Преглед на кодот на Топлинска спроводливост

[[Податотека:Aerogelflower filtered.jpg|мини|Цвет на парче аергел над Бунзен горилник]]
'''Топлинската спроводливост''' на материјал ― мерење на неговата способност да спроведува топлина. Поимот најчесто се означува со <math>k</math>, <math>\lambda</math>, или <math>\kappa</math>.

Топлинскиот пренос се случува со помала стапка кај материјалите со ниска топлинска спроводливост отколку кај оние материјали со висока топлинска спроводливост. На пример, металите вообичаено имаат висока топлинска спроводливост и се многу ефикасни во спроведувањето на топлината, додека обратното важи за изолационите материјали како што е стиропорот. Соодветно, материјалите кои имаат висока топлинска спроводливост се широко користени во примените за ладилници, а материјалите со ниска топлинска спроводливост се користат како топлинска изолација. Реципроцитетот на топлинската спроводливост се нарекува топлинска отпорност.

Описната равенка за топлинска спроводливост е <math> \mathbf{q} = - k \nabla T</math>, каде <math>\mathbf{q}</math> е топлинскиот проток, <math> k </math> е топлинската спроводливост и <math>\nabla T </math> е [[Температура|температурниот]] градиент. Ова е познато како Фуриеров закон за спроводливост на топлина. Иако најчесто се изразува како [[Скалар (физика)|скалар]], најопштиот облик на топлинска спроводливост е [[тензор]] од втор ред. Меѓутоа, тензорскиот опис станува неопходен само кај материјали кои се анизотропни.

== Дефиниција ==

=== Едноставна дефиниција ===
Размислете за цврст материјал поставен помеѓу две средини кои имаат различни температури. Нека <math>T_1</math> биде температурата за <math>x=0</math> и <math>T_2</math> биде температурата за <math>x=L</math>, и предпоставете дека <math>T_2 > T_1</math>. Една можно остварување на ова сценарио е една градба во студен зимски ден: во овој случај ѕидот на градбата би бил цврстиот материјал, кој би ја одвоил студената надворешна средина од топлата внатрешна средина.

Според Вториот закон за термодинамика, топлината ќе тече од топлата средина во студената бидејќи температурната разлика се изедначува преку распространување. Ова е квантифицирано во однос на топлински проток <math>q</math>, што ја дава брзината, по единица површина, при која топлината тече во дадена насока (во овој случај во минус x-насоката). Кај многу материјали, <math>q</math> се забележува како директно сразмерен на температурната разлика и обратно сразмерен на растојанието на одвојување <math>L</math>:{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}

: <math>
q = -k \cdot \frac{T_2 - T_1}{L}.
</math>

Постојаната на сразмерност <math>k</math> е топлинската спроводливост; таа е физичко својство на материјалот. Во прикажаното сценарио, бидејќи <math>T_2 > T_1</math> топлината тече во минус х-насоката и <math>q</math> е негативен, што пак значи дека <math>k>0</math>. Воглавно, <math>k</math> секогаш се проопишува како позитивна. Истата дефиниција за <math>k</math> може да важи и за течности и гасови, под услов да се отстранат или да се земат предвид другите начини на пренос на енергија, како што се конвекција и зрачење.

Во претходната изведба се претпоставува дека <math>k</math> не се менува значително додека температурата варира од <math>T_1</math> до <math>T_2</math>. Случаи во кои температурната варијација на <math>k</math> е незанемарлива мора да се наведат со користење на поопштата дефиниција на <math>k</math> која е дискутирана подолу.

=== Општа дефиниција ===
Топлинската спроводливост е опишана како пренос на енергија предизвикана од случајно молекуларно движење низ температурен градиент. Се разликува од преносот на енергија со конвекција и молекуларна работа во тоа што не вклучува ни внатрешни напрегања за извршување работа, ни макроскопски текови.

Енергетскиот проток поради топлинска спроводност е класифициран како топлина и се мери со векторот <math>\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)</math>, што му дава положба <math>\mathbf{r}</math> и време <math>t</math> на топлинскиот проток. Според вториот закон за термодинамика, топлината тече од висока кон ниска температура. Последователно, разумно е да се претпоставува дека <math>\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)</math> е сразмерен на градиентот на температурното поле <math>T(\mathbf{r}, t)</math>, т.е.

: <math>
\mathbf{q}(\mathbf{r}, t) = -k \nabla T(\mathbf{r}, t),
</math>

каде што постојаната на сразмерност, <math>k > 0</math>, е топлинската спроводливост. Ова е наречено Фуриеров закон за спроводливост на топлина. И покрај името, не станува збор за закон, туку за определба за топлинска спроводливост во однос на независните физички големини <math>\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)</math> и <math>T(\mathbf{r}, t)</math>.{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}<ref>{{Наведување|last=Holman|first=J.P.|title=Heat Transfer|publisher=McGraw Hill|edition=8|year=1997|isbn=0-07-844785-2|page=2}}</ref> Како таква, нејзината корисност зависи од способноста за одредување на <math>k</math> за даден материјал во дадени услови. Постојаната <math>k</math> самата обично зависи од <math>T(\mathbf{r}, t)</math> а со тоа имплицитно од просторот и времето. Може да се појави и експлицитна зависност од просторот и времето ако материјалот е нехомоген или е променувачки со тек на време.<ref>{{Наведување|last=Bejan|first=Adrian|title=Heat Transfer|publisher=John Wiley & Sons|year=1993|isbn=0-471-50290-1|pages=10–11}}</ref>

Топлинската спроводливост е анизотропна кај некои цврсти материи, т.е. топлинскиот проток не е секогаш паралелен со температурниот градиент. За да се објасни таквото однесување, мора да се користи тензорична форма на Фуриеровиот закон:

: <math>
\mathbf{q}(\mathbf{r}, t) = -\boldsymbol{\kappa} \cdot \nabla T(\mathbf{r}, t)
</math>

каде што <math>\boldsymbol{\kappa}</math> е симетричен тензор од втор ред со име [[тензор]] за топлинска спроводливост.{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}

Имплицитна претпоставка во горниот опис е присуството на месна термодинамичка рамнотежа, која овозможува да се опишува температурно поле <math>T(\mathbf{r}, t)</math>. Оваа претпоставка може да биде прекршена во системи кои не се во можност да постигнат месна рамнотежа, како што може да се случи во присуство на силно неурамнотежено движење или долги заемодејствија.

=== Други количини ===
Во инженерската практика често се работи во однос на количини кои се деривати на топлинската спроводливост и имплицитно ги земаат предвид одликите специфични за дизајнот, како што се димензиите на компонентите.

На пример, '''топлинската спроводност''' се опишува како количина на топлина што поминува во единица време низ плоча со ''одредена површина и дебелина'' кога нејзините спротивни страни се разликуваат во температурите за еден келвин. Кај плоча со топлинска спроводливост <math>k</math>, област <math>A</math> и дебелина <math>L</math>, спроводноста е <math>kA/L</math>, мерено во W⋅K <sup>−1</sup>.<ref name="Bejan, p. 34">Bejan, p. 34</ref> Односот помеѓу топлинската спроводливост и спроводност е аналоген на односот помеѓу електричната спроводливост и електричната спроводност.

'''Топлински отпор''' е инверзијата на топлинска спроводност.<ref name="Bejan, p. 34">Bejan, p. 34</ref> Тоа е погодна мерка за употреба во повеќекомпонентен дизајн бидејќи топлинските отпори се дополнителни кога се појавуваат во серија. {{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}

Исто така, постои мерка позната како коефициент на пренос на топлина: количината на топлина што поминува по единица време низ единица површина на плоча со одредена дебелина кога нејзините спротивни страни се разликуваат во температурата за еден келвин.<ref>{{Наведена книга|title=A New Dictionary of Physics|last=Gray|first=H.J.|last2=Isaacs|first2=Alan|publisher=Longman Group Limited|year=1975|isbn=0582322421|edition=2|page=251}}</ref> Во АСТМ Ц168-15, оваа количина независна од областа се нарекува „топлинска спроводност“.<ref name="ReferenceA">ASTM C168 − 15a Standard Terminology Relating to Thermal Insulation.</ref> Реципроцитетот на коефициентот на пренос на топлина е '''топлинска изолација'''. Накратко, за плоча со топлинска спроводливост <math>k</math>, област <math>A</math> и дебелина <math>L</math>,

* топлинска спроводност = <math>kA/L</math>, мерено во W⋅K <sup>−1</sup>.
** топлинска отпорност = <math>L/(kA)</math>, мерено во K⋅W <sup>−1</sup>.
* коефициент на пренос на топлина = <math>k/L</math>, мерено во W⋅K <sup>−1</sup> ⋅m <sup>−2</sup>.
** топлинска изолација = <math>L/k</math>, мерено во K⋅m <sup>2</sup> ⋅W <sup>−1</sup>.

Коефициентот на пренос на топлина е познат и како '''топлински прием''' во смисла дека материјалот може да биде сметан дека дозволува проток на топлина. 

Еден дополнителен поим, топлинска пропустливост, ја квантифицира топлинската спроводност на структурата заедно со пренос на топлина поради конвекција и [[Топлинско зрачење|зрачење]]. Се мери во истите единици како топлинската спроводност и понекогаш е познат како композитна топлинска спроводливост. Се користи и поимот ''У-вредност''.

На крај, топлинското распространување <math>\alpha</math> комбинира топлинска спроводливост со [[густина]] и [[Специфичен топлински капацитет|специфична топлина]]:{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}

: <math>\alpha = \frac{ k }{ \rho c_{p} }</math>.

Како таква, таа ја квантификува топлинската инерција на материјалот, т.е. релативната тешкотија во загревањето на материјалот до дадена температура користејќи извори на топлина што се применуваат на границата.<ref>{{Наведување|last=Incropera|first=Frank P.|last2=DeWitt|first2=David P.|title=Fundamentals of heat and mass transfer|publisher=Wiley|edition=4|year=1996|pages=50–51|isbn=0-471-30460-3}}</ref>

== Единици ==
Во [[Меѓународен систем на мерни единици|Меѓународниот систем на единици]] (SI), топлинската спроводливост се мери во [[ват]]и на метар-келвин ([[Ват|W]]/([[Метар|m]]⋅[[Келвин|K]])). Некои трудови известуваат во вати по цантиметар-келвин (W/(cm⋅K)).

Во царските единици, топлинската спроводливост се мери во BTU /([[Час|h]]⋅[[Стапка (мерка)|ft]]⋅[[Фаренхајтов степен|°F]]).<ref>
{{Наведена книга|title=Perry's Chemical Engineers' Handbook|publisher=[[McGraw-Hill]]|year=1997|isbn=978-0-07-049841-9|editor-last=Perry|editor-first=R. H.|edition=7|at=Table 1–4|editor-last2=Green|editor-first2=D. W.}}</ref>

Димензијата на топлинската спроводливост е M<sup>1</sup>L<sup>1</sup>T<sup>−3</sup>Θ<sup>−1</sup>, изразена во однос на димензиите маса (M), должина (L), време (T) и температура (Θ).

Други единици кои се тесно поврзани со топлинската спроводливост се во вообичаена употреба во градежната и текстилната индустрија. Градежната индустрија користи мерки како што се Р-вредност (отпор) и У-вредност (пропустливост или спроводност). Иако се поврзани со топлинската спроводливост на материјалот што се користи во изолациониот производ или како склопен, Р- и У-вредностите се мерени по единица површина и зависат од одредената дебелина на производот или склопот.

Слично на тоа, текстилната индустрија има неколку единици, вклучувајќи ги и тог и кло, кои изразуваат топлинска отпорност на материјалот на начин аналоген на Р-вредностите што се користат во градежната индустрија.

== Мерење ==
Постојат неколку начини за мерење на топлинската спроводливост од кои секој е погоден за ограничен опсег на материјали. Општо земено, постојат две категории на мерни техники: техника на стабилна состојба и минлива техника. Техниките на стабилна состојба го добиваат заклучокот за топлинската спроводливост од мерењата на состојбата на материјалот откако ќе биде достигнат температурен профил во стабилна состојба, додека минливите техники работат на моменталната состојба на системот за време на приближувањето до стабилна состојба. Немајќи експлицитна временска компонента, техниките на стабилна состојба не бараат сложена [[обработка на сигнал]]от (стабилната состојба подразбира постојани сигнали). Недостаток е што обично е потребно добро дизајнирана опитна поставеност, а времето потребно за да се постигне стабилна состојба го оневозможува брзото мерење.

Во споредба со цврстите материјали, топлинските својства на течностите потешко се проучуваат опитно. Тоа е затоа што покрај топлинската спроводност, обично се присутни конвективен и озрачувачки пренос на енергија, освен ако не се преземат мерки за ограничување на овие постапки. Образувањето на изолационен граничен слој, исто така, може да резултира со очигледно намалување на топлинската спроводливост.<ref>{{Наведување|last=Daniel V. Schroeder|title=An Introduction to Thermal Physics|year=2000|publisher=Addison Wesley|isbn=0-201-38027-7|page=39}}</ref><ref>{{Наведување|last=Chapman|first=Sydney|last2=Cowling|first2=T.G.|title=The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases|publisher=Cambridge University Press|edition=3|year=1970|page=248}}</ref>

== Опитни вредности ==
[[Податотека:Thermal_conductivity.svg|врска=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Thermal conductivity.svg/550px-Thermal conductivity.svg.png|мини| Опитни вредности на топлинска спроводливост.]]
Топлинската спроводливост на обичните материи опфаќа најмалку четири реда на големина. Гасовите обично имаат топлинска спроводливост, а чистите метали имаат висока топлинска спроводливост. На пример, во [[стандардни услови]] топлинската спроводливост на [[бакар]]от е над {{Вред|10000}} пати поголема од онаа на воздухот.

Од сите материјали, [[Алотропија|алотропите]] на јаглеродот, како што се [[графит]]от и [[дијамант]]от, обично се заслужни за највисока топлинска спроводливост на собна температура.<ref>[http://phys.org/news/2013-07-competitor-diamond-thermal-conductor.html An unlikely competitor for diamond as the best thermal conductor], Phys.org news (July 8, 2013).</ref> Топлинската спроводливост на природниот дијамант на собна температура е неколку пати повисока од онаа на високопроводниот метал како бакарот (иако прецизната вредност варира во зависност од видот на дијамантот).<ref name="CRC-99th-ed">"Thermal Conductivity in W cm<sup>−1</sup> K<sup>−1</sup> of Metals and Semiconductors as a Function of Temperature", in CRC Handbook of Chemistry and Physics, 99th Edition (Internet Version 2018), John R. Rumble, ed., CRC Press/Taylor & Francis, Boca Raton, FL.</ref>

Топлинските спроводливости на избрани супстанции се дадени во табела подолу; може да се најде проширен список во списокот на топлински спроводливости. Овие вредности се само илустративни проценки, бидејќи не ги земаат предвид мерните несигурности или варијабилноста во дефинициите на материјалите.
{| class="wikitable"
!Супстанција
! Топлинска спроводливост (W·m <sup>−1</sup> ·K <sup>−1</sup> )
! Температура (°C)
|-
| [[Земјина атмосфера|Воздух]]<ref>{{Наведување|last=Lindon C. Thomas|title=Heat Transfer|year=1992|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0133849424|page=8}}</ref>
| 0,026
| 25
|-
| Стиропор<ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html|title=Thermal Conductivity of common Materials and Gases|work=www.engineeringtoolbox.com}}</ref>
| 0,033
| 25
|-
| [[Вода]]{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}
| 0,6089
| 26,85
|-
| [[Бетон]]{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}
| 0,92
| -
|-
| [[Бакар]]{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}
| 384,1
| 18.05
|-
| [[Дијамант|Природен дијамант]]<ref name="CRC-99th-ed"/>
| 895–1350
| 26,85
|-
|
|
|}

== Влијателни фактори ==

=== Температура ===
Учинокот на температурата врз топлинската спроводливост е различен за металите и неметалите. Кај металите, топлинската спроводливост првенствено се должи на слободните електрони. Следејќи го Видеман-Францовиот закон, топлинската спроводливост на металите е приближно сразмерна на апсолутната температура (во [[келвин]]и) помножена со електричната спроводливост. Кај чистите метали електричната спроводливост се намалува со зголемување на температурата и на тој начин производот од двете, топлинската спроводливост, останува приближно постојан. Меѓутоа, како што температурите се приближуваат до апсолутната нула, топлинската спроводливост нагло се намалува.<ref name="ozisik">{{Наведена книга|title=Heat conduction|last=Hahn|first=David W.|last2=Özişik|first2=M. Necati|date=2012|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-90293-6|edition=3|location=Hoboken, N.J.|page=5}}</ref> Кај легурите промената на електричната спроводливост е обично помала и на тој начин топлинската спроводливост се зголемува со температурата, често сразмерно на температурата. Многу чисти метали имаат највисока топлинска спроводливост помеѓу 2 и 10 келвини.

Од друга страна, топлинската спроводливост кај неметалите главно се должи на вибрации на решетката ([[фонон]]и). Освен за висококвалитетни кристали на ниски температури, средната слободна патека на фононот не се намалува значително при повисоки температури. Така, топлинската спроводливост на неметалите е приближно постојана при високи температури. При ниски температури далеку под Дебјевата температура, топлинската спроводливост се намалува, како и топлинскиот капацитет, поради носачко расејување од недостатоци.<ref name="ozisik"/>

=== Хемиска фаза ===
Кога материјалот претрпува фазна промена (на пр. од цврста во течна), топлинската спроводливост може нагло да се промени. На пример, кога мразот се топи за да образува течна вода на 0&nbsp;°C, топлинската спроводливост се менува од 2,18 W/(m⋅K) во 0,56 W/(m⋅K).

Уште подраматично, топлинската спроводливост на течноста дивергира во близина на критичната точка на пареата течност.<ref>{{Наведена книга|title=Transport properties of fluids: their correlation, prediction, and estimation|last=Millat|first=Jürgen|last2=Dymond|first2=J.H.|last3=Nieto de Castro|first3=C.A.|publisher=IUPAC/Cambridge University Press|year=2005|isbn=978-0-521-02290-3|location=Cambridge New York}}</ref>

=== Топлинска анизотропија ===
Некои супстанции, како што се не[[Коцкест кристален систем|коцкестите]] [[кристал]]и, можат да покажат различна топлинска спроводливост по различни кристални оски. [[Сафир]]от е истакнат пример за променлива топлинска спроводливост врз основа на ориентација и температура, со 35 W/(m⋅K) по оската c и 32 W/(m⋅K) долж оската a.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.almazoptics.com/sapphire.htm|title=Sapphire, Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub>|publisher=[[Almaz Optics]]|accessdate=2012-08-15|archive-date=2012-10-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20121012144421/http://www.almazoptics.com/sapphire.htm|url-status=dead}}</ref> Дрвото воглавно подобро спроведува по должината на предметот отколку преку него. Други примери на материјали каде што топлинската спроводливост варира во зависност од насоката се металите кои биле подложени на тешко ладно пресување, ламинирани материјали, кабли, материјалите што се користат за системот за топлинска заштита на вселенски брод и композитни структури засилени со влакна.<ref>{{Наведена книга|title=Heat conduction|last=Hahn|first=David W.|last2=Özişik|first2=M. Necati|date=2012|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-90293-6|edition=3|location=Hoboken, N.J.|page=614}}</ref>

Насоката на протокот на топлина може да се разликува од насоката на топлинскиот градиент, кога е присутна анизотропија.

=== Електрична спроводливост ===
Кај металите топлинската спроводливост е приближно поврзана со електричната спроводливост според Видеман-Францовиот закон, бидејќи слободно подвижните [[Валентен електрон|валентни електрони]] пренесуваат не само електрична струја туку и топлинска енергија. Сепак, општата взаемност помеѓу електричната и топлинската спроводливост не важи за другите материјали, поради зголемената важност на [[фонон]]ските носачи за топлина кај неметалите. Високо електрично спроводливото [[сребро]] е помалку топлински спроводливо од [[дијамант]]от, кој е [[Изолатор|електричен изолатор]], но ја спроведува топлината преку фонони поради неговата уредна атомска низа.

=== Магнетно поле ===
Влијанието на магнетните полиња врз топлинската спроводливост е познато како топлински Халов ефект или Риги-Ледуков ефект.

=== Гасовити фази ===
[[Податотека:Coloured_ceramic_thermal_barrier_coating_on_exhaust_component.jpg|врска=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Coloured ceramic thermal barrier coating on exhaust component.jpg/220px-Coloured ceramic thermal barrier coating on exhaust component.jpg|мини| Компонентите на [[издувен систем|издувниот систем]] со керамички премази кои имаат  топлинска спроводливост го намалуваат загревањето на блиските чувствителни компоненти.]]
Воздухот и другите гасови претставуваат добри изолатори при отсуство на конвекција. Затоа, многу изолациски материјали функционираат едноставно со тоа што имаат голем број џебови исполнети со гас кои ги попречуваат патеките за топлинска спроводливост. Примери за нив се проширен и екструдиран [[полистирен]] (познат како „стиропор“) и силика [[аерогел]], како и топлата облека. Природните биолошки изолатори како што се крзното и [[пердув]]ите постигнуваат слични ефекти со заробување на воздухот во порите, џебовите или празнините.

Гасовите со мала густина, како што се [[водород]]от и [[хелиум]]от, обично имаат висока топлинска спроводливост. Густите гасови како што се [[ксенон]] и дихлородифлуорометан имаат топлинска спроводливост. Исклучокот кај густите гасови, сулфур хексафлуорид, има релативно висока топлинска спроводливост поради високиот [[топлински капацитет]]. Гасовите [[аргон]] и [[криптон]] кои се погусти од воздухот често се користат во изолираното застаклување (прозорци со двојни оклопи) за да се подобрат нивните изолациски особенитости.

Топлинската спроводливост низ рефус материјали во порозен или грануларен облик е регулирана од видот на гасот во гасовитата фаза и неговиот притисок. При ниски притисоци, топлинската спроводливост на гасовитата фаза е намалена, при што ова однесување е регулирано со Кнудсенскиот број, опишан како <math>K_n=l/d</math>, каде <math>l</math> е средната слободна патека на молекулите на гасот и <math>d</math> е видичната големина на празнината на просторот исполнет со гасот. Во еден зрнест материјал <math>d</math> одговара на карактеристичната големина на гасовитата фаза во порите или меѓузрнестите простори.

=== Изотопска чистота ===
Топлинската спроводливост на кристалот може силно да зависи од изотопската чистота, доколку се предпостави дека другите недостатоци на решетката се занемарливи. Забележителен пример е дијамантот: на температура од околу 100 [[Келвин|K]] топлинската спроводливост се зголемува од 10.000 [[Ват|W]]·[[Метар|m]]<sup>−1</sup>·[[Келвин|K]]<sup>−1</sup> за природен дијамант од природен вид IIa (98,9% <sup>12</sup>C), до 41.000 за 99,9% збогатен синтетички дијамант. Вредност од 200.000 е предвидена за 99,999% <sup>12</sup>C на 80 K, под претпоставка дека е инаку чист кристал. Топлинската спроводливост на 99% изотопски збогатен кубен бор нитрид е ~ 1400 [[Ват|W]]·[[Метар|m]]<sup>−1</sup>·[[Келвин|K]]<sup>−1</sup>, што е 90% повисока од онаа на природниот бор нитрид.

== Молекуларно потекло ==
Молекуларните механизми на топлинска спроводност варираат кај различни материјали и главно зависат од деталите на микроскопската структура и молекуларните заемодејсвија. Како таква, топлинската спроводливост е тешка да се предвиди од првите начела. Сите изрази за топлинска спроводливост кои се точни и општи, на пример Грин-Кубовите односи, тешко се применуваат во пракса, обично се состојат од просеци над функциите на взаемност со повеќе честички.<ref>see, e.g., {{Наведување|last=Balescu|first=Radu|author-link=Radu Bălescu|title=Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics|publisher=John Wiley & Sons|year=1975|isbn=978-0-471-04600-4|pages=674–675}}</ref> Забележителен исклучок е еден едноатомен разреден гас, за кој постои добро развиена теорија која ја изразува топлинската спроводливост точно и експлицитно во однос на молекуларните параметри.

Во гас, топлинската спроводност е посредувана од дискретни молекуларни судири. Во поедноставена слика на цврсто тело, топлинската спроводливост се јавува со два механизми: 1) преселба на слободни електрони и 2)  вибрации на решетката [[Фонон|(фонони)]]. Првиот механизам доминира кај чистите метали, а вториот кај неметалните цврсти материи. Во течностите, напротив, прецизните микроскопски механизми на топлинска спроводливост се слабо разбрани.<ref>{{Наведување|last=Incropera|first=Frank P.|last2=DeWitt|first2=David P.|title=Fundamentals of heat and mass transfer|publisher=Wiley|edition=4|year=1996|page=47|isbn=0-471-30460-3}}</ref>

=== Гасови ===
Кај упростен модел на разреден едноатомен гас, молекулите се моделирани како крути сфери кои се во постојано движење и [[Еластичен судир|еластично]] се судираат едни со други и со ѕидовите на нивниот сад. Тоа е таков гас со температура <math>T</math> и густина <math>\rho</math>, [[специфичен топлински капацитет]] <math>c_v</math> и [[молекуларна маса]] <math>m</math>. Според овие претпоставки, се добива елементарна пресметка за топлинската спроводливост

: <math>
k = \beta \rho \lambda c_v \sqrt{\frac{2k_\text{B} T}{\pi m}},
</math>

каде <math>\beta</math> е бројна постојана од прв ред, <math>k_\text{B}</math> е [[Болцманова константа|Болцмановата постојана]] и <math>\lambda</math> е средната слободна патека, која го мери просечното растојание кое една молекула го минува помеѓу судирите.<ref>{{Наведување|last=Chapman|first=Sydney|last2=Cowling|first2=T.G.|title=The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases|publisher=Cambridge University Press|edition=3|year=1970|pages=100–101}}</ref> Бидејќи <math>\lambda</math> е обратно сразмерна со густината, оваа равенка предвидува дека топлинската спроводливост е независна од густината за фиксна температура. Објаснувањето е дека зголемувањето на густината го зголемува бројот на молекули кои носат енергија, но го намалува просечното растојание <math>\lambda</math> за кое молекулата може да патува пред да ја пренесе својата енергија на друга молекула: овие два ефекти се неутрализираат. За повеќето гасови, ова предвидување добро се согласува со опитите при притисок до околу 10 [[Атмосфера (единица)|атмосфери]].{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}} Од друга страна, опитите покажуваат побрзо зголемување со температурата отколку <math>k \propto \sqrt{T}</math> (тука, <math>\lambda</math> е независна од <math>T</math>). Овој неуспех на елементарната теорија може да се проследи до премногу поедноставениот модел на „еластична сфера“, а особено до фактот дека привлечностите помеѓу честичките, присутни во сите гасови од реалниот свет, се игнорираат.

За да се вклучат посложени заемодејствија помеѓу честичките , неопходен е систематски пристап. Еден таков пристап е обезбеден од Чепман-Енскоговата теорија, која изведува експлицитни изрази за топлинска спроводливост почнувајќи од Болцмановата равенка. Болцмановата равенка, пак, дава статистички опис на разреден гас за генерички заемодејствија помеѓу честичките. За едноатомен гас, изрази за <math>k</math> изведени на овој начин го земаат обликот

: <math>
k = \frac{25}{32} \frac{\sqrt{\pi m k_\text{B} T}}{\pi \sigma^2 \Omega(T)} c_v,
</math>

каде <math>\sigma</math> е делотворен пречник на честички и <math>\Omega(T)</math> е функција на температурата чиј експлицитен облик зависи од законот за заемодејство помеѓу честичките.<ref>Chapman & Cowling, p. 167</ref>{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}} За крути еластични сфери, <math>\Omega(T)</math> е независна од <math>T</math> и многу блиска до <math>1</math>. Посложените закони за заемодејство воведуваат слаба температурна зависност. Сепак, не е секогаш лесно да се препознае прецизната природа на зависноста бидејќи <math>\Omega(T)</math> се опишува како повеќедимензионален интеграл кој не може да се изрази во однос на елементарните функции. Алтернативен, еквивалентен начин за прикажување на резултатот е во однос на [[вискозност]]а на гасот <math>\mu</math>, што исто така може да се пресмета во Чепмен-Енскоговиот пристап:

: <math>
k = f \mu c_v,
</math>

каде <math>f</math> е нумерички фактор кој генерално зависи од молекуларниот модел. Меѓутоа, за мазни сферично симетрични молекули, <math>f</math> е многу близок до <math>2.5</math>, не отстапувајќи за повеќе од <math>1%</math> за различни закони за сили помеѓу честичките.<ref name="Chapman & Cowling, p. 247">Chapman & Cowling, p. 247</ref> Бидејќи <math>k</math>, <math>\mu</math>, и <math>c_v</math> се сите добро опишани физички големини кои можат да се мерат независно една од друга, овој израз обезбедува пригоден тест на теоријата. За едноатомните гасови, како што се [[Благороден гас|благородните гасови]], согласноста за опит е прилично добра.<ref>Chapman & Cowling, pp. 249-251</ref>

За гасови чии молекули не се сферично симетрични, уште важи изразот <math>k = f \mu c_v</math>. Меѓутоа, за разлика од сферично симетричните молекули, <math>f</math> значително варира во зависност од конкретната форма на заемодејствијата помеѓу честичките: ова е резултат на енергетската размена помеѓу внатрешниот и транслациониот степен на слобода на молекулите. Експлицитниот третман на овој ефект е тежок во Чепмен-Енскоговиот пристап. Наизменично, приближниот израз <math>f = (1/4){(9 \gamma - 5)}</math> бил предложен од Еукен, каде <math>\gamma</math> е [[Поасонова константа]].<ref name="Chapman & Cowling, p. 247"/>{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}

Целиот овој дел претпоставува дека средната слободна патека <math>\lambda</math> е мала во споредба со макроскопските (системски) величини. Кај крајно разредените гасови оваа претпоставка не успева, а топлинската спроводност наместо тоа е опишана со очигледна топлинска спроводливост која се намалува со густината. На крај, како што оди густината до <math>0</math> системот се приближува до [[вакуум]], а топлинската спроводност целосно престанува.

=== Течности ===
Прецизните механизми на топлинска спроводливост се слабо разбрани кај течностите: не постои молекуларна слика која е и едноставна и точна. Пример за едноставна, но многу приближна теорија е онаа на [[Перси Вилијамс Бриџмен]], во која на течноста и се припишува месна молекуларна структура слична на онаа на цврстите материи, т.е. со молекули сместени приближно на решетка. Елементарните пресметки потоа водат до изразот

: <math>
k = 3(N_\text{A} / V)^{2/3} k_\text{B} v_\text{s},
</math>

каде <math>N_\text{A}</math> е [[Авогадров број]], <math>V</math> е волумен на [[мол]] на течност и <math>v_\text{s}</math> е [[Брзина на звукот|брзината на звукот]] во течноста. Ова обично се нарекува ''Бриџманова равенка''.{{Sfn|Bird|Stewart|Lightfoot|2006}}

=== Метали ===
За '''металите на ниски температури''' топлината се пренесува главно преку слободните електрони. Во овој случај, средната брзина е Фермиевата брзина која е независна од температурата. Средната слободна патека е одредена од нечистотиите и несовршеностите на кристалите кои се исто така независни од температурата. Значи, единствената големина зависна од температурата е топлинскиот капацитет ''c'', кој, во овој случај, е сразмеренсраз на ''Т.'' Значи

: <math>k=k_0\,T \text{ (метал на ниска температура)} </math>

<math>k=k_0\,T \text{ (метал  на  ниска  температура)} </math>

со постојана ''k''<sub>0</sub>. Кај чисти метали, ''k''<sub>0</sub> е голема, така што топлинската спроводливост е висока. При повисоки температури, средната слободна патека е ограничена од фононите, така што топлинската спроводливост има стремеж да се намалува со температурата. Во легурите густината на нечистотиите е многу висока, така што, следствено, ''k'' се мали. Затоа, легурите, како што е не’рѓосувачки челик, може да бидат користени за топлинска изолација.

=== Бранови на решетките ===
Преносот на топлина како кај аморфните така и кај кристалните [[Диелектрик|диелектрични]] цврсти материи се врши преку еластични вибрации на решетката (т.н.,[[фонон]]и). Овој преносен механизам се претпоставува дека е ограничен со еластичното расејување на акустичните фонони кај нечистотиите на решетката. Ова било потврдено со опитите на Чанг и Џонс на комерцијални очила и стаклена керамика, каде што било откриено дека просечните слободни патеки се ограничени со „внатрешно гранично расејување“ на скали со должина од 10<sup>−2</sup>&nbsp;cm до 10 <sup>−3</sup>&nbsp;cm.

Слободната патека на средниот фонон е директно поврзана со делотворната должина при одмарање за постапки без насочена взаемност. Ако V<sub>g</sub> е групна брзина на фононски бранов пакет, тогаш должината на одмор <math>l\;</math> се опишува како:

: <math>l\;=V_\text{g} t</math>

каде што ''t'' е карактеристично време за одмор. Бидејќи надолжните бранови имаат многу поголема фазна брзина од попречните бранови,<ref>{{Наведена книга|url=https://books.google.com/books?id=JLURAQAAIAAJ|title=Berkeley Physics Course: Vol. 3: Waves|last=Crawford|first=Frank S.|publisher=McGraw-Hill|year=1968|isbn=9780070048607|page=215}}</ref> ''V''<sub>лонг</sub> е многу поголема од ''V''<sub>транс</sub>, а должината на одмор или средната слободна патека на надолжните фонони ќе биде многу поголема. Така, топлинската спроводливост во голема мера ќе биде одредена од брзината на надолжните фонони.<ref>
{{Наведено списание|last=Pomeranchuk|first=I.|year=1941|title=Thermal conductivity of the paramagnetic dielectrics at low temperatures|journal=[[Journal of Physics USSR]]|volume=4|page=357|issn=0368-3400}}</ref>

Што се однесува до зависноста на брзината на бранот од брановата должина или честота (дисперзија), нискочестотните фонони со долга бранова должина ќе бидат ограничени во должина на одмор со еластично Рејлево расејување. Овој вид на расејување на светлина од мали честички е сразмерен на четвртиот степен на честотата. За повисоки честоти, степенот на честотата ќе се намали додека на највисоките честоти расејувањето не е речиси независно од честотата. Слични аргументи последователно биле генерализирани за многу супстанции кои образуваат стакло користејќи Брилуиново расејување.

Фононите во акустичната гранка доминираат во спроводливоста на топлината на фононот бидејќи имаат поголема енергетско распрснување и затоа поголема распространетост на фононските брзини. Дополнителни оптички режими, исто така, може да бидат предизвикани од присуството на внатрешна структура (т.е. полнеж или маса) на точка на решетката; се подразбира дека групната брзина на овие режими е мала и затоа нивниот придонес во топлинската спроводливост на решетката ''λ'' <sub>L</sub> (<math>\kappa </math><sub>L</sub>) е мал.

Секој фононски режим може да се подели на една надолжна и две попречни гранки на поларизација. Со екстраполирање на феноменологијата на точките на решетката на единечните ќелии, се гледа дека вкупниот број на степени на слобода е 3''pq'' кога ''p'' е бројот на примитивни ќелии со ''q'' атоми/основна ќелија. Од овие само 3p се поврзани со акустичните режими, останатите 3''p''(''q''−1) се сместени преку оптичките гранки. Ова наведува дека структурите со поголеми ''p'' и ''q'' содржат поголем број на оптички режими и намалена ''λ''<sub>L</sub>.

Од овие идеи, може да се заклучи дека зголемената сложеност на кристалите, која е опишана со факторот на сложеност ЦФ (опишан како број на атоми/примитивна единечна клетка), ја намалува λ<sub>L</sub>.  Ова беше направено со претпоставка дека времето на одмор ''τ'' се намалува со зголемување на бројот на атоми во единичната клетка и потоа соодветно скалирање на параметрите на изразот за топлинска спроводливост при високи температури.

Опишувањето на нехармоничните ефекти е сложено бидејќи не е возможен точен третман како во хармоничниот случај, а фононите повеќе не се точни сопствени решенија на равенките на движење. Дури и ако состојбата на движење на кристалот може да се опише со рамен бран во одредено време, неговата точност постепено ќе се намалува со текот на времето. Развојот на времето би требало да биде опишан со воведување на спектар на други фонони, кој е познат како фононско распаѓање. Двата најважни нехармонични ефекти се топлинското ширење и фононската топлинска спроводливост.

Само кога фононскиот број ‹n› отстапува од вредноста на рамнотежата ‹n›<sup>0</sup>, може да се појави топлинска струја како што е наведено во следниот израз

: <math>Q_x=\frac{1}{V} \sum_{q,j} {\hslash \omega \left (\left \langle n \right \rangle-{ \left \langle n \right \rangle}^0 \right)v_x}\text{,}</math>

каде што ''v'' е енергетската преносна брзина на фононите. Постојат само два механизми кои можат да предизвикаат временски варијации на ‹''n''› во одреден регион. Бројот на фонони што се дифузираат во регионот од соседните региони се разликува од оние што се дифузираат надвор, или фонони се распаѓаат внатре во истиот регион во други фонони. Посебен образец на Болцмановата равенка

: <math>\frac{d\left \langle n\right \rangle}{dt}={\left(\frac{\partial \left \langle n\right \rangle}{\partial t}\right)}_{\text{diff.}}+{\left(\frac{\partial \left \langle n\right \rangle}{\partial t}\right)}_\text{decay}</math>

го наведува ова. Кога се претпоставуваат услови за стабилна состојба, вкупниот временски извод на фононскиот број е нула, бидејќи температурата е постојана во времето и затоа и фононскиот број останува постојан. Временската варијација поради распаѓање на фононот е опишана со приближување на времето на одмор (''τ'').

: <math>{\left(\frac{\partial \left \langle n\right \rangle}{\partial t}\right)}_\text{decay}=-\text{ }\frac{\left \langle n\right \rangle-{\left \langle n\right \rangle}^{0}}{\tau},</math>

која вели дека колку повеќе фонотскиот број отстапува од неговата рамнотежна вредност, толку повеќе се зголемува неговата временска варијација. При услови на стабилна состојба и месна топлинска рамнотежа се претпоставува дека ја добиваме следната равенка

: <math>{\left(\frac{\partial \left(n\right)}{\partial t}\right)}_\text{diff.}=-{v}_{x}\frac{\partial {\left(n\right)}^{0}}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial x}\text{.}</math>

Со користење на приближување на времето на одмор за Болцмановата равенка и претпоставување на услови на стабилна состојба, може да се одреди топлинската спроводливост на фононот ''λ''<sub>L.</sub> Температурната зависност за ''λ''<sub>L</sub> потекнува од разновидноста на постапките, чие значење за ''λ'' <sub>L</sub> зависи од температурниот опсег на интерес. Средната слободна патека е еден фактор што ја одредува температурната зависност за ''λ''<sub>L</sub>, како што е наведено во следната равенка

: <math>{\lambda}_{L}=\frac{1}{3V}\sum _{q,j}v\left(q,j\right)\Lambda \left(q,j\right)\frac{\partial}{\partial T}\epsilon \left(\omega \left(q,j\right),T\right),</math>

каде Λ е средната слободна патека за фонон и <math>\frac{\partial}{\partial T}\epsilon</math> е ознака за [[Топлински капацитет|топлинскиот капацитет]]. Оваа равенка е исход на комбинирање на четирите претходни равенки една со друга и со знаење дека <math>\left \langle v_x^2\right \rangle=\frac{1}{3}v^2</math> за кубни или изотропни системи и <math>\Lambda =v\tau </math>.<ref name="ssp">
{{Наведена книга|title=Solid-State Physics: An Introduction to Principles of Materials Science|last=Ibach|first=H.|last2=Luth|first2=H.|publisher=[[Springer (publisher)|Springer]]|year=2009|isbn=978-3-540-93803-3}}</ref>

При ниски температури (помали од 10 К) нехармоничното меѓудејствие не влијае на средната слободна патека и затоа, топлинската отпорност се определува само од постапки за кои не постои q-зачувување. Овие постапки вклучуваат расејување на фононите со кристални недостатоци или расејување од површината на кристалот во случај на висококвалитетен еднинствен кристал. Затоа, топлинската спроводност зависи од надворешните димензии на кристалот и квалитетот на површината. Така, температурната зависност на λ<sub>L</sub> се определува со специфичната топлина и затоа е сразмерна на T<sup>3</sup>.<ref name="ssp"/>

Фононскиот квазимоментум е опишан со ℏq и се разликува од нормалниот импулс во тоа што е опишан само во произволен реципрочен вектор на решетката. На повисоки температури (10 K<''T''<''Θ''), зачувувањето на енергијата <math>\hslash {\omega}_{1}=\hslash {\omega}_{2}+\hslash {\omega}_{3}</math> и квазимоментум <math>\mathbf{q}_{1}=\mathbf{q}_{2}+\mathbf{q}_{3}+\mathbf{G}</math>, каде што '''q'''<sub>1</sub> е брановиот вектор на инцидентниот фонон и '''q'''<sub>2</sub>, '''q'''<sub>3</sub> се бранови вектори на резултантните фонони, исто така може да вклучи реципрочен вектор на решетка '''G''' што го усложува постапката на пренос на енергија. Овие постапки, исто така, можат да ја променат насоката на преносот на енергијата.

Затоа, овие постапки се познати и како расфрлачки постапки (У-постапки) и може да се појават само кога се возбудени фонони со доволно големи ''q'' -вектори, бидејќи освен ако збирот на '''q''' <sub>2</sub> и '''q''' <sub>3</sub> точки надвор од Брилуеновата зона, моментумот е зачуван и постапката е нормално расејување (Н-постапка). Веројатноста фононот да има енергија ''Е'' е дадена со Болцмановото распределување <math>P\propto {e}^{-E/kT}</math>. За да се случи У-постапката, распаѓачкиот фонон да има бранов вектор '''q'''<sub>1</sub> што е приближно половина од пречникот на Брилуеновата зона, бидејќи во спротивно квазимоментумот не би бил зачуван.

Затоа, овие фонони треба да поседуваат енергија од <math>\sim k\Theta /2</math>, што е значителен дел од Дебјевата енергија која е потребна за генерирање на нови фонони. Веројатноста за ова е сразмерна на <math>{e}^{-\Theta /bT}</math>, со <math>b=2</math>. Температурната зависност на средната слободна патека има експоненцијален облик <math>{e}^{\Theta /bT}</math>. Присуството на реципрочниот бранов вектор на решетки имплицира обратно расејување на нет фонон и отпор кон фонон и топлински пренос што резултира со конечна ''λ''<sub>L</sub>, бидејќи тоа значи дека моментумот не е зачуван. Само постапките кои не го зачувуваат моментумот можат да предизвикаат топлинска отпорност.<ref name="ssp"/>

При високи температури (''T'' > Θ), средната слободна патека и затоа ''λ''<sub>L</sub> има температурна зависност ''T'' <sup>−1</sup>, до која се доаѓа од формулата <math>{e}^{\Theta /bT}</math> со правење на следнава апроксимација <math>{e}^{x}\propto x\text{ },\text{ }\left(x\right) < 1</math>  и запишување <math>x=\Theta /bT</math>. Оваа зависност е позната како Еукенов закон и потекнува од температурната зависност на веројатноста за појава на У-постапката.<ref name="ssp"/>

Топлинската спроводливост обично е опишувана со Болцмановата равенка со приближување на времето на одмор во која фононското расејување е ограничувачки фактор. Друг пристап е да бидат користени аналитички модели или молекуларна динамика или методи засновани на Монте Карло за да се опише топлинската спроводливост во цврсти материи.

Кратките бранодолжински фонони се силно расеани од нееднородните атоми доколку е присутна легурна фаза, но фононите со средна и долга бранова должина се помалку засегнати. Фононите со средна и долга бранова должина носат значителен дел од топлината, така што за дополнително намалување на топлинската спроводливост на решетката, треба да се воведат структури за расејување на овие фонони. Ова се постигнува со воведување механизам за посредничко расејување, кој бара структури чија особенита должина е поголема од онаа на нееднородниот атом. Некои можни начини за остварување на овие посредници се нанокомпозити и вградени наночестички или структури.

== Предвидување ==
Бидејќи топлинската спроводливост постојано зависи од количините како што се температурата и составот на материјалот, таа не може целосно да биде карактеризирана со конечен број опитни мерења. Предвидувачките формули стануваат неопходни доколку опитните вредности не се достапни во физичките услови од интерес. Оваа способност е важна во топлинскофизичките симулации, каде што количините како што се температурата и притисокот постојано се менуваат со просторот и времето и може да опфатат крајни услови недостапни за директно мерење.

=== Во течности ===
За наједноставните течности, како што се разредените едноатомни гасови и нивните мешавини, од почеток (''ab initio'') квантните механички пресметки можат точно да ја предвидат топлинската спроводливост во однос на основните атомски својства - односно, без повикување на постоечките мерења на топлинската спроводливост или други преносни својства. Овој метод ја користи Чепмен-Енскоговата теорија за да го оцени проширувањето на топлинската спроводливост со мала густина. Чепмен-Енскоговата теорија, пак, зема основни меѓумолекулски потенцијали како влез, кои се пресметувани од почеток од квантно механички опис.

За повеќето течности, таквите пресметки со висока прецизност и први начела не се изводливи. Наместо тоа, теоретските или емпириските изрази мора да одговараат на постоечките мерења на топлинска спроводливост. Ако таков израз одговара на податоци со голема точност во голем опсег на температури и притисоци, тогаш тој се нарекува „наведена взаемност“ за тој материјал. Биле објавувани наведени взаемности за многу чисти материјали; примери се [[јаглерод диоксид]], [[амонијак]] и [[бензен]]. Многу од нив покриваат температурни и притисочни опсези кои ги опфаќаат гасните, течните и [[Суперкритична течност|суперкритичните]] фази.

Софтверот за термофизичко моделирање често се потпира на наведени корелации за предвидување на топлинска спроводливост на температура и притисок одредени од корисникот. Овие корелации може да бидат сопственички. Примери се REFPROP<ref>{{Наведено списание|last=<!--Not stated-->|date=2018-01-01|title=NIST Reference Fluid Thermodynamic and Transport Properties Database (REFPROP): Version 10|url=https://www.nist.gov/srd/refprop|journal=Nist|access-date=2021-12-23}}</ref>  (РЕФПРОП) (комерцијален) и CoolProp  (КулПроп) (отворен код).

Топлинската спроводливост, исто така, може да се пресмета со помош на Грин-Кубовите односи, кои ги изразуваат преносните коефициенти во однос на статистиката на молекуларните траектории.<ref>{{Наведена книга|url=http://www.jstor.org/stable/j.ctt24h99q|title=Statistical Mechanics of Nonequilibrium Liquids|last=Evans|first=Denis J.|last2=Morriss|first2=Gary P.|publisher=ANU Press|year=2007|isbn=9781921313226|jstor=j.ctt24h99q}}</ref> Предноста на овие изрази е што тие се формално точни и валидни за општи системи. Недостаток е што тие бараат детално познавање на траекториите на честичките, достапни само во пресметковно скапи симулации како што е [[Молекуларна динамика|молекуларната динамика]]. Потребен е и точен модел за заемодејствија помеѓу честичките, што може да биде тешко да се добие за сложени молекули.

== Поврзано ==
 {{Div col|colwidth=20em}}
*[[Бакарот во топлински разменувачи]]
*[[Топлинска пумпа]]
*[[Топлински пренос]]
*[[Топлински пренос#Механизми|Механизми на топлински пренос]]
*[[Изолирана цевка]]
*[[Посредничка топлинска отпорност]]
*[[Анализа на ласерски блиц]]
*[[Список на топлински спроводници]]
*[[Материјал за промена на фазата]]
*[[Р-вредност (изолација)]]
*[[Специфичен топлински капацитет]]
*[[Топлински мост]]
*[[Квантум за топлинска спроводливост]]
*[[Топлинска допирна спроводливост]]
*[[Топлински дифузивитет]]
*[[Топлински ефузивитет]]
*[[Топлинска влезна должина]]
*[[Топлинска посреднички материјал]]
*[[Топлинска диода]]
*[[Топлински отпор]]
*[[Термистор]]
*[[Термодвојка]]
*[[Термодинамика]]
*[[Мерење на топлинска спроводливост]]
*[[Огноотпорни метали]]{{Div col end}}

== Наводи ==

=== Забелешки ===
<references group="note" responsive="1"></references>

=== Цитати ===
<references responsive="1"></references>

=== Извори ===
 {{refbegin}}
* {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=L5FnNlIaGfcC|title=Transport Phenomena|last1=Bird|first1=R.B.|last2=Stewart|first2=W.E.|last3=Lightfoot|first3=E.N.|publisher=Wiley|year=2006|isbn=978-0-470-11539-8|volume=1}}
{{refend}}

=== Дополнителна книжевност ===

==== Текстови за додипломски студии (инженерство) ====
 {{refbegin}}
*{{Citation|last1=Bird|first1=R. Byron|last2=Stewart|first2=Warren E.|last3=Lightfoot|first3=Edwin N.|title=Transport Phenomena|title-link=Transport Phenomena (book)|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|edition=2|year=2007|isbn=978-0-470-11539-8}}. A standard, modern reference.
*{{Citation|last1=Incropera|first1=Frank P.|last2=DeWitt|first2=David P.|title=Fundamentals of heat and mass transfer|publisher=Wiley|edition=4|year=1996|isbn=0-471-30460-3}}
*{{Citation|last1=Bejan|first1=Adrian|title=Heat Transfer|publisher=John Wiley & Sons|year=1993|isbn=0-471-50290-1}}
*{{Citation|last1=Holman|first1=J.P.|title=Heat Transfer|publisher=McGraw Hill|edition=8|year=1997|isbn=0-07-844785-2}}
*{{Citation|first=William D.|last=Callister|year=2003|title=Materials Science and Engineering - An Introduction|chapter=Appendix B|publisher=John Wiley & Sons|isbn=0-471-22471-5}}
{{refend}}

==== Текстови за додипломски студии (физика) ====
 {{refbegin}}
*Halliday, David; Resnick, Robert; & Walker, Jearl (1997). ''Fundamentals of Physics'' (5th ed.). John Wiley and Sons, New York {{ISBN|0-471-10558-9}}. An elementary treatment.
*{{Citation|author=Daniel V. Schroeder|title=An Introduction to Thermal Physics|url=https://books.google.com/books?id=1gosQgAACAAJ|year=1999|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0-201-38027-9}}. A brief, intermediate-level treatment.
*{{Citation|last1=Reif|first1=F.|title=Fundamentals of Statistical and Thermal Physics|publisher=McGraw-Hill|year=1965}}. An advanced treatment.
{{refend}}

==== Текстови на дипломирани студенти ====
 {{refbegin}}
*{{Citation|last1=Balescu|first1=Radu|author-link=Radu Bălescu|title=Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics|publisher=John Wiley & Sons|year=1975|isbn=978-0-471-04600-4}}
*{{Citation|last1=Chapman|first1=Sydney|last2=Cowling|first2=T.G.|title=The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases|publisher=Cambridge University Press|edition=3|year=1970}}. A very advanced but classic text on the theory of transport processes in gases.
*Reid, C. R., Prausnitz, J. M., Poling B. E., ''Properties of gases and liquids'', IV edition, Mc Graw-Hill, 1987
*Srivastava G. P (1990), ''The Physics of Phonons''. Adam Hilger, IOP Publishing Ltd, Bristol
{{refend}}

== Надворешни врски ==

* [http://www.thermopedia.com/content/1186/ Термопедија ТОПЛИНСКА СПРОВОДЛИВОСТ]
* [https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1725836 Придонес на меѓујонските сили за топлинската спроводливост на растворите на разреден електролит The Journal of Chemical Physics 41, 3924 (1964)]
* Важноста на [https://tempsand.com.au/soil-thermal-and-electrical-conductivity-test-by-tempsand топлинската спроводливост на почвата] за електроенергетските компании
* [https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1730841 Топлинска спроводливост на гасни мешавини во хемиска рамнотежа.] [https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1730841 II The Journal of Chemical Physics 32, 1005 (1960)]
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Термодинамички својства]]
[[Категорија:Физички величини]]
[[Категорија:Пренос на топлина]]
[[Категорија:Собирање на топлина]]