Преглед на кодот на Хиперболични функции

{{Anchor|Sinh|Cosh|Tanh|Sech|Csch|Coth}}
[[Податотека:sinh cosh tanh.svg|300px|мини]]

'''Хиперболични функции''' – во [[математика]]та функции аналогни на [[тригонометриски функции|тригонометриските]], или [[единичен круг|циркуларните]] функции.

Основни хиперболични функции се:
* '''[[хиперболичен синус]]''' "sinh" 
* '''[[хиперболичен косинус]]''' "cosh" 
од кои се изведени:
* '''[[хиперболичен тангенс]]''' "tanh" 
* '''[[хиперболичен косеканс]]''' "csch" or "cosech" 
* '''[[хиперболичен секанс]]''' "sech" 
* '''[[хиперболичен котангенс]]''' "coth" 
кои соодветствуваат на изведените [[тригонометриски функции]].

[[Инверзни хиперболични функции]] се:
* '''аркус хиперболичен синус''' "arcsinh" (исто така се бележи како "sinh<sup>−1</sup>", "asinh" или "arsinh")<ref>{{Citation | last=Woodhouse | first = N. M. J. | author-link = N. M. J. Woodhouse | title = Special Relativity | publisher = Springer | place = London | date = 2003 | page = 71 | isbn = 978-1-85233-426-0}}</ref><ref>{{Citation | editor1-last=Abramowitz | editor1-first=Milton | editor1-link=Milton Abramowitz | editor2-last=Stegun | editor2-first=Irene A. | editor2-link=Irene Stegun | title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-61272-0 | year=1972| title-link=Abramowitz and Stegun }}</ref><ref>[https://www.google.com/books?q=arcsinh+-library Some examples of using '''arcsinh'''] found in [[Google Books]].</ref>
* и така следователно.

[[Слика:Hyperbolic functions-2.svg|мини|300px|десно|Зрак низ [[единична хипербола]] {{math|''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}} во точката {{math|(cosh ''a'', sinh ''a'')}}, каде {{mvar|a}} е двојна од површината меѓу зракот, хиперболата и {{mvar|x}}-оската. За точки на хиперболата под {{mvar|x}}-оската, површината се смета негативна (види [[:Слика:HyperbolicAnimation.gif|анимираната верзија]] со споредба со тригонометриските (циркуларните) функции).]]

Токму како што точките {{math|(cos ''t'', sin ''t'')}} образуваат круг со единичен радиоу, точките {{math|(cosh ''t'', sinh ''t'')}} ја образуваат десната половина од еднаквостранична [[хипербола]].  Хиперболичните функции земаат [[реален број|реален аргумент]] наречен [[хиперболичен агол]]. Големината на хиперболичниот агол е двојна од површината на неговиот [[хиперболичен сектор]]. Хиперболичните функции може да се дефинираат врз основа на хиперболичниот триаголник кој го опфаќа овој сектор.

Хиперболични функции постојат во решенијата на многу линеарни [[диференцијална равенка|диференцијални равенки]] (на пример, равенката која дефинира [[верижница]]), од некои [[кубна функција|кубни функции]], во пресметките на агли и растојанија во [[хиперболична геометрија|хиперболичната геометрија]], во [[Лапласова равенка|Лапласовата равенка]] во [[Декартов координатен систем]]. Лапласовите равенки се битни во многу подрачја на [[физика]]та, како [[електромагнетна теорија|електромагнетната теорија]], [[пренос на топлина|преносот на топлина]], [[динамика на флуиди|динамиката на флуиди]] и [[специјална теорија за релативноста|специјалната теорија за релативности]].

Во [[комплексна анализа|комплексната анализа]], хиперболичните функции се јавуваат како имагинарни делови на синус и косинус. Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се [[цела функција|цели функции]]. Како резултат, другите хиперболични функции се [[мероморфна функција|мероморфни]] во целата комплексна рамнина.

Според [[Линдеман–Вајерштрасова теорема|Линдеман-Вајерштрасовата теорема]], хиперболичните функции имаат [[трансцендентен број|трансцендентна вредност]] за секоја ненулова [[алгебарски број|алгебарска вредност]] на аргументот.<ref>{{Наведено списание | jstor=10.4169/j.ctt5hh8zn| doi=10.4169/j.ctt5hh8zn| title=Irrational Numbers| volume=11| last1=Niven| first1=Ivan| year=1985| publisher=Mathematical Association of America| doi-broken-date=2019-02-22}}</ref>

Хиперболичните функции биле воведени во 1760-тите, независно од [[Винченцо Рикати]] и [[Јохан Хајнрих Ламберт]].<ref>Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. ''Euler at 300: an appreciation.'' Mathematical Association of America, 2007. Page 100.</ref> Рикати ги користел {{math|''Sc.''}} и {{math|''Cc.''}} (''sinus/cosinus circulare'') за обележување на циркуларните функции и {{math|''Sh.''}} и {{math|''Ch.''}} (''sinus/cosinus hyperbolico'') за обележување на хиперболичните функции. Ламберт ги прифатил имињата, но ги променил кратенките како што се денес.<ref>Georg F. Becker. ''Hyperbolic functions.'' Read Books, 1931. Page xlviii.</ref> Кратенките {{math|sh}}, {{math|ch}}, {{math|th}}, {{math|cth}} исто така се во оптек, нивното користење повеќе зависи од личните претпочитувања на влијателните математичари отколку од јазикот.

==Дефиниции==
[[Податотека:sinh cosh tanh.svg|мини|<span style="color:#b30000;">sinh</span>, <span style="color:#00b300;">cosh</span> and <span style="color:#0000b3;">tanh</span>]]
[[Податотека:csch sech coth.svg|мини|<span style="color:#b30000;">csch</span>, <span style="color:#00b300;">sech</span> and <span style="color:#0000b3;">coth</span>]]

Постојат различни еквиваленти начини за дефинирање на хиперболичните функции.

=== Дефиниции преку експоненцијална функција ===
[[Податотека:Hyperbolic and exponential; sinh.svg|мини|десно|{{math|sinh ''x''}} е половина од [[Одземање|разликата]] од {{math|''e<sup>x</sup>''}} и {{math|''e''<sup>−''x''</sup>}}]]
[[Податотека:Hyperbolic and exponential; cosh.svg|мини|десно|{{math|cosh ''x''}} е [[аритметичка средина]] од {{math|''e<sup>x</sup>''}} и {{math|''e''<sup>−''x''</sup>}}]]

Хиперболичните функции може да бидат изразени преку [[експоненцијална функција|експоненцијалната функција]]:

* Хиперболичен синус: [[парност на функција|непарниот дел]] од експоненцијалната функција, кој е
*:<math>\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* Хиперболичен косинус: [[парност на функција|парниот дел]] од експоненцијалната функција, кој е
*:<math>\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}.</math>
* Хиперболичен тангенс:
*:<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
  = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>
* Хиперболичен котангенс: for {{math|''x'' ≠ 0}},
*:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
  = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}</math>
* Хиперболичен секанс:
*:<math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
  = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}</math>
* Хиперболичен косеканс:  for {{math|''x'' ≠ 0}},
*:<math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}
  = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}</math>

=== Дефиниции преку изводи ===
Хиперболичните функции може да бидат дефинирани како решенија на [[диференцијална равенка|диференцијални равенки]]: Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се единствени решенија {{math|(''s'', ''c'')}} на системот
:<math>\begin{align}
c'(x)&=s(x)\\
s'(x)&=c(x)\end{align}</math>
како
{{math|1=''s''(0) = 0}} and {{math|1=''c''(0) = 1}}.

Исто така тие се единствено решение на равенката {{math|1=''f''&thinsp;″(''x'') = ''f''&thinsp;(''x'')}},
како {{math|1=''f''&thinsp;(0) = 1}}, {{math|1=''f''&thinsp;′(0) = 0}} за хиперболичниот косинус и {{math|1=''f''&thinsp;(0) = 0}}, {{math|1=''f''&thinsp;′(0) = 1}} за хиперболичниот синус.

=== Тригонометриски дефиниции ===
Хиперболичните функции исто така може да бидат изведени од [[тригонометриски функции]] со [[комплексен број|комплексни]] аргументи:

* Хиперболичен синус:
*:<math>\sinh x = -i \sin (i x)</math>
* Хиперболичен косинус:
*:<math>\cosh x = \cos (i x)</math>
* Хиперболичен косинус:
*:<math>\tanh x = -i \tan (i x)</math>
* Хиперболичен котангенс:
*:<math>\coth x = i \cot (i x)</math>
* Хиперболичен секанс:
*:<math>\operatorname{sech} x = \sec (i x)</math>
* Хиперболичен косеканс:
*:<math>\operatorname{csch} x = i \csc (i x)</math>
каде {{mvar|i}} е [[имагинарна единица]] со својство дека {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.

[[Комплексен број|Комплексните]] облици во дефинициите се изведуваат од [[Ојлерова формула|Ојлеровата формула]].

== Својства==

=== Хиперболичен косинус ===
Може да се покаже дека површината под кривата на хиперболичниот косинус на конечен интервал секогаш е еднаква на должината на соодветниот лак на тој интервал:
<ref>{{Наведена книга
 |title=Golden Integral Calculus
 |first1=Bali  |last1=N.P.
 |publisher=Firewall Media
 |year=2005
 |isbn=81-7008-169-6
 |page=472
 |url=https://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC&pg=PA472
}}</ref>
:<math>\text{area} = \int_a^b \cosh x \,dx = \int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh x \right)^2} \,dx = \text{arc length.}</math>

{{Anchor|Tanh}}

===Хиперболичен тангенс ===
Хиперболичниот тангенс е решение на [[диференцијална равенка|диференцијалната равенка]] {{math|1=''f''&thinsp;′ = 1 − ''f''&thinsp;<sup>2</sup>}} со {{math|1=''f''&thinsp;(0) = 0}} и [[нелинеарен|нелинеарниот]] [[проблем на гранична вредност]]:<ref>{{MathWorld | Податотека = HyperbolicTangent | title = Hyperbolic Tangent}}</ref><ref>
{{Наведена мрежна страница|title=Derivation of tanh solution to {{sfrac|1|2}}''f''″ = ''f''<sup>3</sup> − ''f''|url=http://math.stackexchange.com/q/1670143/88985|website=Math [[StackExchange]]|accessdate=18 March 2016}}</ref>

:<math>\tfrac{1}{2} f'' = f^3 - f ; \quad f(0) = f'(\infty) = 0.</math>

==Корисни врски==
Парни и непарни функции:
:<math>\begin{align}
  \sinh (-x) &= -\sinh x \\
  \cosh (-x) &=  \cosh x
\end{align}</math>

Оттука:
:<math>\begin{align}
                \tanh (-x) &= -\tanh x \\
                \coth (-x) &= -\coth x \\
  \operatorname{sech} (-x) &=  \operatorname{sech} x \\
  \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x
\end{align}</math>

Може да се види дека {{math|cosh ''x''}} и {{math|sech ''x''}} се [[парност на функција|парни]]; другите се  [[парност на функција|непарни функции]].

:<math>\begin{align}
  \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \left(\frac{1}{x}\right) \\
  \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \left(\frac{1}{x}\right) \\
  \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \left(\frac{1}{x}\right)
\end{align}</math>

Хиперболичните синус и косинус ги задоволуваат: 
:<math>\begin{align}
  \cosh x + \sinh x &= e^x \\
  \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \\
  \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1
\end{align}</math>

последниот од нив е сличен на [[Питагоров тригонометриски идентитет|Питагоровиот тригонометриски идентитет]].

Исто така
:<math>\begin{align}
  \operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\
  \operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1
\end{align}</math>

за другите функции.

===Збир од аргументи ===
:<math>\begin{align}
  \sinh(x + y) &= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\
  \cosh(x + y) &= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \\[6px]
  \tanh(x + y) &= \frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y } \\
\end{align}</math>

особено
:<math>\begin{align}
  \cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\
  \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\
  \tanh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1+ \tanh^2 x } \\
\end{align}</math>

Исто така:
:<math>\begin{align}
  \sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
  \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\

\end{align}</math>

===Формули за разлика===
:<math>\begin{align}
  \sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\
  \cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\
  \tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\
\end{align}</math>

Исто така:<ref>{{Наведена книга|last1=Martin|first1=George E.|title=The foundations of geometry and the non-euclidean plane|date=1986|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=3-540-90694-0|page=416|edition=1 corr.}}</ref>
:<math>\begin{align}
  \sinh x - \sinh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
  \cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}</math>

===Формули на половина аргумент ===

:<math>\begin{align}
  \sinh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh (x)}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2} \\[6px]
  \cosh\left(\frac{x}{2}\right) &= \sqrt \frac{\cosh x + 1}{2}\\[6px]
  \tanh\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} &&= \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} 
\end{align}</math>

каде {{math|sgn}} е [[функција сигнум]].

Ако {{math|''x'' ≠ 0}}, тогаш<ref>{{Наведена мрежна страница|title=math.stackexchange.com/q/1565753/88985|url=http://math.stackexchange.com/q/1565753/88985|website=[[StackExchange]] (mathematics)|accessdate=24 January 2016}}</ref>

:<math> \tanh\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch} x </math>

==Инверзни функции како логаритми ==
{{главна|Инверзни хиперболични функции}}

:<math>\begin{align}
  \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
  \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) && x \geqslant 1 \\
  \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) && | x | < 1 \\
  \operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) && |x| > 1 \\
  \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) = \ln \left( \frac{1+ \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) && 0 < x \leqslant 1 \\
  \operatorname {arcsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} +1}\right) && x \ne 0

\end{align}</math>

==Изводи==
:<math>\begin{align}
   \frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\
   \frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\
   \frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\ 
   \frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && 1 < x \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x &= \frac{1}{1-x^2} && |x| < 1 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x &= \frac{1}{1-x^2} && 1 < |x| \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x &= -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} && 0 < x < 1 \\
   \frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x &= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} && x \neq 0
 \end{align}</math>

<!-- from: http://www.pen.k12.va.us/Div/Winchester/jhhs/math/lessons/calculus/tableof.html  and http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html?action=entryById&id=2664 -->

==Втори изводи==
И sinh и cosh се еднакви на нивните [[втор извод|втори изводи]]:
:<math> \frac{d^2}{dx^2}\sinh x = \sinh x \,</math>
:<math> \frac{d^2}{dx^2}\cosh x = \cosh x \, .</math>

Сите функции со ова својство се [[линеарна комбинација|линеарни комбинации]] од sinh и cosh, особено [[експоненцијална функција|експоненцијалните функции]] <math> e^x </math> и <math> e^{-x} </math>, нуловата функција <math> f(x) = 0 </math>.

==Стандардни интеграли==
{{Главна|Список на интеграли на хиперболични функции}}

:<math>\begin{align}
  \int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\
  \int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\
  \int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\
  \int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C = a^{-1} \ln\left|\operatorname{csch} (ax) - \coth (ax)\right| + C
\end{align}</math>

Следниве интеграли може да се докажат со користење на [[хиперболична супституција]]:

:<math>\begin{align}
   \int {\frac{1}{\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = \operatorname{arsinh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}}\,du} &= \operatorname{arcosh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & =  a^{-1}\operatorname{artanh} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 < a^2 \\
   \int {\frac{1}{a^2 - u^2}}\,du & =  a^{-1}\operatorname{arcoth} \left( \frac{u}{a} \right) + C && u^2 > a^2 \\
   \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 - u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arsech}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{1}{u\sqrt{a^2 + u^2}}\,du} & = -a^{-1}\operatorname{arcsch}\left| \frac{u}{a} \right| + C
\end{align}</math>

каде ''C'' е [[интеграциона константа]].

==Изрази со Тејлорови редови ==
Горните функции може да се изразат како [[Тејлорова формула|Тејлорови редови]]:

:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
Функцијата sinh&nbsp;''x'' се изразува преку Тејлоров ред само со непарни експоненти на ''x''. Значи таа е непарна функција, па −sinh&nbsp;''x''&nbsp;=&nbsp;sinh(−''x''), и sinh&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;0.

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

Функцијата cosh&nbsp;''x'' се изразува преку Тејлоров ред само со парни експоненти на ''x''. Значи таа е парна функција, следствено, симетрична во однос на ''y''-оската. Збирот од редовите на sinh и cosh е [[бесконечен ред]] од [[експоненцијална функција|експоненцијалната функција]].

:<math>\begin{align}

                   \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

                   \coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi \\

  \operatorname {sech}\, x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

  \operatorname {csch}\, x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi

\end{align}</math>

каде:
:<math>B_n \,</math> е ''n''-тиот [[Бернулиев број]]
:<math>E_n \,</math> е ''n''-тиот [[Ојлеров број]]

==Споредба со циркуларните функции ==

[[Податотека:Circular and hyperbolic angle.svg|десно|250px|мини|Тангентата на кружницата и хиперболата во (1,1) ја изразуваат геометријата на циркуларните функции во однос на површината на кружниот сектор ''u'' и хиперболичните функции кои зависат од површината на хиперболичниот сектор ''u''.]]
Хиперболичните функции претставуваат проширување на [[тригонометрија]]ата преку [[циркуларни функции|циркуларните функции]]. Обата вида зависат од [[аргумент на функција|аргумент]], кој е или [[агол|кружен агол]] или [[хиперболичен агол]].

Бидејќи површината на кружниот сектор со полупречник ''r'' и агол ''u'' е ''r''<sup>2</sup>''u''/2, истата ќе биде еднаква на ''u'' кога ''r'' = {{sqrt|2}}. На дијаграмот таквиот круг е тангента на хиперболата ''xy'' = 1 во (1,1). Жолтиот сектор претставува површина и големина на агол. Слично, жолтиот и црвениот сектор заедно претставуваат површина и агол на хиперболичниот сектор.

Краците на два [[правоаголен триаголник|правоаголни триаголници]] со хипотенуза на правата која ги дефинира аглите се со должина {{radic|2}} пати од циркуларните и хиперболичните функции.

Хиперболичниот агол е неваријантна мерка во однос на контракцијата (хиперболична ротација), токму како што кружниот агол е непроменлив со ротацијата.<ref>[[Mellen W. Haskell]], "On the introduction of the notion of hyperbolic functions",  [[Bulletin of the American Mathematical Society]] '''1''':6:155–9, [http://www.ams.org/journals/bull/1895-01-06/S0002-9904-1895-00266-9/S0002-9904-1895-00266-9.pdf full text]</ref>

=={{anchor|Osborn}}Идентитети==
Хиперболичните функции задоволуваат многу идентитети и сите тие се слични по облик со [[тригонометриски идентитет|тригонометриските идентитети]]. Всушност, '''Осборновото правило'''<ref name="Osborn, 1902" /> тврди дека секој тригонометриски идентитет може да се претвори во хиперболичен идентитет со промена на sine во sinh и cosine во cosh, и со менување на знакот на секој член која содржи производ од 2, 6, 10, 14, ... sinhs. На пример, теоремите за собирање ќе бидат
:<math>\begin{align}
  \sinh(x + y) &= \sinh (x) \cosh (y) + \cosh (x) \sinh (y) \\
  \cosh(x + y) &= \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y) \\
  \tanh(x + y) &= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}
\end{align}</math>

формулите за "двоен аргумент "
:<math>\begin{align}
  \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \\
  \cosh (2x) &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \\
  \tanh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}\\
  \sinh (2x) &= \frac{2\tanh x}{1-\tanh^2 x}\\
  \cosh (2x) &= \frac{1+ \tanh^2 x}{1-\tanh^2 x}
\end{align}</math>

и формулите за  "половина аргумент "<ref>
{{Наведена книга
 |title=Technical mathematics with calculus
 |edition=3
 |first1=John Charles
 |last1=Peterson
 |publisher=Cengage Learning
 |year=2003
 |isbn=0-7668-6189-9
 |page=1155
 |url=https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC}}, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&pg=PA1155 Chapter 26, page 1155]
</ref>
:<math>\sinh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x - 1)} \,</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;Забелешка:  Ова е еквивалентно на неговиот циркуларен пандан помножен со −1.
:<math>\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x + 1)} \,</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;Забелешка:  Ова е еквивалентно на неговиот циркуларен пандан.
:<math> \tanh \frac{x}{2} = \sqrt \frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch}x.</math>
:<math> \coth \frac{x}{2} = \coth x + \operatorname{csch}x.</math>

[[Извод]]от од sinh&nbsp;''x'' е cosh&nbsp;''x'', а изводот од cosh&nbsp;''x'' е sinh&nbsp;''x''; ова е слично со тригонометриските функции, иако знакот е различен (извод од cos&nbsp;''x'' е −sin&nbsp;''x'').

[[Гудерманова функција|Гудермановата функција]] дава директна врска меѓу тригонометриските и хиперболичните функции кои не содржат комплексни броеви.

Графиконот на функција ''a''&nbsp;cosh(''x''/''a'') е [[верижница]], кривата образувана од униформен флексибилен синџир кој слободно виси помеѓу две фиксни точки под униформа гравитација.

==Врска со експоненцијалната функција ==
Разложувањето на експоненцијалната функција на парен и непарен дел ги дава идентитетите
:<math>e^x = \cosh x + \sinh x,</math>
и
:<math>e^{-x} = \cosh x - \sinh x.</math>
Првиот е аналоген со [[Ојлерова формула|Ојлеровата формула]]
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>

дополнително,
:<math>e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x}} = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2}}{1 - \tanh \frac{x}{2}}</math>

==Хиперболични функции за комплексни броеви ==
Со оглед дека [[експоненцијална функција|експоненцијалната функција]] може да биде дефинирана за кој било [[комплексен број|комплексен]] аргумент, дефинициите на хиперболичните функции може да се прошири исто така на комплексните аргументи. Функциите sinh&nbsp;''z'' и cosh&nbsp;''z'' тогаш се [[холоморфна функција|холоморфни]].

Врските со обичните тригонометриски функции се дадени со Ојлеровата формула за комплексни броеви:

:<math>\begin{align}
   e^{i x} &= \cos x + i \sin x \\
  e^{-i x} &= \cos x - i \sin x
\end{align}</math>

па:

:<math>\begin{align}
    \cosh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
    \sinh(ix) &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
 \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
 \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
    \tanh(ix) &= i \tan x \\
     \cosh x &= \cos(ix) \\
     \sinh x &= - i \sin(ix) \\
     \tanh x &= - i \tan(ix)
\end{align}</math>

Хиперболичните функции се [[периодична функција|периодични]] во однос на имагинарната компонента, со период <math>2 \pi i</math> (<math>\pi i</math> за хиперболичен тангенс и котангенс).

{|  style="text-align:center"
|+ Хиперболични функции во комплексната рамнина
|[[Image:Complex Sinh.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex Cosh.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex Tanh.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex Coth.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex Sech.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex Csch.jpg|1000x140px|none]]
|-
|<math>\operatorname{sinh}(z)</math>
|<math>\operatorname{cosh}(z)</math>
|<math>\operatorname{tanh}(z)</math>
|<math>\operatorname{coth}(z)</math>
|<math>\operatorname{sech}(z)</math>
|<math>\operatorname{csch}(z)</math>
|}

==Поврзано==
{{рв|Hyperbolic functions}}
* [[е (математичка константа)]]
* [[Инверзни хиперболични функции]]
* [[Список на интеграли на хиперболични функции]]
* [[Тригонометриски функции]]

==Наводи==
{{Reflist|35em|refs=

<ref name="Osborn, 1902" >{{Наведено списание
  |first=G.  |last=Osborn
  |jstor=3602492 
  |title=Mnemonic for hyperbolic formulae
  |journal=[[The Mathematical Gazette]]
  |page=189
  |volume=2  |issue=34
  |date=July 1902
}}</ref>

}}

==Надворешни врски==
*{{springer|title=Hyperbolic functions|id=p/h048250}}
*[http://planetmath.org/hyperbolicfunctions Hyperbolic functions] on [[PlanetMath]]
*[http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html Hyperbolic functions] entry at [[MathWorld]]
*[https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab]: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions ([[Java Web Start]])
*[http://www.calctool.org/CALC/math/trigonometry/hyperbolic Web-based calculator of hyperbolic functions]

{{Тригонометриски и хиперболични функции}}
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Хиперболични функции| ]]
[[Категорија:Хиперболична геометрија|Функции]]
[[Категорија:Аналитички функции]]