Преглед на кодот на Спин (физика)

{{Standard model of particle physics}}

Во [[Квантна механика|квантната механика]] и [[Честична физика|честичната физика]], '''спинот''' (или '''заврт''') е вродена форма на [[Момент на импулсот|аголен импулс]] што ја носат [[Елементарна честичка|елементарните честички]], композитните честички ( [[Хадрон|адрони]] ) и [[Атомско јадро|атомските јадра]].<ref name="merzbacher372">{{Наведена книга|title=Quantum Mechanics|last=Merzbacher|first=Eugen|year=1998|edition=3|pages=372&ndash;3}}</ref><ref name="griffiths183">{{Наведена книга|title=Introduction to Quantum Mechanics|last=Griffiths|first=David|year=2005|edition=2|pages=183&ndash;4}}</ref>

Спинот е еден од двата вида на аголен импулс во квантната механика, а другиот е ''орбитален аголен импулс''. Операторот на орбиталниот аголен импулс е квантно-механичкиот дел на класичниот аголен импулс на [[Орбита|орбиталната револуција]] и се појавува кога постои периодична структура на неговата бранова функција како аголот варира.<ref><div> [http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/AngularMomentum.htm „Аголна динамична операторска алгебра“, класични белешки на Мајкл Фаулер] </div></ref><ref><div> [https://books.google.com/books?id=3_7uriPX028C&pg=PA31 ''Современ пристап кон квантната механика'', од Таунсенд, стр. 31 и стр. 80] </div></ref> Постоењето на спин аголен импулс е заклучено од експерименти, како што е Штерн-Герлаховиот експеримент, во кој сребрените атоми биле забележани да поседуваат два можни дискретни аголни моменти и покрај тоа што немаат орбитален импулс на орбитата.<ref name="eisberg272">{{Наведена книга|title=Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles|last=Eisberg|first=Robert|last2=Resnick|first2=Robert|year=1985|edition=2|pages=272&ndash;3}}</ref>

На некој начин, вртењето е како [[вектор]]ска количина; има одредена големина и има „насока“ (но квантизацијата ја прави оваа „насока“ различна од правецот на обичен вектор). Сите елементарни честички од даден вид имаат иста големина на спин аголен импулс, што е означено со назначување на честичката на [[спинов квантен број]].<ref name="griffiths183"/>

[[Меѓународен систем на мерни единици|SI единицата]] на спин е ( [[Њутн (единица)|N]] · [[Метар|m]] · [[Секунда|s]] ) или ( [[Килограм|kg]] · m <sup>2</sup> · s <sup>−1</sup> ), исто како и со класичниот аголен импулс. Во пракса, спинот се дава како [[Бездимензионална величина|димензионален]] спинов квантен број со делење на аголниот импулс на спин со [[Планкова константа|редуцирана Планкова константа]] {{Мпром|ħ}}, која ги има истите единици на аголен импулс, иако ова не е целосно пресметување на оваа вредност. Многу често, „спиновиот квантен број“ едноставно се нарекува „спин“, оставајќи го своето значење како бесконечен „спинов квантен број“ кој треба да се заклучи од контекстот.

Кога се комбинира со теоријата за статистика на спин, спинот на електроните резултира со [[Паулиев принцип на исклучување|Паулиевиот принцип на исклучување]], кој пак, е основата на [[Периоден систем на елементите|периодниот систем]] на [[Хемиски елемент|хемиските елементи]].

Во 1924 година, [[Волфганг Паули]] бил првиот што предложил удвојување на електронските состојби поради двовредносната некласична „скриено вртење“.<ref name="Pais201">{{Наведена книга|title=Niels Bohr's Times|last=Pais|first=Abraham|date=1991|publisher=Clarendon Press|year=|isbn=0-19-852049-2|location=Oxford|pages=201|author-link=}}</ref> Во 1925 година, Џорџ Уленбек и Семјуел Гаудсмит на Универзитетот во Лајден предложил едноставна физичка интерпретација на честички се врти околу својата оска, во духот на старата квантна теорија на [[Нилс Бор|Бор]] и [[Арнолд Зомерфелд|Зомерфелд]].<ref name="Pais241">{{Наведена книга|title=Niels Bohr's Times|last=Pais|first=Abraham|date=1991|publisher=Clarendon Press|year=|isbn=0-19-852049-2|location=Oxford|pages=241-244|author-link=}}</ref> Ралф Крониг го претставил Уленбек-Гаудсмитовиот модел во дискусија со Хендрик Крамерс неколку месеци порано во Копенхаген, но не го објави.<ref name="Pais241" /> Математичката теорија била детално разработена од Паули во 1927 година. Кога [[Пол Дирак]] ја извел неговата релативистичка квантна механика во 1928 година, електронскиот спин бил суштински дел од него.

== Квантен број ==
{{Главна|Спинов квантен број}}

Како што сугерира името, спинот првично бил замислен како вртење на честичка околу некоја оска. Оваа слика е точна доколку спинот ги почитува истите математички закони како што се квантизираните [[Момент на импулсот|аголни моменти]]. Од друга страна, спинот има некои чудни особини кои го разликуваат од орбиталните аголни моменти:

* Спиновите квантни броеви може да пополнат цели вредности. 
* Иако насоката на нејзиното вртење може да се смени, елементарна честичка не може да се направи за да се вртат побрзо или побавно. 
* Спинот на наелектризирана честичка е поврзан со [[Магнетен момент|магнетен диполен момент]] со [[g-фактор (физика)|{{mvar|g}}-фактор]] разликувајќи се од 1. Ова би се случувало само класично [[Жиромагнетен однос#Жиромагнетен однос за класично тело во вртење|ако внатрешниот полнеж на честичката е распределен поинаку од неговата маса]].

Конвенционалната дефиниција на '''спиновиот квантен број''', {{mvar|s}}, е {{math|''s'' {{=}} {{sfrac|''n''|2}}}}, каде што {{mvar|n}} може да биде кој било ненегативен [[цел број]]. Оттука дозволените вредности на {{mvar|s}} се 0, {{Sfrac|1|2}} 1, {{Sfrac|3|2}} 2, итн. Вредноста на {{mvar|s}} за [[елементарна честичка]] зависи само од типот на честички и не може да се менува на кој било познат начин (за разлика од ''насоката'' на ''вртење'' опишана подолу). Спиновиот аголен моментум, {{mvar|s}}, на секој [[физички систем]] е квантизиран. Дозволените вредности на {{mvar|s}} се:

:<math>S = \hbar \, \sqrt{s (s+1)}=\frac{h}{4\pi} \, \sqrt{n(n+2)},</math>

каде {{Мпром|h}} е [[Планкова константа|Планковата константа]] и {{math| <math>\hbar</math> {{=}} {{sfrac|''h''|2π}}}} е намалената Планкова константа. Спротивно на тоа, орбиталниот аголен импулс може да земе само цели вредности на {{mvar|s}}; односно вредностите на {{mvar|n}} - нумерирани броеви.

=== Фермиони и бозони ===

Оние честички со полуцел број спинови, како што се {{Sfrac|1|2}} {{Sfrac|3|2}} {{Sfrac|5|2}} се познати како [[Фермион|таканаречени фермиони]], додека оние честички со цел број спинови, како што е 0, 1, 2, се познати како [[бозон]]и. Двете семејства на честички ги почитуваат различните правила и ''широко'' имаат различни улоги во светот околу нас. Клучна разлика помеѓу двете семејства е тоа што фермионите го почитуваат Паулиевиот принципот на исклучување; што значи, не може да има две идентични фермиони кои истовремено ги имаат истите квантни броеви (што значи, приближно, имаат иста позиција, брзина и насока на вртење). Спротивно на тоа, бозоните ги почитуваат правилата на Бозе-Ајнштајновата статистика и немаат такво ограничување, така што тие можат да „купуваат заедно“, дури и ако се во идентични состојби. Исто така, композитните честички можат да имаат различни спинови од нивните компонентни честички. На пример, атомот на хелиум во основната состојба има спин 0 и се однесува како бозон, иако [[кварк]]овите и електроните што го сочинуваат се сите фермиони.

Ова има некои длабоки последици:

* * [[Кварк]]овите и [[лептони]]те (вклучувајќи ги [[електрон]]ите и [[неутрино|неутрината]]), кој ја сочинуваат класично познатата [[материја]], се сите фермиони со [[спин 1/2|спин {{sfrac|1|2}}]]. Вообичаената идеја дека „материјата зафаќа простор“ која потекнува од Паулиевиот принцип кој дејствувајќи на овие честички спречува фермионите да создадат материја во иста квантна состојба. Дополнителното збивање ќе побарува електроните да зафатат исти енергетски состојби, и тогаш вид на [[притисок]] (понекогаш познат и како [[изродена материја|изродителен притисок на електроните]]) дејствува на фермионите пружајќи отпор и спречувајќи тие да се приближат премногу блиску.

: Основни фермиони со други спинови како {{Sfrac|3|2}} {{Sfrac|5|2}} итн) досега не се познати.

* Основните честички кои се сметаат за носители се сите бозони со спин &nbsp; 1. Тие вклучуваат [[фотон]] кој ја носи [[Електромагнетизам|електромагнетната сила]], [[глуон]]от ( [[Силно заемодејство|силна сила]] ) и [[W и Z бозони]]те ( [[Слабо заемодејство|слаба сила]] ). Способноста на бозоните да ја окупираат истата квантна состојба се користи во [[ласер]]от, кој ги усогласува многуте фотони кои имаат ист квантен број (иста насока и честота), суперфлуидниот течен хелиум што резултира од атомите на хелиум-4 како бозони, и [[суперспроводливост]]а каде што пара електроните (кои поединечно се фермиони) делуваат како единечни композитни бозони.

: Елементарните бозони со други спинови (0, 2, 3 и сл.) Не биле историски познати дека постојат, иако добиле значителен теоретски третман и се добро воспоставени во нивните мејнстрим теории. Особено, теоретичарите предложиле гравитон (предвидено да постојат од некои квантни теории на гравитација ) со спин 2, а [[Хигсов бозон|Хигсовиот бозон]] (објаснувајќи ја електрославната симетрија за кршење ) со спин 0. Од 2013 година, Хигсовиот бозон со спин &nbsp; 0 се смета за докажано дека постои.<ref><div> [http://home.cern/topics/higgs-boson Информации за Хигс Босон] на официјалното мрежно место на [[CERN|ЦЕРН]]. </div></ref> Тоа е првата [[Скаларен бозон|скаларна елементарна честичка]] (спин &nbsp; 0) познато дека постои во природата.

=== Спин-статистичка теорема ===
Теоремата за спин-статистика вели: (1) дека честичките со полуцелно спин (фермиони) ја почитуваат статистиката на Ферми-Дирак и принципот на исклучување на Паули и (2) дека честичките со целобројни спинови (бозони) ги почитуваат статистиките на Бозе-Ајнштајн, зафаќаат „симетрични состојби“, и на тој начин можат да делат квантни состојби. Теоремата се потпира на квантната механика и на теоријата за [[Специјална теорија за релативноста|специјална релативност]], и оваа поврзаност помеѓу спин и статистика е наречена „една од најважните примени на теоријата за специјална теорија на релативноста“.<ref>{{Наведено списание|last=Pauli|first=Wolfgang|author-link=|date=|year=1940|title=The Connection Between Spin and Statistics|url=http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/pauli40b/eng.pdf|format=PDF|journal=Phys. Rev.|volume=58|issue=8|pages=716–722|bibcode=1940PhRv...58..716P|doi=10.1103/PhysRev.58.716}}</ref>

== Магнетни моменти ==
{{Главна|Спински магнетен момент}}

[[Податотека:Neutron_spin_dipole_field.jpg|десно|мини| Шематски дијаграм кој го прикажува спинот на неутронот како црна стрелка и линии на магнетно поле поврзани со неутронскиот магнетен момент. Неутронот има негативен магнетен момент. Додека спинот на неутронот е нагоре во овој дијаграм, линиите на магнетното поле во центарот на диполот се надолу.]]
Честичките со спин можат да поседуваат [[Магнетен момент|магнетен диполен момент]], исто како вртечкото [[Електричен набој|електрично наелектризирано]] тело во [[Електродинамика|класичната електродинамика]]. Овие магнетни моменти можат да бидат експериментално забележани на неколку начини, на пр. Со девијација на честички со нехомогени [[Магнетно поле|магнетни полиња]] во експериментот Штерн-Герлах, или со мерење на магнетните полиња генерирани од самите честички.

На вродена магнетни момент {{math|'''μ'''}} на [[спин-1/2|спин {{sfrac|1|2}}]] честичка со полнеж {{mvar|q}}, маса {{mvar|m}}, и спински аголен момент {{math|'''S'''}}, е:<ref>Physics of Atoms and Molecules, B.H. Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, {{ISBN|0-582-44401-2}}</ref>

:<math>\boldsymbol{\mu} = \frac{g_s q}{2m} \mathbf{S} </math>

каде [[бездимензионална величина|бездимензионалната величина]] {{mvar|g<sub>s</sub>}} е наречен спински [[g-фактор(физика)#електронски спин g-фактор|{{mvar|g}}-фактор]]. За исклучителните орбитални ротации ќе биде 1 (претпоставувајќи дека масата и полнежот зафаќаат сфери со ист полупречник).

Електронот, како наелектризирана елементарна честичка, поседува ненулов магнетен момент. Еден од триумфите на теоријата на [[Квантна електродинамика|квантната електродинамика]] е нејзиното прецизно предвидување на електронскиот [[Ландеев g-фактор|{{mvar|g}}-фактор]], кој е експериментално утврден да ја има вредноста {{вред|-2.0023193043622|(15)}}, со цифри во загради означувајќи ја мерната несигурност кај последните две цифри на едно [[стандардно отстапување]].<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem{{!}}search_for=all!|title=CODATA Value: electron ''g'' factor|last=|first=|date=|year=2006|work=The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty|publisher=National Institute of Standards and Technology|archive-url=|archive-date=|dead-url=|accessdate=2013-11-15}}</ref> Вредноста на 2 произлегува од равенката на Дирак, основна равенка која го поврзува спинот на електронот со неговите електромагнетни својства, а исправката на {{Вред|0.002319304}}... произлегува од интеракцијата на електронот со околното електромагнетно поле, вклучувајќи го и сопственото поле.<ref>{{Наведена книга|title=QED: The Strange Theory of Light and Matter|last=Feynman, R.P.|first=|publisher=Princeton University Press|year=1985|isbn=0-691-08388-6|location=Princeton, New Jersey|page=115|pages=|department=Electrons and their interactions|quote=After some years, it was discovered that this value [{{math|−½&#x202f;''g''}}] was not exactly 1, but slightly more – something like 1.00116&nbsp;. This correction was worked out for the first time in 1948 by Schwinger as {{math|''j''×''j''}} divided by 2&#x202f;{{mvar|π}} {{sic}} [where {{mvar|j}} is the square root of the fine-structure constant], and was due to an alternative way the electron can go from place to place: Instead of going directly from one point to another, the electron goes along for a while and suddenly emits a photon; then (horrors!) it absorbs its own photon.|author-link=}}</ref> Композитните честички, исто така, поседуваат магнетни моменти поврзани со нивното вртење. Особено, [[неутрон]]от поседува ненултен магнетен момент и покрај тоа што е електрично неутрален. Овој факт бил рана индикација дека неутронот не е елементарна честичка. Всушност, таа е составена од [[кварк]]ови, кои се електрично наелектризирани честички. Магнетниот момент на неутронот доаѓа од спиновите на поединечните кваркови и нивните орбитални движења.

[[Неутрино|Неутрината]] се елементарни и електрично неутрални. Минимално проширениот [[стандарден модел]] кој ги зема предвид неутриноските омаси со нула, предвидува неутриноски магнетни моменти на:<ref>{{Наведено списание|last=Marciano, W.J.|first=|last2=Sanda, A.I.|date=|year=1977|title=Exotic decays of the muon and heavy leptons in gauge theories|url=|journal=Physics Letters|volume=B67|issue=3|pages=303–305|bibcode=1977PhLB...67..303M|doi=10.1016/0370-2693(77)90377-X}}</ref><ref>{{Наведено списание|last=Lee, B.W.|first=|last2=Shrock, R.E.|date=|year=1977|title=Natural suppression of symmetry violation in gauge theories: Muon- and electron-lepton-number nonconservation|url=|journal=Physical Review|volume=D16|issue=5|pages=1444–1473|bibcode=1977PhRvD..16.1444L|doi=10.1103/PhysRevD.16.1444}}</ref><ref>{{Наведено списание|last=K. Fujikawa, R. E. Shrock|year=1980|title=Magnetic Moment of a Massive Neutrino and Neutrino-Spin Rotation|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=45|issue=12|pages=963–966|bibcode=1980PhRvL..45..963F|doi=10.1103/PhysRevLett.45.963}}</ref>

:<math>\mu_{\nu}\approx 3\times 10^{-19}\mu_\mathrm{B}\frac{m_{\nu}}{\text{eV}}</math>

каде што {{Мат|''μ''<sub>ν</sub>}} се неутриноски магнетни моменти, {{Мат|''m''<sub>ν</sub>}} се неутриноските маси, а {{Мат|''μ''<sub>B</sub>}} е Бох магнетон. Новата физика над електролеката може да доведе до значително повисоки неутриноски магнетни моменти. Може да се прикаже на модел независен начин што неутриноски магнетни моменти поголеми од околу 10 <sup>−14</sup> &nbsp; {{Мат|''μ''<sub>B</sub>}} се „неприродни“, бидејќи тие, исто така, ќе доведат до големи радијациски придонеси кон неутриноската маса. Бидејќи се знае дека масите на неутрино се најмногу околу 1 &nbsp; eV, големите радијациски исправки потоа ќе треба да бидат „фино нагодени“ за да се откажат едни со други, во голема мера, и да ја остават масата на неутрино.<ref>{{Наведено списание|last=Bell, N.F.|last2=Cirigliano|first2=V.|last3=Ramsey-Musolf|first3=M.|last4=Vogel|first4=P.|last5=Wise|first5=Mark|displayauthors=etal|year=2005|title=How Magnetic is the Dirac neutrino?|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=95|issue=15|page=151802|arxiv=hep-ph/0504134|bibcode=2005PhRvL..95o1802B|doi=10.1103/PhysRevLett.95.151802|pmid=16241715}}</ref>

Мерењето на неутриноските магнетни моменти е активна област на истражување. Експерименталните резултати го ставија неутрино магнетниот момент на помалку од {{вред|1.2|e=-10}}&nbsp; &nbsp; пати од магнетниот момент на електроните.

== Кириева температура и нарушување на подредувањето ==
Во обичните материјали, магнетните диполни моменти на поединечните атоми создаваат магнетни полиња кои се откажуваат еден со друг, бидејќи секој дипол покажува во случајна насока, при што вкупниот просек е многу близу нула. Меѓутоа, [[феромагнет]]ните материјали под нивната температура на [[Марија Кири|Кири]] покажуваат магнетни домени во кои атомарните диполни моменти се локално порамнети, создавајќи макроскопско ненулово магнетно поле од доменот. Ова се обичните „магнети“ со кои сите сме запознаени.

Во парамагнетенте материјали, магнетните диполни моменти на поединечните атоми спонтано се усогласуваат со надворешно применет магнетно поле. Во дијамагнетенте материјали, од друга страна, магнетните диполни моменти на поединечните атоми спонтано се спојуваат спротивно на кое било надворешно примени магнетно поле, дури и ако тоа бара енергија за тоа.

Студијата за однесувањето на таквите „[[Модели на спин|спинови модели]]“ е просперитетна област на истражување во [[Физика на кондензираната материја|физиката на кондензирана материја]]. На пример, [[Изингов модел|Изинговиот моделот]] тој ги опишува спиновите (диполи) кои имаат само две можни состојби, нагоре и надолу, додека во Хајзенберговиот модел спиновиот вектор е дозволено да посочува во која било насока. Овие модели имаат многу интересни својства, што довело до интересни резултати во теоријата на [[Фазен премин|фазни транзиции]].

== Насока ==

=== Спинова проекција, квантен број и мултипликативност ===
Во класичната механика, аголниот моментум на честичката не поседува само магнитуда (колку брзо телото се врти), туку и насока (или нагоре или надолу на [[Вртење околу неподвижна оска|оската на вртење]] на честичката). Квантната механичка спин исто така содржи информации за насоката, но во посуптилна форма. Квантната механика вели дека [[Вектор|компонентата]] на аголниот импулс мерена по која било насока може да ги земе само вредностите <ref>Quanta: A handbook of concepts, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1974, {{ISBN|0-19-855493-1}}</ref>

<math> S_i = \hbar s_i, \quad s_i \in \{ - s, -(s-1), \dots, s-1, s \} \,\!</math>

каде што Si е спин-компонентата долж i-оската (x, y или z), si е спиновиот квантен број проектиран по i-оската, а s е главниот спинов квантен број (дискутиран во претходниот дел). Конвенционално избраната насока е z-оската:

<math> S_z = \hbar s_z, \quad s_z \in \{ - s, -(s-1), \dots, s - 1, s \} \,\!</math>

каде ''S<sub>z</sub>'' е спинова компонента долж ''z''-оската, ''s<sub>z</sub>'' е спиновиот квантен број на проекциј долж ''z''-оската.

Може да се види дека постојат 2s + 1 можни вредности на sz. Бројот „2s + 1“ е [[множество]]то на спин системот. На пример, постојат само две можни вредности за честичка на спин-1/2: sz = +1/2 и sz = -1/2. Овие кореспондираат со квантните состојби во кои спин-компонентата укажува на насоките + z или -z, и често се нарекуваат „спин нагоре“ (спин ап) и „спин надолу“ (спин даун). За спин-3/2 честичка, како делта барион, можните вредности се +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.

=== Вектор ===
[[Податотека:Spin One-Half (Slow).gif|мини|Единствена точка во вселената може постојано да се вртат без да се заплетка. Забележете дека по 360-степени вртење, спиралата ја менува насоката од насока на стрелките на часовникот во обратната насока. Се [[Спинор|враќа во неговата оригинална конфигурација по вртење на цели 720 степени]].]]
За дадена [[квантна состојба]], може да се мисли на спин вектор ⟨S⟩ чии компоненти се [[Очекувана вредност (квантна механика)|очекуваните вредности]] на спин-компонентите долж секоја оска, односно,

⟨S⟩ = [⟨Sx⟩, <Sy⟩, <Sz⟩]. Овој вектор тогаш ќе ја опише „насоката“ во која се покажува спинот, што одговара на класичниот концепт на [[Оска на вртење|оската на вртење]]. Излегува дека спин векторот не е многу корисен во квантната механичка пресметка, бидејќи не може да се мери директно: sx, sy и sz не можат да поседуваат истовремени дефинирани вредности, поради односот на квантната несигурност меѓу нив. Меѓутоа, за статистички големи збирки на честички кои се ставени во иста чиста квантна состојба, како што е преку употреба на [[Штерн-Герлахов експеримент|Штерн-Герлаховиот експеримент]], векторот на центрифугирање има добро дефинирано експериментално значење: го одредува правецот во обичниот простор во кој следен детектор мора да биде ориентиран со цел да се постигне максимална можна веројатност (100%) за откривање на секоја честичка во колекцијата. За спин-1/2 честички, оваа максимална веројатност се намалува непречено бидејќи аголот помеѓу векторот на центрифугирање и детекторот се зголемува, сè додека не е под агол од 180 степени, што е за детектори ориентирани во спротивна насока на спин векторот - очекувањата за откривање на честички од собирањето достигнува минимум 0%.

Како квалитативен концепт, спин векторот е често корисен, бидејќи е лесно да се слика класично. На пример, квантната механичка спин може да покаже феномени аналогни на класичните [[Жироскоп|жироскопски ефекти]]. На пример, може да се изврши еден вид „[[вртежен момент]]“ на електронот, ставајќи го во магнетно поле (полето дејствува врз внатрешниот [[магнетен диполен момент]] на електронот - видете го следниов дел). Резултатот е дека спиновиот вектор преоѓа на [[прецесија]], исто како и класичниот [[жироскоп]]. Овој феномен е познат како [[Електронска спинова резонанца|електронска спинова резонанца (ЕСР)]]. Еквивалентното однесување на протоните во атомските јадра се користи во [[Јадрена магнетна резонанца|јадрена магнетна резонанца (НМР)]] спектроскопија и слики.

Математички, квантно-механичките спин-состојби се опишани од векторски објекти познати како [[спинор]]и. Постојат суптилни разлики помеѓу однесувањето на спинорите и векторите под [[Координатни ротации|координатните ротации]]. На пример, ротирањето на спин-1/2 честичка за 360 степени не ја враќа во иста квантна состојба, туку во состојба со спротивна квантна фаза; ова може да се забележи, во принцип, со интерференциски експерименти. За враќање на честичката во нејзината точна оригинална состојба, треба да има вртење од 720 степени. ([[Трикот на плочата]] и Мебиус даваат неквантни аналогии.) Честичката со нур-нула може да има само една квантна состојба, дури и по примена на вртежен момент. Ротирањето на спин-2 честичка од 180 степени може да го врати назад во иста квантна состојба, а спин-4 честичката треба да се ротира за 90 степени за да се врати во иста квантна состојба. Спин-2 честичката може да биде аналогна на прав стап кој изгледа исто, дури и по ротирање 180 степени, а спин 0 честичка може да се замисли како сфера, која изгледа исто по кој агол се претвора.

== Математичка формулација ==

=== Оператор ===
Спинот ги почитува [[Каноничка комутациска релација|комутационите односи]] аналогни на оние на орбиталниот аголен импулс:

<math>[S_j, S_k ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} S_l</math>

каде ''{{mvar|ε<sub>jkl</sub>}}'' е [[симболот на Леви-Чивита]]. Следи (како со [[аголен импулс]]) дека сопствените вектори на {{math|''S''<sup>2</sup>}} и Sz се:

<math>\begin{align}
  S^2 |s,m_{s}\rangle &= \hbar^2 s(s + 1) |s,m_{s}\rangle \\
  S_z |s,m_{s}\rangle &= \hbar m_{s} |s,m_{s}\rangle.
\end{align}</math>

[[Оператори за подигнување и намалување|Операторите за подигнување и намалување]] на бројот на вртење кои дејствуваат на овие сопствени вектори даваат:

<math>S_\pm |s,m_{s}\rangle = \hbar\sqrt{s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)} |s,m_{s}\pm 1 \rangle</math>

каде {{math|''S''<sub>±</sub> {{=}} ''S<sub>x</sub>'' ± ''i S<sub>y</sub>''}}.

Но, за разлика од орбиталниот аголен импулс, сопствените вектори не се [[сферични хармоници]]. Тие не се функции на θ и φ. Исто така, не постои причина да се исклучат полуцелите вредности на s и ms.

Покрај нивните други својства, сите квантно механички честички поседуваат вроден спин (иако оваа вредност може да биде еднаква на нула). Спинот се квантизира во единици на намалената [[Планкова константа]], така што функцијата на состојба на честичката е, да речеме, не ψ = ψ (r), туку ψ = ψ (r, σ) каде што σ е надвор од следниот дискретен сет на вредности:

<math>\sigma \in \{-s\hbar, -(s - 1)\hbar, \cdots, +(s - 1)\hbar, +s\hbar\}.</math>

Еден ги разликува [[бозон]]ите (целоброен спин) и [[фермион]]ите (половина цел број). Вкупниот аголен момент кој е зачуван во интерактивните процеси е збирот на орбиталниот момент на аголот и спинот.

=== Паулиеви матрици ===
[[Квантни механички оператори|Квантните механички оператори]] поврзани со [[опсерватии]]те на спин-1/2 се:

<math>\hat{\mathbf{S}}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}</math>

каде што во Картезијанските компоненти:

<math> S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z \,.</math>

За посебен случај на спин-1/2 честички, σx, σy и σz се трите [[Паулиеви матрици|Паулиевите матрици]], дадени од:

<math>
\sigma_x =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\, \quad
\sigma_y =
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix} \, \quad
\sigma_z =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\,.
</math>

=== Паулиевиот принцип на исклучување ===
За системи на N идентични честички, ова е поврзано со [[Паулиевиот принцип на исклучување|принципот на исклучување на Паули]], во кој се наведува дека со размена на која било две од N честичките мора да има

<math>\psi ( \cdots \mathbf r_i,\sigma_i\cdots \mathbf r_j,\sigma_j\cdots ) = (-1)^{2s}\psi ( \cdots \mathbf r_j,\sigma_j\cdots \mathbf r_i,\sigma_i\cdots ).</math>

Така, за бозоните, префакторот {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} ќе се намали на +1, за фермиони на -1. Во квантната механика сите честички се или бозони или фермиони. Во некои шпекулативни релативистички квантни теории на полето постојат и „[[Суперсиметрична честичка|суперсиметрични]]“ честички, каде што се појавуваат линеарни комбинации на бозонски и фермионски компоненти. Во две димензии,предфакторот {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} може да се замени со кој било комплексен број на големината 1, како што е во кој било [[анјон]].

Горенаведениот постулат на пермутација за функциите на N-честичките има најважни последици во секојдневниот живот, на пр. [[Периоден систем на елементите|периодниот систем]] на хемиски елементи.

=== Ротации ===
Како што е опишано погоре, квантната механика вели дека [[Вектор|компонентите]] на аголниот импулс, мерени по секоја насока, можат да земат само неколку дискретни вредности. Најпогодниот квантно механички опис на спин на честички е со множење на комплексни броеви кои одговараат на амплитудите на наоѓање на дадената вредност на проекцијата на неговиот внатрешен аголен импулс на дадена оска. На пример, за спин-1/2 честичка, ќе ни требаат два броја ± 1/2, давајќи им амплитуди на наоѓање со проекција на аголен импулс еднаков на ħ / 2 и -ħ / 2, задоволувајќи го условот

<math>\left|a_\frac{1}{2}\right|^2 + \left|a_{-\frac{1}{2}}\right|^2 \, = 1.</math>

За генеричка честичка со спин, ќе ни требаат 2s + 1 такви параметри. Бидејќи овие броеви зависат од изборот на оската, тие се трансформираат во едни со други нетривијално кога оваа оска е ротирана. Јасно е дека законот за трансформација мора да биде линеарен, така што можеме да го претставуваме со поврзување на матрица со секое вртење, а производот од две матрици на трансформација што соодветствуваат на ротациите А и В мора да бидат еднакви (до фаза) до матрицата што го претставува вртењето AB. Понатаму, ротациите го зачувуваат квантниот механички внатрешен производ, и така нашите матрици за трансформација треба:

<math>\begin{align}
                    \sum_{m=-j}^{j} a_m^* b_m &= \sum_{m=-j}^j \left(\sum_{n=-j}^j U_{nm} a_n\right)^* \left(\sum_{k=-j}^j U_{km} b_k\right) \\
  \sum_{n=-j}^j \sum_{k=-j}^j U_{np}^* U_{kq} &= \delta_{pq}.
\end{align}</math>

Математички кажано, овие матрици обезбедуваат унитарна [[Проективна презентација|проективна]] [[Групна презентација|презентација]] на вртежната група SO (3). Секоја таква репрезентација одговара на претставата на покривната група на SO (3), што е SU (2).<ref>
{{Наведена книга
 |author=B.C. Hall
 |title=Quantum Theory for Mathematicians
 |publisher=Springer
 |pages=354–358
 |year=2013
}}</ref> Постои една n-димензионална непривлечна претстава на SU (2) за секоја димензија, иако оваа претстава е n-димензионална реална за непарен n и n-димензионален комплекс за дури n (оттука и од реалната димензија 2n). За вртење со агол θ во рамнината со нормален вектор <math display="inline">\hat{\boldsymbol{\theta}}</math>, U може да се напише

<math> U = e^{-\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\theta} \cdot \mathbf{S}},</math>

каде што <math display="inline">\boldsymbol{\theta} = \theta \hat{\boldsymbol{\theta}}</math>, а S е вектор на [[спин оператори]].

<blockquote>
{{hidden
|(Притиснете „прикажи“ десно за да го погледнете доказот или „сокриј“ за да не се прикажува.)
|2=
----
Работејќи со појдовниот систем каде <math display="inline">\hat{\theta} = \hat{z}</math>, би сакале да прикажеме дека {{mvar|S<sub>x</sub>}} и {{mvar|S<sub>y</sub>}} се завртени еден кон друг под агол {{mvar|θ}}. Започнувајќи со {{mvar|S<sub>x</sub>}}. Користејќи единици {{math|''ħ'' {{=}} 1}}:
: <math>\begin{align}
  S_x \rightarrow U^\dagger S_x U &{}= e^{i \theta S_z} S_x e^{-i \theta S_z} \\
                                  &{} = S_x + (i \theta) \left[S_z, S_x\right] + \left(\frac{1}{2!}\right) (i \theta)^2 \left[S_z, \left[S_z, S_x\right]\right] + \left(\frac{1}{3!}\right) (i \theta)^3 \left[S_z, \left[S_z, \left[S_z, S_x\right]\right]\right] + \cdots\\
\end{align}</math>

Користејќи го [[#спински оператор|спинскиот оператор за комутација]], ќе забележиме дека комутаторите се сведуваат на {{mvar|i S<sub>y</sub>}} за непарните услови во низите, и до {{mvar|S<sub>x</sub>}} за сите парни услови. Па:
:<math>\begin{align}
  U^\dagger S_x U &{}= S_x \left[ 1 - \frac{\theta^2}{2!} + ... \right] - S_y \left[ \theta - \frac{\theta^3}{3!} \cdots \right] \\
                  &{} = S_x \cos\theta - S_y \sin\theta\\
\end{align}</math>

тѕокму како што се очекуваше. Земете предвид дека бидејќи се земени само предвид спинските оператори за комутација, овој доказ ќе важи за секоја димензија (т.е., за секојглавен спински квантен број {{mvar|s}}).<ref>[https://books.google.com/books?id=w2a8QgAACAAJ ''Modern Quantum Mechanics'', by J. J. Sakurai, p159]{{Мртва_врска|date=September 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>
----
}}
</blockquote>

Општото вртење во тридимензионален простор може да биде изградена со мешање на оператори од овој тип со помош на [[Ојлерови агли|аголот на Ојлер]]:

<math> \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha S_z}e^{-i\beta S_y}e^{-i\gamma S_z}</math>

Неприкосновената застапеност на оваа група оператори е дадена од [[Вигнерова Д-матрица|Вигнеровата Д-матрицата]]:

<math>
  D^s_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv
  \left\langle sm' \left| \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) \right| sm \right\rangle =
  e^{-im'\alpha} d^s_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma},
</math>

каде

<math>d^s_{m'm}(\beta)= \left\langle sm' \left|e^{-i\beta s_y} \right| sm \right\rangle</math>

е малата Д-матрица на Вигнер. Забележете дека за γ = 2π и α = β = 0; односно, целосно свртување околу z-оската, елементите на Вигнеровата Д-матрица стануваат

<math> D^s_{m'm}(0, 0, 2\pi) = d^s_{m'm}(0) e^{-i m 2 \pi} = \delta_{m'm} (-1)^{2m}.</math>

Потсетувајќи дека една генеричка состојба на спин може да се напише како суперпозиција на состојби со дефинитивен m, можеме да видиме дека ако s е цел број, вредностите на m се целина, а оваа матрица одговара на идентитетот оператор. Меѓутоа, ако s е половина цел број, вредностите на m се исто така и полуцели броеви, давајќи (-1) 2m = -1 за сите m, а оттука и по вртење со 2π, состојбата зема знак минус. Овој факт е клучен елемент на доказот за [[Теорија на статистика на спин|теоријата на статистиката на спин]].

=== Лоренцови трансформации ===
Може да се обидеме со ист пристап да го одредиме однесувањето на спин под општите [[Лоренцови трансформации]], но веднаш ќе откриеме голема пречка. За разлика од SO (3), групата на Лоренцови трансформации SO (3,1) е [[Компактна група|некомпактна]] и затоа нема верни, унитарни, конечни-димензионални претстави.

Во случај на честички на спин-1/2, можно е да се најде конструкција која вклучува и конечна димензионална претстава и скаларен производ кој е зачуван со оваа претстава. Ние поврзуваме 4-компонентен [[Дирак-спинор]] ψ со секоја честичка. Овие спинори се трансформираат според Лоренцовите трансформации во согласност со законот

<math>\psi' = \exp{\left(\tfrac{1}{8} \omega_{\mu\nu} [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]\right)} \psi</math>

каде што ''{{mvar|γ<sub>ν</sub>}}'' се [[гама матрици]] и ''{{mvar|ω<sub>μν</sub>}}'' е антисиметрична 4 × 4 матрица која ја параметризира трансформацијата. Може да се покаже дека скаларен производ

<math>\langle\psi|\phi\rangle = \bar{\psi}\phi = \psi^{\dagger}\gamma_0\phi</math>

е зачувана. Меѓутоа, не е позитивно дефинитивно, така што застапеноста не е унитарна.

=== Мерење на спин долж x-, y- или z-оски ===
Секоја ([[матрица на Ермит]]) Паули има две сопствени вредности, +1 и -1. Соодветните нормализирани сопственивектори се:

<math>\begin{array}{lclc}
  \psi_{x+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_x =
    \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix},  &
  \psi_{x-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_x =
    \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\end{pmatrix}, \\
  \psi_{y+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_y =
    \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix},  & 
  \psi_{y-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_y =
    \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}, \\
  \psi_{z+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_z =                          &
    \begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}, &
  \psi_{z-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_z =                          &
    \begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}.
\end{array}</math>

(Бидејќи секој сопствен вектор помножен со константа сè уште е сопствен  вектор, постои двосмисленост за целокупниот знак. Во овој напис, конвенцијата е избрана да го направи првиот елемент имагинарен и негативен ако постои знак двосмисленост. Софтвер како sympy, додека многу учебници по физика, како што се Сакураи и Грифитс, претпочитаат да го направат вистински и позитивен.)

Со [[постулатите на квантната механика]], експериментот дизајниран да го мери спинот на електроните на x-, y- или z-оската, може само да даде своја вредност на соодветниот спин оператор (Sx, Sy или Sz) на таа оска, т.е. / 2 или -х / 2. [[Квантна состојба|Квантната состојба]] на честичка (во однос на спин), може да биде претставена со двокомпонентен [[спинор]]:

<math>\psi = \begin{pmatrix} a + bi \\ c + di \end{pmatrix}.</math>

Кога вртењето на оваа честичка се мери во однос на дадената оска (во овој пример, x-оската), веројатноста дека нејзиниот спин ќе се мери како ħ / 2 е само <math display="inline"> \left\vert \langle \psi_{x+} \vert \psi \rangle \right\vert ^2</math>.

Соодветно, веројатноста дека нејзиниот спин ќе се мери како-ħ / 2 е само <math display="inline"> \left\vert \left\langle\left. \psi_{x-} \right\vert \psi \right\rangle \right\vert ^2</math>. По мерењето, спин-состојбата на честичката ќе се [[Распаден производ|распадне]] во соодветната сопствена состојба. Како резултат на тоа, ако спинувањето на честичката по дадената оска е измерено да има одредено сопствено значење, сите мерења ќе дадат иста сопствена вредност (од <math display="inline"> \left\vert \left\langle\left. \psi_{x+} \right\vert \psi_{x+} \right\rangle \right\vert ^2 = 1 </math>, итн.) под услов да не се вршат мерења на вртење долж други оски.

=== Мерење на спин по произволна оска ===
Операторот за мерење на вртење по произволна насока на оската лесно се добива од матриците на спиновите на Паули. Нека u = (ux, uy, uz) е произволен единечен вектор. Тогаш операторот за вртење во оваа насока е едноставно

<math> S_u = \frac{\hbar}{2}(u_x\sigma_x + u_y\sigma_y + u_z\sigma_z)</math>

Операторот Су има сопствени вредности од ± ħ / 2, исто како и вообичаените спин матрици. Овој метод за наоѓање на операторот за спин во произволна насока се генерализира на повисоки спин-состојби, еден го зема точниот производ од правецот со вектор на трите оператори за трите насоки x, y, z-оска.

Нормализиран спинор за спин-1/2 во правецот (ux, uy, uz) (кој работи за сите спин-состојби освен исклучување каде што ќе даде 0/0), е:

<math> \frac{1}{\sqrt{2+2u_z}}\begin{pmatrix} 1+u_z \\ u_x+iu_y \end{pmatrix}.</math>

Горенаведениот спинор се добива на вообичаен начин со дијагонализација на σu матрицата и наоѓање на сопствени стапки кои одговараат на сопствените вредности. Во квантната механика, векторите се нарекуваат „нормализирани“ кога се множат со нормализирање фактор, што резултира во векторот има должина на единство.

=== Компатибилност на мерењата за спин ===
Бидејќи матриците на Паули не се [[Комутативност|менуваат]], мерењата на вртење по различни оски се некомпатибилни. Ова значи дека ако, на пример, го знаеме спинот по x-оската, а потоа го мериме вртењето по должината на y-оската, ние го поништивме нашето претходно знаење за вртењето на x-оската. Ова може да се види од сопственоста на сопствените вектори (т.е. сопствени состојби) на Паулиевите матрици:

<math> \left\vert \langle \psi_{x\pm} \mid \psi_{y\pm} \rangle \right\vert ^ 2 = \left\vert \langle \psi_{x\pm} \mid \psi_{z\pm} \rangle \right\vert ^ 2 = \left\vert \langle \psi_{y\pm} \mid \psi_{z\pm} \rangle \right\vert ^ 2 = \tfrac{1}{2}. </math>Значи, кога физичарите го мерат спинот на честичката долж x-оската, како што, на пример, ħ / 2, спин-состојбата на честичката паѓа во сопствената состојба <math display="inline"> \mid \psi_{x+} \rangle</math>.Кога тогаш потоа го мериме вртењето на честичката долж y-оската, спин-состојба сега ќе се распадне или <math display="inline"> \mid \psi_{y+} \rangle</math> или <math display="inline"> \mid \psi_{y-} \rangle</math>, секој со веројатност 1/2. Да речеме, во нашиот пример, дека ние мерка -х / 2. Кога ќе се вратиме повторно за да го измерите спинот на честичката по x-оската повторно, веројатноста дека ќе се мери ħ / 2 или -ħ / 2 се секој 1/2 (т.е. тие се <math display="inline">  \left\vert \langle \psi_{x+} \mid \psi_{y-} \rangle \right\vert ^ 2</math> и <math display="inline"> \left\vert \langle \psi_{x-} \mid \psi_{y-} \rangle \right\vert ^ 2 </math>соодветно). Ова значи дека првичното мерење на спинот долж x-оската повеќе не е валидно, бидејќи спинот по x-оската сега ќе се мери за да има или сопствена вредност со еднаква веројатност.

=== Повисоки спинови ===
Операторот спин-1/2 {{math|'''S''' {{=}} {{sfrac|''ħ''|2}}'''σ'''}} претставува [[Фундаментална презентација|фундаментална репрезентација]] на [[Претставителна теорија за SU(2)|SU (2)]]. Со тоа што [[Производи на Кронекер|производите на Кронекер]] од оваа претстава ги земаат со себе постојано, може да се конструираат сите повисоки непривлечни претстави. Односно, резултирачките [[спин-оператори]] за повисоки спин-системи во три просторни димензии, за произволно големи s, може да се пресметаат со користење на овој оператор за спин оператори и оператори на скали.

Резултирачките спин матрици и сопствени вредности во z-основа

    1. За 1-<small>от</small> спин тие се

<math>\begin{align}
                         S_x &= \frac{\hbar}{\sqrt{2}}
                           \begin{pmatrix}
                             0 & 1 & 0 \\
                             1 & 0 & 1 \\
                             0 & 1 & 0
                           \end{pmatrix}, & 
  \left|1, +1\right\rangle_x &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{1}\\{\sqrt{2}}\\{1}\end{pmatrix},  &
  \left|1,  0\right\rangle_x &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-1}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}, &
  \left|1, -1\right\rangle_x &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{1}\\{-\sqrt{2}}\\{1}\end{pmatrix}  \\
                         S_y &= \frac{\hbar}{\sqrt{2}}
                           \begin{pmatrix}
                             0 & -i  &  0 \\
                             i &  0  & -i \\
                             0 &  i  &  0
                           \end{pmatrix}, & 
  \left|1, +1\right\rangle_y &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ -i\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}, &
  \left|1,  0\right\rangle_y &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},    &
  \left|1, -1\right\rangle_y &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\  i\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}  \\
                         S_z &= \hbar
                           \begin{pmatrix}
                             1 & 0 &  0 \\
                             0 & 0 &  0 \\
                             0 & 0 & -1
                           \end{pmatrix}, & 
  \left|1, +1\right\rangle_z &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, &
  \left|1,  0\right\rangle_z &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, &
  \left|1, -1\right\rangle_z &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}  \\
\end{align}</math>

2. За 3/2 спин тие се

<math>
\begin{array}{lclc}
  S_x = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      0        &\sqrt{3} &0        &0\\
      \sqrt{3} &0        &2        &0\\
      0        &2        &0        &\sqrt{3}\\
      0        &0        &\sqrt{3} &0
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{1}\\{\sqrt{3}}\\{\sqrt{3}}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{3}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-\sqrt{3}}\\{-1}\\{1}\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{\sqrt{3}}\\{-1}\\{-1}\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{3}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-1}\\{\sqrt{3}}\\{-\sqrt{3}}\\{1}\end{pmatrix} \\
  S_y = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      0         &-i\sqrt{3} &0         &0\\
      i\sqrt{3} &0          &-2i       &0\\
      0         &2i         &0         &-i\sqrt{3}\\
      0         &0          &i\sqrt{3} &0
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{i}\\{-\sqrt{3}}\\{-i\sqrt{3}}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-i\sqrt{3}}\\{1}\\{-i}\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{i\sqrt{3}}\\{1}\\{i}\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-i}\\{-\sqrt{3}}\\{i\sqrt{3}}\\{1}\end{pmatrix} \\
  S_z = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      3 &0 &0  &0\\
      0 &1 &0  &0\\
      0 &0 &-1 &0\\
      0 &0 &0  &-3
     \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>

3. За 2-<small>от</small> спин тие се

<math>
\begin{array}{lclc}
  S_x = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      0        &2        &0        &0        &0\\
      2        &0        &\sqrt{6} &0        &0\\
      0        &\sqrt{6} &0        &\sqrt{6} &0\\
      0        &0        &\sqrt{6} &0        &2\\
      0        &0        &0        &2        &0
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +2\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{\sqrt{6}}\\{2}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, +1\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{-1}\\{0}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, 0\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{\sqrt{3}}\\{0}\\{-\sqrt{2}}\\{0}\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, -1\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\\{0}\\{-1}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, -2\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{-2}\\{\sqrt{6}}\\{-2}\\{1}\end{pmatrix} \\
  S_y = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      0        &-2i      &0        &0        &0\\
      2i       &0        &-\sqrt{6}i&0        &0\\
      0        &\sqrt{6}i&0        &-\sqrt{6}i&0\\
      0        &0        &\sqrt{6}i&0        &-2i\\
      0        &0        &0        &2i       &0
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +2\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{2i}\\{-\sqrt{6}}\\{-2i}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, +1\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{-i}\\{0}\\{-i}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, 0\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{\sqrt{3}}\\{0}\\{\sqrt{2}}\\{0}\\{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, -1\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{i}\\{0}\\{i}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, -2\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{-2i}\\{-\sqrt{6}}\\{2i}\\{1}\end{pmatrix} \\
  S_z = \hbar
    \begin{pmatrix}
      2        &0        &0        &0        &0\\
      0        &1        &0        &0        &0\\
      0        &0        &0        &0        &0\\
      0        &0        &0        &-1       &0\\
      0        &0        &0        &0        &-2
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +2\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, +1\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, 0\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, -1\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|2, -2\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>

4. За 5/2 спин тие се

<math>
\begin{array}{lclc}
  S_x = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      0        &\sqrt{5}  &0         &0         &0         &0 \\
      \sqrt{5} &0         &2\sqrt{2} &0         &0         &0 \\
      0        &2\sqrt{2} &0         &3         &0         &0 \\
      0        &0         &3         &0         &2\sqrt{2} &0 \\
      0        &0         &0         &2\sqrt{2} &0         &\sqrt{5} \\
      0        &0         &0         &0         &\sqrt{5}  &0
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+5}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{1}\\{\sqrt{5}}\\{\sqrt{10}}\\{\sqrt{10}}\\{\sqrt{5}}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-\sqrt{5}}\\{-3}\\{-\sqrt{2}}\\{\sqrt{2}}\\{3}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{\sqrt{5}}\\{1}\\{-\sqrt{2}}\\{-\sqrt{2}}\\{1}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{-\sqrt{5}}\\{1}\\{\sqrt{2}}\\{-\sqrt{2}}\\{-1}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{\sqrt{5}}\\{-3}\\{\sqrt{2}}\\{\sqrt{2}}\\{-3}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-5}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-1}\\{\sqrt{5}}\\{-\sqrt{10}}\\{\sqrt{10}}\\{-\sqrt{5}}\\{1}\end{pmatrix} \\
  S_y = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      0         &-i\sqrt{5} &0           &0          &0           &0 \\
      i\sqrt{5} &0          &-2i\sqrt{2} &0          &0           &0 \\
      0         &2i\sqrt{2} &0           &-3i        &0           &0 \\
      0         &0          &3i          &0          &-2i\sqrt{2} &0 \\
      0         &0          &0           &2i\sqrt{2} &0           &-i\sqrt{5} \\
      0         &0          &0           &0          &i\sqrt{5}   &0
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+5}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-i}\\{\sqrt{5}}\\{i\sqrt{10}}\\{-\sqrt{10}}\\{-i\sqrt{5}}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{i\sqrt{5}}\\{-3}\\{-i\sqrt{2}}\\{-\sqrt{2}}\\{-3i}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{-i\sqrt{5}}\\{1}\\{-i\sqrt{2}}\\{\sqrt{2}}\\{-i}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{i\sqrt{5}}\\{1}\\{i\sqrt{2}}\\{\sqrt{2}}\\{i}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{-i\sqrt{5}}\\{-3}\\{i\sqrt{2}}\\{-\sqrt{2}}\\{3i}\\{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-5}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix}{i}\\{\sqrt{5}}\\{-i\sqrt{10}}\\{-\sqrt{10}}\\{i\sqrt{5}}\\{1}\end{pmatrix} \\
  S_z = \frac\hbar2
    \begin{pmatrix}
      5 &0 &0 &0  &0  &0 \\
      0 &3 &0 &0  &0  &0 \\
      0 &0 &1 &0  &0  &0 \\
      0 &0 &0 &-1 &0  &0 \\
      0 &0 &0 &0  &-3 &0 \\
      0 &0 &0 &0  &0  &-5
    \end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+5}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! & 
|\frac{5}{2}, \frac{-5}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>

5. Генерализацијата на овие матрици за произволно вртење ''{{mvar|s}}'' е

<math>\begin{align} 
  \left(S_x\right)_{ab} & = \frac{\hbar}{2}  \left(\delta_{a,b+1} + \delta_{a+1,b}\right) \sqrt{(s + 1)(a + b - 1) - ab} \, \\
  \left(S_y\right)_{ab} & = \frac{i\hbar}{2} \left(\delta_{a,b+1} - \delta_{a+1,b}\right) \sqrt{(s + 1)(a + b - 1) - ab} \\
  \left(S_z\right)_{ab} & = \hbar (s + 1 - a) \delta_{a,b} = \hbar (s + 1 - b) \delta_{a,b}
\end{align}</math>

каде индекси a, b се цели броеви како што е<br /><math>1 \le a \le 2s + 1</math> и <math>1 \le b \le 2s + 1</math>

Исто така корисни во [[Квантна механика|квантната механика]] на повеќечестичките системи, општата [[Паулиева група]] ''{{mvar|G<sub>n</sub>}}'' е дефинирана да се состои од сите n-пати [[тензор]]ни производи на матриците на Паули.

Аналогната формула на формулата на Ојлер во однос на матриците на Паули:

<math>
  e^{i \theta\left(\hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\sigma}\right)} =
    I\cos(\theta) + i \left(\hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\sigma}\right) \sin(\theta)
</math>

за повисоките вртења е послушлив, но помалку едноставен.<ref>{{Наведено списание | doi = 10.3842/SIGMA.2014.084|last = Curtright|last2 = Fairlie|last3 = Zachos |first = T L |first2 = D B |first3 = C K |year = 2014|title = A compact formula for rotations as spin matrix polynomials| journal =SIGMA| volume=10| page=084|arxiv = 1402.3541 |bibcode = 2014SIGMA..10..084C }}</ref>

== Паритет ==
Во табелите на спиновиот квантен број s за јадра или честички, спинот често се следи со „+“ или „-“. Ова се однесува на [[Паритет(Физика)|паритетот]] со „+“ за дури паритет (функцијата на брановите непроменета со просторна инверзија) и „-“ за непарен паритет (функција на бран што е негирана од просторна инверзија). На пример, видете ги [[Изотопи на бизмут|изотопите на бизмутот]] во кои Списокот на изотопи ја вклучува колоната Јадрена спин и паритет. За Bi-209, единствениот стабилен изотоп, внесот 9 / 2- значи дека јадрениот спин е 9/2, а паритетот е непарен.

== Апликации ==
Спин има важни теоретски импликации и практични примени. Добро воспоставени директни апликации на спин вклучуваат:

* [[Јадрена магнетна резонанца|Јадрена магнетна резонанца (НМР)]] спектроскопија во хемијата;
* [[Електронска спин резонанца|Електронска спин резонантна]] спектроскопија во хемијата и физиката;
* [[Магнетна резонанца]] (МРИ) во медицината, тип на применета NMR, која се потпира на густината на протонскиот спин;
* [[Џиновски магнеторезистички ефект|Џиновски магнеторезистички]] (ГМР) технологија на глава во модерните тврди дискови.

Електронскиот спин игра важна улога во [[Магнетизам|магнетизмот]], со апликации, на пример, во компјутерски спомени. Манипулацијата со јадрен спин од радиофреквенциски бранови ([[јадрена магнетна резонанца]]) е важна во хемиската спектроскопија и медицинските слики.

[[Спин-орбитна спојка|Спин-орбитната спојка]] води до [[Фина структура|фината структура]] на атомски спектри, која се користи во атомски часовници и во модерната дефиниција на [[секунда]]та. Прецизни мерења на g-факторот на електронот играат важна улога во развојот и верификацијата на [[Квантна електродинамика|квантната електродинамика]]. Фотон спин е поврзан со [[Поларизација (бранови)|поларизацијата]] на светлината.

Новата апликација на спин е како бинарен носач на информации во спин транзистори. Оригиналниот концепт, предложен во 1990 година, е познат како спин-транзистор на Datta-Das.<ref>{{Наведено списание| doi =  10.1063/1.102730| author =  Datta. S and B. Das |title = Electronic analog of the electrooptic modulator|journal = Applied Physics Letters| volume = 56| pages = 665–667|year = 1990| issue =  7|bibcode = 1990ApPhL..56..665D }}</ref>  Електроника врз основа на спин транзистори се нарекуваат спинтроника. Манипулацијата на спин во разредените [[магнетни полупроводнички материјали]], како што е метален легиран [[Цинк оксид|ZnO]] или [[Титаниум Диоксид|TiO2]], дава дополнителен степен на слобода и има потенцијал да ја олесни изработката на поефикасна електроника.<ref>{{Наведено списание| last1=Assadi| first1=M.H.N| last2=Hanaor| first2=D.A.H| title= Theoretical study on copper's energetics and magnetism in TiO<sub>2</sub> polymorphs| journal= Journal of Applied Physics | year=2013| volume=113| issue=23| pages= 233913|url=https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1304/1304.1854.pdf| doi=10.1063/1.4811539|arxiv = 1304.1854 |bibcode = 2013JAP...113w3913A }}</ref>

Постојат многу индиректни апликации и манифестации на спин и придружниот [[принцип за исклучување на Паули]], почнувајќи од [[Периоден систем на елементите|периодниот систем]] на хемијата.

== Историја ==
[[Податотека:Wolfgang Pauli young.jpg|мини|Предавање на [[Волфганг Паули]]]]
Спин за првпат бил откриен во контекст на [[Спектар на емисии|спектарот на емисии]] на [[Алкален метал|алкални метали]]. Во 1924 година, [[Волфганг Паули]] го претставил она што тој го нарекол „двозначен квантен степен на слобода“ поврзан со електронот во најоддалечената [[Електронска Школка|школка]]. Ова му овозможило да го формулира [[принципот за исклучување на Паули]], во кој се вели дека ниту еден електрон не може да ја има истата [[квантна состојба]] во истиот квантен систем.

Физичкото толкување на „степенот на слободата“ на Паули првично било непознато. [[Ралф Крониг]], еден од помошниците на [[Алфред Ланде|Ланде]], во почетокот на 1925 година сугерирал дека е произведен со самовртење на електронот. Кога Паули слушнал за идејата, тој остро ја критикувал, истакнувајќи дека хипотетичката површина на електронот ќе мора да се движи побрзо од [[Брзина на светлината|брзината на светлината]] со цел да се ротира доволно брзо за да го произведе потребниот аголен импулс. Ова би ја нарушило [[Теорија за релативноста|теоријата на релативноста]]. Во голема мера поради критиките на Паули, Крониг одлучил да не ја објави својата идеја.

Во есента 1925 година, истата мисла дошла и до двајца холандски физичари, [[Џорџ Уленбек]] и [[Семјуел Гаудсмит]] од [[Универзитет Лајден|Универзитетот Лајден]]. Според советот на [[Пол Еренфест]], тие ги објавиле своите резултати. Се сретна со поволен одговор, особено откако [[Левелин Томас]] успеал да го реши факторот-две несовпаѓање помеѓу експерименталните резултати и пресметките на Уленбек и Гаудсмит (и непубликуваните резултати на Крониг). Ова несовпаѓање се должи на ориентацијата на тангентната рамка на електронот, покрај неговата позиција.

Математички кажано, потребно е опис на влакно. Ефектот на [[Тангентен сноп|тангентниот сноп]] е адитивен и релативистички; што значи, исчезнува ако c оди до бесконечност. Тоа е една половина од вредноста добиена без оглед на тангента простор ориентација, но со спротивен знак. Така комбинираниот ефект се разликува од вториот со фактор два ([[прецесија на Томас]]).

И покрај неговите првични приговори, Паули ја формализирал теоријата на спин во 1927 година, користејќи ја модерната теорија на [[Квантна механика|квантната механика]] измислена од [[Ервин Шредингер|Шредингер]] и [[Вернер Хајзенберг|Хајзенберг]]. Тој бил пионер во користењето на [[матриците на Паули]] како претстава на спин операторите, и вовел двокомпонентна спинорна бран-функција.

Паулиевата теорија на спин била нерелативна. Меѓутоа, во 1928 година, [[Пол Дирак]] ја објавил Дираковата равенка, во која бил опишан релативистичкиот [[електрон]]. Во [[Диракова равенка|Дираковата равенка]], четирикомпонентен спинор (познат како „[[Дираков спинор]]“) се користел за бран-функцијата на електроните. Во 1940 година, Паули ја докажал теоријата за статистика на спин, во која се наведува дека [[фермион]]ите имаат половина цел број и [[бозон]]ите имаат целоброен спин.

Во ретроспектива, првиот директен експериментален доказ за електронскиот спин бил [[Експеримент на Штерн-Герлах|експериментот на Штерн-Герлах]] од 1922 година. Сепак, точното објаснување на овој експеримент било дадено во 1927 година.<ref>{{Наведено списание
 |author=B. Friedrich, D. Herschbach
 |title=Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics
 |journal=Physics Today
 |volume=56 |issue=12 |page=53
 |year=2003
 |doi=10.1063/1.1650229
|bibcode = 2003PhT....56l..53F }}</ref>

== Поврзано ==
{{div col|colwidth=18em}}
* [[Ајнштајн–де Хасов ефект]]
* [[Спин-орбитален]]
* [[Хиралност (физика)]]
* [[Динамичка јадрена поларизација]]
* [[Хеличност (честична физика)]]
* [[Холштајн–Примакова трансформација]]
* [[Крамерово правило]]
* [[Паулиева равенка]]
* [[Паули–Лубанскиев псевдовектор]]
* [[Рарита–Швингерова равенка]]
* [[Претставителна теорија за SU(2)]]
* [[спин-½|спин-{{sfrac|1|2}}]]
* [[Спин-промена]]
* [[Спински изомери на водородот]]
* [[Спински тензор]]
* [[Спински бран]]
* [[Спинско инженерство]]
* [[Ираст]]
* [[Треперечко движење]]
{{div col end}}

== Наводи ==
{{наводи}}

==Дополнителна литература==

{{refbegin}}
* {{Наведена книга|last1=Cohen-Tannoudji|first1= Claude|last2= Diu|first2= Bernard|last3= Laloë|first3=Franck|year=2006|title=Quantum Mechanics|publisher= John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-56952-7|edition=2 volume set}}
* {{Наведена книга|first1=E. U.|last1= Condon |first2= G. H. |last2=Shortley |year=1935|title=The Theory of Atomic Spectra|publisher= Cambridge University Press| isbn= 0-521-09209-4|department=Especially Chapter 3}}
* {{Наведена книга|first1=J. A.|last1= Hipple |first2=H.|last2=Sommer|last3= Thomas|first3=H.A.| year=1949|title=A precise method of determining the faraday by magnetic resonance| doi= 10.1103/PhysRev.76.1877.2|bibcode=1949PhRv...76.1877H}}[https://www.academia.edu/6483539/John_A._Hipple_1911-1985_technology_as_knowledge%20 https://www.academia.edu/6483539/John_A._Hipple_1911-1985_technology_as_knowledge ]
* {{Наведена книга|last=Edmonds|first= A. R. |year=1957|title=Angular Momentum in Quantum Mechanics|publisher= Princeton University Press|isbn= 0-691-07912-9}}
* {{Наведена книга|last=Jackson|first= John David |year=1998|title=Classical Electrodynamics|edition=3 |publisher=John Wiley & Sons| isbn =978-0-471-30932-1}}
* {{Наведена книга | last1=Serway|first1= Raymond A.|last2= Jewett|first2= John W. | title=Physics for Scientists and Engineers|edition=6 | publisher=Brooks/Cole | year=2004 | isbn=0-534-40842-7}}
* {{Наведена книга|last=Thompson|first= William J. |year=1994|title=Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems|publisher=Wiley| isbn =0-471-55264-X}}
* {{Наведена книга | last=Tipler|first= Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics|edition=5  | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | isbn=0-7167-0809-4}}
{{refend}}
*Sin-Itiro Tomonaga, The Story of Spin, 1997

== Надворешни врски ==
*[http://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/spin/goudsmit.html Goudsmit on the discovery of electron spin.]
*''Nature (journal)'': "[http://www.nature.com/milestones/milespin/index.html  Milestones in 'spin' since 1896.]"
* [http://nanohub.org/resources/6025 ECE 495N Lecture 36: Spin] Online lecture by S. Datta

{{Physics operator}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Физички величини]]
[[Категорија:Квантна теорија за полето]]
[[Категорија:Вртежна симетрија]]
[[Категорија:Зборови што ги нема во ТРМЈ]]