои примери.

===Статистички растојанија===
Во [[статистика]]та и информациската геометрија, статистичките растојанија ја изразуваат различноста на [[веројатносна распределба|веројатносни распределби]]. Постојат многу видови на статистички растојанија, обично формализирани како разидувања (дивергенции); овие овозможуваат [[веројатносна распределба|веројатносните распределби]] да се поимуваат како геометриски објект наречен „статистичко многуобразие“. Најосновото е [[Евклидово растојание|квадрираното Евклидово растојание]], кое се минимализира со [[метод на најмали квадрати|методот на најмали квадрати]]; ова е најосновното Бергманово разидување. Најважното во [[теорија на информациите|теоријата на информациите]] е релативната ентропија (Кулбак-Лајблерово разидување), кое овозможува аналогно изучување на [[процена на максимална веројатност|процената на максимална веројатност]] по геометриски пат; ова е истовремен пример за ''f''-разидување и Бергманово разидување (единствениот таков). Статистичките многуобразија кои одговараат на Бергманови разидувања се рамни многуобразија во соодветната геометрија, давајќи аналогот на [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] (која важи за квадрирано Евклидово растојание) да се користи за линеарен обратен проблем изведувајќи според [[математичка оптимизација|теоријатата за оптимизацијата]].

Други поважни статистички растојанија е [[Махаланобисово растојание|Махаланобисовото]] и енергетското растојание.

===Уредувачки растојанија===
Во [[информатика]]та, растојанието на уредување или низна мерка помеѓу две [[низа (информатика)|низи]] изразува колку тие се различни. На пример, зборовите „леб“ и „лен“ се разликуваат само во една буква, и затоа се поблиски од „леб“ и „вода“, кои немаат ниедна заедничка буква. Оваа идеја наоѓа примена во [[правописник|правописниците]] (проверувачките алатки) и во [[теорија на кодирањето|теоријата на кодирањето]], и математички се формализира на различни начини, меѓу кои се [[Левенштејново растојание|Левенштејновото]], [[Хемингово растојание|Хеминговото]], Лиевото и Џаро-Винклеровото растојание.

===Растојание во теоријата на графовите===
{{Главна|Растојание (теорија на графовите)}}
Кај еден [[граф]], растојанието помеѓу две темиња се изразува како должината на најкратката рабна [[патека (теорија на графовите)|патека]] помеѓу нив. На пример, ако графот претставува друштвена мрежа, тогаш идејата за [[шест степени одвоеност]] може математички да се протолкува како исказ дека растојанието меѓу било кои две темиња изнесува највеќе шест. Слично на ова, [[Ердешов број|Ердешовиот број]] — бројот на соработници помеѓу едно лице и плодотворниот математичар [[Пал Ердеш]] — се растојанија во графовите чии рабови претставуваат математички или уметнички соработки.

===Во општествените науки===
In [[психологија]]та, [[човечка географија|човечката географија]] и [[општествени науки|општествените науки]], растојанието (или оддалеченоста) не се третира како објективна бројчена мерка, туку како квалитативен опис на субјективно доживување.<ref>{{нмс|title=SOCIAL DISTANCES|url=https://www.hawaii.edu/powerkills/TCH.CHAP16.HTM|access-date=20 јули 2020|website=www.hawaii.edu}}</ref> На пример, психолошкото растојание се начините на кои објектот е одвоен од нешто според време, простор, друштвено растојание и хипотетичност.<ref name=psych>{{наведено списание | vauthors = Trope Y, Liberman N | title = Construal-level theory of psychological distance | journal = Psychological Review | volume = 117 | issue = 2 | pages = 440–63 | date = April 2010 | pmid = 20438233 | pmc = 3152826 | doi = 10.1037/a0018963 }}</ref>  Во [[социологија]]та, [[друштвено растојание|друштвеното растојание]] ја опишува одвоеноста помеѓу поединците или [[општествена група]] во едно [[општество]] по димензии како [[општествена класа]], [[раса]]/[[етничка група|етничка припадност]], [[род (биологија)]] или [[човечка сексуалност|сексуалност]].

==Математичка формализација==
{{Главна|Метрички простор}}
Највеќето претстави за растојанието помеѓу две точки или два предмета опишани погоре се примери за математичката идеја за [[метрички простор|метрика]]. ''Метрика'' или ''функција на растојание'' е [[функција (математика)|функција]] {{мпром|d}} која зема парови од очки или објекти од [[реален број|реални броеви]] и ги задоволува следниве правила:
# Растојанието помеѓу објектот и самиот себеси секогаш е нула.
# Растојанието меѓу одделни објекти секогаш е позитивно.
# Растојанието е [[симетричен однос|симетрично]]: растојанието од {{мпром|x}} до {{мпром|y}} секогаш е исто со растојанието од {{мпром|y}} до {{мпром|x}}.
# Растојанието ја задоволува [[нееднаквост на триаголникот|нееднаквоста на триаголникот]]: ако {{мпром|x}}, {{мпром|y}} и{{мпром|z}} се три објекти, тогаш <math display="block">d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z).</math>
Како исклучок од ова, многу од разидувањата (дивергенциите) во статистиката не претставуваат метрики.

==Растојание помеѓу множества==

[[Податотека:Distance between sets.svg|мини|Растојанијата помеѓу овие три множества не ја задоволуваат нееднаквноста на триаголникот:<math display="block">d(A,B)>d(A,C)+d(C,B)</math>]]
Постојат повеќе начини за изразување на физичкото растојание помеѓу предмети сочинети од повеќе од една точка:
* Можеме да го измериме растојанието помеѓу претставителни точки како [[тежиште]]то; ова се користи кај астрономските растојанија како [[Месечево растојание|растојанието помеѓу Земјата и Месечината]].
* Можеме да го измериме растојанието помеѓу најблиските точки на двата предмета; во оваа смисла, [[надморска висина|надморската висина]] на едно летало како неговото растојание од Земјата. Истата смисла за растојание во Евклидовата геометрија го дефинира растојанието од точка до линија, од точка до рамнина, и повоопштено, [[нормалност (математика)|нормално]] растојание помеѓу [[афин простор|афини потпростори]].
: Уште поопшто, оваа идеја може да послужи за определување на растојанието меѓу [[подмножество|подмножества]] на еден метрички простор.  Растојанието меѓу множествата {{мпром|A}} и {{мпром|B}} е [[инфимум и супремум|инфимумот]] на растојанијата помеѓу било кои од нивните точки:<math display="block">d(A,B)=\inf_{x\in A, y\in B} d(x,y).</math> Ова не определува метрика за множеството на такви подмножества: растојанието помеѓу преклопени множества изнесува нула, и тоа растојание не ја задоволува нееднаквоста на триаголникот за било кој метрички простор со две или повеќе точки (на пр. тројката од две одделни множества и нивниот пресек).
* Хаусдорфовото растојание помеѓу две подмножества на еден метрички простор може да се изрази како тоа колку се далеку од целосен преклоп.  Малку поуточнето, Хаусдорфовото растојание помеѓу {{мпром|A}} и {{мпром|B}} е или растојанието од {{мпром|A}} до најдалечната точка на {{мпром|B}}, или растојанието на {{мпром|B}} до најдалечната точка на {{мпром|A}} — она кое е поголемо. (Тука „најдалечна точка“ мора да се толкува како супремум.) Хаусдорфовото растојание определува метрика за множеството од [[компактен простор|компактни подмножества]] на еден метрички простор.

==Поврзани идеи==
{{Повеќе|Должина}}

Зборот '''растојание''' се применува и кај поврзаните концепти кои не се опфатени со описот „бројчено изразена раздалеченост на точки или објекти“.

===Поминато растојание===
'''Поминатото растојание''' на некој предмет е должината на дадената патека помината помеѓу две точки,<ref>{{нмс|title=What is displacement? (article)|url=https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion/displacement-velocity-time/a/what-is-displacement|access-date=20 јули 2020|website=Khan Academy|language=en}}</ref> како растојанието кое го изодуваме кога бараме излез од [[лавиринт]]. Ова може да биде дури и '''премостено растојание''' долж [[крива|затворена крива]] кое почнува и завршува во истата точка, како на пр. топка фрлена право нагоре, или кога Земјата исполнува на една [[орбита]]. Ова математички се формализира како лачната должина на кривата.

Поминатото растојание може да се претстави и со знак: растојание „напред“ како позитивно, и „назад“ како негативно.

'''Кружното растојание''' е она растојание поминато од една точка на обиколката на [[тркало]], што е корисно при осмислувањето на возила или запченици. Обиколката на тркалото е {{мат|2&pi; &times; полупречник}}; ако [[полупречник]]от изнесува is&nbsp;1, секој вртеж на тркалото прави возилото да помине {{мат|2&pi;}} [[радијан]]и.

===Поместување и насочено растојание===
[[Податотека:Distancedisplacement mk.svg|мини|250п|Поместување наспроти растојание долж пат. Ецклидовото растојание е должината на векторот на поместување.]]
{{Главна|Поместување (вектор)}}
[[Поместување (вектор)|Поместувањето]] во класичната физика ја изразува промената во положбата на еден предмет за даден временски интервал. Додека растојанието е [[скалар (физика)|скаларна]] величина, поместувањето е [[вектор]]ска, и има и величина и правец. Векторот кој ја изразува разликата меѓу две положби ([[полупречнички вектор|релативната положба]]) се нарекува '''насочено растојание'''.<ref name="ittcKU">{{нмс |title=The Directed Distance |url=http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/220/handouts/The%20Directed%20Distance.pdf |website=Information and Telecommunication Technology Center |publisher=University of Kansas |access-date=18 септември 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161110044317/http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/220/handouts/The%20Directed%20Distance.pdf |archive-date=10 ноември 2016}}</ref> На пример, насоченото растојание од црквата „[[Црква „Св. Благовештение“ - Прилеп|Св. Благовештение]]“ во Прилеп до [[Прилепска пиварница|Прилепската пиварница]]: 
* Почетна точка: црковниот трем
* Крајна точка: главна капија на пиварницата
* Насока: 36,31°
* Оддалеченост: 1,00&nbsp;км

== Поврзано ==
* [[Аголно растојание]]
* [[Жаришно растојание]]
* [[Проксемика]]

== Наводи ==
{{наводи}}

{{Кинематика}}
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Растојание| ]]
[[Категорија:Физички величини]]
[[Категорија:Метричка геометрија]]
[[Категорија:Простор]]