Преглед на кодот на Цел број

'''Цели броеви''' — позитивни [[природен број|природни броеви]] ([[1 (број)|1]], [[2 (број)|2]], [[3 (број)|3]], …), нивните [[позитивни и негативни броеви|негативи]] (−1, −2, −3, ...) и бројот [[0 (број)|нула]]. Како и природните броеви, целите броеви сочинуваат [[преброиво бесконечно множество]].<ref>{{наведена книга |first=Nick |last=Evans |contribution=A-Quantifiers and Scope |editor-first=Emmon W. |editor-last=Bach |title=Quantification in Natural Languages |isbn=978-0-7923-3352-4 |year=1995 |pages=262 |url=https://books.google.com/books?id=NlQL97qBSZkC |location=Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA |publisher=Kluwer Academic Publishers}}</ref> 
[[File:Relative numbers representation.svg|thumb|alt=Representation of equivalence classes for the numbers −5 to 5
|Црвените точки претставуваат наредени парови на природни броеви. Поврзаните црвени точки се класи на еквивалентност кои што ги претставуваат целите броеви во сино на крајот од линијата]]
<math>\mathbb{Z}</math> = <math>\mathbb{Z}</math><sup>-</sup>∪{0}∪<math>\mathbb{Z}</math><sup>+</sup>

[[Множество]]то од сите цели броеви во [[математика]]та се изразува преку здебелената буква '''Z''' (или <math>\mathbb{Z}</math>), кое доаѓа од ''Zahlen'' ([[Германски јазик|германски]] за „броеви“).

Изразот '''цел рационален број''' се користи во [[алгебарска теорија на броеви|алгебарската теорија на броевите]] за да се разликуваат овие „обични“ цели броеви кај [[рационален број|рационалните броеви]] кај другите концепти како [[Гаусов цел број|Гаусовите цели броеви]].

== Алгебарски својства ==

Како и природните броеви, '''Z''' се [[затворање (математика)|затвора]] под [[бинарна операција|операциите]] [[собирање]] и [[множење]], т.е. збирот и производот од било кои два цели броја мора де е цел број. Меѓутоа, со придодавање на негативните природни броеви, и, особено, [[0 (број)|нула]], '''Z''' (за разлика од природните броеви) исто така се затвора под [[одземање]]. '''Z''' не се затвора под операцијата [[делење]], бидејќи количникот од двата цели броја (''на пр.'', 1 делено со 2), не мора да биде цел број.

Еве некои од основните својства за собирање и множење на било кои цели броеви ''a'', ''b'' и ''c''.
{| class="wikitable"
|  || собирање || множење
|-
| [[Затворање (математика)|затвореност]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp; е цел број || ''a''&nbsp;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;  е цел број
|-
| [[асоцијативност]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;''c'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;(''b''&nbsp;×&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''b'')&nbsp;×&nbsp;''c''
|-
| [[комутативност]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;×&nbsp;''a''
|-
| постоење на [[идентитетен елемент]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;1&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a''
|-
| постоење на [[обратен елемент|обратни елементи]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;(−''a'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;0 ||
|-
| [[дистрибутивност]]: || colspan=2 align=center| ''a''&nbsp;×&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''c'')
|}

На јазикот на [[апстрактна алгебра|апстрактната алгебра]], првите пет својства погоре велат дека '''Z''' под собирање е [[абелова група]]. Како група под собирање, '''Z''' е [[цикличка група]], бидејќи секој цел број кој не е нула може да се изрази како конечен износ 1 + 1 + ... 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1). Впрочем, '''Z''' под собирање е ''единствената'' бесконечна циклична група, бидејќи бесконечната цикличка група е [[групен изоморфизам|изоморфична]] на '''Z'''.

Првите четири својства погоре во колоната за множење велат дека '''Z''' под множење е [[комутативен моноид]]. Меѓутоа, треба да се забележи дека не секој цел број има помножителен обратен број; на пр. не постои цел број ''x'' кај кој 2''x'' = 1, бидејќи левата страна е парна, додека десната е непарна. Ова значи дека '''Z''' под множење не е група.

Сите својства споменати во табелата погоре велат дека '''Z''' заедно со множењето и собирањето е [[коло (математика)|коло]] со унија. Впрочем, '''Z''' ни дава мотивација за дефинирање на таквата структура. Отсуството на помножителни обратни броеви, што е еквивалентно на фактот дека '''Z''' не се затвора под делење, значи дека '''Z''' не е [[поле (математика)|поле]]. Најмалото поле кое ги содржи целите броеви е полето на [[рационален број|рационалните броеви]]. Овој процес може да се имитира за обликување на [[дробно поле]] од секоја [[целосна област]], каде целосната област е [[комутативно коло]] со таква унија што со било кое ''ab'' = 0, или ''a'' = 0 или ''b'' = 0.

Иако редното делење не се дефинира на '''Z''', содржи важно својство наречено [[делбен алогаритам]]: т.е. ако имаме два цели броја ''a'' и ''b'' со ''b''&nbsp;≠&nbsp;0, постојат уникатни цели броеви ''q'' и ''r'' при кои ''a''&nbsp;=&nbsp;''q'' × ''b''&nbsp;+&nbsp;''r'' и 0 ≤ ''r'' < |''b''|, каде |''b''| ја означува [[апсолутна вредност|апсолутната вредност]] на ''b''. Целиот број ''q'' се нарекува ''количник'' и ''r'' се нарекува ''[[остаток (математика)|остаток]]'', кој резултира од делењето на ''a'' со ''b''. Ова е основата на [[Евклидов алогаритам|Евклидовиот алогаритам]] за пресметка на [[најголем заеднички содржател|најголеми заеднички содржатели]].

Повторно, на јазикот на апстрактната алгебра, гореспоменатово вели дека '''Z''' е [[Евклидова област]]. Ова имплицира дека '''Z''' е [[проста идеална област]] и секој позитивен цел број може да се искаже како производ на [[прост број|прости броеви]] на уникатен начин. Ова е [[фундаментална аритметичка теорема|фундаменталната аритметичка теорема]].

== Редно-теоретски својства ==

'''Z''' е [[тотален ред|тотално подредено множество]] без горна или долна граница. Подредувањето на '''Z''' е 
: ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...
Еден цел број е ''позитивен'' ако е поголем од нула, а ''негативен'' ако е помал од нула. Нулата е дефинирана како ниту позитивна, ниту негативна.

Подредувањето на целите проеви е соодветно на алгебарските операции на следниов начин:
# ако ''a'' < ''b'' и ''c'' < ''d'', тогаш ''a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''
# ако ''a'' < ''b'' и 0 < ''c'', тогаш ''ac'' < ''bc''. (Од овој факт, можеме да докажеме дека ако ''c'' < 0, тогаш ''ac'' > ''bc''.)

==Наводи==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
* [http://www.virtuescience.com/number.html Својства на позитивните цели броеви: 1 до 2000+] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20170724110717/http://www.virtuescience.com/number.html |date=2017-07-24 }}
* [http://www.positiveintegers.org Позитивните цели броеви - табели за поделба и алатки за бројчен приказ]

{{видови броеви}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Теорија на множествата]]
[[Категорија:Цели броеви| ]]