Преглед на кодот на Сличност

[[Податотека:Similar-geometric-shapes.svg|300п|right|thumb|Фигурите со истата боја се слични.]]
<div style="line-height:2em">
Во [[геометрија]]та, две фигури се '''слични''' ако го имаат истиот облик, но (можеби) различни големини. Формално, две фигури се слични ако по некоја рамномерна [[хомотетија]] (растегнување, скалирање) на едната фигура, двете фигури се [[складност|складни]].<ref name=Oxford>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Similar | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=723|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref>. Значи покрај крутите трансформации [[транслација (геометрија)|транслација]], [[ротација (геометрија)|ротација]] и [[рефлексија (геометрија)|рефлексија]] кои се дозволени при доказ на складност, за сличност може да се користи плус рамномерна хомотетија.

'''Основна поставка: '''Ако две геометриски фигури се слични, тогаш соодветните агли се складни (со иста големина), а соодветните страни и дијагонали се еднаквопропорционални, т.е. постои позитивен реален број ''р'' така што односот на сите соодветни страни на двете фигури е ''р'' е факторот на хомотетијата.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/similarpolygons.html|title =Similar Polygons|title=Слични многуаголници|publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref>
</div>

Забележуваме дека сите отсечки се слични, сите агли се слични и сите кружници се слични така што најчесто поимот сличност не се користи за овие геометриски објекти (за разлика од [[складност]]). Од друга страна, две елипси се слични само ако полуоските се еднаквопропорционални.

[[Податотека:Similarity_of_quadrilaterals.gif|right|frame|Сличност како [[складност]] со рамномерна хомотетија (скалирање). Во секој момент, сите соодветни агли се складни (со истата големина). (Направена со Геогебра.)]]
== Означување ==
<div style="line-height:2em">
Симбол за сличност е <math>\thicksim</math>. На пример, <math>\Delta ABC \sim \Delta DEF</math> значи дека [[триаголник]]от ''ABC'' е сличен со триаголникот ''DEF''. Се забележува дека кај [[многуаголник|многуаголници]], '''редоследот на темињата''' кај сличност е важно (види подолу ''соодветност на темињата'').

Во обичен текст се користи стандардниот тастер ~ т.н. [[тилда]] (бран). Иако има [[уникод]] симбол за сличност потполно исто се прикажува, односно {{Уникод|&#x223C;}}. Тој е [[уникод]] бројот 8764. Соодветните [[хексадецимален броен систем|хексадецимален]] број се 223C. На мрежно место, т.е. во [[ХТМЛ]] се внесува <tt>&amp;sim;</tt> или <tt>&amp;#x223C;</tt>.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://symbolcodes.tlt.psu.edu/bylanguage/mathchart.html|title=Unicode Entity Codes for Math|year=2013|language=англиски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2013-11-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20131127212139/http://symbolcodes.tlt.psu.edu/bylanguage/mathchart.html|url-status=dead}}</ref> За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на [[Microsoft]] се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://en.wikipedia.org/wiki/Unicode_input |title=Unicode Input|publisher=Wikipedia|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref>

Во [[латех|LaTeX]], симболот &nbsp;<math>\sim</math> &nbsp; за сличност се добиваат со командата \sim или \thicksim која е дел од пакетот wasysym. 
</div>

==Сличност и [[складност]]==
'''Основна поставка:''' Две слични геометриски фигури се '''[[складност|складни]]''' ако и само ако еден пар соодветни страни се складни (еднакво должни). 
:Доказ: Две фигури се слични ако се пропорционални исти, т.е. внатрешните агли на двете фигури се складни, а соодветните страни се во истиот однос. Доколку еден пар соодветни страни се складни следува дека пропорцијата е 1 за овој пар страни, па автоматски пропорцијата е 1 за сите соодветни страни, односно сите страни се складни и следува складноста на фигурите. Види [[складност]].

'''Пример:''' Нека &Delta;ABC&sim;&Delta;DEF се слични триаголници. Тогаш триаголниците се складни ако може да се покаже дека кој било од следните [[исказ (математика)|искази]] е вистинит |AB|=|DE| или |BC|=|EF| или |CA|=|FD|. (Еднаквост треба да се '''докаже''' само за едниот пар, a автоматски од сличност следува дека другите парови се еднакви.)

==Чекори при покажување на сличност на две рамнински фигури==
Постапката е слична со таа за покажување на [[складност#.D0.A7.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.80.D0.B8 .D0.BF.D1.80.D0.B8 .D0.BF.D0.BE.D0.BA.D0.B0.D0.B6.D1.83.D0.B2.D0.B0.D1.9A.D0.B5 .D0.BD.D0.B0 .D1.81.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D0.B4.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82 .D0.BD.D0.B0 .D0.B4.D0.B2.D0.B5 .D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.BD.D0.B8.D0.BD.D1.81.D0.BA.D0.B8 .D1.84.D0.B8.D0.B3.D1.83.D0.B8.D1.80.D0.B8|складност]].
*'''Соодветност на темињата''' - Се одредуваат и правилно се означуваат соодветните темиња помеѓу двете фигури. (Исто како чекорот 1 при доказот за складност.)
*'''Транслација''' - Се црта [[вектор]] од едно [[теме (геометрија)|теме]] на едната фигура до соодветното теме на другата фигура, а потоа се врши транслација на подвижната фигура за тој вектор. (Исто како чекорот 2 при доказот за складност.)
*'''Ротација''' - Се ротира подвижната фигура околу преклопеното теме (добиено по транслацијата во претходниот чекор) сè додека една соодветна страна лежи врз друга. (За разлика при доказ на складност, тука по ротацијата најверојатно страните нема да се преклопуваат, но треба да лежат една врз друга.)
*'''Рефлексија''' - Доколку фигурите не лежат едната над другата, се врши рефлексија на подвижната фигура околу страната од ротацијата.
*'''Хомотетија''' - Рамномерно се прави хомотетија (скалирање, растегнување) на едната фигура сè додека не се преклопуваат двете фигури.

Доколку не може да се направи кој било од погорните чекори, фигурите не се слични.

==Сличност на триаголници==
<div style="line-height:1.5em">
Како и кај [[складност]], има олеснување при доказ на сличност на триаголници.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/similartriangles.html| title =Similar triangles | title=Слични триаголници|publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref> Види и [[сличност на триаголници]].

Очигледно е од дефиницијата на сличност дека два триаголници се слични ако постои број ''p'' таков што односот на соодветните страни е ''p'' и соодветните внатрешни агли се исти: 
:<math>\Delta ABC \sim \Delta DEF</math> &nbsp;значи дека постои број ''p'' таков што односот на соодветните страни е ''p'' и &nbsp; <math>p=\tfrac{|\overline{AB}|}{|\overline{DE}|} =\tfrac{|\overline{BC}|}{|\overline{EF}|}=\tfrac{|\overline{CA}|}{|\overline{FD}|}</math> &nbsp;и&nbsp; <math>\angle{ABC}=\angle{DEF} \,,\,\,\angle{BCA}=\angle{EFD} \,,\,\,\angle{CAB}=\angle{FDE}</math>
Меѓутоа овие се и доволни услови, односно:
*сССС: Два триаголници се слични ако пар-по-пар, односот на трите страни е ист на двата триаголници.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/similarsss.html| title =Similar Triangles SSS | title=Слични триаголници ССС|publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref>
*сААА: Два триаголници се слични ако пар-по-пар, трите агли се исти (складни) на двата триаголници.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/similaraaa.html| title =Similar Triangles AAA | title=Слични триаголници ААА|publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref>
*сСАС: Два триаголници се слични ако односот на два пара на страни е ист, а [[агол]]от помеѓу нив е ист (складен) на двата триаголници.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/similarsas.html| title =Similar Triangles SAS | title=Слични триаголници САС|publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref>
</div>

==Сличност на други многуаголници==
За други [[многуаголник|многуаголници]] не е толку едноставно да се докаже сличноста. Меѓутоа, може да се докаже дека два многуаголници со ист број на страни се слични ако:
*Соодветни страни се еднаквопропорционални и соодветни внатрешни агли се складни (со иста големина). 
*Соодветни страни и соодветни дијагонали се еднаквопропорционални.
<div style="margin-top:6px;">
На пример: Постојат (безброј многу) ромбови со '''исти''' страни, а не само еднаквопропорционални, кои '''не се слични''' бидејќи внатрешните агли не им се складни.
</div>

==Сличност и периметар, плоштина и волумен==
Нека F и G се слични геометриски фигури со односот на страните, т.е. пропорцијата еднаква на ''р''.
*Односот на [[периметар|периметрите]] на F и G е исто така ''р''.
*Односот на [[плоштина|плоштините]] на F и G е ''р''<sup>2</sup>.
*Односот на [[волумен]]ите ([[зафатнина|зафатнините]]) на F и G  е ''р''<sup>3</sup>.

<div style="line-height:1.5em">
'''Пример:''' Нека F е [[правоаголник]] со страни ''a''=3&nbsp;cm и ''b''=5&nbsp;cm, a G нека е правоаголник со страни ''c''=15&nbsp;cm и ''d''=9&nbsp;cm. 
<div style="margin-left:10px">
Страните на правоаголниците се еднаквопропорционални со ''p''=3, т.е. ''c''=15&nbsp;cm=3&middot;5&nbsp;cm=''p''&middot;5&nbsp;cm=''p''&middot;''b'' и ''c''=9&nbsp;cm=3&middot;3&nbsp;cm=''p''&middot;3&nbsp;cm=''p''&middot;''a''. Сите агли на F и G се прав агли, така што сите агли се складни (со еднаква големина). Значи правоаголниците F и G се слични. 
* Периметарот на F e: L<sub>F</sub>=2&middot;3&nbsp;cm+2&middot;5&nbsp;cm=16&nbsp;cm, a периметарот на G e: L<sub>G</sub>=2&middot;15&nbsp;cm+2&middot;9&nbsp;cm=48&nbsp;cm. 
Следува L<sub>G</sub>=48&nbsp;cm=3&middot;16&nbsp;cm=''p''&middot;L<sub>F</sub>.
* Плоштината на F: P<sub>F</sub>=3&nbsp;cm&middot;5&nbsp;cm=15&nbsp;cm<sup>2</sup>, a плоштината на G e: P<sub>G</sub>=15&nbsp;cm&middot;9&nbsp;cm=135&nbsp;cm<sup>2</sup>.  
Следува P<sub>G</sub>=135&nbsp;cm<sup>2</sup>=(9&middot;15)cm<sup>2</sup>=(p<sup>2</sup>)&middot;P<sub>F</sub>.
</div>

<div style="line-height:1.5em">
'''Пример:''' Нека F е [[триаголник]]от со страни 5m, 3m и 4m, a G нека е триаголникот со страни 9m, 12m и 15m. 
<div style="margin-left:10px">
Страните на двата триаголниците се еднаквопропорционални со ''p''=3 така што според сССС, триаголниците се слични. 
* Периметарот на F e: L<sub>F</sub>=5m+3m+4m=12m, a плоштина на G e: L<sub>G</sub>=9m+12m+15m=36m. 
Следува L<sub>G</sub>=36m=3&middot;12m=p&middot;L<sub>F</sub>.
* За пресметување на плоштината на триаголник со дадени три страни ја користиме [[Херонова формула|Хероновата формула]], каде што полупериметарот е: s={{Дропка|L|2}}, а плоштината P=√s(s-a)(s-b)(s-c). 
Полупериметрите на F и G се: 
: <math>s_F=\tfrac{1}{2} L_F=6\,m</math>  &nbsp;и&nbsp; <math>s_G=\tfrac{1}{2} L_G=18\,m</math>
Плоштините на F и G се:
<div style="line-height:2.5em">
: <math>P_F=\sqrt{6 \cdot (6-5) \cdot (6-3) \cdot (6-4)}\,m^2=\sqrt{6 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}\,m^2=\sqrt{36}\,m^2=6\,m^2</math> &nbsp;и&nbsp; <math>P_F=\sqrt{18 \cdot (18-9) \cdot (18-12) \cdot (18-15)}\,m^2=\sqrt{2916}\,m^2=54\,m^2</math>
Следува P<sub>G</sub>=54m<sup>2</sup>=9&middot;m<sup>2</sup>=(p<sup>2</sup>)&middot;P<sub>F</sub>.
</div></div></div>

==Наводи==
{{наводи}}

== Поврзани теми ==
* [[Складност]]
* [[Сличност на триаголници]]
* [[Хомотетија]]
* [[Многуаголник]]

==Надворешни врски==
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Slicnost|last1=Стојановска|first1=Л.|title=Сличност|year=2013|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2013-10-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20131031112638/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Slicnost|url-status=dead}} интерактивен
*{{Наведена мрежна страница|url=http://wiki.geogebra.org/mk/%D0%A5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%9D%D0%B0%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B1%D0%B0|title=Геогебра наредба: Хомотетија|author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2012-02-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20120229082419/http://wiki.geogebra.org/mk/%D0%A5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%9D%D0%B0%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B1%D0%B0|url-status=dead}}  
*{{Наведена мрежна страница|url=http://wiki.geogebra.org/mk/%D0%A5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%98%D0%B0_%28%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%9A%D0%B5%29_%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%98%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BE%D0%B4_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%B7%D0%B0_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%90%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0|title=Геогебра алатка: Хомотетија (растегнување) на објект од точка за фактор|author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2012-02-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20120229082224/http://wiki.geogebra.org/mk/%D0%A5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%98%D0%B0_%28%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%9A%D0%B5%29_%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%98%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BE%D0%B4_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%B7%D0%B0_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%90%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0|url-status=dead}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Многуаголници]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Математичко образование]]
[[Категорија:Геометрија на триаголникот]]