Преглед на кодот на Теорија на веројатноста

[[Податотека:Twodice.svg|мини|десно|300п|Дијаграм на можните комбинации при фрлање на две коцки]]
'''Теорија на веројатноста''' — гранка на [[математика]]та која се занимава со изучување на [[веројатност]]а, односно анализа на [[случајност|случајни]] појави.

Математиката ја предочува веројатноста на некој ''настан'' (чие настапување е случајно) како [[реален број]] од затворениот [[интервал]] од 0 до 1.
Веројатностите <math>P(A)</math> им се препишуваат на настани <math>A</math> според [[аксиоми на веројатност|аксиомите на веројатноста]].

Веројатноста дека тој настан <math>A</math> ќе се случи ''под услов'' на познатото случување на настанот <math>B</math> е [[условна веројатност]] на <math>A</math>  ''под услов''  <math>B</math>; неговата бројчена вредност е <math>P(A \cap B)/P(B)</math> (сè додека <math>P(B)</math> не е нула). Ако условната веројатност на <math>A</math> под услов <math>B</math> и иста што и („безусловната“) веројатност на <math>A</math>, тогаш <math>A</math> и <math>B</math> се нарекуваат [[Независност на настани|независни]] настани. Дека оваа релација помеѓу <math>A</math> и <math>B</math> е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и
<math>P(A \cap B) = P(A)P(B)</math> каде A и B се независни настани.

Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се [[случајна променлива|случајната променлива]] и [[веројатносна распределба]] на случајна променлива.

== Поапстрактен поглед на веројатноста ==
[[Податотека:Standard deviation diagram (decimal comma).svg|мини|десно|250п|Дијаграм на [[стандардно отстапување]]]]
Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од [[Андреј Колмогоров|Колмогоров]] во [[1930-ти]]те. [[Простор на веројатност]] е секоја тројка <math>(\Omega, \mathcal F, P)</math>, каде

* <math>\Omega</math> е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
* <math> \mathcal F </math> е [[сигма-алгебра|σ-алгебра]] на подмножества на <math>\Omega</math> - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека <math>\mathcal F</math>  е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи <math>\Omega</math>, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.
* <math>P</math> е [[мера на веројатност]] на <math>\mathcal F</math>, т.е., [[мера (математика)|мера]] кај која <math>P(\Omega)=1</math>.

Треба да се спомене дека <math>P</math> е функција дефинирана на <math>\mathcal F</math>, а не на <math>\Omega</math>, и често не сочинуваат ни булеан <math>\mathcal F=\mathbb P (\Omega)</math>. Не секое множество исходи претставува настан.

Ако <math>\Omega</math> е [[преброиво множество]], тогаш речиси секогаш го дефинираме <math>\mathcal F</math> како [[булеан]] на <math>\Omega</math>, т.е. <math>\mathcal F=\mathbb P (\Omega)</math> кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со <math>\Omega</math>. 
Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме <math>\mathcal{F}</math> и  да напишеме само <math>(\Omega, P)</math> за да го дефинираме. Во друг случај, ако <math>\Omega</math> е [[непреброиво множество]] и користиме <math>\mathcal F=\mathbb P (\Omega)</math>, тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста <math>P</math> заради тоа што <math>\mathcal{F}</math> е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како [[Банах–Тарсков парадокс|Банах-Тарсковиот парадокс]]. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра <math>\mathcal F</math> (на пр. [[Борелова алггебра]] на <math>\Omega</math>, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

[[Случајна променлива]] <math>X</math> е [[измерлива функција]] на <math>\Omega</math>. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако <math>X</math> е било која случајна променлива, нотацијата <math>P(X \ge 60)</math>, е стенографија за <math>P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 60 \})</math>, под претпоставка дека „<math>X \ge 60</math>“ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете [[алгебра на случајни променливи]].

== Библиографија ==
* Pierre Simon de Laplace (1812) ''Analytical Theory of Probability''
* Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) ''Foundations of the Theory of Probability''
* Harold Jeffreys (1939) ''The Theory of Probability''
* Edward Nelson (1987) ''Radically Elementary Probability Theory''
* Patrick Billingsley: ''Probability and Measure'', John Wiley and Sons,  New York, Toronto, London, 1979.
* Henk Tijms (2004) ''Understanding Probability ''

== Поврзано ==
* [[Веројатност]]
* [[Случајност]]
* [[Стохастика]]

{{Математички полиња}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Теорија на веројатноста| ]]
[[Категорија:Веројатност]]