Преглед на кодот на Тригонометрија

{|width=200px style="border:1px solid black;float:right;font-size:.85em"
|-
|align=center colspan=2 style="background-color:#EEEEEE; font-weight:bold"| Тригонометрија: правоаголен триаголник со агол &alpha; 
|-
|colspan=2 align=center |[[Податотека:trig_main.svg|130px]]
|-
|colspan=2 align=center style="border-bottom:1px solid black"|Опис на страните на аголот &alpha;
|-
|width=33%|тип 
|рамнинска фигура
|-
|образ
|[[правоаголен триаголник]]
|-
|равенка
|''a''&sup2;+''b''&sup2;=''c''&sup2;
|-
|поддршка
|sin(&alpha;)=''a''/''c''<br />cos(&alpha;)=''b''/''c''<br />tan(&alpha;)=''a''/''b''
|}

<div style="margin-top:6px">
Во [[математика]]та, '''тригонометрија''' е гранката во која се проучуваат својствата на слични [[правоаголен триаголник|правоаголни триаголници]].<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/trigintro.html| title =Trigonometry Introduction | title=Вовед во тригонометрија| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=December 2013}} интерактивен</ref>

Бидејќи главните две [[тригонометриски функции]] '''[[синус]]''' и '''[[косинус]]''' кои ги опишуваат односите на страните на правоаголни триаголници имаат брановидна форма честопати се смета дека тригонометрија вклучува и проучување на брановидни, односно т.н. [[синусоидни функции]].<ref name=Oxford>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Trigonometry | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=805|language=англиски|accessdate= декември 2013}}</ref>

Зборот тригонометрија е од грчките зборови ''trigonon''=триаголник и ''metro''=мерка.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.thefreedictionary.com/trigonometry|title=Trigonometry|publisher=The Free Dictionary|year=2000|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}</ref>
</div>

==Тригонометриски вредности==
Нека е даден правоаголен триаголник &#8895;ABC. По дефиниција, [[правоаголен триаголник]] има внатрешен [[прав агол]], а останатите два агли се [[остар агол|остри]] и взаемно [[комплементни агли|комплементни]]. Во стандардно означување, [[теме (геометрија)|темето]] на правиот агол се означува со голема буква С, а спротивната страна т.н. хипотенуза се означува со мала буква ''c''. Другите две темиња се означуваат со А и В, соодветните нивни агли со &alpha; и &beta; и соодветните спротивни страни со ''a'' и ''b'' (види слики).

Го анализираме аголот &alpha;.   
*Аголот &alpha; e остар агол, т.е. помал од 90&deg;.
*Аголот &alpha; се наоѓа помеѓу катета означена со ''b'' и хипотенузата ''c'', а спротивно на аголот &alpha; е страната ''a''. Значи страната ''a'' е '''спротивната страна на &alpha;''', а страната ''b'' е '''соседната или налегнатата страна на &alpha;'''. (Во овој момент јасно е зошто ''b'' се нарекува ''соседна'' страна. Taa е соседна на самиот агол, т.е. ''b'' е еден од краците на аголот &alpha;. Подолу ќе биде јасно зошто ''b'' се нарекува ''налегната'' страна. Се користат двата термини.)
{|class=wikitable border=1
|-align=center
|[[Податотека:trig_std_mk.svg|240px]]
|[[Податотека:trig_physics_mk.svg|225px]]
|[[Податотека:trig_general_mk.svg|240px]]
|-align=center style="font-size:.85em; line-height:1.4em"
|width=255px|Тригонометриски триаголник во стандардна позиција (налегнатата страна е хоризонтална)
|width=245px|Тригонометриски триаголник во позиција за физика (хипотенузата е вертикална)
|width=245px|Тригонометриски триаголник во општа позиција
|}

Дефинираме три броеви кои се односите помеѓу три комбинации на две страни на овој триаголник '''во однос на аголот &alpha;'''.
 <math>\sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> &nbsp;<span style="font-size:1.2em"> sin(&alpha;)= <sup>спротивната страна</sup>/<sub>хипотенузата</sub></span>
Оваа реченица се чита: синус од аголот &alpha; e ''a'' поделено со ''c'', т.е. должината на катетата спротивна на аголот &alpha; поделена со должината на хипотенузата.
 <math>\cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> &nbsp;<span style="font-size:1.2em"> cos(&alpha;)= <sup>налегнатата страна</sup>/<sub>хипотенузата</sub></span>
Оваа реченица се чита: косинус од аголот &alpha; e ''b'' поделено со ''c'', т.е. должината на катетата соседна на аголот &alpha; поделена со должината на хипотенузата.
 <math>\tan(\alpha)=\frac{a}{b}</math> &nbsp;<span style="font-size:1.2em"> tan(&alpha;)= <sup>спротивната страна</sup>/<sub>налегнатата страна</sub></span>
Оваа реченица се чита: тангенс од аголот &alpha; e ''a'' поделено со ''b'', т.е. должината на страната спротивна на аголот &alpha; поделена со должината на катетата соседна на аголот &alpha;.

Има и три реципрочни комбинации на односи ([[котангенс]]=1/тангенс, [[секанс]]=1/косинус и [[косеканс]]=1/синус), но истите во Р Македонија ретко се користат (и воопшто не се наоѓаат на дигитрони или во програмски јазици).

Забележуваме дека во погорното, димензиите на ''дадениот'' правоаголен триаголник не биле специфицирани, само фактот дека &#8895;ABC е правоаголен триаголник со остар агол &alpha;. Се разбира дека овие дефиниции за синус, косинус и тангенс не би биле корисни ако зависеле од триаголникот, а не само од аголот &alpha;. Доказот дека вредностите зависат само од &alpha; е доказ за т.н. ''добродефинираност'' на тригонометриските вредности (види подолу).

==Основни формули==
 <math>\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math>
Доказ: Според дефинициите на тригонометриските вредности:
<div style="margin-left:15px"> 
<math>\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\tfrac{a}{c}}{\,\,\tfrac{b}{c}\,\,}=\frac{a}{b}=\tan(\alpha)</math>
</div>

 <math>(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1</math>
Доказ: Во кој било правоаголен триаголник, според [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] следува:  ''а''&sup2;+''b''&sup2;=''c''&sup2;. Според дефинициите:
<div style="margin-left:15px"> 
<math>(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=(\tfrac{a}{c})^2+(\tfrac{b}{c})^2=\tfrac{a^2}{c^2}+\tfrac{b^2}{c^2}=\tfrac{a^2+b^2}{c^2}=\tfrac{c^2}{c^2}=1</math>
</div>
Честопати математичарите ја пишат последната равенка во следната кратка форма: 
:<math>\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1</math>
:Меѓутоа, оваа форма потешко се разбира при негово користење, а во математичкиот софтвер и програмирање најсигурно е со повеќе загради. (Во [[Геогебра]], [[R програмски јазик]], [[SAGE програмски јазик]] се користи sin(x)^2.)

==Доказ за добродефинираност на тригонометриските вредности==
Тука се докажува: За секој правоаголен триаголник со остар агол &alpha;, вредноста на sin(&alpha;) како однос на спротивната страна/хипотенузата е иста. Доказите за косинус и тангенс се аналогни.

===Сличност на триаголници и односи на парови страни===
Два триаголници се [[сличност на триаголници|слични]] ако имаат два пара на [[складност|складни]], т.е. еднакви внатрешни агли.  Автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на внатрешни агли е секогаш 180&deg; (види [[сличност на триаголници]].

Ако два триаголници се слични, тогаш '''соодветниот''' однос на сите три пара соодветни страни од двата триаголници е истиот број (тоа е дефиницијата на сличност), т.е. 
:Два триаголници се слични ако: &nbsp;<math>\tfrac{a}{a'}=\tfrac{b}{b'}=\tfrac{c}{c'}</math>

Забележуваме дека оваа споредба е помеѓу поединечните страни на два слични триаголници. Во тригонометријата се прави споредба помеѓу две страни од еден (правоаголен) триаголник.

<div style="margin-left:15px">
Земајќи го (на пример) парот страни ''a'' и ''c''. Од (тројната) равенка за сличност на триаголници имаме:
:<math>\tfrac{a}{a'}=\tfrac{c}{c'}</math>
Инаку средувајќи ја оваа равенка имаме: 
:<math>\tfrac{a}{c}=\tfrac{a'}{c'}</math>
</div>

Следува А: При слични триаголници, односот на кој било пар страни на еден триаголник е истата вредност на односот на соодветниот пар страни на другиот триаголник. Ова е првиот клуч на тригонометријата.

===Сличноста и правоаголни триаголници===
По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, т.е. два правоаголни триаголници секогаш имаат еден пар еднакви внатрешни агли. Дефиницијата за сличност бара два пара еднакви агли.

Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два агли се еднакви. Автоматски и последниот пар агли се еднакви, но тоа е последица. Доволен доказ за сличноста на два правоаголни триаголници е да се покаже дека еден пар остри агли се еднакви.

Следува Во: Два правоаголни триаголници со еднаков остар агол &alpha; се слични. Ова е вториот клуч на тригонометријата.

===Заклучок===
Нека &#8895;ABC и &#8895;A'B'C' се правоаголни триаголници со остар агол &alpha;. 
:Од В следува дека &#8895;ABC и &#8895;A'B'C' се слични.
:Бидејќи се слични, од А следува дека <math>\tfrac{a}{c}=\tfrac{a'}{c'}</math> односно вредноста на sin(&alpha;) e иста за двата триаголници. Значи за секој правоаголен триаголник со остар агол &alpha;, вредноста на sin(&alpha;) иста.

==Графички доказ на добродефинираност на тригонометриски вредности==
Нека е даден правоаголен триаголник &#8895;ABC. Го ставиме триаголникот во '''стандардна позиција''', односно го ставиме аголот &alpha; во [[агол#.D0.90.D0.B3.D0.BE.D0.BB .D0.B2.D0.BE .D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B4.D0.B0.D1.80.D0.B4.D0.BD.D0.B0 .D0.BF.D0.BE.D0.B7.D0.B8.D1.86.D0.B8.D1.98.D0.B0|стандардна позиција]] во Декартов [[правоаголен координатен систем]] на следниот начин. Темето на &alpha;, т.е. точката А е координатниот почеток О(0,0). Налегната страна ''b'' лежи на позитивнивниот дел од ''x''-оската и хипотенузата ''c'' лежи во првиот [[правоаголен координатен систем|квадрант]] со што третата спротивна страна ''a'' е вертикална. (Значи, во стандардна позиција, страната ''b'' е хоризонтална односно ''налегната''.)

Нека е даден сега и друг правоаголен триаголник &#8895;A'B'C' '''со истиот агол &alpha;''' во стандардна позиција.

Овие два триаголници се ''вгнездуваат'' еден во друг. (Тоа следува од сличноста.) Должините на страните на едниот триаголник се множат со истиот фактор за да се добиваат должните на соодветните страни на другиот триаголник.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.purplemath.com/modules/unitcirc.htm|title=Unit Circle|last1=Stapel|first1=E.|publisher=Purple Math|date= 2010|language=англиски|accessdate= December 2013}}</ref> Значи, и од тука се гледа дека тригонометриските вредности зависат само од аголот &alpha;, односно се добродефинирани.
{|
|-
|[[Податотека:trig_nesting.gif|frame|Вгнездување на два правоаголни триаголници во стандардна позиција со агол &alpha;. Тука &alpha;&asymp;37&deg;&asymp;0,644.]]<br />
|}

==Тригонометриски вредности за сите агли ==
Во погорното преку правоаголни триаголници дефинирани се тригонометриски вредности за агли 0&deg;&lt;&alpha;&lt;90&deg; односно 0&lt;&alpha;&lt;&pi;/<sub>2</sub>. Овие дефиниции се прошируваат за сите агли односно за позитивни и негативни агли и за ''големи'' агли, т.е. за &alpha;&isin;[-&infin;&deg;,&infin;&deg;]=[-&infin;,&infin;] ([[радијан]]и).

'''Основна регулатива:''' За секој агол постој [[Агол#.D0.A1.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D0.B4.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82 .D0.BD.D0.B0 .D0.B0.D0.B3.D0.BB.D0.B8|складен агол]] 0&deg;&le;&alpha;&lt;360&deg; односно 0&le;&alpha;&lt;2&pi;.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.mathopenref.com/coterminal.html|title=Coterminal angles|year=2010| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=December 2013}} интерактивен</ref><ref>{{Наведена мрежна страница|url= http://www.mathopenref.com/trigany.html|title=Trignometry of any angle|year=2010| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=December 2013}} интерактивен</ref>

===Референтен агол и референтен триаголник===
Нека &alpha; е (кој било) агол во стандардна позиција со теме О(0,0) и краен крак ОВ. Референтниот агол &alpha;<sub>r</sub> на &alpha; е најмалиот остар агол помеѓу кракот ОВ и ''x''-оската. Попрецизно, нека В(''b'',''a'') е точка на крајниот крак на &alpha;. Дефинираме точка С(''b'',0) на ''x''-оската. Тогаш &alpha;<sub>r</sub> е ненасочениот остар агол &ang;СОВ во референтен правоаголен триаголник на &alpha; е &#8895;CОВ.<ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/reference-angle.html| title =Reference angles | title=Вовед во тригонометрија| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен</ref>

<div style="margin-left:15px;">
{|width=600 style="border:1px solid black"
|- align=center style="background-color:#EEEEEE"
!colspan=3  | Неколку агли и нивните референтните агли и референтните правоаголни триаголници нацртани во [[единичната кружница]]
|-
|
{|
|- align=center
|colspan=3 style="border-top:1px solid black"| Три (различни) агли во стандардна позиција
|- align="center"
|colspan=3 |[[Податотека:unit_circle_standard_position.svg|590px]]
|- align="center" 
|align="center"|0&deg;&le;&alpha;&le;90&deg;
|align="center"|180&deg;&le;&alpha;&le;270&deg;
|align="center"|-90&deg;&le;&alpha;&le;0&deg;
|- align=center
| colspan=3 style="border-top:1px solid black"|Соодветните референтните агли и правоаголни триаголници на погорните агли
|- align="center"
|colspan=3 |[[Податотека:unit_circle_standard_position_ref.svg|590px]]
|- align="center" 
|align="center"|&alpha;=37&deg;,&alpha;<sub>r</sub>=37&deg;
|align="center"|&alpha;=217&deg;,&alpha;<sub>r</sub>=37&deg;
|align="center"|&alpha;=-53&deg;,&alpha;<sub>r</sub>=53&deg;
|}
|}
</div>
<div style="margin-left:15px;">
{| class=wikitable style=" background: transparent;" width=600
|- 
|colspan=6  |&nbsp;Референтни агли по квадрант
|- align=center  
!Квадрант
!<math>\alpha</math> &nbsp; 
!<math>\alpha _r</math> &nbsp;
|&nbsp;
!<math>\alpha</math> &nbsp;
!<math>\alpha _r</math> &nbsp;
|- align=center 
|I
|width=135px|<math>0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}</math>
|width=105px|<math>\alpha</math>
|&nbsp;
|width=135px|<math>0 < \alpha < \tfrac{\pi}{2}</math>
|width=105px|<math> \alpha</math>
|- align=center
|II
|<math>90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}</math>
|<math>180^{\circ}-\alpha</math>
|&nbsp;
|<math>\tfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi</math>
|<math> \pi - \alpha</math>
|- align=center
|III
|<math>180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}</math>
|<math> 270^{\circ}-\alpha</math>
|&nbsp;
|<math>\pi < \alpha < \tfrac{3\pi}{2}</math>
|<math> \tfrac{3\pi}{2} - \alpha</math>
|- align=center
|IV
|<math>270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}</math>
|<math> 360^{\circ}-\alpha</math>
|&nbsp;
|<math>\tfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi</math>
|<math> 2\pi - \alpha</math>
|}
</div>
<div style="margin-left:15px;">
{| class=wikitable style=" background: transparent;" width=600
|-
|colspan=7 |&nbsp;Референтни агли за 0&deg;=0, 90&deg;=&pi;/<sub>2</sub>, 180&deg;=&pi;, 270&deg;=3&pi;/<sub>2</sub>, 360&deg;=2&pi;
|- align=center
!Квадрант
!<math>\alpha</math> &nbsp; 
!<math>\alpha _r</math> &nbsp;
|&nbsp;
!<math>\alpha</math> &nbsp;
!<math>\alpha _r</math> &nbsp;
!Повеќе
|- align=center
|IV-I
|width=65px|<math>0^{\circ}</math>
|width=65px|<math>0^{\circ}</math>
|&nbsp;
|width=65px|<math>0</math>
|width=65px|<math>0</math>
|[[Празен агол#.D0.A2.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.98.D0.B0|Празен агол]]
|- align=center
|I-II
|<math>90^{\circ}</math>
|<math>90^{\circ}</math>
|&nbsp;
|<math>\tfrac{\pi}{2}</math>
|<math>\tfrac{\pi}{2}</math>
|[[Прав агол#.D0.A2.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.98.D0.B0|Прав агол]]
|- align=center
|II-III
|<math>180^{\circ}</math>
|<math>0^{\circ}</math>
|&nbsp;
|<math>\pi</math>
|<math>0</math>
|[[Рамен агол#.D0.A2.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.98.D0.B0|Рамен агол]]
|- align=center
|rowspan="2"|III-IV
|<math>270^{\circ}</math>
|<math>90^{\circ}</math>
|&nbsp;
|<math>\tfrac{3\pi}{2}</math>
|<math>\tfrac{\pi}{2}</math>
|rowspan="2"|[[Прав агол#.D0.A2.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.98.D0.B0|Негативен прав агол]]
|- align=center

|<math>-90^{\circ}</math>
|<math>90^{\circ}</math>
|&nbsp;
|<math>\tfrac{-\pi}{\,\,2}</math>
|<math>\tfrac{\pi}{2}</math>

|- align=center
|IV-I
|<math>360^{\circ}</math>
|<math>0^{\circ}</math>
|&nbsp;
|<math>2\pi</math>
|<math>0</math>
|[[Полн агол#.D0.A2.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.98.D0.B0|Полн агол]]
|}
</div>
==Тригонометриски вредности за агли според квадрант==
{{Главна|синус|косинус|тангенс}}
<div style="margin-left:15px;">
{| class=wikitable style=" background: transparent;" width=600
|-
|colspan=6|Знакови на тригонометриски вредности по квадрант
|- align=center
!Квадрант
!<math>\alpha</math> &nbsp; 
!<math>\sin(\alpha)</math>
!<math>\cos(\alpha)</math>
!<math>\tan(\alpha)</math>
!<math>\alpha</math> &nbsp; 
|- align=center
|I
|width=135px|<math>0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}</math>
|width=65px|<math>\mathbf{+}</math>
|width=65px|<math>\mathbf{+}</math>
|width=65px|<math>\mathbf{+}</math>
|width=135px|<math>0 < \alpha < \tfrac{\pi}{2}</math>
|- align=center
|II
|<math>90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}</math>
|<math>\mathbf{+}</math>
|<math>\mathbf{-}</math>
|<math>\mathbf{-}</math>
|<math>\tfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi</math>
|- align=center
|III
|<math>180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}</math>
|<math>\mathbf{-}</math>
|<math>\mathbf{-}</math>
|<math>\mathbf{+}</math>
|<math>\pi < \alpha < \tfrac{3\pi}{2}</math>
|- align=center
|IV
|<math>270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}</math>
|<math>\mathbf{-}</math>
|<math>\mathbf{+}</math>
|<math>\mathbf{-}</math>
|<math>\tfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi</math>
|}
</div>
<div style="margin-left:15px;">
{| class=wikitable style=" background: transparent;" width=600
|-
|colspan=5|Тригонометриски вредности за 0&deg;=0, 90&deg;=&pi;/<sub>2</sub>, 180&deg;=&pi;, 270&deg;=3&pi;/<sub>2</sub>, 360&deg;=2&pi;
|- align=center
!<math>\alpha</math> &nbsp; 
!<math>\sin(\alpha)</math>
!<math>\cos(\alpha)</math>
!<math>\tan(\alpha)</math>
!<math>\alpha</math> &nbsp; 
|- align=center
|width=105|<math>0^{\circ}</math>
|width=105|<math>0</math>
|width=105|<math>\mathbf{+}1</math>
|width=105|<math>0</math>
|width=105|<math>0</math>
|- align=center
|<math>90^{\circ}</math>
|<math>\mathbf{+}1</math>
|<math>0</math>
|<math>\infty</math>
|<math>\tfrac{\pi}{2}</math>
|- align=center
|<math>180^{\circ}</math>
|<math>0</math>
|<math>\mathbf{-}1</math>
|<math>0</math>
|<math>\pi</math>
|- align=center
|<math>270^{\circ}</math>
|rowspan=2|<math>\mathbf{-}1</math>
|rowspan=2|<math>0</math>
|rowspan=2|<math>\infty</math>
|<math>\tfrac{3\pi}{2}</math>
|- align=center
|<math>-90^{\circ}</math>
|<math>\tfrac{-\pi}{\,\,2}</math>
|- align=center
|<math>360^{\circ}</math>
|<math>0</math>
|<math>\mathbf{+}1</math>
|<math>0</math>
|<math>2\pi</math>
|}
</div>
{|class=wikitable width=175 style="float:right"
|- align="center"
|[[Податотека:unit_circle_II.svg|170px|]]
|- align="center" style="font-size:.8em; line-height:1.4em"
|Секоја точка Т(''a'',''b'') на единичната кружница определува агол &alpha; во стандардна позиција таква што sin(&alpha;)=''a'' и cos(&alpha;)=''b''. Тука ''a''&gt;0 и ''b''&lt;0.
|}
==Единична кружница==
{{Главна|еднична кружница}}
Во [[геометрија]]та, '''единична кружница''' е [[кружница]] во рамнина со [[полупречник]] 1 и со центар во координатниот почеток О(0,0).<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.mathsisfun.com/geometry/unit-circle.html|title=Unit circle|last1=Pierce|first1=Rod|publisher=Math is Fun|year=2013|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.purplemath.com/modules/unitcirc.htm|title=Unit circle|last1=Stapel|first1=E.|publisher=Purple Math|year=2012|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}</ref> Значи [[равенка]]та со која се дефинираат сите точки на единична кружница е ''x''&sup2;+''y''&sup2;=1.

Од друга страна, нека Т(''b'',''a'') е точка на единичната кружница. Како точка, Т еднозначно определува агол &alpha;=&ang;XOT каде што координатниот почеток 0(0,0) е темето, а Х=(1,0). Доколку Т не е во I квадрант, го формираме соодветниот референтен агол и референтниот правоаголен триаголник (види слики погоре каде што буквата Т ја заменува буквата В). Бидејќи Т е точка на единичната кружница, хипотенузата, т.е. отсечката ОТ=''c'' е и полупречник на кружницата. Значи, ''c''=1 и следува: 
*За точка T(''b'',''a'') на единичната кружница со соодветен агол &alpha;=&ang;XOT: sin(&alpha;)=''a'' и cos(&alpha;)=''b''.
*Знаковите на страните ''a'' и ''b'' ги задржуваме! Должината на ''c''=1 (позитивна). Ова е МНОГУ важно.

==Наводи==
{{наводи}}

== Поврзани теми ==
*[[Агол]]
*[[Триаголник]], [[Правоаголен триаголник]]
*[[Сличност на триаголници]]
*[[Единична кружница]]
*[[Синус]],[[Косинус]],[[Тангенс]]
*[[Синусен бран|Синусоидни функции]]
*[[Циклометрички функции]]

== Надворешни врски ==
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/trigsummary.html| title =Trigonometry (Summary) | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/trigfunctions.html| title =Trignometric Functions | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен

{{Портал|Математика}}

{{Математички полиња}}
{{Тригонометриски и хиперболични функции}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Триаголници]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Грцизми]]