Преглед на кодот на Сплајн

[[Податотека:Quadratic spline six segments.svg|мини|Квадратен сплајн составен од шест полиномни отсечки. Помеѓу точките 0 и 1 се протега права линија. Помеѓу точките 1 и 2 има парабола со [[диференцијално сметање|извод]] = 4. Помеѓу точките 2 и 3 има парабола со втор извод = -2. Помеѓу точките 3 и 4 се протега права линија. Помеѓу точките 4 и 5 има парабола со втор извод = 6. Помеѓу точките 5 и 6 се протега права линија.]]

'''Сплајн''' (од [[анг.]] ''spline'' = „лајсна“) — посебна [[функција (математика)|функција]] која се определува [[расцепкана функција|расцепкано]] со [[полином]]и. При проблемите со [[интерполација|интерполирање]], честопати се претпочита [[сплајнова интерполација]] наместо [[полиномна интерполација|полиномна]] бидејќи дава слични резултати (дури и кога користи полиноми од понизок степен), но ја одбегнува [[Рунгеова појава|Рунгеовата појава]] кај вишите степени.

Кај [[сметачка графика|сметачката графика]], сплајновите се мошне застапени криви бидејќи се едноставни за конструирање, просто и точно се вреднуваат, и поради нивната способност да прават приближности на сложени облици [[прилагодување на криви|прилагодување]] и интерактивна конструкција на криви.

Поимот „сплајн“ (''spline'') е преземен од еластичните свитливи лајсни што се користат во [[бродоградба]]та и проектирањето за исцртување на глатки криви облици.

== Дефиниција ==
Сплајнот е [[расцепкана функција|расцепкано]]-[[полином]]на [[реален број|реална]] [[функција (математика)|функција]]

:<math>S: [a,b]\to \mathbb{R}</math>
на интервал [''a'',''b''] составен од ''k'' подредени разделени подинтервали <math>[t_{i-1}, t_i] </math> со
:<math>a = t_0 < t_1 < \cdots < t_{k-1} < t_k = b</math>.
На секој интервал ''i'', функцијата ''S'' е полином <br>
:<math>P_i: [t_{i-1}, t_i] \to \mathbb{R}</math>,
така што <br>
:<math>S(t) = P_1 (t) \mbox{ , } t_0 \le t < t_1,</math>
:<math>S(t) = P_2 (t) \mbox{ , } t_1 \le t < t_2,</math>
:::<math>\vdots</math>
:<math>S(t) = P_k (t) \mbox{ , } t_{k-1} \le t \le t_k.</math>

Редот на сплајнот (n) е еднаков на највисокиот ред на присутните полиноми <math> P_i (t)  \quad i=1 \cdots k</math>, а полиномите треба да бидат такви што <math>S(t)</math> е непрекината и n-1 пати изведлива и во внатрешните '''јазолни''' точки <math>t_i \quad   i=1, \cdots k-1 </math> . Ова значи дека во сите внатрешни '''јазолни''' точки <math>t_1 , t_2, \cdots , t_{k-1}</math> 
<math>P_i^{(j)} (t_i) = P_{i+1}^{(j)} (t_i)</math> за сите <math>j \quad 0 \le j \le n-1</math>

Ако сите подинтервали се со иста должина, тогаш велиме дека сплајнот е '''рамномерен'''. Ако не се, тогаш сплајнот е '''нерамномерен'''.

Во голема мера најзастапени се кубните сплајнови, т.е. сплајновите од ред 3, бидејќи се користат за [[сплајнова интерполација]] која ја симулира функцијата на сплескани сплајнови.

== Изведување на кубен сплајн ==
[[Податотека:Parametic Cubic Spline.svg|мини|десно|250п|Кривата на кубен параметарски полиномен сплајн]]
Следниов извод прилагодува кубен сплајн на подредените парови со [[апциса|апциси]] <math>x_j</math> и [[ордината|ординати]] <math>y_j</math>, за <math> j = 0...N-1 </math>. Ако земеме дека ни се познати вторите изводи во секоја точка <math>y_{j}^{''}</math>, тогаш можеме да определиме параметризирана сплајнова функција со:<ref>Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., and Flannery, B.P., ''Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing.'' III изд. Cambridge University Press. Cambridge, UK, 2007.</ref>

:<math>y = S^3(x) = A y_j + B y_{j+1} + C y_{j}^{''}+ D y_{j+1}^{''}</math>
каде ''A'' и ''B'' се определуваат: <br>
:<math>A = \frac{x_{j+1}-x}{x_{j+1}-x_j}</math> &nbsp; &nbsp; и &nbsp; &nbsp; <math>   B = 1 - A = \frac{x-x_j}{x_{j+1}-x_j} </math>
и <br>
:<math>C = \frac{1}{6} (A^3-A)(x_{j+1}-x_j)^2 </math> &nbsp; &nbsp; и &nbsp; &nbsp; <math> D = \frac{1}{6} (B^3-B)(x_{j+1}-x_j)^2 </math>.

Можеме лесно да покажеме дека овој сплајн ги пресретнува сите подредени парови, а има втор извод <br>
:<math> \frac{d^2 y}{dx^2} = A y_{j}^{''} + B y_{j+1}^{''} </math>
кој ги зачувува бараните изводи од втор ред во секоја позната точка.

За жал, изводите од втор ред ''не се познати'' и мора да ги пронајдеме. Ова можеме да го направиме со наложување на условот на [[Непрекинатост на функција|непрекинатоста]] на првиот извод помеѓу интервалите. Ова значи дека изводот од кубниот сплајн <br>
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{y_{j+1} - y_j}{x_{j+1} - x_j} - \frac{3A^2-1}{6} (x_{j+1} - x_j) y_j^{''} + \frac{3 B^2-1}{6} (x_{j+1}-x_j) y_{j+1}^{''} </math>
вреднуван со интервалот ''(&nbsp;''<math>x_{j-1}</math> &nbsp; , &nbsp; <math>x_j</math> ''&nbsp;)'' мора да е еднаков на оној вреднуван со интервалот ''(&nbsp;''<math>x_{j}</math> &nbsp; , &nbsp; <math>x_{j+1}</math> ''&nbsp;)''. Вака го добиваме следниов збир ''N-2'' равенки со ''N'' непознати (вторите изводи): <br>
:<math> \frac{x_j-x_{j-1}}{6} y_{j-1}^{''} + \frac{x_{j+1}-x_{j-1}}{3} y_{j}^{''} + \frac{x_{j+1}-x_{j}}{6} y_{j+1}^{''} = \frac{y_{j+1}-y_j}{x_{j+1}-x_j} - \frac{y_{j}-y_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}} </math>.

За да формулираме поблем што не е недоодреден, така што добиениот кубен сплајн ќе биде уникатен, ќе мора да назначиме уште два услова. „Природниот кубен сплајн“ користи услов на нулта закривеност во крајните точки на сплајнот, <math> y_{0}^{''} = y_{N-1}^{''} = 0</math>. Друга можност е да избереме први изводи во крајните точки и да ги замениве во првоизводната равенка за да ги исполниме преостанатите две равенки.

На крајот, изводот од кубниот сплајн се добива од решението на гореопишаните ''N'' равенки, и замената на второизведените решенија во сплајновата равенка, <math>S^3(x)</math>. Бидеќи секое решено закривување е поврзано (во однос) само со закривеноста на соседните делови, матрицата на решението на еден кубен сплајн секогаш ќе биде [[тридијагонална матрица]] и така може да се реши со ''O(N)'' операции со постоечки [[алгоритам на тридијагонална матрица|алгоритми на тридијагонална матрица]].

== Примери ==
[[Податотека:Kochanek bartels spline.svg|мини|десно|250п|Спалјнови со разни параметарски вредности]]
Еве прост пример за квадратен сплајн (од степен 2):

:<math>
S(t) = \begin{cases}
(t+1)^2-1   & -2 \le t < 0\\
1-(t-1)^2   & 0 \le t \le 2
\end{cases}
</math>

за кое <math>S'(0)=2</math>.

Еве прост пример за кубен сплајн:

:<math>S(t) = \left|t\right|^3 </math>

бидејќи
:<math>
S(t) = \begin{cases}
t^3   & t \ge 0\\
-t^3   & t < 0
\end{cases}
</math>
и
:<math>S(0)' =\ 0</math>
:<math>S(0)'' =\ 0</math>

Еден пример кајшто применуваме сплајнови за составување на ѕвоновидната крива на веројатносната распределба се Ирвин-Холовите полиноми:

:<math>
f_X(x)= \begin{cases}
\frac{1}{6}x^3    & 0\le x \le 1\\
\frac{1}{6}\left(-3x^3 + 12x^2 - 12x+4 \right)& 1\le x \le 2\\
\frac{1}{6}\left(3x^3 - 24x^2 +60x-44 \right)  & 2\le x \le 3\\
\frac{1}{6}\left(-x^3 + 12x^2 -48x+64 \right)  & 3\le x \le 4
\end{cases}
</math>

== Историја ==
Пред ерата на [[сметач]]ите, пресметките се вршеле рачно и затоа се применува ле функции како скалестата функција. Со доаѓањето на сметачите, сплајновите ги замениле полиномите најпрвин во интерполацијата, а потоа почнале да се користат за конструирање на глатки и еластични облици кај сметачката графика.<ref>Epperson, History of Splines, ''NA Digest'', том 98, бр. 26, 1998.</ref>

Сплајновите за прва пат се споменуваат во трудот на романскиот математичар [[Исак Јакоб Шенберг]] од 1946<ref>Schoenberg, Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, ''Quart. Appl. Math''., том 4, стр. 45–99 и 112–141, 1946.</ref> што е веројатно првиот пример за употребата на „сплајн“ во смисла на глатка, расцепкана полиномна приближност. Меѓутоа овие идеи влечат корени во авиоконструкторството и бродоградбата.

Сплајнот како алатка (закривена лајсна) нашол примена во конструкцијата на авиони во [[Британија]] за време на [[Втората светска војна]]. Ваквото моделирање на крилата е позајмено од бродоградбата, кајшто овој облик се користел за исцртување на трупот на пловилото.

Во автоконструкторството, сплајнот се појавил независно на неколку места. Пионери во неговата употреба се [[Пол де Кастелжо]] од [[Citroën]], [[Пјер Безје]] од [[Renault]] и [[Гарет Биркхоф]], [[Пол Розел Гарабедијан|П.Р. Гарабедијан]] и [[Карл де Бор]] од [[General Motors]].<ref>Birkhoff, Fluid dynamics, reactor computations, and surface representation, in: Steve Nash (ed.), ''A History of Scientific Computation'', 1990</ref>

== Поврзано ==
* [[Безјеова крива]]
* [[NURBS]]
* [[B-сплајн]]

== Наводи ==
{{наводи}}
* Stoer & Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag. стр.&nbsp;93-106. ISBN 0387904204
* Chapra, Canale, "Numerical Methods for Engineers", V изд.

== Надворешни врски ==
{{рв|Splines}}
* [http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm Интерактивен вовед во сплајновите] - ibiblio.org {{en}}
* [http://newtonexcelbach.wordpress.com/2009/07/02/cubic-splines/ Кориснички зададена функција на кубен сплајн за Excel] {{en}}
* [http://www.akiti.ca/CubicSpline.html Алатка за интерполација на кубни сплајнови] {{en}}
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/spline_method.html Белешки, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab]- Институт за холистички бројчени методи {{en}}

[[Категорија:Сплајнови| ]]
[[Категорија:Интерполација]]