Преглед на кодот на Триаголник

{{Правилен многуаголник бп|Правилен многуаголник|p3}}
'''Триаголник''' — [[геометриски лик]] (геометриска фигура) со три [[теме (геометрија)|темиња]], три [[раб (геометрија)|страни]] и три [[внатрешни и надворешни агли|внатрешни агли]].<ref>{{ДРМЈ|триаголник}}</ref><ref name=Oxford>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Triangle | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=795|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/triangle.html| title =Triangle | title=Триаголник| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref>

'''Основни правила:''' 
*Триаголник е [[многуаголник|прост многуаголник]], т.е. е затворена фигура, неговите страни не се прекрстуваат и е [[испакнат многуаголник|испакнат]].
* Збирот на внатрешните агли на секој триаголник е 180<sup>o</sup>.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Triangle|publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}</ref> Значи, знаејќи ги големините на два од трите внатрешни агли, може да се пресмета големината на третиот агол. 
<div style="margin-left:25px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:2px"
|- 
| <math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ</math>. 
|}</div>
* Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]] три точки одредуваат триаголник, т.е. триаголник е [[потполна определеност|потполно определен]] знаејќи ги координатите на 3-те темиња, односно должините на неговите три страни.
</div>

==Триаголници во светот==
Триаголникот е наjстабилната сводимензионална фигура бидејќи тој е потполно определен со должините на неговите три страни. Поради тоа триаголници имаат посебно место во градежништво. Слабите точка во конструкција се темињата каде што се прицврстуваат два линиски делови. Под влијание на сила - доколку можат - најпрво деловите меѓусебно ќе се заротираат во темето на прицврстување сметајќи го аголот помеѓу нив. Кај триаголник деловите никако не можат да се заротираат бидејќи должините на страните ги определуваат аглите. Значи, треба да се деформираат страните пред да се менуваат аглите. Од друга страна, [[четириаголник]] не е стабилна. На пример, постојат безбројно многу четириаголници со истите четири еднакви страни (еден од кој е квадрат, а другите се ромбови). Значи, без воопшто да се деформираат самите страни, [[квадрат]] може да се сплеска во [[ромб]] заротирувајќи ги страните кај темињата.<ref>{{Наведена книга|title=Hands-on Mathematics: Grade 3, Chapter 13: Patterns in Structures|last1=Lawson|first1=J.|publisher=Portage & Main Publishers|year=2006|isbn=978-1-55379-044-0|url=http://books.google.mk/books?id=Kniv6GdiKF4C&pg=PA239#v=twopage}}</ref>
<div style="margin-left:15px">
{| class=wikitable border=1
|- align=center
|[[Податотека: RRTrussBridgeSideView.jpg|200px]]
|[[Податотека: Triangle_stable.svg|450п]]
|-align=center style="font-size:86%;line-height:1.1em"
|width=200|Триаголници во конструкција
|width=450|Стабилноста на триаголник споредена со стабилноста на квадрат. 
|}
</div>

{| class="wikitable" style="float:right;"
|-style="font-size:86%; border:1px solid black"
|[[Податотека: Triangle_sum_180.gif]]<br />Збирот на внатрешните агли на триаголник е 180&deg;. Создаден со [[Геогебра]]<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Triagolnik|last1=Стојановска|first1=Л.|title=Триаголник|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2013-10-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20131027113137/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Triagolnik|url-status=dead}} интерактивен</ref> 
|}
== Формули и особини за триаголник==
<div style="line-height:2em">
*Нека страните на еден триаголник се означeни ''a'', ''b'' и ''c'', а истовремено ги користиме овие букви и за нивната должина.

===Означување на темиња и агли===
Стандардно е:
*Темето спротивно на страната ''a'' да се означува со A (голема буква), а внатрешниот агол со темето А да се означува со грчката буква &alpha;.
*Темето спротивно на страната ''b'' да се означува со B (голема буква), а внатрешниот агол со темето B да се означува со грчката буква &beta;.
*Темето спротивно на страната ''c'' да се означува со C (голема буква), а внатрешниот агол со темето C да се означува со грчката буква &gamma;.

===Висина ''h'' на триаголник ===
{{Главна|Висина на триаголник}}
*Навистина, триаголник има три висини: ''h''<sub>''a''</sub>, ''h''<sub>''b''</sub> и ''h''<sub>''с''</sub> (види ја [[Триаголник#.D0.A2.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5 .D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BD.D0.B8 .D0.BD.D0.B0 .D1.80.D0.B0.D0.B7.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.B0.D0.BD .D1.82.D1.80.D0.B8.D0.B0.D0.B3.D0.BE.D0.BB.D0.BD.D0.B8.D0.BA|сликата подолу]]).

Меѓутоа, обичајно е во елементарната геометрија да триаголник има '''[[основа (геометрија)|основа]]''', т.е. да има долна хоризонтална страна и таа страна да се означува со ''b'' (основа {{lang-en|base}}). Темето B е спротивно на основата ''b''. '''Висината''' ''h'' е отсечката од точката B до таа точка на основата ''b'' таква што ''h'' e [[нормални прави|нормална]], т.е. прави [[прав агол]] со страната ''b''. Значи ''h'' е висина на триаголник со основа ''b''. 
</div>

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. &frac12; &middot; ''b'' &middot; ''h'' = &frac12; &times; ''b'' &times; ''h''

{| class="wikitable" style="float:right;"
|- style="font-size:86%; border:1px solid black"
|[[Податотека:Triangle_altitude_std.svg|200п]]<br/>Висина ''h'' од основата ''b'' до темето B.
|}

'''[[Периметар]]''' е збир на должините на трите страни
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>L = a+b+c </math>
|}
</div>

'''[[Плоштина]]''' е:<ref>Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, ''Математика за II година гимназиско образование''. Скопје: Алби, 2009, стр. 122.</ref> 
* '''Една половина од основата помножена со висината''' 
:Тогаш висината ''h''<sub>''b''</sub> се означува само со ''h'', т.е. ''h'' е висина на триаголник со основа ''b''. 
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>P = \tfrac{1}{2} \cdot b \cdot h </math>. 
|}</div>
* '''[[Херонова формула]]'''
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>P = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)} </math>. &nbsp;&nbsp;каде што&nbsp; <math>s = \tfrac{1}{2}(a+b+c)= \tfrac{L}{2}</math> е [[полуобем]]от.
|}</div>

'''[[Дијагонала]]''': Триаголник нема дијагонали бидејќи секоја отсечка која сврзува две темиња е страна на самиот триаголник.

'''Пример:''' Нека е даден триаголник со страна ''a''=5&nbsp;км, ''b''=7&nbsp;км и ''c''=9&nbsp;км. Тогаш, периметарот e L=''a''+''b''+''c''=5&nbsp;км+7&nbsp;км+9&nbsp;км=21&nbsp;км. За плоштината (бидејќи нема висина) ја користиме Херонова формула: ''s''=<sup>L</sup>/<sub>2</sub>=10,5&nbsp;км. P<sup>2</sup>=10,5&middot;5,5&middot;3,5*1,5. Значи, P &asymp; 17,41&nbsp;км&sup2;.

'''Пример:''' Нека е даден триаголник со основа ''b''=12mm и висина ''h''=5mm. Тогаш плоштината е P= &frac12;''b''&middot;''h''= &frac12; 12mm&middot;5mm=30mm<sup>2</sup>.

Забелешка: Во вториот пример погоре не може да се пресмета периметарот бидејќи нема доволно информации! Триаголник '''не''' е [[потполна определеност|потполно определeн]] со основа и висина, т.е. постојат безбројно многу триаголници со истата основа и висина, а различни страни (па затоа и различни периметри). На пример: Двата триаголници Т1 и Т2 ја имаат истата основа ''b''=12mm и истата висина ''h''=5mm. Значи ја имаат истата плоштина P=30mm<sup>2</sup>. Меѓутоа, имаат различни периметри. 
:Т1 со ''a''=5mm, ''b''=12mm и ''c''=13mm  и  Т2 со ''a'' = ''c'' = &frac12; √<span style="text-decoration:overline">''61''</span>mm и ''b''=12mm

==Видови триаголници==
===Според должините на нивните страни===
Триаголниците можат да бидат класифицирани според должините на нивните страни:

*'''[[Рамностран триаголник]]:''' сите страни се еднакви по должина. Страните се означуваат со буквата ''a''.
<div style="line-height:1.2em">
::&bull;  Трите внатрешни агли &alpha; се еднакви, &alpha;= 60&deg; = <sup>&pi;</sup>/<sub>3</sub> &asymp; 1,05.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/equilateral.html| title =Equilateral Triangle | title=Рамностран триаголник| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref>
::&bull;  Трите висини се еднакви. Висината е ''h''=''a'' &middot; <sup>√<span style="text-decoration:overline">3</span></sup>/<sub>2</sub> &asymp; 0,866''a''.
::&bull;  Периметарот е: ''L''=''a''+''a''+''a'' = 3&middot;''а''.
::&bull;  Плоштината е:<ref>Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, ''Математика за II година гимназиско образование''. Скопје: Алби, 2009, стр. 123.</ref> ''P''=''a''&sup2; &middot; <sup>√<span style="text-decoration:overline">3</span></sup>/<sub>4</sub> &asymp; 0,43366''a''&sup2;.
::&bull;  Сите рамностран триаголници се [[сличност|слични]].
::&bull;  Рамностран триаголник е [[правилен многуаголник]].
</div>

*'''[[Рамнокрак триаголник]]:''' најмалку две страни се со еднаква должина наречени краци, а третата нееднаква на нив страна е наречена основа. Двете еднакви страни се означуваат со ''a'', а основата со ''b''.
<div style="line-height:1.2em">
::&bull;  Двете внатрешни агли &alpha; формирани помеѓу еднаква страна и основата се еднакви и &alpha; = 90&deg; &minus; <sup>&beta;</sup>/<sub>2</sub><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/isosceles.html| title =Isosceles Triangle | title=Рамнокрак триаголник| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref>
::&bull;  Висината ''h''=''h''<sub>''b''</sub> = √<span style="text-decoration:overline">4''a''&sup2;-''b''&sup2;</span>
::&bull;  Периметарот е: ''L''=''a''+''a''+''b'' = 2&middot;''а''+''b''.
::&bull;  Плоштината е: ''P''=''b''&middot; <sup>√<span style="text-decoration:overline">4''a''&sup2;-''b''&sup2;</span></sup>/<sub>4</sub>
</div>

*'''[[Разностран триаголник]]:''' сите страни имаат различни должини.
<div style="line-height:1.2em">
::&bull;  Трите внатрешни агли имаат различна големина.
::&bull;  Најмалиот агол е спротивен на најмалата страна.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/scalene.html| title =Scalene Triangle | title=Разнокрак триаголник| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref>
::&bull;  Најголемиот агол е спротивен на најголемата страна.
</div>

<div style="margin-left:15px;">
{|
|- align="center"
|width=150px|[[Податотека:Triangle.Equilateral.svg|Рамностран триаголник]]
|width=150px|[[Податотека:Triangle.Isosceles.svg|Рамнокрак триаголник]]
|width=150px|[[Податотека:Triangle.Scalene.svg|Разностран триаголник]]
|- align="center" style="font-weight:bold"
|Рамностран
|Рамнокрак
|Разностран
|}
</div>

===Според внатрешните агли===
Триаголниците можат да бидат класифицирани и според големината на нивниот најголем внатрешен агол, опишано подолу со користење на [[степен (агол)|степени]].
* '''[[Правоаголен триаголник]]''' има еден внатрешен агол од 90° ([[прав агол]]). 
<div style="line-height:1.2em">
::&bull;  Страната спроти правиот агол се нарекува [[хипотенуза]]; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со ''c''. 
::&bull;  Другите две страни се викаат '''[[катета|катети]]''' и се означувани со ''a'' и ''b''.
::&bull;  ''a''&sup2; + ''b''&sup2; = ''c''&sup2;  [[Питагорова теорема]] 
::&bull;  Периметарот е: ''L'' = ''a''+''b''+''c''.
::&bull;  Плоштината е: ''P'' = &frac12; &middot; ''a'' &middot; ''b''.<ref>Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, ''Математика за II година гимназиско образование''. Скопје: Алби, 2009, стр. 123.</ref> 
</div>

* [[Тапоаголен триаголник]] има еден внатрешен агол поголем од 90° (таквиот агол се нарекува [[тап агол]]).
* [[Остроаголен триаголник]] има внатрешни агли кои се помали од 90° (три [[остар агол|остри агли]]).

<div style="margin-left:15px;">
{|
|- align="center"
|width=150px|[[Податотека:Triangle.Right circle.svg|Правоаголен триаголник]]
|width=150px|[[Податотека:Triangle.Obtuse.svg|Тапоаголен триаголник]]
|width=150px|[[Податотека:Triangle.Acute.svg| Остроаголен триаголник]]
|- align="center" style="font-weight:bold"
|Правоаголен
|Тапоаголен
|Остроаголен 
|}
</div>

==Трите висини на разностран триаголник==
Разностран триаголник има три различни висини. Секоја висина е отсечка со почетната точка во едното теме, крајната точка на спротивната страна и [[нормални прави|нормална]] на таа страна. Бидејќи плоштината на еден триаголник е иста, следува
:<math>P=\tfrac{1}{2}a \cdot h_a=\tfrac{1}{2}b \cdot h_b=\tfrac{1}{2}c \cdot h_c</math>
<div style="margin-left:15px;">
{| class="wikitable" border=1
|- 
|colspan=3|[[Податотека: Triangle_altitude_3.svg|600px]]
|-
|align=center|Висината до страна ''a''
|align=center|Висината до страна ''b''
|align=center|Висината до страна ''c''
|}
</div>

==Впишана кружница на триаголник==
===Симетрали на внатрешните агли===
<div style="line-height:2em">
*Симетралите на внатрешните агли на триаголник се сретнуваат во една точка.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMT668.Student.Folders/BrombacherAarnout/write-up%203.aarnout/incenterproof.html|title=Proof of concurrency of incircle|last1=Wilson|first1=Jim|publisher=Univ. Georgia|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}{{Мртва_врска|date=August 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/triangleincenter.html| title =Triangle Incenter | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref>
*Секој триаголник има [[впишана кружница]], т.е. кружница која е внатре во триаголникот, а се допира на сите три страни на триаголникот, т.е. трите страни се [[тангента|тангенти]] на кружницата (види слика долу).<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Inscribing_Circle_in_Triangle|2=|title=Proof of Inscribed Circle in Triangle|language=англиски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2019-05-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20190517010944/https://proofwiki.org/wiki/Inscribing_Circle_in_Triangle|url-status=dead}}</ref><ref name="Inscribe a Circle in a Triangle">{{Наведена мрежна страница|url=http://www.mathsisfun.com/geometry/construct-triangleinscribe.html|title=Inscribe a Circle in a Triangle | title=Впишана кружница во триаголник| publisher =Math is Fun|year=2011|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref>

'''Формула:''' Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот ''r'' на впишаната кружница е [[растојание]]то од центарот до која било страна и има [[должина]]:
: <math>r = \frac{2P}{L} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}</math>
</div>
<div style="margin-left:15px">
{| class=wikitable border=1 width=600
|- align=center
|width=200px|[[Податотека:triangle_incenter.svg|190px]]
|width=200px|[[Податотека:triangle_inscribed.svg|190px]]
|width=200px|[[Податотека:triangle_centroid.svg|190px]]
|- align=center
|width=200px |Центарот на впишана кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли
|width=200px |Впишана кружница на триаголник
|width=200px |Тежиште како пресек на тежишните линии (медијаните)
|}
</div>
==Опишана кружница на триаголник==
[[Податотека: circumcircle_mk.gif|right|frame|Опишана кружница со [[Геогебра]]]]
===Симетрали на страните===
<div style="line-height:2em">
*Симетралите на страните на триаголник се сретнуваат во една точка.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMT668.Student.Folders/BrombacherAarnout/write-up%203.aarnout/circumcenterproof.html|title=Proof of concurrency of circumcenter|last1=Wilson|first1=Jim|publisher=Univ. Georgia|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/trianglecircumcenter.html| title =Triangle Circumcenter | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref> (Симетрала на отсечка е права која врви низ средната точка на отсечката и е [[нормални прави|нормална]] на отсечката.) 
*Секој триаголник има [[опишана кружница]], т.е. кружница која е надвор од триаголникот, а трите темиња на триаголникот лежат на кружницата.<ref name="Inscribe a Circle in a Triangle"/><ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Inscribing_Circle_in_Triangle|title=Proof of Inscribed Circle in Triangle|language=англиски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2019-05-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20190517010944/https://proofwiki.org/wiki/Inscribing_Circle_in_Triangle|url-status=dead}}</ref>

'''Формула:''' Центарот на [[опишана кружница|опишаната кружница]] е пресекот на симетралите на страните, а полупречникот ''R'' на опишаната кружница е [[растојание]]то од центарот до кое било теме и има [[должина]]:
: <math>R = \frac{abc}{4P} </math>
</div>
<!--Тука треба дел за excircles ... -->

==Тежишни линии и тежиште==
Во [[геометрија]]та, '''[[тежишна линија]]''' на триаголник е отсечка која поврзува теме од триаголникот со средната точка на страна спротивна на тоа теме. Друг термин за тежишна линија е '''медијана'''.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/TriagolnikMedijana|title=Медијана на триаголник|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2012-04-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20120427195506/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/TriagolnikMedijana|url-status=dead}} интерактивен</ref> Трите медијани се сретнуваат во една точка.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://demonstrations.wolfram.com/TheMediansOfATriangleAreConcurrentAVisualProof/|title=The Medians of a Triangle are Concurrent|publisher=Wolfram Demonstrations Project|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref> Оваа заедничка точка се вика '''[[тежиште]]''' или центроид и е [[центар на маса|центарот на маса]] на триаголникот (ако врземе конец низ оваа точка и го обесиме триаголникот, тој ќе лежи хоризонтално).

==Триаголник во координатен систем==
Три точки еднозначно определуваат триаголник, т.е. триаголник е [[потполна определеност|потполно определен]] со координатите на три точки. Истовремено, доколку се работи во 3-димензионален простор, трите точки определуваат и рамнина на која лежи определениот триаголникот (види [[аналитичка геометрија]]).

Плоштина на триаголникот определен со три точки во рамнина може да се пресметува на повеќе начини (сите формули се меѓусебно се поврзани).

Точките нека се: &nbsp; <math>A=(x_1,y_1) \, , \,\,B=(x_2,y_2) \, , \,\, C=(x_3,y_3)</math>. 
:<math> \pm  P = \tfrac{1}{2} \, \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}} \end{array}} \right|</math> 
:: т.е. [[детерминанта]]та на соодветните [[полупречнички вектор]]и (произволно земајќи ја точката А како почетна точка). Знакот &plusmn; значи дека се земе апсолутна вредност од резултатот (плоштина е секогаш позитивна вредност). Оваа формула се обопштува во тридимензионален простор (види [[аналитичка геометрија]], [[векторски производ]],..).<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/TriangleArea.html|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Triangle Area|publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}</ref> 
:Со [[Херонова формула]] користејќи: <math>a=\sqrt{(x_3-x_2)^2+y_3-y_2)^2} \, , \,\,b=\sqrt{(x_1-x_3)^2+y_1-y_3)^2} \, , \,\,c=\sqrt{(x_2-x_1)^2+y_2-y_1)^2}</math>
'''Пример:''' Триаголник е дефиниран со точките A=(-2,-2), B=(1,-1) и С(1,2). Плоштината е &plusmn;''P''= 
:<math>\tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}} \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - ( - 2)}&{ - 1 - ( - 2)}\\ {1 - ( - 2)}&{2 - ( - 2)}
\end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1\\ 3&4 \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot (12 - 3) = \tfrac{1}{2} \cdot 9 = 4,5</math>
:Резултатот е позитивен. Значи нема потреба од апсолутна вредност. Следува, ''P''=4,5 (квадратни единици).

==Дегенерирани триаголници==
Ако трите темиња со кои се дефинира триаголникот се колинеарни, т.е. лежат на истата [[Права (геометрија)|права]], тогаш формираниот триаголник е '''дегенириран триаголник''', т.е. дегенерираниот триаголник е сплескан триаголник и неговата [[плоштина]] е 0.

'''Регулатива:''' Еден триаголник има плоштина 0, ако и само ако трите негови темиња се колинеарни.

*Ако трите точки се посебни, внатрешните [[Агол|агли]] се 180<sup>o</sup>, 0<sup>o</sup>, и 0<sup>o</sup>, земајќи го аголот од 180<sup>o</sup> кај „средната“ точка.
*Ако точно две од трите темиња се истата точка, триаголникот се смета за правоаголен триаголник и внатрешните агли се 90<sup>o</sup>, 90<sup>o</sup>, и 0<sup>o</sup>. Вакви дегенерирани триаголници се наоѓаат при цртање на правоаголни триаголници во [[единична кружница|единичната кружница]] при [[празен агол|празен]] 0<sup>o</sup>, [[прав агол|прав]] 90<sup>o</sup>, [[рамен агол|рамен]] 180<sup>o</sup>, [[прав агол|негативен прав агол]] 270<sup>o</sup> и [[полн агол|полн]] 360<sup>o</sup> агол и вредноста на [[тригонометрија|тригонометриските]] функции на овие агли се пресметуваат користејќи ги овие дегенерирани триаголници.
*Случајот каде што трите точки се совпаѓаат не е многу интересен.

''Пример:'' Темињата на еден триаголник се (1,1),(-2,0) и (7,3). Плоштината е &plusmn;''P''= 
:<math>\tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}} \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {-2 - 1)}&{ 0 - 1)}\\ {7 - 1}&{3 - 1}
\end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-1\\ 6&2 \end{array}} \right| = \tfrac{1}{2} \cdot (-6 + 6) = \tfrac{1}{2} \cdot 0 = 0</math>
:Следува, ''P''=0. Значи, точките се колинеарни и триаголникот е дегенириран. (Трите точки лежат на правата: ''y''=&#8531;(''x''+2).)

==Триаголникот како мотив во уметноста==
* „Мудар триаголник“ ([[српски]]: ''Мудри троугао'') — песна на српскиот поет [[Васко Попа]].<ref>Васко Попа, ''Поезија (избор)''. Скопје: Култура; Београд: Нолит, 1968, стр. 100-103.</ref>

== Поврзано ==
*[[Рамностран триаголник]] 
*[[Рамнокрак триаголник]] 
*[[Правоаголен триаголник]]
*[[Складност на триаголници]]
*[[Сличност на триаголници]]
*[[Правоаголник]] 
*[[Квадрат]] 
*[[Кружница]]
*[[Многуаголник]]

==Наводи==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
*{{Наведена мрежна страница|url=http://sneze1.wikispaces.com/Видови+триаголници|last1=Златковска|first1=С.|title=Видови триаголници|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2018-07-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20180725232201/https://sneze1.wikispaces.com/%D0%92%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B8+%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8|url-status=dead}} интерактивен квиз
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Triagolnik|last1=Стојановска|first1=Л.|title=Триаголник|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2013-10-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20131027113137/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Triagolnik|url-status=dead}} интерактивен
*{{Наведена мрежна страница|url=http://geogebramkd.wikispaces.com/Конструкција+на+впишана+кружница+во+триаголник|title=Конструкција на впишана кружница во триаголник|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2018-07-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20180719083935/https://geogebramkd.wikispaces.com/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0+%D0%BD%D0%B0+%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%88%D0%B0%D0%BD%D0%B0+%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0+%D0%B2%D0%BE+%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D0%BA|url-status=dead}} интерактивен со упаство, видео, квиз
*{{Наведена мрежна страница|url=http://geogebramkd.wikispaces.com/Конструкција+на+опишана+кружница+околу+триаголник|title=Конструкција на опишана кружница околу триаголник|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2018-07-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20180719083615/https://geogebramkd.wikispaces.com/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0+%D0%BD%D0%B0+%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%88%D0%B0%D0%BD%D0%B0+%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0+%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%83+%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D0%BA|url-status=dead}} интерактивен со упаство, видео, квиз
*{{Наведена мрежна страница|url=http://geogebramkd.wikispaces.com/Конструкција+на+триаголник+со+две+страни+и+медијана|title=Конструкција на триаголник со две страни и медијана|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2018-07-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20180719083935/https://geogebramkd.wikispaces.com/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0+%D0%BD%D0%B0+%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D0%BA+%D1%81%D0%BE+%D0%B4%D0%B2%D0%B5+%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8+%D0%B8+%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BD%D0%B0|url-status=dead}} интерактивен со видео
*{{Наведена мрежна страница|url=http://geogebramkd.wikispaces.com/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8+%D1%81%D0%BE+%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0|title=Конструкција со Геогебра|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2014-02-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20140214185452/http://geogebramkd.wikispaces.com/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8+%D1%81%D0%BE+%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0|url-status=dead}} интерактивен со видео
*{{Наведена мрежна страница|url=http://wiki.geogebra.org/mk/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%83%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%90%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0|title=Геогебра алатка: Правилен многуаголник|author=GeoGebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2015-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20150514164319/http://wiki.geogebra.org/mk/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%83%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%90%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0|url-status=dead}}  
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/triangleperimeter.html| title =Perimeter of a  Triangle | title=Периметар на триаголник| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/trianglearea.html| title =Area of a  Triangle | title=Плоштина на триаголник| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/triangleincircle.html| title =Triangle Incircle | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/trianglecircumcircle.html| title =Triangle Circumcircle | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}

{{Портал|Математика}}

{{Математички полиња}}

[[Категорија:Триаголници]]
[[Категорија:Многуаголници]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Математичко образование]]