Преглед на кодот на Список на тригонометриски еднаквости

[[Податотека:Unit_circle_angles_color.svg|десно|мини|350x350пкс| [[Синус|Синуси]] и [[Косинус|косинуси]] во [[Единична кружница|единичната кружница]]]]
'''Тригонометриски еднаквости''' — [[Еднаквост|еднаквости]] што покажуваат врски помеѓу поединечни [[тригонометриски функции]]. Овие изрази се вистинити за секоја избрана вредност на одредена [[променлива]] (агол или некој друг број). Бидејќи тригонометриските функции се поврзани една со друга користејќи ја вредноста на еден, можно е да се изрази некоја друга [[функција]]. Равенките се користат за поедноставување на изрази кои вклучуваат тригонометриски функции.

== Имиња ==

=== Агли ===
{{Главна|Агол}}
Имињата на аглите се даваат според [[Буква|буквите]] од [[Грчка азбука|грчката азбука]] како што се [[Алфа (грчка буква)|алфа]] (''&#x3B1;'' , бета (''&#x3B2;''), гама (''&#x3B3;'' , делта (''&#x3B4;'') и тета (''&#x3B8;''). Мерните единици за мерење на аглите се [[Степен (агол)|степени]], [[Радијан|радијани]] и [[Градус (агол)|градуси]]:

Следната табела прикажува други комплементарни инверзни функции и кратенки:

: 1 полн круг = 360 степени = 2 <math>\pi</math> радијани = 400 градуси.

Следната табела го прикажува претворањето на мерните единици за одредени големини на агли:
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF; text-align: center;"
![[Степен (агол)|Степени]]
|30°
|60°
|120°
|150°
|210°
|240°
|300°
|330°
|-
![[Радијан|Радијани]]
|<math>\frac\pi6\!</math>
|<math>\frac\pi3\!</math>
|<math>\frac{2\pi}3\!</math>
|<math>\frac{5\pi}6\!</math>
|<math>\frac{7\pi}6\!</math>
|<math>\frac{4\pi}3\!</math>
|<math>\frac{5\pi}3\!</math>
|<math>\frac{11\pi}6\!</math>
|-
![[Градус (агол)|Градуси]]
|33⅓
|66⅔
|133⅓
|166⅔
|233⅓
|266⅔
|333⅓
|366⅔
|-
| colspan="9" |
|-
![[Степен (агол)|Степени]]
|45°
| bgcolor="#F8F8FF" |90°
|135°
| bgcolor="#F8F8FF" |180°
|225°
|270°
|315°
| bgcolor="#F8F8FF" |360°
|-
![[Радијан|Радијани]]
|<math>\frac\pi4\!</math>
| bgcolor="#F8F8FF" |<math>\frac\pi2\!</math>
|<math>\frac{3\pi}4\!</math>
| bgcolor="#F8F8FF" |<math>\pi\!</math>
|<math>\frac{5\pi}4\!</math>
|<math>\frac{3\pi}2\!</math>
|<math>\frac{7\pi}4\!</math>
| bgcolor="#F8F8FF" |<math>2\pi\!</math>
|-
![[Градус (агол)|Градуси]]
|50
| bgcolor="#F8F8FF" |100
|150
| bgcolor="#F8F8FF" |200
|250
|300
|350
| bgcolor="#F8F8FF" |400
|}
Аглите во тригонометријата најчесто се изразуваат во [[Радијан|радијани]] без единица мерка, поретко се користат степените означени [[°]], а [[Градус (агол)|градусите]] се исклучително ретки.

=== Тригонометриски функции ===
{{Главна|Тригонометриски функции}}
Примарните тригонометриски функции се [[синус]] и [[косинус]] на агол. Синус се означува со sin''&#x3B8;'', а косинус со cos''&#x3B8;'' каде ''&#x3B8;'' е името на аголот.

[[Тангенс]] (tg, tan) на аголот е соодносот меѓу синус и косинус:

: <math>\operatorname{tg}\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.</math>

Од друга страна, постојат и реципрочни функции при што косинус е реципрочен на [[секанс]] (sec), синус на [[косеканс]] (csc, cosec), а тангенс на [[котангенс]] (ctg, cot):

: <math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\operatorname{ctg}\theta=\frac{1}{\operatorname{tg}\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.</math>

=== Инверзни функции ===
{{Главна|Инверзни тригонометриски функции}}
Инверзни тригонометриски функции или аркус функции се [[инверзни функции]] на тригонометриските функции. Според тоа, имаме, аркус синус (arcsin, asin) е инверзна функција на синусната функција, при што важи 

: <math>\sin(\arcsin x) = x\!</math>

и

: <math>\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{za }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.</math>
:

Во следната табела прикажани се други комплементарни инверзни функции и кратенки:
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF; text-align: center;"
!Тригонометриска функција
| Синус
| Косинус
| Тангенс
| Секанс
| Косеканс
| Котангенс
|-
! Кратенка
| <math>\operatorname{sin}\theta</math>
| <math>\operatorname{cos}\theta</math>
| <math>\operatorname{tg}\theta</math>
| <math>\operatorname{sec}\theta</math>
| <math>\operatorname{csc}\theta</math>
| <math>\operatorname{ctg}\theta</math>
|-
! Инверзна тригонометриска функција
| Аркус синус
| Аркус косинус
| Аркус тангенс
| Аркус секанс
| Аркус косеканс
| Аркус котангенс
|-
! Кратенка
| <math>\operatorname{arcsin}\theta</math>
| <math>\operatorname{arccos}\theta</math>
| <math>\operatorname{arctg}\theta</math>
| <math>\operatorname{arcsec}\theta</math>
| <math>\operatorname{arccsc}\theta</math>
| <math>\operatorname{arcctg}\theta</math>
|}

== Питагорова тригонометриска еднаквост ==
'''Питагоровата тригонометриска еднаквост''' или '''основниот идентитет на тригонометријата''' е една од основните тригонометриски еднаквости и ја покажува врската помеѓу синус и косинус:

: <math>\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!</math>

каде што cos<sup>2</sup>''θ'' значи (cos(''θ'')) <sup>2</sup> и sin<sup>2</sup>''θ'' значи (sin(''θ''))<sup>2</sup>.

Изразот во суштина е изведеница од [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] и произлегува од еднаквоста <math>x^2 + y^2 = 1 \!\ </math> што важи за [[Единична кружница|единичната кружница]]. Оваа равенка може да се реши за синус и косинус:

: <math>\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{и} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \, </math>

=== Поврзани еднаквости ===
Со делење на Питагоровата еднаквост со cos<sup>2</sup>''θ'' или со sin<sup>2</sup>''θ,'' ги добиваме следните две еднаквости:

: <math>1 + \operatorname{tg}^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{i}\quad 1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \csc^2\theta.\!</math>

Користејќи ги споменатите еднаквости и соодносите што се користеле при дефинирањето на тригонометриските функции, може да се изведат тригонометриски еднаквости каде една тригонометриска функција е претставена со друга:
<center>
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ Секоја тригонометриска функција е прикажана со помош на друга тригонометриска функција<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref>
! во однос на
! scope="col" | <math> \sin \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \cos \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \operatorname{tg} \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \csc \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \sec \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \operatorname{ctg} \theta\!</math>
|-
! <math>   \sin \theta =\!</math>
| <math>   \sin \theta\ </math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\operatorname{tg} \theta}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta}}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\csc \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta}}\! </math>
|-
! <math>   \cos \theta =\!</math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\! </math>
| <math>   \cos \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\sec \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\operatorname{ctg} \theta}{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta}}\! </math>
|-
! <math>   \operatorname{tg} \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\! </math>
| <math>   \operatorname{tg} \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\operatorname{ctg} \theta}\! </math>
|-
! <math>   \csc \theta =\!</math>
| <math>   \frac{1}{\sin \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta}}{\operatorname{tg} \theta}\! </math>
| <math>   \csc \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta}\! </math>
|-
! <math>   \sec \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! </math><center>
| <math>   \frac{1}{\cos \theta}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>   \sec \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta}}{\operatorname{ctg} \theta}\! </math>
|-
! <math>   \operatorname{ctg} \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\operatorname{tg} \theta}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>   \operatorname{ctg} \theta\! </math>
|}</center>

== Други функции користени во минатото ==
[[Податотека:Circle-trig6.svg|десно|мини|350x350пкс| Сите тригонометриски функции на аголот ''&#x3B8;'' може геометриски да се конструираат во однос на единичната кружница со средиште во ''О''. Некои повеќе не се користат.]]
Поедини тригонометриски функции повеќе не се користат. [[Versinus|Версинус]], коверсинус, хаверсинус и ексеканс се користеле во навигацијата, а хаверсинусната формула била користена за пресметување на растојанието помеѓу две точки на сфера.
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
!Име
!Скратеница
!Вредност
|-
|Версинус
|<math>\operatorname{versin}(\theta)</math><br /><math>\operatorname{vers}(\theta)</math><br /><math>\operatorname{ver}(\theta)</math>
|<math>1 - \cos (\theta)</math>
|-
|Веркосинус
|<math>\operatorname{vercosin}(\theta)</math>
|<math>1 + \cos (\theta)</math>
|-
|Коверсинус
|<math>\operatorname{coversin}(\theta)</math><br /><math>\operatorname{cvs}(\theta)</math>
|<math>1 - \sin(\theta)</math>
|-
|Коверкосинус
|<math>\operatorname{covercosin}(\theta)</math>
|<math>1 + \sin(\theta)</math>
|-
|Хаверсинус
|<math>\operatorname{haversin}(\theta)</math>
|<math>\frac{1 - \cos (\theta)}{2}</math>
|-
|Хаверкосинус
|<math>\operatorname{havercosin}(\theta)</math>
|<math>\frac{1 + \cos (\theta)}{2}</math>
|-
|Хаковерсинус
|<math>\operatorname{hacoversin}(\theta)</math>
|<math>\frac{1 - \sin (\theta)}{2}</math>
|-
|Хаковеркосинус
|<math>\operatorname{hacovercosin}(\theta)</math>
|<math>\frac{1 + \sin (\theta)}{2}</math>
|-
|Ексеканс
|<math>\operatorname{exsec}(\theta)</math>
|<math>\sec(\theta) - 1</math>
|-
|Екскосеканс
|<math>\operatorname{excsc}(\theta)</math>
|<math>\csc(\theta) - 1</math>
|-
|Тетива
|<math>\operatorname{crd}(\theta)</math>
|<math>2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>
|}

== Симетрија, поместување и периодичност ==
Со проучување на единичната кружница, може да се видат одредени својства на тригонометриската кружница, како што се симетријата, различните поместувања и периодичноста на функциите. Формулите во следните две табели често се нарекуваат формули за редукција.

=== Симетрија ===
Кога некоја тригонометриска функција намалиме за одреден агол (на пр. π, π/2), резултатот често е некоја друга тригонометриска функција.
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Намалување за <math>\theta=0 </math> 
! Намалување за <math>\theta= \pi/2</math>
! Намалување за <math>\theta= \pi</math>
|-
| <math>
\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\operatorname{tg}(-\theta) &= -\operatorname{tg} \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\operatorname{ctg}(-\theta) &= -\operatorname{ctg} \theta
\end{align}
</math>
| <math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\operatorname{tg}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\operatorname{ctg} \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\operatorname{ctg}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\operatorname{tg} \theta
\end{align}
</math>
| <math>
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\operatorname{tg}(\pi - \theta) &= -\operatorname{tg} \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\operatorname{ctg}(\pi - \theta) &= -\operatorname{ctg} \theta \\
\end{align}
</math>
|}

=== Поместувања и периодичност ===
Поместувањето на функцијата за одреден агол исто така резултира со некоја друга тригонометриска функција која поедноставно го прикажува резултатот. Ова можеме да го видиме во примерите на поместувања за π/2, π и 2π радијани. Имајќи предвид дека тригонометриските функции се периодични, во зависност од функцијата за π (функциите тангенс и котангенс) или 2π (функциите синус и косинус), тогаш новата функција ја има истата вредност.
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Поместување за π/2
! Поместување за π<br />Периода за tan и cotan
! Поместување за 2π<br />Периодa за sin, cos, csc и sec
|-
| <math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\operatorname{tg}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\operatorname{ctg} \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\operatorname{ctg}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\operatorname{tg} \theta
\end{align}
</math>
| <math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\operatorname{tg}(\theta + \pi) &= +\operatorname{tg} \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\operatorname{ctg}(\theta + \pi) &= +\operatorname{ctg} \theta \\
\end{align}
</math>
| <math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\operatorname{tg}(\theta + 2\pi) &= +\operatorname{tg} \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\operatorname{ctg}(\theta + 2\pi) &= +\operatorname{ctg} \theta
\end{align}
</math>
|}

== Збир и разлика на агли ==
Овие тригонометриски еднаквости се нарекуваат формули за збир. Тие биле откриени од персискиот математичар Абу ал-Вафа' Бузџани во 10 век. [[Ојлерова формула|Ојлеровата формула]] може да помогне во докажувањето на овие еднаквости.
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
!Синус
| align="center" | <math>\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!</math> 
|-
! Косинус
| align="center" | <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math> 
|-
! Тангенс
| align="center" | <math>\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}</math> 
|-
! Аркус синус
| align="center" | <math>\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})</math> 
|-
! Аркус косинус
| align="center" | <math>\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})</math> 
|-
! Аркус тангенс
| align="center" | <math>\operatorname{arctg}\alpha \pm \operatorname{arctg}\beta = \operatorname{arctg}\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)</math> 
|}

=== Матричен облик ===
{{Главна|Множење на матрици}}
Тригонометриските формули за збир и разлика за синус и косинус може да се напишат во облик на [[Матрица (математика)|матрица]].

: <math>
\begin{align}
& {} \quad
\left(\begin{array}{rr}
 \cos\phi  & -\sin\phi \\
 \sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}
 \cos\theta  & -\sin\theta \\
 \sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
 \cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta & -\cos\phi\sin\theta - \sin\phi\cos\theta \\
 \sin\phi\cos\theta + \cos\phi\sin\theta & -\sin\phi\sin\theta + \cos\phi\cos\theta 
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
 \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\
 \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)
\end{array}\right)
\end{align}
</math>

=== Синус и косинус на збир од бесконечно многу собироци ===

: <math> \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

: <math> \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

=== Тангенс на збир на конечен број собироци ===
Нека биде <math>e_k \,</math> (за ''к'' ∈ {0, ..., ''n'' }) ''k'' -ти степен на [[Основен симетричен полином|основниот симетричен полином]] каде

: <math>x_i = \operatorname{tg} \theta_i\,</math>

за ''i'' ∈ {0, ..., ''n'' }, па следува

: <math>
\begin{align}
e_0 & = 1 \\[6pt]
e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \operatorname{tg}\theta_i \\[6pt]
e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \operatorname{tg}\theta_i \operatorname{tg}\theta_j \\[6pt]
e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \operatorname{tg}\theta_i \operatorname{tg}\theta_j \operatorname{tg}\theta_k \\
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots
\end{align}
</math>

Тогаш важи дека е

: <math>\operatorname{tg}(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},\! </math>

во зависност од бројот ''n''.

На пример:

: <math> \begin{align}
\operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2) &
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
= \frac{ \operatorname{tg}\theta_1 + \operatorname{tg}\theta_2 }{ 1 \ - \ \operatorname{tg}\theta_1 \operatorname{tg}\theta_2 }
,
\\ \\
\operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },
\\ \\
\operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\ \\ &
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },
\end{align}</math>

и така натаму. Оваа еднаквост може да се докаже со [[математичка индукција]].<ref>{{Наведено списание|last=Bronstein|first=Manual|year=1989|title=Simplification of Real Elementary Functions|journal=Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation|pages=211}}</ref>

=== Секанс и косеканс на збир од конечен број собироци ===

: <math>
\begin{align}
\sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]
\csc(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}
\end{align}
</math>

каде е <math>e_k \,</math> ''k'' -ти степен на основниот симетричен полином за ''n'' променливи ''x'' <sub>''i''</sub> = tan ''θ'' <sub>''i''</sub>, ''i'' = 1,... , ''n'', а бројот на собироци во [[Именител|именителот]] зависи од ''n''.

На пример,

: <math>
\begin{align}
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\gamma - \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma } \\[8pt]
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma}
\end{align}
</math>

== Еднаквости за повеќекратни агли ==
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF;"
!''T<sub>n</sub>'' е ''n-тиот'' [[Чебишовов полином]]
| <math>\cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,</math>&nbsp;&nbsp;
|-
!''S''<sub>''n''</sub> е ''n-ти'' [[полином на ширина]]
| <math>\sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,</math>
|-
! Формулата на Де Моавр, <math>i</math> е [[имагинарна единица]]
| <math>\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|}

=== Тригонометриски еднаквости на двојни, тројни и половинки агли ===
{{Главна|Формула за тангенс од половинки агли}}
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
! colspan="4" |Формули за двоен агол
|-
| style="vertical-align:top" |<math>\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \operatorname{tg} \theta} {1 + \operatorname{tg}^2 \theta}
\end{align}</math>


<math>\begin{align}
\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \theta} {1 + \operatorname{tg}^2 \theta}
\end{align}</math>

<math>\operatorname{tg} 2\theta = \frac{2 \operatorname{tg} \theta} {1 - \operatorname{tg}^2 \theta}\!</math>
<math>\operatorname{ctg} 2\theta = \frac{\operatorname{ctg}^2 \theta - 1}{2 \operatorname{ctg} \theta}\!</math>
|-
! colspan="4" |Формули за троен агол
|-
|<math>\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta & = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}</math>


<math>\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta & = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}</math>

<math>\operatorname{tg} 3\theta = \frac{3 \operatorname{tg}\theta - \operatorname{tg}^3\theta}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\theta}\!</math>

<math>\operatorname{ctg} 3\theta = \frac{3 \operatorname{ctg}\theta - \operatorname{ctg}^3\theta}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\theta}\!</math>
|-
! colspan="4" |Формули за половина агол
|-
|<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}</math>


<math>\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \operatorname{ctg} \theta = \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}</math>

<math>\operatorname{tg}\frac{\eta+\theta}{2} = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta}</math>

<math>\operatorname{tg}\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec\theta + \operatorname{tg}\theta</math>

<math>\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} = \frac{1 - \operatorname{tg}(\theta/2)}{1 + \operatorname{tg}(\theta/2)}</math>

<math>\operatorname{tg}\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\operatorname{tg}\theta}{1 + \sqrt{1+\operatorname{tg}^2\theta}} \mbox{za}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \operatorname{ctg} \theta = \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}</math>
|}

=== Синус, косинус и тангенс на повеќекратни агли ===
<math>\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>

<math>\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>

<math>\operatorname{tg}\,(n{+}1)\theta = \frac{\operatorname{tg} n\theta + \operatorname{tg} \theta}{1 - \operatorname{tg} n\theta\,\operatorname{tg} \theta}.</math>

<math>\operatorname{ctg}\,(n{+}1)\theta = \frac{\operatorname{ctg} n\theta\,\operatorname{ctg} \theta - 1}{\operatorname{ctg} n\theta + \operatorname{ctg} \theta}.</math>

=== Чебишовов метод ===
Методот на [[Пафнутиј Чебишов|Чебишов]] е рекурзивен [[алгоритам]] за наоѓање на формулите на ''n-ти'' повеќекратни агли, знаејќи ги (''n''&nbsp;&#x2212;&nbsp;1) и (''n''&nbsp;&#x2212;&nbsp;2) од формулата.

: <math>\cos nx = 2 \cdot \cos x \cdot \cos (n-1) x - \cos (n-2) x \,</math>
: <math>\sin nx = 2 \cdot \cos x \cdot \sin (n-1) x - \sin (n-2) x \, </math>
: <math>\operatorname{tg} nx = \frac{H + K \operatorname{tg} x}{K- H \operatorname{tg} x} \, </math>

каде ''H''/''K''&nbsp;=&nbsp;tan(''n''&nbsp;&#x2212;&nbsp;1) ''x'' .

=== Тангенс на просек ===

: <math> \operatorname{tg}\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}</math>

Ако ''α'' или ''β'' се еднакви на 0, тогаш ја добиваме формулата за тангенс на половина агол.

=== Виетов бесконечен производ ===

: <math> \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta. </math>

== Еднаквости на степенувани тригонометриски функции ==
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Синус
! Косинус
! Други
|-
| <math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\!</math>
| <math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\!</math>
| <math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!</math>
|-
| <math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!</math>
| <math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!</math>
| <math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!</math>
|-
| <math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>
| <math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>
| <math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!</math>
|-
| <math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!</math>
| <math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!</math>
| <math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!</math>
|}
За изводи на степени на синус и косинус на агол се користат Де Моавровата формула, [[Ојлерова теорема|Ојлеровата формула]] и [[Биномна теорема|биномната формула]] .
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!
! Косинус
! Синус
|-
! ако ''n'' е непарен
| <math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
| <math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}</math>
|-
!ако ''n'' е парен
| <math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
| <math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
|-
|}

== Формули за претворање на производ во збир и збирот во производ ==
{|
| style="vertical-align:top" |
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Производ во збир
|-
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|}
|
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! Збир во производ
|-
| <math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math>
|-
| <math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>
|-
| <math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)</math>
|}
|}

=== Други поврзани еднаквости ===
Ако ''x'', ''y'' и ''z'' се од кој било триаголник, тогаш важи

: <math>\text{ако збирот }x + y + z = \pi = \text{полукруг,}\, </math>

:: <math>\text{onda je }\operatorname{tg}(x) + \operatorname{tg}(y) + \operatorname{tg}(z) = \operatorname{tg}(x)\operatorname{tg}(y)\operatorname{tg}(z).\,</math>

односно

: <math>\text{ако збирот }x + y + z = \pi = \text{полукруг,}\, </math>

:: <math>\text{тогаш }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,</math>

=== Ермитова котангенсна еднаквост ===
[[Шарл Ермит]] покажал дека одредена еднаквост важи каде што променливите ''a'' <sub>1</sub> ,&nbsp;... ,&nbsp;''а'' <sub>''n''</sub> [[Комплексен број|се комплексни броеви]]. Нека е:

: <math> A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \operatorname{ctg}(a_k - a_j) </math>

а во случај кога е ''А''<sub>1,1</sub> се добива [[празен производ]] кој е еднаков 1. Општо, се добива следната вредност:

: <math> \operatorname{ctg}(z - a_1)\cdots\operatorname{ctg}(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \operatorname{ctg}(z - a_k).</math>

Во наједноставниот случај за ''n''&nbsp;=&nbsp;2 важи:

: <math> \operatorname{ctg}(z - a_1)\operatorname{ctg}(z - a_2) = -1 + \operatorname{ctg}(a_1 - a_2)\operatorname{ctg}(z - a_1) + \operatorname{ctg}(a_2 - a_1)\operatorname{ctg}(z - a_2). </math>

=== Птоломејова теорема ===
Овие еднаквости go претставуваат тригонометрискиот облик на [[Птоломеева теорема|Птоломеевата теорема]].

: <math> \text{Ако }w + x + y + z = \pi = \text{се полукруг,} \, </math>

:: <math>\begin{align} \text{тогаш важи }
&   \sin(w + x)\sin(x + y) \\
&{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}</math>

== Линеарни комбинации ==
{{Главна|Фазен вектор}}Секоја линеарна комбинација на синусни [[Бран|бранови]] од исти периоди или [[честота]] со различни [[Фазно поместување|фазни поместувања]] е исто така синусен бран со иста периода или честота со различно фазно поместување. Со ненулта линеарна комбинација на синусни и косинусни бранови, се добива:

: <math>a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,</math>

каде

: <math>
\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
& \text{ako je }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{ako je }a < 0,
\end{cases}
</math>

што е еквивалентно на:

: <math>
\varphi = \operatorname{arctg} \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ако е}a \ge 0, \\
\pi & \text{ако е}a < 0,
\end{cases}
</math>

или дури и со:

: <math>
\varphi = \text{sgn}(b)\cos^{-1}\left(\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
</math>

Воопштено, за произволно фазно поместување важи:

: <math>a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,</math>

каде

: <math>c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,</math>

: <math>
 \beta = \operatorname{arctg} \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ako je } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{ako je } a + b\cos \alpha < 0.
\end{cases}
</math>

== Лагранжови тригонометриски еднаквости ==
Овие еднаквости биле именувани по [[Жозеф Луј Лагранж]].<ref name="Muniz">
{{Наведено списание|last=Eddie Ortiz Muñiz|year=1953|title=A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities|journal=American Journal of Physics|volume=21|page=140}}
</ref><ref>
{{Наведена книга|title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals|last=Alan Jeffrey and Hui-hui Dai|publisher=Academic Press|year=2008|isbn=9780123742889|edition=4th|chapter=Section 2.4.1.6}}
</ref>

: <math>
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin n\theta & = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\theta-\frac{\cos(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}\\
\sum_{n=1}^N \cos n\theta & = -\frac{1}{2}+\frac{\sin(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}
\end{align}
</math>

Со нив е поврзана функцијата наречена [[Диригхлеово јадро|Дирихлеово јадро]].

: <math>1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math>

== Останати облици на збирови на тригонометриски функции ==
Збирот на синусите и косинусите со променливи во [[аритметичка низа]]:

: <math>
\begin{align}
& \sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}. \\[10pt]
& \cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.
\end{align}
</math>

За кои било ''a'' и ''b'' важи:

: <math>a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;</math>

каде што atan2(''y'', ''x'') е воопштување на функцијата arctan(''y''/''x'') што го покрива целиот кружен опсег.

Користејќи ја [[Гудерманова функција|Гудермановата функција]] која поврзува кружни и [[Хиперболични функции|хиперболични]] тригонометриски функции без употреба на комплексни броеви, може да се искористи следниов израз:

: <math>\operatorname{tg}(x) + \sec(x) = \operatorname{tg}\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).</math>

Ако ''x'', ''y'' и ''z'' се аглите на кој било триаголник, односно ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;+&nbsp;''z''&nbsp;=&nbsp;π, тогаш е

: <math>\operatorname{ctg}(x)\operatorname{ctg}(y) + \operatorname{ctg}(y)\operatorname{ctg}(z) + \operatorname{ctg}(z)\operatorname{ctg}(x) = 1.\,</math>

== Одредени линеарни фракциони трансформации ==
Ако ''ƒ''(''x'') е дадена со линеарна фракциона трансформација

: <math> f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha}, </math>

и слично со тоа

: <math> g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\cos\beta)x + \sin\beta}, </math>

тогаш важи

: <math> f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}. </math>

Пократко кажано, ако за сите ''α'' функцијата ''ƒ''<sub>''α''</sub> е токму функцијата ''ƒ'' прикажана погоре, тогаш важи дека е:

: <math> f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \, </math>

== Еднаквости на инверзни тригонометриски функции ==

: <math> \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;</math>
: <math> \operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arcctg}(x)=\pi/2.\;</math>
: <math>\operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arctg}(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{ako je }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{ako je }x < 0 \end{matrix}\right.</math>

=== Композиција на тригонометриски и инверзни тригонометриски функции ===
{| class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
|<math>\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>
|<math>\operatorname{tg}[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math>\sin[\operatorname{arctg}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\operatorname{tg}[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|-
|<math>\cos[\operatorname{arctg}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\operatorname{ctg}[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|-
|<math>\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>
|<math>\operatorname{ctg}[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
|}

== Поврзаност со комплексната експоненцијална функција ==

: <math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,</math> Овој израз се нарекува [[Ојлерова формула]].

: <math>e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,</math>

: <math>e^{i\pi} = -1</math> Овој израз се нарекува [[Ојлеров идентитет]].

: <math>\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;</math> 

: <math>\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;</math> 

односно

: <math>\operatorname{tg}(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math>

каде <math>i^2 = -1</math> .

== Поврзаносте со бесконечни производи ==
{{Главна|Бесконечни производи}}
Кога решаваме [[специјални функции]], користиме различни формули кои ги поврзуваат бесконечниот производ и тригонометриските функции: 

: <math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>
: <math>\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>
: <math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)</math>

: <math>\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>
: <math>\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>
: <math>|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\operatorname{tg}\left(2^n x\right)\right|}</math>

== Еднаквости без променливи ==
Еднаквоста без променливи:

: <math>\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}</math>

е посебен случај на еднаквост со една променлива:

: <math>\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.</math>

Понатаму, исто така е точно дека:

: <math>\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.</math>
: <math> \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}, </math>
: <math>\operatorname{tg} 50^\circ\cdot\operatorname{tg} 60^\circ\cdot\operatorname{tg} 70^\circ=\operatorname{tg} 80^\circ.</math>
: <math>\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.</math>

: <math>
\begin{align}
& \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right)
 + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)  
 + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt]
& {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.
\end{align}
</math>

Многу еднаквости имаат основа во изрази како што се:

: <math> \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}</math>

и

: <math> \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}} </math>

Со нивна комбинација добиваме:

: <math> \prod_{k=1}^{n-1} \operatorname{tg}\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin(\pi n/2)}</math>

: <math> \prod_{k=1}^{m} \operatorname{tg}\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1}</math>

=== Определување на бројот &#x3C0; ===

: <math>\frac{\pi}{4} = 4 \operatorname{arctg}\frac{1}{5} - \operatorname{arctg}\frac{1}{239}</math>
: <math>\frac{\pi}{4} = 5 \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2 \operatorname{arctg}\frac{3}{79}.</math>

=== Мнемонички запис за некои вредности на синус и косинус ===

: <math>
\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right)\\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 
\end{matrix}
</math>

=== Златен пресек φ ===
{{Главна|Златен пресек|Тригонометриски константи}}

: <math>\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2}
</math>

: <math>\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}</math>

=== Евклидова еднаквост ===

: <math>\sin^2(18^\circ)+\sin^2(30^\circ)=\sin^2(36^\circ). \, </math>

== Инфинитезимално сметање ==

=== Изводи ===
{{Главна|Извод|Список на изводи на тригонометриски функции}}
Со користење на [[инфинитезимално сметање]], аглите при сметањето мора да бидат во радијани. Изводите на тригонометриските функции може да се одредат со користење на два [[Гранична вредност|лимеса]]:

: <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,</math>
: <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,</math>

Со барање извод  од тригонометриски функции се добиваат следните еднаквости и правила:<ref>{{Наведена книга|title=Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic|last=Finney|first=Ross|publisher=Prentice Hall|year=2003|isbn=0-13-063131-0|location=Glenview, Illinois|pages=159–161}}
</ref>

: <math>
\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x     ,& {d \over dx} \arcsin x & = {1 \over \sqrt{1 - x^2}}   \\ \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x     ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}   \\ \\
{d \over dx} \operatorname{tg} x & = \sec^2 x    ,& {d \over dx} \operatorname{arctg} x & = { 1 \over 1 + x^2}       \\ \\
{d \over dx} \operatorname{ctg} x & = -\csc^2 x    ,& {d \over dx} \operatorname{arcctg} x & = {-1 \over 1 + x^2}       \\ \\
{d \over dx} \sec x & = \operatorname{tg} x \sec x  ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}  \\ \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \operatorname{ctg} x ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}
</math>

=== Интеграли ===
{{Главна|Интеграл|Список на интеграли на тригонометриски функции}}

: <math>\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>
: <math>\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\operatorname{tg} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>
: <math>\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C</math>

== Експоненцијални дефиниции на тригонометриски функции ==
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
!Функција
!Инверзна функцијаa
|-
|<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,</math>
|<math>\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,</math>
|-
|<math>\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,</math>
|<math>\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,</math>
|-
|<math>\operatorname{tg} \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,</math>
|<math>\operatorname{arctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,</math>
|-
|<math>\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,</math>
|-
|<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,</math>
|-
|<math>\operatorname{ctg} \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,</math>
|<math>\operatorname{arcctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,</math>
|-
!
!
|-
|<math>\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,</math>
|<math>\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} = -i \ln x = \operatorname{arg} \, x \,</math>
|}

== Вајерштрасова супституција ==
{{Главна|Вајерштрасова супституција}}
Ако е:

: <math>t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right),</math>

тогаш важи:

: <math>\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ i }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ i }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math>

каде e<sup>''ix''</sup> = cos(''x'') + ''i'' sin(''x''), што понекогаш е скратено како&nbsp;cis(''x'').

== Поврзано ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Тригонометрија]]
* [[Докази на тригонометриски функции|Докази на тригонометриски еднаквости]]
* [[Питагорова тригонометриска еднаквост]]
* [[Единична кружница]]
* [[Тригонометриски константи]]
* [[Примена на тригонометријата|Примена на тригонометрија]]
* [[Формула за тангенс од половина агол|Формула за тангента за половина агол]]
* [[Питагорова теорема|Лекција на Питагора]]
* [[Косинусна теорема]]
* [[Синусна теорема|Синусна теореме]]
* [[Тангенсна теорема]]
* [[Молвајдова формула]]
* [[Список на изводи на тригонометриски функции]]
* [[Список на интеграли на тригонометриски функции]]
* [[Хиперболични функции|Хиперболична функција]]
* [[Версинус]]
</div>

== Наводи ==
{{наводи}}

== Литература ==
* {{Наведена книга|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=Dover Publications|year=1972|isbn=978-0-486-61272-0|editor-last=Abramowitz|editor-first=Milton|editor-link=Milton Abramowitz|location=New York|postscript=<!--None-->|editor-last2=Stegun|editor-first2=Irene A.|editor-link2=Irene Stegun}}

== Надворешни врски ==
* [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Вредности на Sin и Cos, изразени во сурди, за целобројни множители од 3° и од 5⅝°], [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html Csc и Sec], [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html Tan].

[[Категорија:Математички списоци]]
[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Математика]]