Преглед на кодот на Сурјективна функција

{|  border="1"  cellpadding="5" class="wikitable floatright"
|- align="center"
||[[Податотека:Gen_surjection_not_injection.svg]]
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="210"|'''Сурјекција'''. До секој елемент во кодоменот B има стрелка од (барем еден) елемент од доменот А 
|}

Во [[математика]]та, '''сурјективна функција''' е [[функција (математичко образование)|функција]] ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' ако секој елемент во ''B'' е слика на барем еден елемент од ''A'', односно за секој елемент ''b'' од [[функција (математичко образование)|кодоменот]] ''B'' постои '''барем''' еден елемент ''a'' од [[функција (математичко образование)|доменот]] ''А'' таков што ''f''(''a'')=''b'', т.е. кодоменот и [[функција (математичко образование)|сликата]] на ''f'' е истото множество.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/Surjection.html| last1=Weisstein|first1=Eric|title=Surjective function |publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=1 January 2014}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Onto Mapping | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=568|language=англиски||accessdate=1 January 2014}}</ref>

Терминот ''сурјективност'' и сродните термини [[инјективна функција|''инјективност'']] и [[бијективна функција|''бијективност'']] беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)<ref>{{Наведена мрежна страница | url = http://jeff560.tripod.com/i.html | title = Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics | contribution = Injection, Surjection and Bijection | publisher = Tripod | first = Jeff|last=Miller| year=2010 |language=англиски|accessdate=1 February 2014}}</ref> (и група други, главно француски, математичари од 20 век) кој, почнувајќи од 1935 година, напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика. Француската претставка ''сур'' значи ''над'' или ''одозгора'' и се однесува на фактот дека сликата на доменот на сурјективна функција целосно го покрива кодоменот на функцијата.
{|  border="1"  cellpadding="5" class="wikitable floatright"
|- align="center"
||[[Податотека:Gen_not_surjection_not_injection.svg]]
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="210"|'''Не е сурјекција'''. Постои елемент во кодоменот В без стрелка од елемент во доменот А 
|}
==Основни својства==
Формално имаме:
:<math>f:A \rightarrow B</math>&nbsp; е сурјективна функција ако &nbsp;<math>\forall b \in B \,\, \exists a \in A</math>&nbsp; таков што &nbsp;<math>f(a)=b \,.</math> 
Елементот <math>b</math> се вика '''слика''' на елементот <math>a</math>. 
*Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот ''B'' е ''слика'' на барем еден елемент од доменот ''A''.
Елементот <math>a</math> се вика '''претслика''' на елементот <math>b</math>. 
*Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот ''B'' има барем една претслика во доменот ''A''.

Претслика на сурјекција '''не''' мора да биде единствена. Во првата слика, и {X} и {Y} се претслики на елементот {1}. Baжно е да има барем една претслика. (Види и: [[Инјективна функција]], [[Бијективна функција]])

==Примери ==
===Елементарни функции===
Нека ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; е реална функција ''y'' од реален аргумент ''x''. (Значи влез и излез се броеви.)
*'''Графичко толкување''': функцијата ''f'' е сурјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на ''f'' во (барем) една точка.
*'''Алгебарско толкување''': функцијата ''f'' е сурјективна ако за кој било реален број ''y''<sub>o</sub> може да се најде (барем еден) реален број ''x''<sub>o</sub> таков што ''y''<sub>o</sub>=''f''(''x''<sub>o</sub>). 
<div style="margin-left:15px">
Наоѓање на ''x''<sub>o</sub> за даден ''y''<sub>o</sub> е еквивалентно со прашањата:
*дали равенката ''f''(''x'')-''y''<sub>o</sub>=0 има решение (или не), односно 
*дали функцијата ''f''(''x'')-''y''<sub>o</sub> има [[корен (нула)|корен]] (или не). 
Во математиката, освен за полиноми од прв, втор (и трет степен) не постојат аналитички методи за одредување на корен, туку истите се одредуваат бројчено. 
</div>
Од сето ова следува дека формално докажување на сурјективност не е едноставно и тоа треба да се земе во обѕир во дискусиите подолу.

'''Пример:''' Линеарната функција на која било коса права е сурјективна, односно ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0 е сурјекција (и инјекција, така што е бијекција). (Види [[линеарна функција]].)
:Доказ: Заменувајќи кој било реален број ''y''<sub>o</sub> во функцијата и решавајќи за ''x'', се добива ''x''= (''y''<sub>o</sub>-''b'')/<sub>''a''</sub> така што ''x''<sub>o</sub>=(''y''<sub>o</sub>-''b'')/<sub>''a''</sub>. Со ова се докажа сурјективноста на функцијата ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0. (Бидејќи има точно едно решение за секој ''y''<sub>o</sub>, оваа функција е и инјективна.)
:Практичен пример: ''y''= &ndash;2''x''+4. Кој е претслика на ''y''=2? Тука ''a''=&ndash;2, т.е. ''a''&ne;0 и прашањето е: за кој ''x'' e ''y''=2? Заменувајќи ''y''=2 во функцијата се добива ''x''=1, т.е. ''y''(1)=2.
 
'''Пример:''' Функцијата {{Nowrap begin}}''f''(''x'')=''x''<sup>3</sup>&ndash;3''x''{{Nowrap end}} е сурјективна. 
:Дискусија: Кубна полиномна равенка ''x''<sup>3</sup>-3''x''-''y''<sub>o</sub>=0 има реални коефициенти (''a''<sub>3</sub>=1, ''a''<sub>2</sub>=0, ''a''<sub>1</sub>=&ndash;3, ''a''<sub>0</sub>=&ndash;''y''<sub>o</sub>), а секоја кубна полиномна равенка има барем еден реален корен.<ref name=Tanton>{{Наведена книга|title=Encyclopedia of Mathematics|last1=Tanton|first1=James|year=2005|publisher=Facts on File, New York|isbn=0-8160-5124-0|contribution =Cubic equation|page=112-113}} {{en}}</ref> Бидејќи доменот на функцијата е &#8477;, следува дека постои (барем еден) ''x''<sub>o</sub> таков што (''x''<sub>0</sub>)<sup>3</sup>-3''x''<sub>0</sub>-''y''<sub>o</sub>=0 и функцијата е сурјективна. (Меѓутоа, оваа функција не е инјективна. На пример, ''y''<sub>o</sub>=2 има две претслики: ''x''=&ndash;1 и ''x''=2 , а всушност за секој ''y'', &ndash;2≤''y''≤2 функцијата има повеќе од една претслика, т.е. повеќе од еден ''x'' таков што ''f''(''x'')=''y''.)

'''Пример:''' [[Квадратна функција|Квадратната функција]] {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>{{Nowrap end}} не е сурјективна. Нема ''x'' таков што {{Nowrap begin}}''x''<sup>2</sup> = −1{{Nowrap end}}. Сликата на ''x''&sup2; e <nowiki>[0,+∞) </nowiki>, т.е. множеството на ненегативни броеви. (Оваа функција не е ниту инјективна.)

Забелешка: Се разбира дека за секоја несурјективна функција можеме да дефинираме '''нова''' сурјективна функција ограничувајќи го кодоменот на сликата. На пример „новата функција“ {{Nowrap begin}}''f''<sub>N</sub>(''x''):&#8477;→[0,+∞){{Nowrap end}} каде што{{Nowrap begin}}''f''<sub>N</sub>(''x'') = ''x''<sup>2</sup>{{Nowrap end}} сега е сурјективна функција. (Ова не е исто со [[функција (математичко образование)|рестрикција на функција]] во која се ограничува доменот!)

'''Пример:''' [[Експоненцијална функција|Експоненцијалната функција]] {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = 10<sup>''x''</sup>{{Nowrap end}} не е сурјективна. Сликата на {{Nowrap begin}}''10''<sup>''x''</sup>{{Nowrap end}} е (0,+∞), a (0,+∞)&ne;&#8477;. (Оваа функција е инјективна.)

<div style="margin-left:15px">
{|  border="1"  cellpadding="5" 
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="230"|[[Податотека:line_explicit_ex.svg|150px]]<hr /> Сурјекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; (и инјекција)
| width="230"|[[Податотека:xto3minus3x.svg|220px]]<hr /> Сурјекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; (не е инјекција)
| width="230"|[[Податотека:xto2.svg|220px]]<hr /> Не е сурјекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; (не е инјекција)
|- align="center" style="font-size:.85em;line-height:1.4em"
| width="230"|[[Податотека:10tox.svg|220px]]<hr />Не е сурјекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; (е инјекција)
| width="230"|[[Податотека:logx.svg|220px]]<hr />Сурјекција. ''f''(''x''):(0,+∞)→&#8477; (и инјекција)
| width="230"|[[Податотека:zisy.png|220px]]<hr /> Сурјекција. ''z'':&#8477;&sup2;→&#8477;, ''z''=''y''. (Во сликата се показжува дека претсликата на z=2 е правата y=2.)
|}
</div>

===Други примери со реални функции===

'''Пример:''' Инверзната функција на 10<sup>''x''</sup>, односно [[Логаритамска функција|логаритамската функција со основа 10]] {{Nowrap begin}}''f''(''x''):(0,+∞)→&#8477;{{Nowrap end}} дефиниранa со {{Nowrap begin}}''f''(''x'')=log(''x''){{Nowrap end}} односно {{Nowrap begin}}''y''=log(''x''){{Nowrap end}} е сурјективна (и инјективна).

*Проекцијата на [[Декартов производ]] {{Nowrap|''A'' × ''B''}} на еден од неговите фактори е сурјективна функција.

'''Пример:''' Функцијата ''f''((''x'',''y'')):&#8477;&sup2;→&#8477; дефинирана со ''z''=''y'' е сурјективна. Графиконот е рамнина во 3-димензионален простор, а претслика на ''z''<sub>o</sub> е правата y=''z''<sub>o</sub> во ''x''0''y'' рамнината.

*Во 3-димензионални игри, вектори се проектираат на 2-димензионален екран со сурјективна функција.
<!--Тука слободно додавајте материјали од напредна математика, категории, епиморфизми. Немаше цитати во ен видипедија-->

== Наводи ==
{{наводи}}

== Поврзано ==
* [[Функција (математичко образование)|Функција]]
* [[Инјективна функција]]
* [[Бијективна функција]]

==Надворешни врски==
* {{Наведена мрежна страница|url=http://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html|title=Injective, Surjective, Bijective|year=2013|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен квиз
* {{Наведена мрежна страница|url=https://www.wolframalpha.com/examples/InjectivitySurjectivity.html|title=Injectivity, Surjectivity|publisher=Wolfram Alpha|language=англиски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2013-11-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20131125202540/http://www.wolframalpha.com/examples/InjectivitySurjectivity.html|url-status=dead}} интерактивно

{{Портал|Математика}}

{{Математички полиња}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Функции]]
[[Категорија:Алгебра]]