Преглед на кодот на Фонон

Во [[физика]]та, '''фонон''' е [[колективно возбудување]] во периодичното, [[Еластичност (физика)|еластично]] распоредување на [[атом]]ите или [[молекули]]те во [[кондензирана материја]], како [[Цврста состојба на материјата|цврсти тела]] и некои [[течност]]и. Често означен како [[квазичестичка]],<ref>{{Наведена книга|first=Franz|last=Schwabl|title=Advanced Quantum Mechanics|edition=4|publisher=Springer|date=2008|page=253|ISBN=978-3-540-85062-5}}</ref> тој ја претставува [[Возбудена состојба|возбудената состојба]] во квантнатата механичка квантизација на [[Модуси на вибрациите|модусите на вибрациите]] на еластичните структури на интерактивните честички.

Фононите играат голема улога во многу физички својства на кондензирана материја, како што се [[Топлинска спроводливост|топлинската]] и [[Електрична спроводливост|електричната спроводливост]]. Проучувањето на фононите е важен дел од физиката на кондензирана материја.

Концептот на фонони бил воведен во 1932 година од [[Сојуз на Советските Социјалистички Републики|советскиот]] физичар [[Игор Там]]. Името фонон доаѓа од [[Старогрчки јазик|грчкиот]] збор φωνή (''phonē''), што се преведува во ''звук'' или ''глас'', бидејќи фононите со долги бранови должини создаваат зголемување на [[звук]]от. Името се заснова на зборот ''[[фотон]]''.

== Дефиниција ==
Фонон е [[Квантна механика|квантен механички]] опис на елементарното [[Вибрација|вибрирачко]] движење, во кое решетката од атоми или молекули подеднакво осцилира на една [[честота]].<ref>{{Наведена книга|last1=Simon|first1=Steven H.|title=The Oxford solid state basics|date=2013|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0-19-968077-1|pages=82|edition=1}}</ref> Во [[Класична механика|класичната механика]] ова означува нормален модус на вибрации. Нормалните модуси се важни, бидејќи секоја произволна вибрација на решетката може да се смета како [[суперпозиција]] од овие ''елементарни вибрирачки модуси'' (види [[анализа на Фурие]]). Додека нормалните модуси се феномени слични на бранови во класичната механика, фононите имаат исто така својства слични на честичките, на начин поврзан со двојноста на брановидни честички во квантната механика.

== Динамика на решетката ==
Равенките во овој дел не користат [[Аксиома|аксиоми]] од квантната механика, туку наместо тоа користат односи за кои таму постои директна [[кореспонденција]] во класичната механика.

На пример: крута редовна, [[кристал]]на (не [[Аморфна материја|аморфна]]) решетка е составена од ''N'' честички. Овие честички можат да бидат атоми или молекули. ''N'' е голем број, да речеме од редот на 10<sup>23</sup>, или од редот на [[Авогадров број|Авогадровиот број]] за типичен примерок од цврсто тело. Бидејќи решетката е крута, атомите мора да создаваат [[Сила|сили]] една врз друга, за да го задржат секој атом блиску до рамнотежната состојба. Овие сили може да бидат [[Ван дер Валсови сили]], [[Ковалентна врска|ковалентни врски]], [[Електростатичко привлекување|електростатички привлекувања]] како и други, коишто во крајна линија се должат на [[Електрично поле|електричната]] сила. [[Магнет]]ните и [[Гравитација|гравитациските]] сили генерално се занемарливи. Силите помеѓу секој пар на атоми, можат да се одликуваат со [[Потенцијална енергија|потенцијалната енергетска]] функција ''V'', која зависи од растојанието на одделувањето на атомите. Потенцијалната енергија на целата решетка е збир на сите парни потенцијални енергии помножени со факторот ½, за да се компензира за двојно броење:<ref name="latticemechanics3">{{Наведена книга|last=Krauth|first=Werner|title=Statistical mechanics: algorithms and computations|publisher=Oxford University Press|date=April 2006|location=International publishing locations|pages=231–232|url=https://books.google.com/books?id=EnabPPmmS4sC&pg=RA1-PA231&dq=Mechanics+of+particles+on+a+lattice#v=onepage&q=Mechanics%20of%20particles%20on%20a%20lattice&f=false|isbn=978-0-19-851536-4}}</ref>

: <math>\frac12\sum_{i \neq j} V\left(r_i - r_j\right)</math>

каде што ''r<sub>i</sub>'' е [[Простор|позицијата]] на ''i'' атомот, а ''V'' е [[Потенцијална енергија|потенцијалната енергија]] помеѓу двата атома.

Тешко е да се реши експлицитно овој проблем со многу тела, и во класичната и во квантната механика. Со цел да се поедностави задачата, обично се наметнуваат две важни [[Апроксимација|апроксимации]]. Прво, сумата се изведува само преку соседните атоми. Иако електричните сили во реалните цврсти тела се протегаат до бесконечност, оваа апроксимација е сè уште валидна, бидејќи полињата создадени од оддалечените атоми се ефикасно прикажани. Второ, потенцијалите ''V'' се третираат како [[Хармониски треперник|хармониски потенцијали]]. Ова е дозволено сè додека атомите остануваат блиску до нивните рамнотежни состојби. Формално, ова го остварил [[Тејлорова формула|Тејлор, проширувајќи]] ги ''V'' околу неговата рамнотежна вредност во квадратен ред, давајќи му на ''V'' пропорционално поместување ''x''<sup>2</sup> и еластична сила едноставно пропорционална на ''x''. Грешката во игнорирањето на повисоките редови останува мала ако x остане близу до рамнотежата состојба.

Резултирачката решетка може да се визуелизира како систем од топки поврзани со пружини. Следната слика покажува кубична решетка, која е добар модел за многу видови на кристални цврсти тела. Другите решетки вклучуваат линеарни синџири, која е многу едноставна решетка која за кратко време ќе ја користиме за моделирање на фононите. (За другите општи решетки, видете во [[кристална структура]].)

: [[Податотека:Cubic.svg]]

Потенцијалната енергија на решетката сега може да биде напишана како:

: <math>\sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \tfrac12 m \omega^2 \left(R_i - R_j\right)^2.</math>

Тука, ''ω'' е [[Природна честота|природната честота]] на хармониските потенцијали, за кои се претпоставува дека ќе бидат исти, бидејќи решетката е редовна. ''R<sub>i</sub>'' е координатната позиција на i атомот, која сега ја мериме од неговата рамнотежна состојба. Сумата над најблиските соседи е означена со (nn).

=== Бранови на решетките ===
[[Податотека:Lattice_wave.svg|десно|мини|200x200пкс|Фонон кој се шири низ квадратна решетка (поместувањата на атомите во голема мера се претерани)]]
Поради врските помеѓу атомите, поместувањето на еден или повеќе атоми од нивните рамнотежни состојби, доведува до сет од вибрациски [[бран]]ови, кои се шират низ решетката. Еден таков бран е прикажан на сликата десно. [[Амплитуда]]та на бранот е дадена со поместувањата на атомите од нивните рамнотежни состојби. [[Бранова должина|Брановата должина]] λ е означена.

Постои минимална можна бранова должина, дадена со двојно раздвојување од рамнотежата помеѓу атомите. Секоја бранова должина пократка од оваа, може да биде вброена во бранова должина подолга од 2а, поради периодичноста на решетката. Ова може да се смета како една од последиците на теорема за земање примероци на Никвист-Шенон, точките на решетката се гледаат како "точки за земање примероци" на континуираниот бран.

Не секоја можна вибрација на решетката, има добро-дефинирана бранова должина и честота. Сепак, [[Нормален модус|нормалните модуси]] поседуваат добро-дефинирани бранови должини и [[Честота|честоти]].

=== Едно димензионална решетка ===
[[Податотека:1D_normal_modes_(280_kB).gif|мини|Анимација која ги покажува првите 6 нормални модуси на едно-димензионална решетка: линеарен синџир на честички. Најкратката бранова должина е на врвот, со постепено подолги бранови должини подолу. Во најниските линии може да се види движењето на брановите на десно.]]

Со цел да се поедностави анализата која е потребна за 3-димензионалната решетка на атоми, погодно е да се моделира 1-димензионална решетка или линеарен синџир. Овој модел е доволно комплексен за прикажување на истакнатите одлики на фононите.

==== Класичен третман ====
Се претпоставува дека силите помеѓу атомите се линеарни и најблиску-соседни и тие се претставени со еластична пружина. Секој атом се претпоставува дека е точка честичка и јадрото и електроните се движат во чекор ([[адиабатско приближување]]):

''n'' − 1 {{pad|1em}} ''n'' {{pad|2em}} ''n'' + 1 {{pad|5em}} ← {{pad|1em}} ''a'' {{pad|1em}} →

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→{{pad|2em}}→{{pad|2em}}→→→

''u''<sub>''n'' − 1</sub>{{pad|2em}}''u<sub>n</sub>''{{pad|2em}}''u''<sub>''n'' + 1</sub>

каде што {{mvar|n}} го означува {{mvar|n}}-тиот атом надвор од вкупниот број {{mvar|N}}, a е растојанието помеѓу атомите кога синџирот е во рамнотежа, а {{math|''u<sub>n</sub>''}} поместувањето на {{mvar|n}}-тиот атом од неговата рамнотежна положба.

Ако ''C'' е еластична константа на пружината, а {{mvar|m}} маса на атомот, тогаш равенката на движењето на {{mvar|n}}-тиот атом е:

: <math>-2Cu_n + C\left(u_{n+1} + u_{n-1}\right) = m\frac{d^2u_n}{dt^2} .</math>

Ова е сет од парови равенки. Бидејќи се очекува дека решенијата ќе бидат осцилаторни, новите координати се дефинирани со дискретната Фуриерова трансформација, со цел да ги раздвои нив.<ref>{{Наведена книга|last=Mattuck|first=R.|title=A guide to Feynman Diagrams in the many-body problem}}</ref>

Ставете

: <math>u_n = \sum_{Nak/2\pi=1}^N Q_k e^{ikna}</math>

Тука, {{math|''na''}} одговара и се пренесува на континуираната променлива {{mvar|x}} од теоријата на скаларно поле. {{math|''Q<sub>k</sub>''}} се познати како нормални координати, континуираните модуси на полето {{math|''φ<sub>k</sub>''}}. Замената во равенката на движењето ги дава следните ''раздвоени равенки'' (ова бара значителна манипулација користејќи ја ортонормалноста и комплетноста на односите на дискретната Фуриерова трансформација<ref>{{Наведена книга|title=Theoretical Mechanics of Particles and Continua|publisher=Dover Books on Physics|first1=Alexander|last1=Fetter|first2=John|last2=Walecka|isbn=0486432610}}</ref>,

: <math> 2C(\cos {ka-1})Q_k = m\frac{d^2Q_k}{dt^2}.</math>

Ова се равенките за [[Хармониски осцилатор|хармониските осцилатори]] кои имаат решение

: <math>Q_k=A_ke^{i\omega_kt};\qquad \omega_k=\sqrt{ \frac{2C}{m}(1-\cos{ka})}</math>

Секоја нормална координатна ''Q<sub>k</sub>'' претставува независен вибрационен модус на решетката со бранов број ''k'', кој е познат како [[нормален модус]].

Втората равенка, за {{math|''ω<sub>k</sub>''}}, е позната како [[дисперзивна релација]] помеѓу [[Аголна честота|аголната честота]] и [[Бранов број|брановиот број]]. Во континуитетниот лимит, {{mvar|a}} → 0, {{mvar|N}} → ∞, со фиксиран {{math|''Na''}}, {{math|''u<sub>n</sub>''}} → {{math|''φ''(''x'')}}, скаларно поле <math> \omega(k)  \propto k a</math>и '''формула'''. Ова се сведува на слободната скаларна класична теорија на полето.

==== Квантен третман ====
Еднодимензионалниот квантнен механички хармониски синџир се состои од ''N'' идентични атоми. Ова е наједноставниот квантен механички модел на решетка, која им овозможува на фононите да произлезат од неа. Формализмот за овој модел е лесно генерализиран на две и три димензии.

Во одредена спротивност на претходниот дел, позициите на масите не се означени со ''u<sub>i</sub>'', туку, наместо тоа, со ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>…, што се мери од нивните рамномерни состојби (т.е. ''x<sub>i</sub>'' = 0, ако честичката ''i'' е во својата рамнотежна состојба.) Во две или повеќе димензии, ''x<sub>i</sub>'' се векторски количини. [[Хамилтонијан]]от за овој систем е

: <math>\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 \sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \left(x_i - x_j\right)^2</math>

каде што ''m'' е масата на секој атом (претпоставувајќи дека е еднаква за сите), а ''x<sub>i</sub>'' и ''p<sub>i</sub>'' се операторите за позиција и момент соодветно, за i атомот и сумата е извршена над најблиските соседи (nn). Сепак, се очекува дека во решетката би можело исто така да се појават и бранови кои се однесуваат како честички. Вообичаено е да се справи со [[бран]]овите во [[Фуриеров простор|Фуриеровиот простор]], кој ги користи [[Нормален модус|нормалните модуси]] на [[Бранов вектор|брановиот вектор]] како променливи, наместо како координати на честичките. Бројот на нормални модуси е ист со бројот на честички. Сепак, [[Фуриеров простор|Фуриеровиот простор]] е многу корисен со оглед на периодичноста на системот.

Може да се воведе сет од ''N'' "нормални координати" ''Q<sub>k</sub>'', дефинирани како дискретни Фуриерови трансформации на ''x<sub>k</sub>'' и ''N'' "конјугирачки моменти" ''Π<sub>k</sub>'' дефинирани како Фуриерова трансформација на ''p<sub>k</sub>'':

: <math>\begin{align} Q_k &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{ikal} x_l \\ \Pi_{k} &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{-ikal} p_l. \end{align}</math>

Количината ''k<sub>n</sub>'' излегува дека е [[бранов број]] на фононот, односно 2{{pi}} поделена со [[Бранова должина|брановата должина]].

Овој избор ги задржува посакуваните комутациски релации, како во реалниот простор така и во просторот со векторски бранови.

: <math> \begin{align} 
\left[x_l , p_m \right]&=i\hbar\delta_{l,m} \\ 
\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] &=\frac{1}N \sum_{l,m} e^{ikal} e^{-ik'am} \left[x_l , p_m \right] \\
 &= \frac{i \hbar}N \sum_{l} e^{ial\left(k-k'\right)} = i\hbar\delta_{k,k'} \\
\left[ Q_k , Q_{k'} \right] &= \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0
\end{align}</math>

Од општиот резултат

: <math> \begin{align} 
\sum_{l}x_l x_{l+m}&=\frac{1}N\sum_{kk'}Q_k Q_{k'}\sum_{l} e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}= \sum_{k}Q_k Q_{-k}e^{iamk} \\ 
\sum_{l}{p_l}^2 &= \sum_{k}\Pi_k \Pi_{-k}
\end{align}</math>

Терминот потенцијална енергија е

: <math> \tfrac12 m \omega^2 \sum_{j} \left(x_j - x_{j+1}\right)^2= \tfrac12 m\omega^2\sum_{k}Q_k Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})= \tfrac12 \sum_{k}m{\omega_k}^2Q_k Q_{-k}</math>

каде

: <math>\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 \left( 1 - \cos{ka} \right)} = 2\omega\left|\sin\frac{ka}2\right|</math>

Хамилтонијанот може да биде напишан во просторот со векторски бранови како

: <math>\mathcal{H} = \frac{1}{2m}\sum_k \left( \Pi_k\Pi_{-k} + m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)</math>

Спојките помеѓу променливите на позицијата биле трансформирани; ако ''Q'' и ''Π'' биле [[хермитијани]] (кои тие не се), трансформираниот Хамилтонијан би требало да опише ''N'' неспоени хармониски осцилатори.

Формата на квантизацијата зависи од изборот на граничните услови; за поедноставување, се наметнуваат ''периодични'' гранични услови, со дефинирање на (''N''&nbsp;+ 1)тиот атом како еквивалент на првиот атом. Физички, ова одговара на приклучувањето на синџирот на неговите краеви. Резултирачката квантизација е

: <math>k=k_n = \frac{2\pi n}{Na} \quad \mbox{for } n = 0, \pm1, \pm2, \ldots \pm \frac{N}2 .\ </math>

Горната граница на ''n'' доаѓа од минималната бранова должина, што е двојна вредност од растојанието на решетката ''a'', како што беше продискутирано погоре.

Хармониските осцилаторни карактеристични вредности или нивоа на енергија за модусот ''ω<sub>k</sub>'' се

: <math>E_n = \left(\tfrac12+n\right)\hbar\omega_k \qquad n=0,1,2,3 \ldots</math>

Нивоата се подеднакво распоредени на:
 
: <math>\tfrac12\hbar\omega , \ \tfrac32\hbar\omega ,\ \tfrac52\hbar\omega \ \cdots</math>

каде {{sfrac|1|2}}''ħω'' е [[Енергија на нултата точка|енергијата на нултата точка]] на [[Квантен хармониски осцилатор|квантниот хармониски осцилатор]].

'''Точна''' количина на [[енергија]] ''ħω'' мора да се достави до решетката на хармонискиот осцилатор за да го потисне на следното ниво на енергија. Во споредба со [[фотон]]скиот случај, кога електромагнетното поле се квантифицира, квантумот на вибрациона енергија се нарекува фонон.

Сите квантни системи истовремено покажуваат својства како бранови или честички. Својствата како честички на фононот најдобро се разбираат со користење на методите за [[втора квантизација]] и техниките на операторот опишани подоцна.<ref name="Mahan">{{Наведена книга|last=Mahan|first=G. D.|title=Many-Particle Physics|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-306-46338-5|year=1981}}</ref>

=== Тридимензионална решетка ===
Ова може да биде генерализирано за тридимензионална решетка. Брановиот број ''k'' се заменува со тро-димензионален [[бранов вектор]] '''k'''. Понатаму, секој '''k''' е сега поврзан со три нормални координати.

Новите индекси ''s'' = 1,2,3 ја означуваат [[Поларизација (бранови)|поларизација]] на фононите. Во еднодимензионалниот модел, атомите биле ограничени да се движат по должината на линијата, па фононите соодветствувале со [[надолжен бран|надолжните бранови]]. Во три димензии, вибрациите не се ограничени на правецот на размножување, и можат исто така да се појават и во нормалните рамнини, како [[попречен бран|попречните бранови]]. Ова доведува до пораст на дополнителните нормални координати, кои како форма на Хамилтонијан укажуваат, дека можеме да ги видиме како независни видови на фонони.

=== Дисперзиона релација ===
[[Податотека:Diatomic_phonons.png|мини|Криви на дисперзија во линеарен двоатомски синџир]]
[[Податотека:Optical & acoustic vibrations-en.svg|мини|250x250пкс|Оптички и акустични вибрации во линеарен двоатомски синџир.]]
[[Податотека:Phonon_dispersion_relations_in_GaAs.png|мини|250x250пкс|Дисперзивен однос ''ω''&nbsp;=&nbsp;''ω''('''k''') за некои бранови кои одговараат на вибрациите на решетките во GaAs.<ref name="Cardona" />]]
За една-димензионална наизменична низа од два вида на јон или атом со маса ''m''<sub>1</sub>, ''m''<sub>2</sub> повторувани периодично на растојание ''a'', поврзани со пружини со константа на пружина ''K'', два модуса на вибрации резултираат:<ref name="Misra" />

: <math>\omega_\pm^2 = K\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right) \pm K \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right)^2-\frac{4\sin^2\frac{ka}{2}}{m_1 m_2}} ,</math>

каде ''k'' е бранов фактор на вибрациите поврзани со неговата бранова должина со 
<math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.

Врската помеѓу честотата и брановиот фактор, ''ω''&nbsp;=&nbsp;''ω''(''k''), е позната како [[дисперзиона релација]]. Знакот плус резултира во таканаречен оптички модус, а знакот минус во акустички модус. Во оптичкиот модус два соседни различни атоми се движат еден наспроти друг, додека во акустичниот модус се движат заедно.

Брзината на ширење на акустичкиот фонон, која е исто така [[брзина на звукот]] во решетката, е дадена со наклонот на акустичната дисперзиона релација, {{sfrac|∂''ω<sub>k</sub>''|∂''k''}} (види [[групна брзина]].) При ниски вредности на ''k'' (на пр.: долги бранови должини), дисперзионата релација е речиси линеарна, а брзината на звукот е приближно ''ωa'', независно од фононската честота. Како резултат на тоа, пакетите од фонони со различни (но долги) бранови должини можат да се шират на големи растојанија низ решетката без да се распаднат. Ова е причината поради која звукот се шири низ цврсти тела без значителни изобличувања. Ова однесување не успева при големи вредности на ''k'', на пр. кратки бранови должини, поради микроскопските детали на решетката.

За кристал кој има најмалку два атома во својата [[примитивна ќелија]], [[Дисперзиона релација|дисперзионите релации]] покажуваат два вида фонони, имено, оптичките и акустичните модуси соодветствуваат на горната сина и долна црвена крива на дијаграмот, соодветно. Вертикалната оска е енергијата или честотата на фононот, додека хоризонталната оска е [[Бранов вектор|брановиот вектор]]. Границите при −{{sfrac|{{pi}}|''a''}} и {{sfrac|{{pi}}|''a''}} се оние од првата [[Брилуинова зона]].<ref name="Misra">{{Наведена книга|title=Physics of Condensed Matter|first=Prasanta Kumar|last=Misra|url=https://books.google.com/books?id=J6rMISLVCmcC&pg=PA44|pages=44|chapter=§2.1.3 Normal modes of a one-dimensional chain with a basis|publisher=Academic Press|isbn=0-12-384954-3|year=2010}}</ref> Кристал со ''N'' ≥ 2 различни атоми во [[Примитивна ќелија|примитивната ќелија]] покажува три акустични модуси: еден [[надолжен акустичен модус]] и два [[попречен акустичен модус|попречни акустични модуси]]. Бројот на оптички модови е 3''N'' - 3. Долната слика ги прикажува дисперзионите релации за неколку фононски модуси во GaAs како функција од брановиот вектор '''k''' во главните насоки на својата Брилуинова зона.<ref name="Cardona">
{{Наведена книга|title=Fundamentals of Semiconductors|series=Physics and Materials Properties|first1=Peter Y.|last1=Yu|first2=Manuel|last2=Cardona|url=https://books.google.com/books?id=5aBuKYBT_hsC&pg=PA111|page=111|chapter=Fig. 3.2: Phonon dispersion curves in GaAs along high-symmetry axes|isbn=3-642-00709-0|year=2010|edition=4|publisher=Springer}}</ref>

Многу дисперзиони криви на фононите биле мерени со [[неутронското расејување]].

Физиката на звукот во [[флуид]]ите се разликува од физиката на звукот во цврстите тела, иако и двата се густински бранови: звучните бранови во течностите имаат само надолжни компоненти, додека звучните бранови во цврстите тела имаат надолжни и попречни компоненти. Ова е поради тоа што течностите не можат да ги поддржат смолкнувачките (напречните) стресови (но види во вискоеластични флуиди, кои се пјавуваат само на високи честоти).

=== Интерпретација на фононите со корисење на техниките за втора квантизација ===
Всушност, погоре добиениот Хамилтонијан изгледа како класична Хамилтонијанова функција, но ако се толкува како [[Оператор (физика)|оператор]], тогаш ја опишува квантната теорија на полето на неинтерактивните [[бозон]]и.

[[Енергетски спектар|Енергетскиот спектар]] на овој Хамилтонијан лесно се добива со методот на скалести оператори, сличен на проблемот со [[Квантен хармониски осцилатор|квантниот хармониски осцилатор]]. Воведуваме сет од скалести оператори дефинирани со:{{citation needed|date=February 2014}}

: <math>\begin{alignat}{2}
b_k&=\frac{1}\sqrt{2}\left(\frac{Q_k}{l_k}+i\frac{\Pi_{-k}}{\frac{\hbar}{l_k}}\right), &\quad Q_k&=l_k\frac{1}\sqrt{2}\left({b_k}^\dagger+b_{-k}\right) \\
{b_k}^\dagger&=\frac{1}\sqrt{2}\left(\frac{Q_{-k}}{l_k}-i\frac{\Pi_{k}}{\frac{\hbar}{l_k}}\right), &\quad \Pi_k&=\frac{\hbar}{l_k}\frac{i}\sqrt{2}\left({b_k}^\dagger-b_{-k}\right) \\
l_k&=\sqrt\frac{\hbar}{m\omega_k} \end{alignat}</math>

Со директно вметнување Хамилтонијан, лесно може да се потврди дека{{citation needed|date=February 2014}}

: <math>\mathcal{H} =\sum_k \hbar\omega_k \left({b_k}^\dagger b_k+\tfrac12\right) ,\quad \left[b_k , {b_{k'}}^\dagger \right] = \delta_{k,k'} ,\quad \Big[b_k , b_{k'} \Big] = \left[{b_k}^\dagger , {b_{k'}}^\dagger \right] = 0.</math>

Како и со квантниот хармониски осцилатор, еден може да покаже дека ''b<sub>k</sub>''<sup>†</sup> и ''b<sub>k</sub>'', соодветно, создаваат и уништуваат едно возбудување од енергија ''ħω<sub>k</sub>''. Овие возбудувања се фононите.{{citation needed|date=February 2014}}

Можат да се одредат две важни својства на фононите. Прво, фононите се [[бозон]]и, бидејќи секој број на идентични возбудувања може да се создаде со повторена примена на операторот за создавање ''b<sub>k</sub>''<sup>†</sup>. Второ, секој фонон е "колективен модус" предизвикан од движењето на секој атом во решетката. Ова може да се види од фактот дека скалестите оператори содржат суми над операторите за позиција и момент на секој атом.{{citation needed|date=February 2014}}

Не е ''а'' ''приори'' очигледно дека овие возбудувања генерирани од ''b'' операторите се буквално бранови од поместувањето на решетката, но еден може да се убеди себеси за ова, со пресметување на ''[[функција за корелација]]та позиција-позиција''.{{citation needed|date=February 2014}} Нека |''k''> означува состојба со единечен квантум од возбуден мод ''k'', на пр.

: <math>| k \rangle = b_k^\dagger | 0 \rangle.</math>

Може да се покаже дека, за било кои два атома ''j'' и ''l'',

: <math>\langle k | x_j(t) x_l(0) | k \rangle = \frac{\hbar}{Nm\omega_k} \cos \big( k(j-l)a - \omega_k t \big) + \langle 0 | x_j(t) x_l(0) |0 \rangle </math>

кои имаат форма на решеткаст бран со честота ''ω<sub>k</sub>'' и бранов број ''k''.

Во три димензии, Хамилтонијанот има форма

: <math>\mathcal{H} = \sum_k \sum_{s = 1}^3 \hbar \, \omega_{k,s}
\left( {b_{k,s}}^\dagger b_{k,s} + \tfrac12 \right).</math>{{citation needed|date=February 2014}}

== Акустични и оптички фонони ==
Цврстите тела со повеќе од еден атом во најмалата [[ќелијска единица]], прикажуваат два вида фонони: акустични фонони и оптички фонони.

'''Акустични фонони''' се кохерентни движења на атомите во решетката, надвор од нивните рамнотежни состојби. Ако поместувањето е во насока на ширењето, тогаш во некои области атомите ќе бидат поблиску, а во други подалеку, како кај звучниот бран во воздухот (оттука и името акустички). Поместувањето нормално на правецот на размножувањето е споредливо со брановите на низата. Ако бранова должина на акустичните фонони оди до бесконечност, тоа одговара на едноставното поместување на целиот кристал, а тоа троши енергија за нулта деформација. Акустичните фонони покажуваат линеарна врска помеѓу честотата и брановиот вектор на фононот за долги бранови должини. Честотите на акустичните фонони се стремат кон нула со подолга бранова должина. Лонгитудиналните и попречните акустични фонони често биле скратувани како LA и TA фонони, соодветно.

'''Оптичките фонони''' се не-фазни движења на атомите во решетката, еден атом се движи во лево а неговиот сосед во десно. Ова се случува ако основата на решетката се состои од два или повеќе атоми. Тие се нарекуваат ''оптички'', бидејќи во јонските кристали, како [[натриум хлорид]]от, тие се возбудени од [[Инфрацрвено зрачење|инфрацрвеното зрачење]]. Електричното поле на светлината ќе го помести секој позитивен натриум-јон во правец на полето, а секој негативен хлорид-јон во другата насока, праќајќи го кристалот да вибрира.

Оптичките фонони имаат честота различна од нула, во центарот на [[Брилуинова зона|Брилуиновата зона]] и не покажуваат дисперзија близу лимитот на таа долга бранова должина. Тоа е затоа што тие кореспондираат со модусот на вибрации, каде што позитивните и негативните јони на соседните мрежни решетки се вртат едни спроти други, создавајќи временски различен [[електричен диполен момент]]. Оптичките фонони кои се во интеракција на овој начин со светлината, се нарекуваат ''инфрацрвени активни''. Оптичките фонони кои се ''Раман'' активни, исто така, можат да бидат во интеракција индиректно со светлина, преку [[Раманово расејување|Рамановото расејување]]. Оптичките фонони се често скратувани како LO и TO фонони, за надолжни и попречни модуси; а раздвојувањето помеѓу LO и TO честотите често е опишано точно со релацијата Лидајн-Сакс-Телер.

Кога се мери оптичката енергија од фононот со експеримент, оптичките фононски честоти понекогаш се даваат со [[Спектроскопски бранов број|спектроскопскиот бранов број]], каде што симболот ''ω'' ја претставува обичната честота (не е аголната честота) и се изразува во единица [[Сантиметар|cm]]<sup>−1</sup>. Вредноста се добива со делење на честотата со [[Брзина на светлината во вакуум|брзината на светлината во вакуум]]. Со други зборови, честотата во cm<sup>−1</sup> единици одговара на инверзната вредност на [[бранова должина]] на [[фотон]]от во вакуум, која има иста честота како и измерениот фонон.<ref name="cmian">{{Наведена книга|last=Mahan|first=Gerald|title=Condensed Matter in a Nutshell|publisher=Princeton University Press|location=Princeton|year=2010|isbn=0-691-14016-2}}</ref> cm<sup>−1</sup> е единица за енергија која често се користи во дисперзиските релации и на акустичките и на оптичките фонони, за повеќе детали и користење види во единици на енергија.

== Кристален моментум ==
[[Податотека:Phonon_k_3k.gif|десно|мини|250x250пкс|k-векторите што ја надминуваат првата зона Брилуин (црвени) не носат повеќе информации од другите вектори (црни) во првата зона Брилуин.]]
По аналогија на [[фотон]]ите и [[Материјален бран|материјалните бранови]], фононите биле третирани со брановиот фактор ''k'', како да имаат [[Момент (математика)|моментум]] ''ħk'', меѓутоа, ова не е строго правилно, бидејќи ''ħk'' не е всушност физички моментум; тој се нарекува ''кристален моментум или псевдомоментум''. Ова е поради тоа што ''k'' е одреден само до додавањето на константни вектори (реципрочни вектори на решетки и многукратник од цели броеви од него). На пример, во еднодимензионалниот модел, нормалните координати ''Q'' и ''Π'' се дефинирани така што

: <math>Q_k \stackrel{\mathrm{def}}{=} Q_{k+K} ;\quad \Pi_k \stackrel{\mathrm{def}}{=} \Pi_{k + K}</math>

каде

: <math>K = \frac{2n\pi}{a}</math>

за било кој цел број ''n''. Фонон со бранова должина ''k'' е на тој начин еквивалентен со бесконечното семејство на фонони со бранови броеви ''k''&nbsp;±&nbsp;{{sfrac|2{{pi}}|''a''}}, ''k''&nbsp;±&nbsp;{{sfrac|4{{pi}}|''a''}} и така натаму. Физички, реципрочните вектори на решетки се однесуваат како дополнителни парчиња на моментум што решетката може да го пренесе на фононот. Блох електроните го почитуваат сличниот сет на ограничувања.

Вообичаено е да се разгледуваат фононските бранови вектори k, кои имаат најмала величина | k | во нивното "семејство". Сетот од сите такви браново вектори ја дефинира ''првата Брилуинова зона''. Дополнителни Брилуинови зони можат да бидат дефинирани како копии од првата зона, префрлени од некој реципрочен решеткаст вектор.
[[Податотека:Brillouin_zone.svg|мини|Бриллуински зони, (а) во квадратна решетка, и (б) во шестаголна решетка]]

== Термодинамика ==
[[Термодинамика|Термодинамичките]] својства на цврстите тела се директно поврзани со нивната фононска структура. Целиот сет на сите можни фонони кои се опишани со фононовата дисперзиона релација се комбинирани во она што е познато како фононска густина на состојби, која го одредува топлинскиот капацитет на кристалот. Од природата на оваа дистрибуција, топлинскиот капацитет  доминира во високочестотниот дел од дистрибуцијата, додека топлинската спроводливост првенствено е резултат на регионот со ниска честота.{{cn|date=February 2019}}

При [[апсолутна нула]] температура, кристалната решетка лежи во својата [[основна состојба]] и не содржи фонони. Решетката на [[температура]] различна од нула има енергија која не е константна, туку флуктуира случајно околу некоја средна вредност. Овие флуктуации на енергија се предизвикани од случајните вибрации на решетката, кои можат да се посматраат како гас од фонони. Бидејќи овие фонони се генерирани од температурата на решетката, тие понекогаш се означени како термални фонони.{{citation needed|date=February 2014}}

Термалните фонони можат да бидат создадени и уништени со случајни енергетски флуктуации. На јазикот на статистичката механика ова значи дека хемискиот потенцијал за додавање на фонон е нула. Ова однесување е проширување на хармонискиот потенцијал во анхармонискиот режим. Однесувањето на термалните фонони е слично на [[Фотон гас|фотонот гас]] произведен од [[Електромагнетна празнина|електромагнетната празнина]], при што фотоните можат да бидат емитирани или апсорбирани од ѕидовите на шуплината. Оваа сличност не е коинцидентна, бидејќи излегува дека електромагнетното поле се однесува како збир на хармониски осцилатори, што доведува до црнотелесно зрачење. И двата гаса ги почитуваат статистиките на Босе-Ајнштајн: во топлинската рамнотежа и во рамките на хармонискиот режим, веројатноста за пронаоѓање на фонони или фотони во дадената состојба со дадена аголна честота е:{{citation needed|date=February 2014}}

: <math>n\left(\omega_{k,s}\right) = \frac{1}{\exp\left(\dfrac{\hbar\omega_{k,s}}{k_\mathrm{B}T}\right) - 1}</math>

каде ''ω''<sub>''k'',''s''</sub> е честотата на фононите (или фотоните) во состојбата, ''k''<sub>B</sub> е [[Болцманова константа|Болцмановата константа]], а ''T'' е температурата.

=== Проток на топлината во нанометарски широки процепи ===
Идејата за квантно тунелирање применета на фононите создава идеја за ''фононско тунелирање'', каде што низ нанометарски широки процепи, топлината може да пренесува помеѓу материјалите од фононот што е "тунел" помеѓу двата материјали.<ref>MIT. (2015). "Tunneling across a tiny gap." http://news.mit.edu/2015/phonon-tunneling-heat-flow-nanometer-gaps-0407. Retrieved December 24, 2018.</ref> Типот на пренос на топлина функционира помеѓу растојанија премногу големи за да се случи [[Топлинско спроведување|спроведување]], но премногу мали за да се случи [[зрачење]].

== Операторски формализам ==
Фононот Хамилтонијан е даден со

: <math>\mathcal{H} = \tfrac12 \sum_\alpha\left(p_\alpha^2 + \omega^2_\alpha q_\alpha^2 -\tfrac12 \hbar\omega_\alpha\right)</math>

Во однос на операторите, овие се дадени со

: <math>\mathcal{H} = \sum_\alpha\hbar\omega_\alpha {a_\alpha}^\dagger a_\alpha</math>

Тука, при изразувањето на [[Хамилтонијан]]от во операторскиот формализам, не го земавме предвид при пресметувањето терминот {{sfrac|1|2}}''ħω<sub>q</sub>'', бидејќи ако земеме бесконечна решетка или, за тоа прашање  континуум, теминот {{sfrac|1|2}}''ħω<sub>q</sub>'' ќе даде бесконечност. Оттука, тој е "ренормализиран", со ставање на факторот {{sfrac|1|2}}''ħω<sub>q</sub>'' на вредност 0, тврдејќи дека разликата во енергијата е она што ние го мериме, а не апсолутната вредност од неа. Оттука, факторот {{sfrac|1|2}}''ħω<sub>q</sub>'' е отсутен во операторскиот формализиран израз за [[Хамилтонијан]]от.

Основната состојба, исто така, наречена "вакуумска состојба" е состојбата составена од без фонони. Оттука, енергијата на основната состојба е 0. Кога системот е во состојба |n<sub>1</sub>n<sub>2</sub>n<sub>3</sub> ...⟩, велиме дека има ''n<sub>α</sub>'' фонони од типот ''α''. ''n<sub>α</sub>'' се нарекуваат број на окупација на фононите. Енергијата на еден фонон од тип α е ħωq, а вкупната енергија на општиот фононски систем е дадена со ''n''<sub>1</sub>''ħω''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''n''<sub>2</sub>''ħω''<sub>2</sub>&nbsp;+…. Со други зборови, фононите не се интерактивни. Дејството на операторите за создавање и уништување е дадено со

: <math>{a_\alpha}^\dagger\Big|n_1\ldots n_{\alpha -1}n_\alpha n_{\alpha +1}\ldots\Big\rangle = \sqrt{n_\alpha +1}\Big|n_1\ldots,n_{\alpha -1}, (n_\alpha+1), n_{\alpha+1}\ldots\Big\rangle</math>

и

: <math>a_\alpha\Big|n_1\ldots n_{\alpha -1}n_\alpha n_{\alpha +1}\ldots\Big\rangle = \sqrt{n_\alpha}\Big|n_1\ldots,n_{\alpha -1},(n_\alpha-1),n_{\alpha+1},\ldots\Big\rangle</math>

на пр. ''a<sub>α</sub>''<sup>†</sup> создава фонон од типот ''α'', додека ''a<sub>α</sub>'' го уништува. Оттука, тие се оператори за создавање и уништување на фонони. Аналогно на случајот на [[Квантен хармониски осцилатор|квантниот хармониски осцилатор]], можеме да го дефинираме операторот на бројот на честички како

: <math>N = \sum_\alpha {a_\alpha}^\dagger a_\alpha.</math>

Бројниот оператор се менува со низата производи од операторите за создавање и уништување, ако бројот на а е еднаков на бројот на ''a''<sup>†</sup>.

Фононите се бозони, бидејќи |''α'',''β''⟩ = |''β'',''α''⟩, т.е. тие се симетрични при замена.<ref>{{Наведена книга|title=Statistical Mechanics, A Set of Lectures|last=Feynman|first=Richard P.|authorlink=|year=1982|publisher=Benjamin-Cummings|location=Reading, MA|isbn=0-8053-2508-5|page=159|pages=|url=|accessdate=}}</ref>

== Нелинеарност ==
Исто како и [[фотон]]ите, фононите можат да прават интеракција преку параметарско долно претворање<ref>{{Наведено списание|title=Phonon–phonon interactions due to non-linear effects in a linear ion trap|url=http://www.quantumoptics.at/images/publications/papers/apb03_marquet.pdf|first1=C.|last1=Marquet|first2=F.|last2=Schmidt-Kaler|first3=D. F. V.|last3=James|journal=Applied Physics B|volume=76|pages=199–208|date=2003|doi=10.1007/s00340-003-1097-7|arxiv=quant-ph/0211079|bibcode=2003ApPhB..76..199M}}</ref> и да формираат притиснати кохерентни состојби.<ref>{{Наведено списание|first1=D. E.|last1=Reiter|first2=S.|last2=Sauer|first3=J.|last3=Huneke|first4=T.|last4=Papenkort|first5=T.|last5=Kuhn|first6=A.|last6=Vagov|first7=V. M.|last7=Axt|url=http://iopscience.iop.org/1742-6596/193/1/012121/pdf/1742-6596_193_1_012121.pdf|title=Generation of squeezed phonon states by optical excitation of a quantum dot|publisher=[[Institute of Physics]]|date=2009|journal=Journal of Physics: Conference Series|volume=193|page=012121|doi=10.1088/1742-6596/193/1/012121}}</ref>

== Предвидени својства ==
Иако фононите често се користат како квазичестички, некои популарни истражувања покажале дека фононите и [[ротон]]ите навистина можат да имаат ист вид на маса, и да бидат под влијание на гравитацијата како што се стандардните честички.<ref>Alberto Nicolis and Riccardo Penco. (2017). [https://arxiv.org/pdf/1705.08914.pdf%7CMutual Interactions of Phonons, Rotons, and Gravity] Retrieved November 27, 2018</ref> Всушност, предвидено е да фононите имаат вид на [[негативна маса]] и негативна гравитација.<ref>Angelo Esposito, Rafael Krichevsky, and Alberto Nicolis. (2018). [https://arxiv.org/pdf/1807.08771.pdf%7CThe mass of sound] Retrieved November 11, 2018</ref> Ова може да биде покажано од фактот како фононите знаат побрзо да патуваат во погусти материјали. Бидејќи дел од материјалот што се насочува кон гравитацискиот извор е поблиску до објектот, тој станува погуст на тој крај. Од ова, се предвидува дека фононите ќе се одвратат, бидејќи ќе ја откријат разликата во густината, покажувајќи ги квалитетите на негативното гравитациско поле.<ref>https://phys.org/news/2018-08-phonons-mass-negative-gravity.html Retrieved November 27, 2018</ref> Иако ефектот би бил премногу мал за мерење, можно е да со идната опрема ќе се дојде до успешни резултати.

Фононите, исто така, се предвидени да играат клучна улога во [[суперспроводливост]]а во материјалите и предвидувањето на суперспроводливи соединенија.<ref>Enamul Haque and M. Anwar Hossain. (2018). [https://arxiv.org/pdf/1808.06700.pdf%7CFirst-principles prediction of phonon-mediated superconductivity in XBC (X= Mg, Ca, Sr, Ba)] Retrieved November 27, 2018</ref>

== Поврзано ==
{{portal|Physics}}
{{div col|colwidth=22em}}
* [[Бозон]]
* [[Brillouin scattering]]
* [[Fracton]]
* [[Linear elasticity]]
* [[Механички бран]]
* [[Phonon scattering]]
* [[Acoustic metamaterials#Phononic crystal|Phononic crystal]]
* [[Rayleigh wave]]
* [[Relativistic heat conduction]]
* [[Rigid unit modes]]
* [[SASER]]
* [[Second sound]]
* [[Surface acoustic wave]]
* [[Surface phonon]]
* [[Thermal conductivity]]
* [[Vibration]]
{{div col end}}

== Наводи ==
{{Reflist|30em}}

== Надворешни врски ==

* [http://web.mit.edu/newsoffice/2010/explained-phonons-0706.html Explained: Phonons], MIT News, 2010.
* [https://web.archive.org/web/20080318142623/http://dept.kent.edu/projects/ksuviz/leeviz/phonon/phonon.html Optical and acoustic modes]
* Phonons in a One Dimensional Microfluidic Crystal [http://www.nature.com/nphys/journal/v2/n11/abs/nphys432.html] and [https://arxiv.org/abs/1008.1155] with movies in [http://www.weizmann.ac.il/materials/barziv/project_1.htm].

{{particles}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Квазичестички]]
[[Категорија:Бозони]]
[[Категорија:Зборови што ги нема во ТРМЈ]]