Преглед на кодот на Синусна теорема

[[Податотека:Acute Triangle.svg|мини|десно|Триаголник означен со компонентите на синусната теорема. Големите {{math|''A''}}, {{math|''B''}} и {{math|''C''}} се аглите, а малите {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} се нивните спротивни страни. ({{math|''a''}} спротивна на {{math|''A''}}, итн.)]]

'''Синусна теорема''', '''синусен закон''', '''синусна формула''' или '''синусно правило''' – [[равенка]] во [[тригонометрија]]та која ги поврзува [[должина|должините]] на страните на [[триаголник]] (од кој било облик) со [[синус]]ите на неговите [[агол|агли]]. Според [[теорема]]та,

:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \,=\, d, </math>

каде <math>a,b,c</math> се должините на страните на триаголникот, <math>A,B,C</math> се аглите наспроти нив (види ја сликата десно), а <math>d</math> е [[пречник]]от на [[опишана кружница|опишаната кружница]] околу триаголникот. Кога последниот дел од равенката не се користи, теоремата формулира преку [[реципрочна вредност|реципрочните вредности]];

:<math> \frac{\sin A}{a} \,=\, \frac{\sin B}{b} \,=\, \frac{\sin C}{c}. </math>

Синусната теорема може да се користи за пресметување на преостанатите страни на триаголник кога се познати два негови агла и една страна – техника позната како [[триангулација]]. Исто така може да се користи кога се познати две страни и еден од аглите кој не е формиран од тие страни. Во некои вакви случаи, триаголникот не е еднозначно определен со овие податоци (наречен ''случај на двозначно решение'') и се добиваат две можни вредности за аголот меѓу дадените страни.

Синусната теорема е една од двете тригонометриски равенки која често се користи за наоѓање на должини и агли во [[разностран триаголник|разнострани триаголници]], а втората е [[косинусна теорема|косинусната теорема]].

Синусната теорема може да се обопшти на поголеми дименизии кај површини со константна закривеност.<ref name=mathworld>{{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html|website=mathworld|title=Generalized law of sines}}</ref>

==Доказ==
Плоштината <math>P</math> на триаголник може да се запише како полупроизвод на негова [[основа (геометрија)|основа]] и соодветната [[висина на триаголник|висина]] кон неа. Ако се одбере една страна на триаголникот за негова основа, висината на триаголникот кон оваа основа се пресметува како производ на должината на друга страна и синус од аголот помеѓу таа страна и основата. Така, во зависност од изборот на основата, плоштината на триаголникот може да се запише како:
:<math>P = \frac{1}{2}b(c \sin A) = \frac{1}{2}c(a \sin B) = \frac{1}{2}a(b \sin C)\,.</math>
Aко ова проширено равенство се помножи со <math>\dfrac{2}{abc}</math>, се добива
:<math>\frac{2P}{abc} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,.</math>

== Случај на двозначно решение на триаголник ==
Кога се користи синусната теорема за наоѓање на страна на триаголник, постои случај на двозначно решение кога два различни триаголника можат да бидат конструирани од дадените податоци (односно, можни се две решенија на триаголникот). Во долуприкажаниот случај тоа се триаголниците <math>ABC</math> и <math>AB'C'</math>.

:[[Податотека:PictureAmbitext.svg]]

За даден општ триаголник, треба да бидат исполнети следниве услови за да се добие двозначно решение:
* единствената позната информација за триаголникот е аголот <math>A</math> и страните <math>a</math> и <math>c</math>.
* аголот <math>A</math> е [[остар агол]] (односно, <math>A<90^\circ</math>).
* страната <math>a</math> е пократка од страната <math>c</math> (односно, <math>a<c</math>).
* страната <math>a</math> е подолга од [[висина на триаголник|висината]] <math>h</math> кај аголот <math>B</math>, каде <math>h=c\sin A</math> (односно, <math>a>h</math>).

Ако сите горенаведени услови се исполнети, тогаш секој од аглите <math>C</math> и <math>C'</math> дава валиден триаголник, што значи дека се точни:

:<math> C' = \arcsin\frac{c \sin A}{a} \text{ или } C = \pi - \arcsin\frac{c \sin A}{a}.</math>

Оттука, ако се бара, може да се најдат соодветните вредности на <math>B</math> и <math>{b}</math> или <math>B'</math> и <math>b'</math>, каде <math>{b}</math> е страната меѓу аглите <math>A</math> и <math>C</math>, a <math>b'</math> e ограниченa со <math>A</math> и <math>C'</math>.

Без дополнителна информација не е можно да се реши кој триаголник се бара.

==Примери==
Подолу се дадени примери на решавање на проблем со користење на синусната теорема.

===Пример 1===
Во триаголник се дадени страната <math>a=20</math>, страната <math>c=24</math> и аголот <math>C=40^\circ</math>. Се бара аголот <math>A</math>.

Користејќи ја синусната теорема, може да се закучи дека

:<math>\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}</math>
:од каде
:<math> A = \arcsin\left( \frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \approx 32{,}39^\circ. </math>

Треба да се забележи дека потенцијалното решение <math> A \approx 147,61^\circ </math> е исклучено бидејќи тоа би дало <math>A+B+C>180^\circ</math>.

===Пример 2===
Ако должините на две страни <math>a</math> и <math>{b}</math> на триаголникот се еднакви на <math>x</math>, должината на третата страна е <math>c</math>, а аглите спротивни на страните со должини <math>a</math>, <math>{b}</math> и <math>c</math> се <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> соодветно, тогаш

:<math>
\begin{align}
& A = B = \frac{180^\circ-C}{2}= 90^\circ-\frac{C}{2} \\[6pt]
& \sin A = \sin B = \sin \left(90^\circ-\frac{C}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right) \\[6pt]
& \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{x}{\cos \left(\frac{C}{2}\right)} \\[6pt]
& \frac{c \cos \left(\frac{C}{2}\right)}{\sin C} = x
\end{align}
</math>

==Врска со опишаната кружница ==
Вредноста на трите дропки во идентитетот

:<math> \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},</math>

е еднаква на [[пречник]]от на [[опишана кружница|опишаната кружница]] околу <math> \bigtriangleup ABC</math>. Овој резултат бил познат уште од времето на [[Птоломеј]].<ref>Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. ''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967</ref><ref name=":0">{{Наведена мрежна страница|url=http://www.pballew.net/lawofsin.html|title=Law of Sines|website=www.pballew.net|access-date=2018-09-18|archive-date=2018-09-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20180910164536/http://www.pballew.net/lawofsin.html|url-status=dead}}</ref>
[[Податотека:Sinelaw radius.jpg|мини|Изведување на односот на синусна теорема еднаков на пречникот на опишана кружница. Треба да се забележи дека триаголниког ADB минува низ центарот на опишаната кружница.]]

=== Доказ ===
Како што е покажано на сликата, нека во кржница е впишан триаголникот <math> \bigtriangleup ABC</math>  и триаголникот <math> \bigtriangleup ADB</math> кој поминува низ центарот на кружницата <math>O</math>. <math> \angle AOD</math> формира [[централен агол]] од ''<math> 180^\circ</math>'' па следствено <math> \angle ABD = 90^\circ</math>. Како <math> \bigtriangleup ABD</math> е правоаголен триаголник, имаме

:<math> \sin D= \frac{\text{спротивна катета}}{\text{хипотенуза}}= \frac{c}{2R},</math>

каде <math> R</math> е полупречник на опишаната кружница околу триаголникот.<ref name=":0" />
На аглите <math> \angle C</math> и <math> \angle D</math> им одговара ист [[централен агол]] <math> \angle AOB</math>, па следствено тие се еднакви: <math> \angle C=\angle D</math>. Затоа,

:<math> \sin D= \sin C=\frac{c}{2R}.</math>

Со преуредување се добива

:<math> 2R=\frac{c}{\sin C}.</math>

Повторувајќи го процесот на создавање на <math> \bigtriangleup ADB</math> со другите два врва на триаголникот, се добива

{{equation box 1|equation=<math> \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R.</math>}}

=== Врска со плоштината на триаголникот ===
Плоштината на триаголник е дадена со <math>P=\frac{1}{2}ab \sin \gamma</math>, каде <math>\gamma</math> е аголот меѓу страните со должини <math>a</math> и <math>{b}</math>. Со примена на синусната теорема во оваа равенка се добива

:<math>P=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.</math>

Земајќи го <math>R</math> за полупречник на опишаната кружница,<ref>{{Citation|last=Mr. T's Math Videos|title=Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle|date=2015-06-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=t6QNGDPG4Og|access-date=2018-09-18}}</ref>

{{equation box 1|equation=<math>P=\frac{abc}{4R}.</math>}}

Исто така може да се покаже дека равенството имплицира

:<math>\begin{align}
\frac{abc} {2P} & = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}</math>

каде <math>P</math> е површината на триаголникот и <math>s</math> е [[полуобем]]от <math>s = \frac{a+b+c}{2}.</math>

Втората еднаквост дадена погоре лесно ја поедноставува [[Херонова формула|Хероновата формула]] за плоштина.

Синусната теорема може да се искористи и за изведување на следнава формула за плоштина на триаголник.

Ако со <math>S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}</math> се обележи полузбирот од синусите на аглите, важи <ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109.</ref>

:{{equation box 1|equation=<math>P = d^{2} \sqrt{S(S-\sin A)(S-\sin B)(S-\sin C)}</math>}}

каде <math>d</math> е пречникот на опишаната кружница: <math>d=2R=\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}</math>.

==Закривеност==
Синусната теорема добива сличен облик во случај на закривени површини.

===Сферичен случај ===
Во сферичниот случај, формулата е:
:<math>\frac{\sin A}{\sin \alpha} = \frac{\sin B}{\sin \beta} = \frac{\sin C}{\sin \gamma}.</math>

Тука, <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> се централните агли во сферата определени со трите лака од сферичниот површински триаголник <math>a</math>, <math>{b}</math> и <math>c</math>, соодветно. Со <math>A</math>, <math>{B}</math> и <math>{C}</math> се означени површинските агли спротивни на соодветните лаци.

[[Податотека:Spherical trigonometry vectors.svg|мини|right|200px]]

=== Векторски доказ ===
Да разгледаме единична сфера со три единични вектора <math>\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}</math> со почетоци во координатниот почеток и краеви во темињата на триаголникот. Така, аглите <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> се аглите наспроти <math>a</math>, <math>{b}</math> и <math>c</math>, соодветно. Лакот <math>BC</math> соодветствува на централен агол со големина {{math|''a''}}. Воведуваме Декартов координатен систем со <math>z-</math>оска долж <math>\vec{OA}</math> и <math>xz-</math>рамнина која го содржи <math>\vec{OB}</math> и нека <math>\vec{OB}</math> формира агол <math>c</math> со <math>z-</math>оската. Векторот <math>\vec{OC}</math> се проектира на <math>\vec{ON}</math> на <math>xy-</math>рамнината и аголот меѓу <math>\vec{ON}</math> и <math>x-</math>оската е еднаков на <math>A</math>. Оттаму, трите вектора имаат координати:

<math>\vec{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, 
\quad 
\vec{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, 
\quad 
\vec{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.</math>

[[Троен скаларен производ|Тројниот скаларен производ]], <math>\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})</math> е [[зафатнина]]та на [[паралопипед]]от образуван од радиус-векторите на темињата на сферичниот триаголник <math>\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}</math>. Оваа зафатнина е непроменлива за специфичниот координатен систем кој го користиме за претставување на <math>\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}</math>. Вредноста на мешаниот производ <math>\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})</math> е детерминанта од ред 3 со векторите <math>\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}</math> како нејзини колони. Со <math>z-</math>оска долж <math>\vec{OA}</math>, квадратот од оваа детерминанта е<math>	
\begin{align}
\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}))^2 & 
= \left(\det \left(\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) \right)\right)^2 \\[4pt]
& =  \left( \begin{vmatrix} 
0 & 0 & 1 \\ 	 	
\sin c & 0 & \cos c \\ 	
\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b 	
\end{vmatrix} \right)^2 = \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.
\end{align}</math>

Повторувајќи ја оваа пресметка со <math>z-</math>оската долж <math>\vec{OB}</math>, се добива <math>\left(\sin c \sin a \sin B\right)^2.</math> Aко пак <math>z-</math> се постави долж <math>\vec{OC}</math> се добива <math>\left(\sin a \sin b \sin C\right)^2.</math> Со изедначување на овие изрази и со делење со <math>\left(\sin a \sin b \sin c\right)^2,</math> добиваме 
:<math>
\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}=\frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}=\frac{\sin^2 C}{\sin^2 c} = \frac{V^2}{\sin^2 a \sin^2 b \sin^2 c},
</math>
каде <math>V</math> е зафатнината на [[паралопипед]]от формиран од векторите на положба на темињата на сферичниот триаголник.

Лесно е да се види дека за мали сферични триаголници, кога полупречникот на сферата е многу поголем од страните на триаголникот, при граничен премин оваа формула станува синусна формула во рамнина, бидејќи, на пример

:<math>\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1</math>

Истото важи и за <math>\sin \beta</math> и <math>\sin \gamma</math>.

[[Податотека:Sine law spherical small.svg|мини|378x378px]]

=== Геометриски доказ ===
Нека разгледаме единична кружница со:

: <math>\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = 1</math>

Да конструираме точка <math>D</math> и точка <math>E</math> така што <math>\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ</math>

и да конструираме точка <math>A'</math> така што <math>\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ</math>.

Оттука може да се види дека <math>\angle ADA' = B</math> и <math>\angle AEA' = C</math>

Треба да се забележи дека <math>A'</math> е проекција на <math>A</math> на рамнината <math>OBC</math>. Значи <math>\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ</math>

Од основна тригонометрија, имаме:

: <math>\overline{AD} = \sin c
</math>, <math>\overline{AE} = \sin b</math>.

Но <math>\overline{AA'} 
= \overline{AD} \sin B 
= \overline{AE} \sin C </math>

па со нивно комбинирање се добива:

: <math>\sin c \sin B = \sin b \sin C</math>
или
: <math>\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math>

Со примена на слично размислување, се добива сферичната синусна теорема:

: <math>\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math>

=== Други докази ===
Чисто алгебарски доказ може да се изведе од сферичната косинусна теорема. Од идентитетот <math>\sin^2 A=1-\cos^2 A</math> и експлицитниот израз за <math>\cos A</math>, од сферичната косинусна теорема имаме
:<math>
\begin{align}
   \sin^2\!A &=1-\left(\frac{\cos a  - \cos b\, \cos c}{\sin b \,\sin c}\right)^2\\
   &
   =\frac{(1-\cos^2\!b)(1-\cos^2\!c)-(\cos a  - \cos b\, \cos c)^2}
          {\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\
 \frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.
\end{align}</math>
Бидејќи десната страна е непроменлива при циклична пермутација на <math>a,\;b,\;c</math> веднаш следува сферичната синусна теорема.

Користената слика за горниот геометриски доказ била користена и дадена во математичкиот весник Банерџи <ref name="banerjee">{{Citation | last = Banerjee | first = Sudipto | date = 2004 | title = Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors | journal = The College Mathematics Journal | volume = 35 | pages = 375–381 | publisher = Mathematical Association of America|postscript=[https://www.researchgate.net/publication/228849546_Revisiting_Spherical_Trigonometry_with_Orthogonal_Projectors Text online]}}</ref> (види ја слика 3 во оваа статија) за да се изведе синусната теорема користејќи елементарна линеарна алгебра и проектни матрици.

===Хиперболичен случај===
Во [[хиперболична геометрија|хиперболичната геометрија]] кога закривеноста е −1, синусната теорема станува
:<math>\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.</math>

Во специјален случај кога {{math|''B''}} е прав агол, се добива
:<math>\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} </math>

што е аналогино на формулата во Евклидовата геометрија која го изразува синусот на агол како однос на спротивната страна и хипотенузата.

: види и [[хиперболичен триаголник]].

===Унифицирана формулација ===
Се дефинира обопштена синусна функција, која зависи и од реален параметар <math>K</math> со:

:<math>\sin_K x = x - \frac{K x^3}{3!} + \frac{K^2 x^5}{5!} - \frac{K^3 x^7}{7!} + \cdots.</math>

Синусната теорема со константна закривеност <math>K</math> гласи<ref name="mathworld"/>:

:<math>\frac{\sin A}{\sin_K a} = \frac{\sin B}{\sin_K b} = \frac{\sin C}{\sin_K c} \,.</math>

Со замена за <math>K=0</math>, <math>K=1</math> и <math>K=-1</math>, се добиваат соодветно Евклидовиот, сферичниот и хиперболичниот случај на синусната теорема кои се опишани погоре.

Нека <math>p_K(r)</math> е обиколката на кружница со полупречник <math>r</math> во простор со константна закривеност <math>K</math>. Тогаш <math>p_K(r)=2\pi \sin_K r</math>. Следователно, синусната теорема може исто така да се изрази како:

:<math>\frac{\sin A}{p_K(a)} = \frac{\sin B}{p_K(b)} = \frac{\sin C}{p_K(c)} \,.</math>

Оваа формулација ја открил [[Јанош Бојаи]].<ref>{{Наведена книга|last=Katok|first=Svetlana|authorlink=Svetlana Katok|title=Fuchsian groups|year=1992|publisher=University of Chicago Press|location=Chicago|isbn=0-226-42583-5|page=22}}</ref>

==Повисоки димензии==
За <math>n</math>-димензионален [[симплекс]] ( [[триаголник]] (<math>n=2</math>), [[тетраедар]] (<math>n=3</math>), [[пентатоп]] (<math>n=4</math>), итн.) во <math>n</math>-димензионален [[Евклидов простор]], [[апсолутна вредност|апсолутната вредност]] на [[поларен синус|поларниот синус]] на нормални [[вектор]]и од површини кои се спојуваат во [[теме (геометрија)|теме]], поделено со хиперповршината на површината спротивна на темето е независна од изборот на темето. Бележејќи ja со <math>V</math> хиперзафатнитната на <math>n</math>-димензионален симплекс и со <math>P</math> производот на хиперплоштините на неговитe <math>(n-1)</math>-димензионални ѕидови, заедничкиот количник е

: <math>\frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}.</math>

На пример, тетраедарот има четири триаголни ѕида. Апсолутната вредност на поларниот синус на нормалните вектори на три ѕида кои имаат еден заеднички врв (теме), поделени со плоштината на четвртата површина нема да зависи од изборот на ѕидовите и темето:
:<math>
\begin{align}
& \frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_2}, \mathbf{n_3}, \mathbf{n_4})\bigr|}{\mathrm{P}_1} =
\frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_1}, \mathbf{n_3}, \mathbf{n_4})\bigr|}{\mathrm{P}_2} =
\frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}, \mathbf{n_4})\bigr|}{\mathrm{P}_3} =
\frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}, \mathbf{n_3})\bigr|}{\mathrm{P}_4} \\[4pt]
= {} & \frac{(3\operatorname{Volume}_\mathrm{tetrahedron})^2}{2!~\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}\,.
\end{align}
</math>

==Историја==
Според [[Убиратан д'Амброзио]] и [[Хелејн Селин]], сфeричната синусна теорема била откриена во X век. Припишувана им е на повеќемина: [[Абу-Махмуд Хоџанди]], [[Абул ал-Вафа Бузџани]], [[Насир ал-Дин ал-Туси]] и [[Аби Наср Мансур]].<ref name=Sesiano>Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=Springer|isbn=1-4020-0260-2}}</ref>

Делото ''„Книга за непознатите лакови на сфера“'' од [[Ибн Муаз ал-Џајани]] од XI век ја содржи општата синусна теорема.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor|id=Al-Jayyani|title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref> Рамнинската синусна теорема била формулирана од Насир ал-Дин ал-Туси во XIII век. Во неговoтo дело „''За отсечоците''“, ја формулирал синусната теорема за рамнински и сферични триаголници и ја докажал.<ref>{{Наведена книга | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=978-0-691-11485-9 | page=518 }}</ref>

Според [[Глен ван Брумелен]], "Синусната теорема е во суштина основата на [[Региомонтан]] во неговите решенија на правоаголни триаголници во Книга 4 и овие решенија се основата за неговите решенија на општите триаголници."<ref>Glen Van Brummelen (2009). "''[https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry]''". Princeton University Press. p.259. {{isbn|0-691-12973-8}}</ref> Региомонтан бил германски математичар од XV век.

==Поврзано==
* [[Косинусна теорема]]
* [[Тангенсна теорема]]
* [[Котангенсна теорема]]
* [[Молвајдева формула]]
* [[Триангулација]]

==Наводи==
{{наводи}}

==Надворешни врски==
* {{springer|title=Sine theorem|id=p/s085520}}
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml#law The Law of Sines] at [[cut-the-knot]]
* [http://mysite.du.edu/~jcalvert/railway/degcurv.htm Degree of Curvature]
* [http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm Finding the Sine of 1 Degree]
* [http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html Generalized law of sines to higher dimensions]
* [http://proofwiki.org/wiki/Law_of_Sines Law of Sines - ProofWiki]

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Агол]]
[[Категорија:Геометрија на триаголник]]
[[Категорија:Теореми во Евклидова геометрија]]
[[Категорија:Теореми за триаголници]]