Преглед на кодот на Шредингерова равенка

{{Квантна механика |научници}} 
[[Податотека:Warszawa Centrum Nowych Technologii UW-6.jpg|thumb|right|Шредингеровата равенка како дел од споменикот пред Центарот за нова технологија на Варшавскиот универзитет]]
'''Шредингерова равенка''' — [[парцијална диференцијална равенка]] во [[квантна механика|квантната механика]] која опишува како [[квантна состојба|квантната состојба]] во [[квантен систем]] се менува со текот на времето. Равенката била формулирана во крајот на 1925 и издадена во 1926 година од австрискиот [[физичар]] [[Ервин Шредингер]].<ref>{{наведени вести|title=Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work|url=https://www.theguardian.com/technology/2013/aug/12/erwin-schrodinger-google-doodle|accessdate=25 August 2013|newspaper=The Guardian|date=13 August 2013}}</ref><ref name = sch>
{{Наведено списание
| last = Schrödinger | first = E.
| title = An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules
| url = http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
| archiveurl = https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
| archivedate = 17 December 2008
| journal = Physical Review
| volume = 28 | issue = 6 | pages = 1049–1070
| year = 1926
| doi = 10.1103/PhysRev.28.1049
|bibcode = 1926PhRv...28.1049S }}</ref>

Во [[класична механика|класичната механика]], [[Втор Њутнов закон|Вториот Њутнов закон]], ({{math|'''F''' {{=}} ''m'''''a'''}}), се користи за математички да се предвиди што ќе прави еден систем во секоја точка од времето откако е позната почетната состојба. Во квантната механика, аналогна на Њутновиот закон е Шредингеровата равенка за квантен систем (најчесто кај атоми, молекули и субатомски честички кои можат да бидат слободни, сврзани или локализирани). Оваа равенка не е едноставна алгебарска равенка, туку е линеарна [[парцијална диференцијална равенка]], која го опишува развојот на [[бранова функција|брановата функција]] на системот со текот на времето.<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|1–2}}

Концептот на брановата функција е основен постулат на [[квантна механика|квантната механика]]. Иако Шредингеровата равенка често е презентирана како посебен постулат некои автори покажуваат дека некои својства добиени од Шредингеровата равенка може да се откријат од самата симетрија на принципите, како комутативниот закон. Главно, „изводи” од Шредингеровата равенка ја демонстрираат нејзината можност за математичко опишување на дуалноста бран-честичка, но досега нема прифатливи изводи од Шредингеровата равенка од приближни начела.

Во [[копенхагенско толкување|копенхагенското толкување]] на квантната механика, брановата функција е најцелосен опис што може да се даде на еден [[физички систем]]. Решенија на Шредингеровата равенка опишуваат не само [[молекула]]рни, [[атом]]ски или [[субатомска честичка|субатомски]] системи, туку и [[макроскопски размер|макроскопски системи]], а можно е и целиот [[универзум]].<ref name=Laloe>{{citation|last=Laloe|first=Franck|title=Do We Really Understand Quantum Mechanics| publisher=Cambridge University Press|year=2012| isbn = 978-1-107-02501-1}}</ref>{{rp|292ff}} Шредингеровата равенка во најопштата форма е доследна со класичната механика и [[специјална релативност|специјалната релативност]], но оригиналната формулација на Шредингер била нерелативистичка.

Шредингеровата равенка не е единствениот начин да се прават предвидувања во квантната механика – можат да се користат други формулации, како [[Вернер-Хајзенберг]]овата механика на матрици, и [[Ричард-Фајнман]]овата формулација за интеграл по траекторија.

==Равенка==
===Временски-зависна равенка===
Формата на Шредингеровата равенка зависи од физичката ситуација. Најопшта форма е [[временски-зависна Шредингерова равенка]], која опишува систем кој се развива со време:<ref name=Shankar1994>
{{Наведена книга
 |last=Shankar |first=R.
 |year=1994
 |title=Principles of Quantum Mechanics
 |edition=2
 |publisher=Kluwer Academic/Plenum Publishers
 |isbn=978-0-306-44790-7
}}</ref>{{rp|143}}

каде {{math|''i''}} е [[имагинарна единица]], {{math|''ħ''}} е [[Планкова константа]] поделена со {{math|2π}}, симболот {{math|{{sfrac|∂|∂''t''}}}} покажува [[парцијален извод]] во однос на времето {{math|''t''}}, {{math|''Ψ''}} (грчката буква [[пси (буква)|пси]]) е брановата функција на квантниот систем, и {{math|''Ĥ''}} е Хамилтоновиот [[оператор(физика)|оператор]] (кој ја опишува вкупната енергија на која било бранова функција и има различна форма од зависност на ситуацијата).

[[Податотека:StationaryStatesAnimation.gif|300px|thumb|right|Секој од овие три реда е бранова функција која ја задоволува временски-зависната Шредингерова равенка за [[квантен хармониски осцилатор]]. Лево: Реалниот дел (сино) и имагинарниот дел (црвено) од брановата функција. Десно: Веројатната дистрибуција за наоѓање на честичката со оваа бранова функција во одредена точка. Горните два реда се пример за стационарни состојби, кои одговараат на стоечки бранови. Долниот ред е пример за состојба која не е стационарна. Десната колона илустрира зошто стационарните состојби се наречени „стационарни”.]]
Најпознатиот пример е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи низ [[електрично поле]], но не и низ [[магнетно поле]]:<ref>[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html "Schrodinger equation"]. ''hyperphysics.phy-astr.gsu.edu''.</ref>

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Временски-зависна Шредингерова равенка'''<br/>''(една нерелативистичка честица)''
|equation=<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

каде {{math|''μ''}} е [[намалена маса|намалената маса]] на честичката, {{math|''V''}} е нејзината [[потенцијална енергија]], {{math|∇<sup>2</sup>}} е [[Лапласов оператор|Лапласовиот оператор]] и {{math|''Ψ''}} е брановата функција. Со други зборови значи „вкупната енергија е еднаква на збирот на [[кинетичка енергија|кинетичката енергија]] и потенцијалната енергија” но овие термини имаат непознати форми.
Поради конкретните диференцијални оператори кои се вклучени, ова е линеарна парцијална диференцијална равенка. Исто така е [[дифузиска равенка]], но за разлика од равенката за топлина, оваа е исто така и бранова равенка поради присутната имагинарна единица.
Поимот „Шредингерова равенка” може да се однесува и на општата равенка, или на специфичната нерелативистичка верзија. Општата равенка е навистина општа, во употреба низ целата квантна механика, за сѐ, од [[Диракова равенка|Дираковата равенка]] до [[квантна теорија за почето|квантната теорија за полето]], така што се приклучуваат различни комплексни изрази на Хамилтоновиот оператор. Специфичната нерелативистичка верзија е упростена приближност до реалноста која е прилично прецизна во многу ситуации, но многу непрецизна во други.
За да се примени Шредингеровата равенка, Хамилтоновиот оператор се поставува за системот и се внимава на кинетичката и потенцијалната енергија на честичките кои го сочинуваат системот, и потоа се вклучува во равенката. Добиената парцијална диференцијална равенка се решава за брановата функција која ги содржи информациите за системот.

===Временски независна равенка===
Временски независната Шредингерова равенка предвидува дека брановите функции можат да формираат [[стоечки бран]]ови, наречени [[стационарна состојба|стационарни состојби]] (исто така се наречени орбитали). Овие состојби се важни сами по себе, и ако стационарните состојби се класифицираат и разберат, тогаш станува полесно да се реши временски-зависната Шредингерова равенка за секоја состојба. Временски независната Шредингерова равенка е равенката која ги опишува стационарните состојби и се користи само кога Хамилтоновиот оператор не е зависен од времето. Но, и во овој случај целосната бранова функција е сè уште зависна од времето.)

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Временски зависна Шредингерова равенка''' (''Општа'')
|equation=<math>E\Psi=\hat H \Psi</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

Со зборови, равенката гласи:
::''Кога Хамилтоновиот оператор дејствува на одредена бранова функција {{math|&Psi;}}, и резултатот е пропорционален на истата бранова функција {{math|Ψ}}, тогаш {{math|Ψ}} е стационарна состојба, и константата за пропорционалност, {{math|E}}, е енергијата на состојбата {{math|Ψ}}.''
Најпознатата манифестација е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи во електрично, но не и магнетно поле.

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Временски независна Шредингерова равенка''' (''една нерелативистичка честичка'')
|equation=<math>E \Psi(\mathbf{r}) = \left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r})</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

со дефиниции како оние погоре.

==Последици==
Шредингеровата равенка и нејзините решенија воведоа важен чекор во размислувањето за физиката. Шредингеровата равенка е прва од својот вид и решенијата доведоа до последици кои беа многу необични и неочекувани во тоа време.

===Вкупна, кинетичка и потенцијална енергија===
Целосната форма на равенката не е необична или неочекувана бидејќи ги користи принципите на [[зачувување на енергијата]]. Термините од нерелативистичката Шредингерова равенка може да се толкуваат како вкупната енергија на системот, еднаква на збирот на кинетичката и потенцијалната енергија на системот. Во овој поглед е исто како и во класичната физика.

===Квантизација===
Шредингеровата равенка предвидува дека ако одредени својства на системот се измерат, резултатот може да се квантификува, што значи дека само специфични дискретни вредности можат да бидат добиени. Еден пример е „енергетската квантизација”: енергијата на електрон во атом е секогаш едно од квантизираните енергетски нивоа, факт откриен со [[атомска спектроскопија]]. Друг пример е квантизацијата на аголен момент. Ова е претпоставка во поранешниот [[Боров модел на атомот]], но е предвидување во Шредингеровата равенка.

Друг резултат од Шредингеровата равенка е дека не секое мерење дава квантизиран резултат во квантната механика. На пример, позитрон, момент, време и енергија можат да имаат која било вредност до одредена граница.<ref name="Zettili2009">{{Наведена книга|author=Nouredine Zettili|title=Quantum Mechanics: Concepts and Applications|date=17 February 2009|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-02678-6}}</ref>{{rp|165–167}}

===Мерење и неопределеност===
Во класичната механика, една честичка има, во секој момент, точна позиција и точен момент. Овие вредности се менуваат како што се движи честичката во однос на [[Њутнови закони|Њутновите закони]]. При [[копенхагенско толкување]] на квантната механика, честичките немаат точно определени вредности, и кога се мерат, резултатот е случајно избран од веројатна распределеност. Шредингеровата равенка предвидува кои се веројатностите, но не може да го одреди точниот резултат на мерењето.
[[Хајзенбергов принцип на неопределеност|Хајзенберговиот принцип на неопределеност]] е приказот на несигурното мерење во квантната механика. Гласи дека колку повеќе се знае позицијата на една честичка, толку помалку се знае нејзиниот момент, и обратно.
Шредингеровата равенка ја опишува еволуцијата на [[бранова функција|брановата функцијa]] за честичка. Но иако брановата функција е точно позната, резултатот од нејзиното мерење е сè уште несигурен.

===Квантно тунелирање===
[[Податотека:TunnelEffektKling1.svg|width = 300px|thumb|[[Квантно тунелирање]] низ пречка. Честичката којашто надоаѓа од левата страна нема доволно енергија за да ја искачи пречката. Меѓутоа, таа понекогаш може да се „тунелира“ на другата страна.]]

Во класичната физика, кога топка полека се тркала нагоре по едно брдо, таа ќе застане и ќе се тркала назад, бидејќи нема доволно енергија за да се прекачи на другата страна на брдото. Но Шредингеровата равенка предвидува дека има мала веројатност дека топката ќе стигне до другата страна на брдото, иако има премалку енергија да се искачи до врвот. Ова е наречено [[квантно тунелирање]]. Поврзано е со распределбата на енергија: иако се претпоставува дека топката се наоѓа на едната страна од брдото, можно е таа да се најде од другата страна.

===Честички како бранови===
[[Податотека:Double-slit experiment results Tanamura 2.jpg|175px|thumb|Експеримент со пречка со два отвори кој покажува како електрони се насобираат на екран како што поминува времето.]]

Нерелативистичката Шредингерова равенка е вид на [[парцијална диференцијална равенка]] наречена [[бранова равенка]]. Според тоа, често се вели дека честички можат да се однесуваат како бранови. Во некои модерни толкувања, овој опис е обратен – квантната состојба (бранот) е единствената физичка реалност, и во некои случаи може да се однесува како честичка. Но Балентајн,<ref name=Ballentine>{{citation|last=Ballentine|first=Leslie|title=Quantum Mechanics: A Modern Development | publisher=World Scientific Publishing Co.|year=1998| isbn = 9810241054}}</ref>{{rp|Поглавје 4, стр. 99}} покажува дека таквото толкување има проблеми. Тој посочува дека иако е можно да се поврзе физички бран со една честичка, постои само една Шредингерова равенка за многу честички. Исто така, тој укажува дека:

:''„Ако физичко браново поле е поврзано со честичка, или ако честичката се идентификува со бран, тогаш на N честички кои заемно си дејствуваат, тогаш треба да има N бранови кои заемно си дејствуваат во тридимензионалниот простор. Но според (4.6) тоа не е случајот. Наместо тоа има една бранова функција во апстрактен 3N димензионален простор. Погрешното толкување на пси како физички бран во обичниот простор е можна само затоа што најчестите апликации на квантна механика се за состојби со една честичка, за која конфигурацискиот простор и обичниот простор се изоморфни.“''

[[Јунгов експеримент|Експериментот на дифракција низ два отвори]] е познат пример за необичното однесување кое го покажуваат брановите кои не се поврзани со честички. Брановите кои се преклопуваат од двата отвора се поништуваат на некои места а се надоградуваат во некои места, што предизвикува сложена шара. Интуитивно, не може да се очекува ваква шара од фрлање на една честичка кон двата отвора бидејќи честичката ќе помине или низ едниот, или низ другиот отвор, а не комплексно преклопување и на двата.

Но, бидејќи Шредингеровата равенка е бранова равенка, една честичка фрлена низ пречката со два отвора се однесува на овој начин. Експериментот мора да се повтори повеќепати за да се види комплексната шема. Иако е контраинтуитивно, предвидувањето е точно. Особено кај електронската и [[неутроското расејување|неутронското расејување]], кои се добро разбрани и применети во науката и инженерството.

Поврзано со [[дифракција]]та, честичките исто така покажуваат [[начело на суперпозиција|суперпозиција]] и [[бранова интерференција|интерференција]].

Суперпозициските својства ѝ овозможуваат на една честичка да биде во квантна суперпозиција од две или повеќе квантни состојби истовремено. Но квантна состојба во квантната механика ја означува веројатноста дека еден систем ќе биде на пример во позиција {{math|''x''}}, а не дека навистина системот ќе биде во таа позиција. Не значи дека самата честичка ќе биде во две класични состојби истовремено. Квантната механика не може да додели вредности на својствата пред нивното мерење.

==Толкување на брановата функција==
{{главна|Толкување на квантната механика}}
Шредингеровата равенка дава начин како да се пресмета брановата функција на еден систем и како таа се менува динамично со времето. Но Шредингеровата равенка не кажува директно што е бранова функција. Толкувањето на квантната механика дава одговор на прашањата која е врската меѓу брановата функција, реалноста и резултатите на експерименталните мерења.
Важна е врската помеѓу Шредингеровата равенка и [[слом на брановата функција|сломот на брановата функција]]. Во најстарото [[копенхагенско толкување]], честичките ја следат Шредингеровата равенка освен за време на слом на брановата функција, а тогаш се однесуваат многу различно. Доаѓањето на теоријата за [[квантна декохеренција]] дозволува алтернативи пристапи (како Еверетовото толкување за многу светови и пристапот на постојана историја), каде Шредингеровата равенка е секогаш задоволена, и сломот на брановата функција се објаснува како последица од Шредингеровата равенка.

==Историска основа и развој==
[[Податотека:Erwin Schrodinger2.jpg|right|thumb|Ервин Шредингер]]
{{главна|Теоретско и експериментално оправдување на Шредингеровата равенка}}

Следејќи ја [[Макс Планк|Планковата]] квантизација на светлината ([[зрачење на црни тела]]), [[Алберт Ајнштајн]] го толкувал Планковиот [[квант]] како [[фотон]], [[корпускуларна теорија за светлината|честичка на светлина]], и предложил дека [[Планкова врска|енергијата на фотон е пропорционална со неговата честота]], еден од првите знаци на дуалната природа на светлината. Бидејќи [[енергија]]та и [[момент]]от се поврзани на истиот начин како и [[честота]]та и брановиот број во специјалната релативност, следува дека моментот {{math|''p''}} на фотон е обратнопропорционален со неговата [[бранова должина]] {{math|''λ''}}, и пропорционален со брановиот број {{math|''k''}}.

:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k</math>

каде {{math|''h''}} е [[Планкова константа|Планковата константа]]. [[Луј де Број]] претпоставил дека ова е точно за сите честички дури и оние кои имаат маса, како електроните. Тој покажал дека, претпоставувајќи дека бранови од материја се шират заедно со своите соодветни честички, електроните формираат [[стоечки бран]]ови, што значи дека само одредени дискретни вртежни честоти околу јадрото на атомот се дозволени.
<ref>
{{Наведено списание
 |last=de Broglie |first=L.
 |year=1925
 |title=Recherches sur la théorie des quanta
 |title=On the Theory of Quanta
 |url=http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/70/78/PDF/tel-00006807.pdf
 |journal=Annales de Physique
 |volume=10 |issue=3 |pages=22–128
 |doi=
}}</ref>
Овие квантизирани орбити одговараат на дискретни [[енергетско ниво|енергетски нивоа]], и Де Број го пресоздал [[Боров модел|Боровиот модел]] на формула за енергетските нивоа. Боровиот модел е основан врз претпоставената квантизација на аголниот момент {{math|''L''}} кој одговара на: 
:<math> L = n{h \over 2\pi} = n\hbar.</math>

Според Де Број, електронот најдобро се опишува како бран, и мора да собира цел број на бранови должини во опсегот на орбитата на електронот.

:<math>n \lambda = 2 \pi r.\,</math>

Овој пристап го ограничува електронскиот бран во една димензија, во кружна орбита со полупречник {{math|''r''}}.

Во 1921 година, пред Де Број, Артур Ц. Лан на универзитот на Чикаго го искористил истиот аргумент заснован на комплетноста на релативистичкиот енергетско-моментен 4-вектор за да ја добие Де Бројовата врска.<ref>{{Наведено списание|last=Weissman|first=M.B. |author2=V. V. Iliev |author3=I. Gutman|title=A pioneer remembered: biographical notes about Arthur Constant Lunn|journal=Communications in Mathematical and in Computer Chemistry|year=2008|volume=59|issue=3|pages=687–708}}</ref> За разлика од Де Број, Лан продолжил и ги формирал диференцијалните равенки сега познати како Шредингеровата равенка, и ја решил за енергетските ајгенвредности за водороден атом. За жал, неговото дело било одбиено од „Физичка ревија“.<ref>{{Наведена книга|last=Kamen|first=Martin D.|title=Radiant Science, Dark Politics|year=1985|publisher=University of California Press|location=Berkeley and Los Angeles, CA|isbn=0-520-04929-2|pages=29–32}}</ref>

Следејќи ги идеите на Де Број, физичарот [[Петер Дебај]] направил коментар дека ако честичките се однесуваат како бранови, треба да задоволуваат некоја бранова равенка. Инспириран од Дебај, Шредингер одлучил да најде вистинска 3-димензионална бранова равенка за електронот. [[Вилијам Роуан Хамилтон]]овата аналогија помеѓу [[механика]]та и [[оптика]]та му помогнала да заклучи дека границата на брановата должина - нула кај оптиката наликува на механички систем – патеките на светлинските зраци стануваат остри и го следат [[Ферматов принцип|Ферматовиот принцип]], аналоген на принципот на најмалку дејство.<ref>
{{Наведена книга
 |last=Schrodinger |first=E.
 |year=1984
 |title=Collected papers
 |publisher=Friedrich Vieweg und Sohn
 |isbn=3-7001-0573-8
}}</ref>

Хамилтон верувал дека механиката е границата на бранова должина нула, но не формулирал равенка за тие бранови.
<ref>{{Наведена мрежна страница
 |last=Michon
 |first=G.P.
 |year=2009
 |title=Hamilton's Analogy: Paths to the Schrödinger Equation
 |url=http://home.att.net/~numericana/answer/schrodinger.htm#1928
 |work=Final Answers: The Schrödinger Equation
 |accessdate=28 February 2010
 |archive-date=2009-03-04
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090304010105/http://home.att.net/~numericana/answer/schrodinger.htm#1928
 |url-status=dead
 }}</ref> Современа верзија на неговото размислување е прикажана подолу. Равенката која тој ја вовел гласи:<ref name="verlagsgesellschaft1991">Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.), ISBN0-89573-752-3.</ref>

:<math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},\,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t).</math>

Но, до тоа време, [[Арнолд Сомерфилд]] го рафинирал Боровиот модел со релативистички поправки.<ref>
{{Наведена книга
 |last=Sommerfeld |first=A.
 |year=1919
 |title=Atombau und Spektrallinien
 |publisher=Friedrich Vieweg und Sohn
 |location=Braunschweig
 |isbn=3-87144-484-7
}}</ref><ref>{{Наведено списание
 |last=Haar |first=T.
 |title=The Old Quantum Theory
 |url=
 |publisher=
 |pages=
 |isbn=
}}</ref> Шредингер ја искористил врската енергија-момент за да ја открие [[Клајн-Гордоновата равенка]] во [[Кулонов потенцијал]] (во природни мерни единици):

:<math>\left(E + {e^2\over r} \right)^2 \psi(x) = - \nabla^2\psi(x) + m^2 \psi(x).</math>

Ги открил стоечките бранови на оваа релативистичка равенка, но релативистичките поправки не одговарале на Сомерфилдовата формула. Обесхрабрен, ги оставил пресметките и се затворил во изолирана планинска колиба во декември 1925 година.
<ref>{{Наведена книга
 |last=Rhodes |first=R.
 |year=1986
 |title=Making of the Atomic Bomb
 |publisher=Touchstone
 |pages=
 |isbn=0-671-44133-7
}}</ref>

Додека бил во колибата, Шредингер одлучил дека неговите поранешни нерелативистички пресметки биле доволно нови да се издадат, и одлучил да го остави проблемот на релативистичките исправки на иднината. И покрај тешкотиите во решавањето на диференцијалната равенка за водород (барал помош од неговиот пријател [[Херман Вејл]]<ref name="Schrödinger1982"/>{{rp|3}}) Шредингер покажал дека нерелативистичката верзија на брановата равенка ги давала точните спектрални енергии на водород во дело издадено во 1926 година.<ref name="Schrödinger1982">{{Наведена книга|author=Erwin Schrödinger|title=Collected Papers on Wave Mechanics: Third Edition|year=1982|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-3524-1}}</ref>{{rp|1}}<ref>{{Наведено списание
 |last=Schrödinger |first=E.
 |year=1926
 |title=Quantisierung als Eigenwertproblem; von Erwin Schrödinger
 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k153811.image.langFR.f373.pagination
 |journal=Annalen der Physik
 |volume= 384|issue= |pages=361–377
 |doi=10.1002/andp.19263840404
|bibcode = 1926AnP...384..361S }}</ref> Во равенката, Шредингер ги пресметал [[водородни спектрални серии|водородните спектрални серии]] така што го третирал [[електрон]]от на водородниот атом како бран {{math|''Ψ''(''x'', ''t'')}}, кој се движи во потенцијална јама {{math|''V''}}, создадена од [[протон]]от. Оваа пресметка прецизно ги пресоздава енергетските нивоа на Боровиот модел. Во едно дело, Шредингер објаснил дека равенката гласи:

{{cquote|Веќе споменатата пси-функција е сега средство за предвидување на веројатноста на резултатите на мерењето. Во неа се содржи моментната сума на теоретски заснованото очекување на иднината.|20px|20px|Ервин Шредингер<ref>Erwin Schrödinger, "The Present situation in Quantum Mechanics," p. 9. Преводот на англиски е на Џон Тримери истиот за првпат бил објавен во ''Proceedings of the American Philosophical Society'', 124, 323–38, а подоцна и во J. A. Wheeler & W. H. Zurek (eds.), ''Quantum Theory and Measurement'', Princeton University Press, New Jersey 1983.</ref>}}

Овој труд од 1926 година бил поддржан од Ајнштајн, кој ги гледал материјалните бранови како интуитивно отсликување на природата, за разлика од Хајзенберговата [[механика на матрици]], која ја сметал за многу формална.
<ref>
{{Наведено списание
 |last=Einstein |first=A.
 |display-authors==''et. al''.
 |title=Letters on Wave Mechanics: Schrodinger–Planck–Einstein–Lorentz
 |url=
}}</ref>

Шредингеровата равенка го опишува однесувањето на {{math|''Ψ''}} но не кажува ништо за неговата природа. Шредингер се обидел да ја толкува како промена во полнежот во неговиот четврти труд, но не бил успешен.<ref name=Moore1992>
{{Наведена книга
 |last=Moore |first=W.J.
 |year=1992
 |title=Schrödinger: Life and Thought
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=0-521-43767-9
}}</ref>{{rp|219}} Во 1926 година, неколку дена по издавањето на Шрединеровиот четврти и последен труд, [[Макс Борн]] успешно го толкувал {{math|''Ψ''}} како [[амплитуда на веројатност]], чиј апсолутен квадрат е еднаков на густината на веројатноста<ref name=Moore1992/>{{rp|220}} Шредингер секогаш се противел на статистички пристап, и неговите неповрзаности – како Ајнштајн, кој верувал дека квантната механика е статистичка приближност на детерминистичката теорија, и никогаш не се помирил со [[копенхагенско толкување|копенхагенското толкување]].<ref name=Moore1992/>{{rp|220}}

Луј де Број предложил реална [[бранова функција]] поврзана со комплексната бранова функција со константа за пропорционалност и ја развил теоријата Де Број-Бор.

==Бранова равенка за честички==
{{главна|Дуалноста честичка-бран}}
Шредингеровата равенка е [[бранова равенка]],<ref>{{Наведено списание|author=Takahisa Okino|title=Correlation between Diffusion Equation and Schrödinger Equation|url=https://dx.doi.org/10.4236/jmp.2013.45088|journal=Journal of Modern Physics|year=2013|issue=4|pages=612–615}}</ref> бидејќи решенијата се функции кои опишуваат брановидни движења. Брановите равенки во физиката нормално се добиваат од други физички закони – брановата равенка за [[вибрации|механички вибрации]] кај струни и во материја може да се добијат од Њутновите закони – каде брановата функција го претставува поместувањето на материјата, и [[електромагнетни бранови|електромагнетните бранови]] од [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]], каде брановите функции се електрични и магнетни полиња. Основата за Шредингеровата равенка е енергијата на системот и посебниот постулат на квантната механика: Брановата функција е опис на системот.<ref name="Quantum Chemistry 1977">Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0.</ref> Шредингеровата равенка е нов концепт сама по себе. Како што кажал Фајнман:

{{cquote|Од каде дојде таа равенка? Од никаде. Не е можно да се изведе од ништо што знаеме. Дојде од умот на Шредингер.|20px|20px|Ричард Фајнман<ref>The New Quantum Universe, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1.</ref>}}

Основата на равенката е линеарна диференцијална равенка основана на класичното зачувување на енергијата, и е согласни со Де Бројовите релации. Решението на брановата функција {{math|''ψ''}}, која ја содржи сета информација која може да се знае за системот. Во копенхагенското толкување, модулот на {{math|''ψ''}} е поврзан со веројатноста дека честичките се наоѓаат во некоја просторна конфигурација во некој момент од времето. Решавањето на равенката за {{math|''ψ''}} може да се користи за да се предвиди како ќе се однесуваат честичките под дејство на одреден потенцијал и меѓусебно.

Шредингеровата равенка била развиена главно од [[Де Бројова хипотеза|Де Бројовата хипотеза]] — бранова равенка која би ги опишала честичките<ref name="Quanta 1974">Quanta: A handbook of concepts, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1.</ref> — и истата може да се прикаже на неформален начин како во деловите во продолжение.<ref name="Molecules, B.H. Bransden 1983">Physics of Atoms and Molecules, B.H. Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2.</ref>

===Доследност со законот за зачувување на енергија ===
Вкупната [[енергија]] {{math|''E''}} на една честичка е збирот на кинетичката енергија {{math|''T''}} и потенцијалната енергија {{math|''V''}}, овој збир е исто така израз на Хамилтоновиот оператор {{math|''H''}} во класичната механика: 
:<math>E = T + V =H \,\!</math>

Експлицитно, за честичка во една димензија со позиција {{math|''x''}}, [[маса]] {{math|''m''}} и [[момент]] {{math|''p''}}, и потенцијална енергија {{math|''V''}}која варира со позицијата и [[време]] {{math|''t''}}:

:<math> E = \frac{p^2}{2m}+V(x,t)=H.</math>

За три димензии, [[позициски вектор|позицискиот вектор]] {{math|'''r'''}} и моментниот вектор {{math|'''p'''}} мора да се користат:
:<math>E = \frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}{2m}+V(\mathbf{r},t)=H</math>

Ова може да се примени на кој било број на честички: вкупната енергија на системот е вкупната кинетичка енергија на честичките плус вкупната потенцијална енергија. Но може да има заемодејства меѓу честичките, па потенцијалната енергија {{math|''V''}} може да се менува со промената на просторната конфигурација на честичките и со времето. Потенцијалната енергија не е збир на посебните потенцијални енергии на сите честички, туку е функција од сите просторни позиции на честичките. Експлицитно:

:<math>E=\sum_{n=1}^N \frac{\mathbf{p}_n\cdot\mathbf{p}_n}{2m_n} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N,t) = H \,\!</math>

===Линеарност ===
Наједноставната бранова функција е рамен бран со форма:

:<math> \Psi(\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} \,\!</math>

каде {{math|''A''}} е амплитудата, {{math|'''k'''}} е брановиот вектор, и {{math|''ω''}} е аголната честота на рамниот бран. Главно, физичките ситуации не се опишани само со рамни бранови, па се бара принципот на [[суперпозиција]] за да може да се генерализира. Секој бран може да се состави со суперпозиција на синусиодни рамни бранови. Така, ако равенката е линеарна, линеарна комбинација на рамни бранови е дозволена како решение. 
{{math|'''k'''}} е збир на суперпозицијата на рамните бранови:

:<math> \Psi(\mathbf{r},t) = \sum_{n=1}^\infty A_n e^{i(\mathbf{k}_n\cdot\mathbf{r}-\omega_n t)} \,\!</math>

За некои реални коефициенти за амплитудата {{math|''A<sub>n</sub>''}}, и за постојано {{math|'''k'''}} сумата станува интеграл, [[Фуриеова трансформација]] на моментната просторна бранова функција:<ref name="Quantum Mechanics Demystified 2006">Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9.</ref>

:<math> \Psi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3}\int\Phi(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}d^3\mathbf{k} \,\!</math>

каде {{math|''d''<sup>3</sup>'''k''' {{=}} ''dk<sub>x</sub>dk<sub>y</sub>dk<sub>z</sub>''}} е диференцијалниот зафатнински елемент во [[моментен простор|{{math|'''k'''}}-просторот]], и интегралите се земени од {{math|'''k'''}}-просторот. Моментната бранова функција {{math|''Φ''('''k''')}} се јавува во интеграндот бидејќи позицијата и моментната просторна бранова функција се Фуриеови трансформации една од друга.

=== Доследност со Де Бројовите релации ===
[[Податотека:Wavefunction values.svg|300px|"300px"|thumb|Дијаграмско резиме на квантитетите поврзани со брановата функција користени во Де Бројовата хипотеза и развојот на Шредингеровата равенка.<ref name="Quanta 1974"/>]]

[[Фотоелектричен ефект|Ајнштајновата хипотеза на светлински кванти]] (1905) гласи дека енергијата {{math|''E''}} на фотон е пропорционална со [[честота]]та {{math|''ν''}} (или аголната честота, {{math|''ω'' {{=}} 2{{pi}}''ν''}}) на соодветниот квант светлина:
:<math>E = h\nu = \hbar \omega \,\!</math>

Слично, Де Бројовата хипотеза (1924) гласи дека секоја честичка може да се поврзе со бран, и дека моментот {{math|''p''}} на честичка е обратнопропорционален со [[бранова должина|брановата должина]] {{math|''λ''}} на таков бран (пропорционална на брановиот број, {{math|''k'' {{=}} {{sfrac|2π|''λ''}}}}), во една димензија:
:<math>p = \frac{h}{\lambda} =  \hbar k\;,</math>
А во три димензии, брановата должина {{math|''λ''}} е поврзана со магнитудата на брановиот вектор {{math|'''k'''}}:
:<math>\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\,,\quad |\mathbf{k}| = \frac{2\pi}{\lambda} \,. </math>

Планк-Ајнштајновите и Де Бројовите релации ја покажуваат поврзаноста на енергијата и времето, просторот со моментот, и ја изразуваат дуалноста честичка-бран. Практично се користат природни единици {{math|''ħ'' {{=}} 1}} се користат бидејќи Де Бројовите равенки може да се редуцираат до идентитети: Дозволувајќи моментот, брановиот број, енергија и честота да се користат со разменување на нивните места, за да се спречи дупликација на квантитетите, и да се намали бројот на квантитети поврзани со димензии.

Кон крајот на 1925 година, Шредингер ја изразил [[фаза]]та на [[рамен бран|рамниот бран]] како комплексен фазен фактор користејќи ги релациите:

:<math>\Psi = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} = Ae^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar} </math>

и открил дека парцијалните изводи од прв ред се:

* со запазување на просторот:
:<math> \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\mathbf{p}Ae^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar}\mathbf{p}\Psi </math>

* со запазување на времето:
:<math> \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} Ae^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi </math>

Друг постулат на квантната механика е дека се набљудува се претставува со линеарен Ермитски оператор кој дејствува на брановата функција и ајгенвредностите на операторот се вредностите кои ги зема набљудуваното. Претходните изводи се доследни на енергетскиот оператор, соодветен за временскиот извод,

:<math>\hat{E} \Psi = i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi = E\Psi  </math>

каде {{math|''E''}} се енергетските вредности, и моментниот оператор соодветен на просторните изводи (градиентот) {{math|∇}}),

:<math>\hat{\mathbf{p}} \Psi = -i\hbar\nabla \Psi = \mathbf{p} \Psi </math>

каде {{math|'''p'''}} е вектор од вредностите на моментот. Погоре, „капите“ " ( {{math|ˆ}} ) покажуваат дека овие променливи се оператори, не едноставни бројки или вектори. Енергетските и моментните оператори се диференцијални оператори, а функцијата на потенцијалната енергија {{math|''V''}} е мултипликативен фактор.

Со замена на енергетскиот и моментниот оператор во класичната равенка за зачувување на енергијата се добива операторот:

:<math>E= \dfrac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}{2m}+V \quad \rightarrow \quad \hat{E} = \dfrac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m}  + V </math>

Примената на овој оператор на брановата функција {{math|''Ψ''}} веднаш го довела Шредингер до неговата равенка:

:<math>i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}= -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi +V\Psi</math>

Двојноста на бран-честичката може да се процени од овие равенки на следниот начин. Кинетичката енергија {{math|''T''}} е поврзана со квадратот на моментот {{math|'''p'''}}. Како што се зголемува моментот на честичката, кинетичката енергија се зголемува се побрзо, но бидејќи брановиот број {{math|{{!}}'''k'''{{!}}}} се зголемува, брановата должина {{math|''λ''}} се намалува.

:<math> \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} \propto \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \propto T \propto \dfrac{1}{\lambda^2}</math>

Кинетичката енергија е пропорционална со вториот просторен извод, па е пропорционална и со магнитудата на закривеноста на бранот:

:<math> \hat{T} \Psi = \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla\cdot\nabla  \Psi \, \propto \, \nabla^2 \Psi \,.</math>

Како што се зголемува закривеноста, амплитудата на бранот се менува меѓу позитивна и негативна побрзо, и се скусува брановата должина. Инверзната врска помеѓу моментот и брановата должина е доследна со енергијата што ја има честичката, и така енергијата на честичката има поврзаност со бранот, се во една иста математичка формулација.<ref name="Quanta 1974"/>

===Движење на бран и честичка===
 {{multiple image
   | align = right
   | direction = horizontal
   | image1    = Quantum mechanics travelling wavefunctions.svg
   | caption1  = Растечки нивоа на локализација на бранови пакети, што значи дека честичката има полокализирана позиција.
   | width1     = 400
   | image2    = Perfect localization.svg
   | caption2  = Во границата ''ħ'' → 0, позицијата и моментот на честичката стануваат целосно познати. Ова е еквивалентно на класична честичка.
   | width2     = 150
  }}
Шредингер барал бранов пакет близу до позицијата {{math|'''r'''}} со бранов вектор близу до {{math|'''k'''}} се движи по патот одреден од класичната механика за доволно кратко време за ширењето {{math|'''k'''}} (и брзината) да не го покачи многу ширењето во {{math|'''r'''}}. Бидејќи за дадено ширење во {{math|'''k'''}}, ширењето на брзината е пропорционално со Планковата константа {{math|''ħ''}}, и некогаш се вели дека како границата на {{math|''ħ''}} се доближува до нула, равенките на класична механика се добиваат од квантната механика.<ref name="Analytical Mechanics 2008">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0.</ref>

Гранична кратка бранова должина е еквивалентна со {{math|''ħ''}} кое се стреми кон нула затоа што ова е граничен случај на зголемување на локализацијата на брановите пакети кај позицијата на честичката. Користејќи го [[Хајзенбергов принцип на неопределеност|Хајзенберговиот принцип на неопределеност]] за позиција и момент, производите на неодреденоста на позицијата и моментот се нули како што {{math|''ħ'' → 0}}:

:<math> \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant \frac{\hbar}{2} \quad \rightarrow \quad \sigma(x) \sigma(p_x) \geqslant 0 \,\!</math>

каде {{math|''σ''}} ја покажува несигурноста во мерењето за {{math|''x''}} и {{math|''p<sub>x</sub>''}} (слично и за {{math|''y''}} и {{math|''z''}} правците) кое значи дека позицијата и моментот „може-не може“ да се знаат со голема точност во оваа граница.

Шредингеровата равенка во својата општа форма

:<math> i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) = \hat{H} \Psi\left(\mathbf{r},t\right) \,\!</math>

е блиску поврзана со равенката Хамилтон-Јакоби

:<math> \frac{\partial}{\partial t} S(q_i,t) = H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t \right) \,\!</math>

каде {{math|''S''}} е [[акција(физика)]]та и {{math|''H''}} е Хамилтоновата функција. Тука, генерализираните координати {{math|''q<sub>i</sub>''}} за {{math|''i'' {{=}} 1, 2, 3}} може да се наместат на позицијата на [[Картезијански координатен систем|картезијанските координати]] бидејќи {{math|'''r''' {{=}} (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>, ''q''<sub>3</sub>) {{=}} (''x'', ''y'', ''z'')}}.<ref name="Analytical Mechanics 2008"/>

Преку замената

:<math> \Psi = \sqrt{\rho(\mathbf{r},t)} e^{iS(\mathbf{r},t)/\hbar}\,\!</math>

каде {{math|''ρ''}} е густината на веројатноста во Шредингеровата равенка и со поставување на границата {{math|''ħ'' → 0}} во добиената равенка се добива Хамилтон-Јакобивата равенка.

Последиците се следниве:
* Движењето на честичка опишано со решение со бранови пакети на Шредингеровата равенка е исто така опишано со Хамилтон-Јакоби равенката за движење.
* Шредингеровата равенка ја вклучува брановата функција, па така решението со бранови пакети навестува дека позицијата на честичка се шири во [[бранова предница|бранови предници]]. Спротивно, равенката Хамилтон-Јакоби се применува за класична честичка со определена позиција и момент, и тие се познати за секоја точка.

==Нерелативистичка квантна механика==
Квантната механика кај честичките без да се зема предвид [[специјална релативност|специјалната релативност]] (за честички кои се движат со брзина многу помала од [[светлина]]та) е позната како нерелативистичка квантна механика. Следуваат повеќе форми на Шредингеровата равенка за различни ситуации.
Во реалноста, честичките кои го сочинуваат системот не ги имаат бројчените имиња користени во теоријата. Јазикот на математиката нè тера да ги именуваме нивните позиции, инаку би имало конфузија за тоа што значат симболите и кои променливи се однесуваат на некоја честичка.<ref name="Atoms, Molecules 1985">Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0.</ref>

=== Временски независна формула===
Ако Хамилтоновиот оператор не е експлицитна функција од времето, равенката може да се подели во производи од просторни и временски делови. Брановата функција главно ја зазема формата:

:<math>\Psi(\text{space coords},t)=\psi(\text{space coords})\tau(t)\,.</math>

каде {{math|''ψ''(просторни координати)}} е функција од сите просторни координати на честичките кои го сочинуваат системот, и {{math|''τ''(''t'')}} е функција од времето.

Со замена на {{math|''&psi;''}} во Шредингеровата равенка со релевантниот број на честички во релевантниот број на димензии и решавање со разделување на променливите се добива равенката:<ref name="verlagsgesellschaft1991"/>

:<math> \Psi(\text{space coords},t) = \psi(\text{space coords}) e^{-i{E t/\hbar}} \,.</math>

Бидејќи временски зависниот фазен фактор е секогаш ист, само просторниот дел треба да се реши за временски независни проблеми. Дополнително, енергетскиот оператор {{math|''Ê'' {{=}} ''iħ''{{sfrac|∂|∂''t''}}}} може да се замени со вредноста на енергијата {{math|''E''}}, така временски независната Шредингерова равенка е равенка со природна вредност за Хамилтоновиот оператор:<ref name=Shankar1994/>{{rp|143ff}}
:<math>\hat{H} \psi = E \psi </math>

Ова е точно за кој било број на честички во колку било димензии. Овој случај опишува решенијата на [[стоечки бран]] за временски зависната равенка, кои се состојбите со одредена енергија. Во физиката, овие стоечки бранови се наречени [[стационарна состојба|стационарни состојби]] или природни состојби на енергијата. Во хемијата се наречени [[атомска орбитала|атомски орбитали]] или молекулски орбитали. Суперпозициите на природните вредности на енергијата ги менуваат својствата во зависност од релативните фази помеѓу енергетските нивоа.

Природните вредности на енергијата од оваа равенка формираат дискретен [[спектар]] од вредности, па математички мора да се квантизира енергијата. Природните вредности на енергијата формираат база – која било бранова функција може да се запише како збир од дискретните енергетски состојби или интеграл од постојаните енергетски состојби. Ова е [[спектрална теорија|спектралната теорија]] во математиката.

===Еднодимензионални примери===
За честичка во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:
 
:<math> \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) \,, \quad \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{d x} .</math>

Со замена на ова во општата Шредингерова равенка се добива:<ref name="verlagsgesellschaft1991"/>

:<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}\psi(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x) .</math>

Ова е единствениот случај каде Шредингеровата равенка е обична диференцијална равенка, а не парцијална. Решенијата секогаш имаат форма:

:<math> \Psi(x,t)=\psi(x) e^{-iEt/\hbar} \, . </math>

За {{math|''N''}} честички во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:

:<math> \hat{H} = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{p}_n^2}{2m_n} + V(x_1,x_2,\cdots x_N) \,,\quad \hat{p}_n = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x_n}</math>

Каде позицијата на честичката {{math|''n''}} е {{math|''x<sub>n</sub>''}}. Соодветната Шредингерова равенка е:

:<math> -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\psi(x_1,x_2,\cdots x_N) + V(x_1,x_2,\cdots x_N)\psi(x_1,x_2,\cdots x_N) = E\psi(x_1,x_2,\cdots x_N) \, .</math>

Па општите решенија имаат форма:

:<math> \Psi(x_1,x_2,\cdots x_N,t) = e^{-iEt/\hbar}\psi(x_1,x_2\cdots x_N) </math>

За честички кои не си дејствуваат,<ref>{{Наведена книга|author=Н. Зетили|title=Квантна механика: Концепти и примена|edition=2ро|page=458|isbn=978-0-470-02679-3}}</ref> Потенцијалот на системот дејствува на секоја честичка поединечно, па вкупната потенцијална енергија е збирот на потенцијалните енергии за сите честички:

:<math> V(x_1,x_2,\cdots x_N) = \sum_{n=1}^N V(x_n) \, .</math>

И брановата функција може да се запише како производ од брановите функции за секоја честичка:

:<math> \Psi(x_1,x_2,\cdots x_N,t) = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi(x_n) \, ,</math>

За идентични [[честичка|честички]] кои не заемнодејствуваат, потенцијалот е сепак сума, но брановата функција е покомплицирана – таа е збир од пермутациите на производите на посебните бранови функции за да се земе предвид размената на честички.

====Слободна честичка====
{{поврзано|Слободна честичка|Бранов пакет}}
За нула потенцијал, {{math|''V'' {{=}} 0}}, па честичката е слободна и равенката гласи:<ref name=Shankar1994/>{{rp|151ff}}
:<math> - E \psi = \frac{\hbar^2}{2m}{d^2 \psi \over d x^2}\,</math>

која има осцилаторни решенија за {{math|''E'' > 0}} ({{math|''C''<sub>n</sub>}} се произволни константи):

:<math>\psi_E(x) = C_1 e^{i\sqrt{2mE/\hbar^2}\,x} + C_2 e^{-i\sqrt{2mE/\hbar^2}\,x}\,</math>

и експоненцијални решенија за {{math|''E'' < 0}}

:<math>\psi_{-|E|}(x) = C_1 e^{\sqrt{2m|E|/\hbar^2}\,x} + C_2 e^{-\sqrt{2m|E|/\hbar^2}\,x}.\, .</math>

Експоненцијалните растечки решенија се бесконечни и нефизички. Не се дозволени во ограничен волумен со гранични услови.

====Константен потенцијал====
[[Податотека:EffetTunnel.gif|десно|мини|250п|Анимација на Де Бројов бранов инцидент на бариера.]]
За константен потенцијал, {{math|''V'' {{=}} ''V''<sub>0</sub>}}, решението е осцилаторно за {{math|''E'' > ''V''<sub>0</sub>}} и експоненцијално за {{math|''E'' < ''V''<sub>0</sub>}}, соодветно на енергиите кои се дозволени во класичната механика. Осцилаторните решенија имаат класично дозволена енергија и одговараат на вистински класични движења, а експоненцијалните решенија имаат недозволена енергија и опишуваат мало количество на квантно протекување во класично недозволен регион, поради [[квантно тунелирање]]. Ако потенцијалот {{math|''V''<sub>0</sub>}} расте до бесконечност, движењето е класично ограничено во конечен простор. Гледано од доволно далеку, секое решение се редуцира до експоненцијално; условот дека експоненцијалното се намалува ги ограничува енергетските нивоа во дискретен сет наречен дозволени енергии.<ref name="Quantum Mechanics Demystified 2006"/>
{{-}}

====Хармониски осцилатор====
[[Податотека:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|300px|thumb|right|[[Хармониски осцилатор]] во класичната механика и (A-B) и квантната механика (C-H). Во (A-B), топка, закачена за [[федер]] осцилира напред-назад. (C-H) се шест решенија за Шредингеровата равенка за оваа ситуација. Хоризонталната оска е позиција, вертикалната е реалниот дел (сино) или имагинарниот дел (црвено) од [[бранова функција|брановата функција]]. Стационарните состојби, или природните енергетски вредности, кои се решенија на временски независната Шредингерова равенка се покажани во C,D,E,F но не и G и H.]]
{{главна|Квантен хармониски осцилатор}}
Шредингеровата равенка за оваа ситуација е

:<math> E\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}\psi + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi </math>

Ова е важен квантен систем за кој треба да се реши равенката, бидејќи решенијата се точно (но комплексни) и може да се опишат или проценат многу други системи, вклучувајќи [[молекуларна вибрација|вибрирачки атоми и молекули]],<ref>Physical chemistry, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7.</ref> и атоми или јони во решетки,<ref>Solid State Physics (2nd Edition), J.R. Hook, H.E. Hall, Manchester Physics Series, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-92804-1.</ref> и за проценка на други потенцијали близу до точки на рамнотежа.

Системот има група на решенија, кои во основата се:

:<math>  \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{
- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) </math>

каде {{math|''n'' {{=}} 0,1,2,...}}, и функциите {{math|''H<sub>n</sub>''}} се Ермитски полиноми.

===Тридимензионални примери===
Продолжувањето од една димензија во три димензии е едноставно, сите позиции и моментни оператори се заменети со нивните тридимензионални форми и парцијални изводи со запазување на просторот, кој е заменет од [[градиент]]скиот оператор.

Хамилтоновиот оператор за една честичка во три димензии е:

:<math> \hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r}) \,, \quad \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla  </math>

Со што се добива равенката:

:<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) </math>

Со решенија за стационарни состојби со форма:

:<math> \Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} </math>

Каде позицијата на честичка е {{math|'''r'''}}. Два корисни координатни системи за решавање на Шредингеровата равенка се картезијанските координати, така да {{math|'''r''' {{=}} (''x'', ''y'', ''z'')}} и сферните поларни координати така да {{math|'''r''' {{=}} (''r'', ''θ'', ''φ'')}}, иако други ортогонални координати се корисни за решавање на равенката во системи со одредени геометриски симетрии.

За {{math|''N''}} честички во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:

:<math> \hat{H} = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{\mathbf{p}}_n\cdot\hat{\mathbf{p}}_n}{2m_n} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \,,\quad \hat{\mathbf{p}}_n = -i\hbar \nabla_n </math>

Каде позицијата на честичка {{math|''n''}} е {{math|'''r'''<sub>''n''</sub>}} и градиентские оператори се парцијални изводи. Во картезијанските координати за честичка {{math|''n''}}, позицискиот вектор е {{math|'''r'''''<sub>n</sub>'' {{=}} (''x<sub>n</sub>'', ''y<sub>n</sub>'', ''z<sub>n</sub>'')}} а градиентот и [[Лапласов оператор|Лапласовиот оператор]] се:

:<math>\nabla_n = \mathbf{e}_x \frac{\partial}{\partial x_n} + \mathbf{e}_y\frac{\partial}{\partial y_n} + \mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial z_n}\,,\quad \nabla_n^2 = \nabla_n\cdot\nabla_n = \frac{\partial^2}{{\partial x_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z_n}^2}</math>

Шредингеровата равенка е:

:<math> -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N)\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) = E\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) </math>

Со решенија за стационарни состојби:

:<math> \Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N,t) = e^{-iEt/\hbar}\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N) </math>

За честички кои не заемнодејствуваат, потенцијалот е сума на потенцијалите на сите честички

:<math> V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots \mathbf{r}_N) = \sum_{n=1}^N V(\mathbf{r}_n) </math>

И брановата функција е производ од брановите функции на честичките

:<math> \Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N,t) = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi(\mathbf{r}_n) \, . </math>

За идентични честички кои не заемнодејствуаат, потенцијалот е сума, но брановата функција е сума од пермутации и производи. Претходните две равенки не важат за честички кои заемнодејствуваат.
Следат примери каде точно се определени решенијата.

====Водороден атом====
Оваа форма на Шредингеровата равенка може да се примени за [[водороден атом]]:<ref name="Quantum Chemistry 1977"/><ref name="Quanta 1974"/>

:<math> E \psi = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\psi </math>

каде {{math|''e''}} е електронскиот полнеж, {{math|'''r'''}} е позицијата на електронот ({{math|''r'' {{=}} {{abs|'''r'''}}}} е магнитудата на позицијата), потенцијалниот термин е поради Кулонова интеракција, каде {{math|''ε''<sub>0</sub>}} е [[електрична константа|електричната константа]] и

:<math> \mu = \frac{m_em_p}{m_e+m_p} </math>

е [[смалена маса|смалената маса]] на водородното [[јадро (атомка структура)|јадро]] (само [[протон]]) со маса {{math|''m''<sub>p</sub>}} и електрон со маса {{math|''m''<sub>e</sub>}}. Негативниот знак се јавува во потенцијалниот термин бидејќи протонот и електронот имаат спротивни полнежи. Редукцијата на маса наместо масата на електронот се користи затоа што електрон и протон заедно се кружат околу заеднички центар на маса, и составуваат проблем со две тела. Движењето на електронот е од интерес, па еквивалентниот проблем со едно тело е движењето на електрон користејќи ја редуцираната маса.

Брановата функција за водород е функција од координатите на електронот и може да се подели во функции од секоја координата<ref>Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7.</ref> Обично ова се прави во [[сферни поларни координати]]:

:<math> \psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y_\ell^m(\theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)</math>

каде {{math|''R''}} се функции од полупречник и {{math|''Y''{{su|p=''m''|b=''ℓ''}}(''θ'', ''φ'')}} се [[сферна хармонија|сферни хармонии]] со степен {{math|''ℓ''}} и ред {{math|''m''}}. Ова е единствениот атом за кој била решена Шредингеровата равенка точно. Повеќе електронски атоми бараат приближни методи. Групата на решенија се:<ref>{{Наведена книга|author=David Griffiths|title=Introduction to elementary particles|url=https://books.google.com/books?id=w9Dz56myXm8C&pg=PA162|accessdate=27 June 2011|year=2008|publisher=Wiley-VCH|isbn=978-3-527-40601-2|pages=162–}}</ref>

:<math> \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = \sqrt {{\left (  \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]} } e^{- r/na_0} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right) \cdot Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi ) </math>

каде:
*<math> a_0 = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} </math> е [[Боров полупречник|Боровиот полупречник]],
*<math> L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\cdots) </math> се општите Лагереови полиноми од степен {{math|''n'' − ''ℓ'' − 1}}.
*{{math|''n'', ''ℓ'', ''m''}} се основен квантен број, азимутски квантен број и магнетен квантен број, соодветно. Тие ги земаат вредностите:
:<math> 
\begin{align} 
n & = 1,2,3, \dots \\
\ell & = 0,1,2, \dots, n-1 \\
m & = -\ell,\dots,\ell \\
\end{align}
</math>

====Атоми или јони со два електрони====
Равенката за кој било систем со два електрони, како неутралниот [[атом на хелиум]], (He, {{math|''Z'' {{=}} 2}}), негативниот водороден [[јон]] (H<sup>−</sup>, {{math|''Z'' {{=}} 1}}), или позитивниот јон на [[литиум]] (Li<sup>+</sup>, {{math|''Z'' {{=}} 3}}) е:<ref name="Molecules, B.H. Bransden 1983"/>

:<math> E\psi = -\hbar^2\left[\frac{1}{2\mu}\left(\nabla_1^2 +\nabla_2^2 \right) + \frac{1}{M}\nabla_1\cdot\nabla_2\right] \psi + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\left[ \frac{1}{r_{12}} -Z\left( \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2} \right) \right] \psi </math>

каде {{math|'''r'''<sub>1</sub>}} е позицијата на еден електрон ({{math|''r''<sub>1</sub> {{=}} {{abs|'''r'''<sub>1</sub>}}}} е неговата магнитуда), {{math|'''r'''<sub>2</sub>}} е позицијата на другиот електрон ({{math|''r''<sub>2</sub> {{=}} {{!}}'''r'''<sub>2</sub>{{!}}}} е магнитудата), {{math|''r''<sub>12</sub> {{=}} {{!}}'''r'''<sub>12</sub>{{!}}}} е магнитудата на разделување меѓу нив дадена со

:<math> |\mathbf{r}_{12}| = |\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 | \,\!</math>

{{math|''μ''}} е редуцираната маса на електрон, со земање предвид јадро со маса {{math|''M''}}, па овој пат

:<math> \mu = \frac{m_e M}{m_e+M} \,\!</math>

и {{math|''Z''}} е [[атомски број|атомскиот број]] за елементот (не е [[квантен број]]).

Вкрстувањето на два Лапласови оператори

:<math>\frac{1}{M}\nabla_1\cdot\nabla_2\,\!</math>

е познато како поларизација на масата, што се јавува поради движењето на атомското јадро. Брановата функција е функција од позициите на двата електрона:

:<math> \psi = \psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2). </math>

Оваа равенка нема решение од затворен облик.

===Временски зависна равенка===
Ова е равенката за движење на квантната состојба. Во најопштата форма е запишана:<ref name=Shankar1994/>{{rp|143ff}}

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi.</math>

И решението, брановата функција, е функција од сите координати на сите честички во системот и времето. Следуваат специфични случаи.

За една честичка во една димензија, Хамилтоновиот оператор е

:<math> \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x,t) \,,\quad \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} </math>

Со што се добива равенката:

:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + V(x,t)\Psi(x,t) </math>

За {{math|''N''}} честички во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:

:<math> \hat{H} = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{p}_n^2}{2m_n} + V(x_1,x_2,\cdots x_N,t) \,,\quad \hat{p}_n = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x_n} </math>

Каде позицијата на честичка {{math|''n''}} е {{math|''x<sub>n</sub>''}}, со што се добива равенката:

:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x_1,x_2\cdots x_N,t) = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\Psi(x_1,x_2\cdots x_N,t) + V(x_1,x_2\cdots x_N,t)\Psi(x_1,x_2\cdots x_N,t) \, .</math>

За една честичка во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:

:<math> \hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r},t) \,,\quad \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla </math>

Со што се добива равенката:

:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf{r},t)\Psi(\mathbf{r},t) </math>

За {{math|''N''}} честички во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:

:<math>  \hat{H} = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{\mathbf{p}}_n\cdot\hat{\mathbf{p}}_n}{2m_n} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N,t)\,,\quad \hat{\mathbf{p}}_n = -i\hbar \nabla_n </math>

Каде позицијата на честичката {{math|''n''}} е {{math|'''r'''<sub>''n''</sub>}}, со што се добива равенката:<ref name=Shankar1994/>{{rp|141}}
:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N,t) = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N,t) + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N,t)\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N,t) </math>

Оваа равенка е во многу висока димензија, па решенијата не може да се визуализираат.

== Методи на решавање ==
Постојат повеќе методи на решавање на Шредингеровата равенка кои може да се поделат во две групи: 1) општи методи и 2) посебни методи. Во групата на општи методи спаѓаат примената на [[Теорија на вознемиреност|теоријата на вознемиреност]], [[Варијациски метод|варијацискиот метод]], квантните методи Монте Карло, [[Теорија за густина на функција|теоријата за густина на функцијата]], како и Венцел-Крамерс-Брилуиновата приближност и полукласичното проширување. Во групата на посебни методи, пак, се вбројуваат разни квантно-механички системи со аналитички решенија и Хартри-Фоковите методи.

== Својства ==
Шредингеровата равенка ги има следните својства: Некои се корисни, но има недостатоци. Овие својства се јавуваат поради користениот Хамилтонов оператор, и решенијата на равенката.

===Линеарност===
Во развојот, Шредингеровата равенка била направена линеарна за да биде општа, но ова има други импликации. Ако две бранови функции {{math|''ψ''<sub>1</sub>}} и {{math|''ψ''<sub>2</sub>}} се решенија, тогаш која било [[линеарна комбинација]] од двете

:<math>\displaystyle \psi = a\psi_1 + b \psi_2 </math>

каде {{math|''a''}} и {{math|''b''}} се кои било комплексни броеви. Ова својство овозможува квантната [[суперпозиција]] на квантните состојби да биде решение за Шредингеровата равенка. Уште по општо, може да се најде општо решение за Шредингеровата равенка така што ќе се земе збир од сите можни решенија за една состојба. На пример, ако ја разгледуваме брановата функција {{math|''Ψ''(''x'', ''t'')}} така да брановата функција е производ од две функции, една временски зависна, а другата независна. Ако состојбите на дефинитивната енергија добиени од временски независната Шредингерова равенка се дадени од {{math|''ψ<sub>E</sub>''(''x'')}} со амплитуда {{math|''A<sub>n</sub>''}} и временски зависен фазен фактор добиен од

:<math>e^{{-iE_n t}/\hbar}, </math>

тогаш прифатливо решение е

:<math>\displaystyle \Psi(x,t) = \sum\limits_{n} A_n \psi_{E_n}(x) e^{{-iE_n t}/\hbar}. </math>

Дополнително, способноста да се прави размер на решенијата, дозволува да се реши бранова функција без прво да се нормализира. Ако се има сет на нормализирани решенија {{math|''ψ<sub>n</sub>''}}, тогаш

:<math>\displaystyle \Psi = \sum\limits_{n} A_n \psi_n </math>

Може да се нормализира, така што

:<math>\displaystyle \sum\limits_{n}|A_n|^2 = 1. </math>

Ова е попогодно отколку прво да се провери дека

:<math>\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x)|^2\,dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)\Psi^{*}(x)\,dx = 1. </math>

=== Реални природни вредности на енергијата ===
За временски независна равенка, дополнително својство на линеарност е: Ако две бранови функции {{math|''ψ''<sub>1</sub>}} и {{math|''&psi;''<sub>2</sub>}} се решенија за временски независната равенка со иста енергија {{math|''E''}}, тогаш исто е и со секоја линеарна комбинација:

:<math> \hat H (a\psi_1 + b \psi_2 ) = a \hat H \psi_1 + b \hat H \psi_2 = E (a \psi_1 + b\psi_2). </math>

Две различни решенија со иста енергија се наречени „изродени“.<ref name="Quantum Mechanics Demystified 2006"/>

Во произволен потенцијал, ако бранова функција {{math|''ψ''}} е решение на временски независната равенка, тогаш решение е и конјугиран комплексен број, назначен {{math|''ψ''*}}. Со земање на линеарни комбинации, реалниот и имагинарниот дел на {{math|''ψ''}} се решенија. Ако нема дегенерација, тие може да се разликуваат само по некој фактор.

Во временски зависната равенка, конјугирани комплексни бранови се движат во спротивни насоки. Ако {{math|''Ψ''(''x'', ''t'')}} е едно решение, тогаш е и {{math|''Ψ''(''x'', –''t'')}}. Симетријата на комплексна конјугираност се нарекува симетрија со спротивно време.

===Просторни и временски изводи===
[[Податотека:Wavefunction continuity space.svg|250px|"250px"|thumb| Постојаноста на брановата функција и нејзиниот прв просторен извод (во {{math|''x''}} правецот, {{math|''y''}} и {{math|''z''}} координатите не се прикажани), во време {{math|''t''}}.]]

Шредингеровата равенка е од прв ред во времето и втор ред во просторот, со што се опишува временскиот развој на квантна состојба.

Експлицитно за една честичка во тридимензионален простор со картезијански координати, равенката е

:<math>i\hbar{\partial \Psi \over \partial t} = - {\hbar^2\over 2m} \left ( {\partial^2 \Psi \over \partial x^2} + {\partial^2 \Psi \over \partial y^2} + {\partial^2 \Psi \over \partial z^2} \right ) + V(x,y,z,t)\Psi.\,\!</math>

Првиот парцијален извод ја дава основната вредност на {{math|''t'' {{=}} 0}} на брановата функција

:<math> \Psi(x,y,z,0) \,\!</math>

Е произволна константа. Слично, изводите од втор ред, со земање предвид просторот, ја даваат брановата функција и нејзините изводи од прв ред

:<math> \begin{align} 
& \Psi(x_b,y_b,z_b,t) \\
& \frac{\partial}{\partial x}\Psi(x_b,y_b,z_b,t) \quad \frac{\partial}{\partial y}\Psi(x_b,y_b,z_b,t) \quad \frac{\partial}{\partial z}\Psi(x_b,y_b,z_b,t) 
\end{align} \,\!</math>

Се сите произволни константи на одредена група на точки, каде {{math|''x<sub>b</sub>''}}, {{math|''y<sub>b</sub>''}}, {{math|''z<sub>b</sub>''}} се група на точки кои ја опишуваат границата {{math|''b''}} (изводите се мерат на границите). Типично има една или две граници, како потенцијал на чекор и [[честичка во кутија]]

Бидејќи изводите од прв ред се произволни, брановата функција може да е континуирано [[диференцијална функција]] од просторот, бидејќи на која било граница градиентот на брановата функција може да се достигне.

Спротивно, бранови равенки во физиката се најчесто од втор ред по времето, како групата на класични [[бранова равенка|бранови равенки]] и квантната [[Клајн-Гордонова равенка]].

=== Локално зачувување на веројатност ===
Шредингеровата равенка е доследна со зачувувањето на веројатноста. Со множење на Шредингеровата равенка од десно со конјугирана комплексна бранова функција, и множење на брановата функција од лево со конјугираната комплексна Шредингерова равенка, и со одземање се добива равенката за постојаност на веројатноста:<ref name="Quantum Mechanics 2004">Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0.</ref>
:<math>{ \partial \over \partial t} \rho\left(\mathbf{r},t\right) + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0, </math>

каде
:<math>\rho=|\Psi|^2=\Psi^*(\mathbf{r},t)\Psi(\mathbf{r},t)\,\!</math>
е густината на веројатноста и

:<math> \mathbf{j} = {1 \over 2m} \left( \Psi^*\hat{\mathbf{p}}\Psi  - \Psi\hat{\mathbf{p}}\Psi^* \right)\,\!</math>
е струјата на веројатност.

Оттука предикции од Шредингеровата равенка не го нарушуваат зачувувањето на веројатноста.

=== Позитивна енергија ===
Ако потенцијалот е ограничен од долу, што значи дека има минимална вредност на потенцијална енергија, функциите со основни вредности од Шредингеровата равенка имаат енергија која е исто така ограничена од долу. Ова може најлесно да се забележи користејќи го принципот на [[варијации]].

За кој било линеарен оператор {{math|''Â''}} ограничен од долу, векторот со основна вредност со најмала природна вредност е векторот {{math|''ψ''}} кој ја минимизира количината

:<math> \langle \psi |\hat{A}|\psi \rangle </math>

Преку сите {{math|''ψ''}} кои се нормализирани.<ref name="Quantum Mechanics 2004"/> На овој начин, најмалата природна вредност се прикажува преку принципот на варијации. За Шредингер-Хамилтоновиот оператор {{math|''Ĥ''}} ограничен од долу, најмалата природна вредност на енергија се нарекува основна енергетска состојба. Таа енергија е најмалата вредност од

:<math>\langle \psi|\hat{H}|\psi\rangle = \int \psi^*(\mathbf{r}) \left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})\right] d^3\mathbf{r} = \int \left[ \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla\psi|^2 + V(\mathbf{r}) |\psi|^2 \right] d^3\mathbf{r} = \langle \hat{H}\rangle </math>

(користејќи [[парцијална интеграција]]). Поради комплексниот модул на {{math|''ψ''<sup>2</sup>}}, десната страна е секогаш поголема од најниската вредност на {{math|''V''(''x'')}}. Основната енергетска состојба е секогаш позитивна кога {{math|''V''(''x'')}} е позитивен секаде.

За потенцијали ограничени од долу и кои не се бесконечни во еден регион има основна состојба која го минимизира интегралот над неа. Оваа најниска енергетска бранова функција е реална и позитивна, што значи дека брановата функција може да расте и опаѓа, но е позитивна за сите точки. Не е возможно да е негативна, бидејќи тогаш потенцијалната и кинетичката енергија би се менувале со различни брзини, што не е возможно поради законот за зачувување на енергијата. Решенијата се согласни со Шредингеровата равенка ако брановата функција е позитивна.
Недостатокот на промена на знаци исто така покажува дека основната состојба не е изродена, бидејќи ако постојат две основни состојби со заедничка енергија {{math|''E''}}, не пропорционални една на друга,би постоела линеарно комбинација од двете што би била основна состојба со нула енергија.

===Аналитичко продолжување на дифузијата===
Горенаведените својства дозволуваат за [[аналитичко продолжување]] на Шредингеровата равенка за да може да се идентификува како [[случаен процес]]. Ова може да се толкува како [[Хајгенс-Френелов принцип]] применет на Де Бројови бранови; брановите предници кои се шират се дифузни амплитуди на веројатност.<ref name="Quantum Mechanics 2004"/>

За слободна честичка во [[случајно движење]], со замена на {{math|''τ'' {{=}} ''it''}} во Шредингеровата равенка се добива:<ref>Baumer, B., Meerschaert, M. M. & Naber, M. (2010). "[http://www.stt.msu.edu/~mcubed/Relativistic.pdf Stochastic models for relativistic diffusion]". ''Physical Review'' '''82''', 011132.</ref>

:<math> {\partial \over \partial \tau} X(\mathbf{r},\tau) = \frac{\hbar}{2m} \nabla ^2 X(\mathbf{r},\tau) \, , \quad X(\mathbf{r},\tau) = \Psi(\mathbf{r},\tau/i)</math>

Која има иста форма како [[равенка на дифузија|равенката на дифузија]], со дифузиски коефициент {{math|{{sfrac|''ħ''|2''m''}}}}. Во тој случај, дифузијата произведува Де Бројова врска по примерот на [[Марков процес]].<ref>{{Наведено списание|author=Takahisa Okino|title=Mathematical Physics in Diffusion Problems|url=https://dx.doi.org/10.4236/jmp.2015.614217| journal=Journal of Modern Physics|year=2015|issue=6|pages=2109–2144}}</ref>

==Релативистичка квантна механика==
{{главна|Релативистичка квантна механика}}
Релативистичка квантна механика се добива кога истовремено важат и квантната механика и [[специјална релативност|специјалната релативност]]. Во општ случај, треба да се поставата релативистички бранови равенки од релативистичката врска енергија-момент.

:<math>E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2 \, , </math>

Наместо класичните равенки за енергија, [[Клајн-Гордон равенка|Клајн-Гордоновата]] и [[Диракова равенка|Дираковата равенка]] се две такви равенки. Клајн-Гордоновата равенка

:<math> \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0. </math>

била првата таква равенка добиена пред нерелативистичката и важи за масивни честички без спин. Дираковата равенка се јавила со земање на квадратен корен од Клајн-Гордоновата равенка со факторизирање на целиот релативистички бранов оператор во производ од два оператори – еден од кои е операторот за целата Диракова равенка.

Општата форма на Шредингеровата равенка е доследна со релативноста, но за Хамилтоновиот оператор не е толку едноставно. На пример, Дирак-Хамилтоновиот оператор за честичка со маса {{math|''m''}} и електричен полнеж {{math|''q''}} во електромагнетно поле (опишано со електромагнетни потенцијали {{math|''φ''}} и {{math|'''A'''}}) е:

:<math>\hat{H}_{\text{Dirac}}= \gamma^0 \left[c  \boldsymbol{\gamma}\cdot\left(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A}\right) + mc^2 + \gamma^0q \phi \right]\,, </math>

каде {{math|'''γ''' {{=}} (''γ''<sup>1</sup>, ''γ''<sup>2</sup>, ''γ''<sup>3</sup>)}} и {{math|''γ''<sup>0</sup>}} се Дираковите [[гама матрици]] поврзани со вртењето на честичка. Дираковата равенка важи за сите честички со [[половично вртење]] и решенијата за равенката се вртечки плиња со четири составни делови, од кои два дела одговараат на честичката, а останатите два на [[античестичка]]та.

За Клајн-Гордоновата равенка, општата форма на Шредингеровата равенка е несоодветна, и во практиката Хамилтоновиот оператор не се изразува на начин аналоген на Дираковиот Хамилтонов оператор. Равенките за релативистички квантни полиња може да се добијат на други начини, како почнување од Лагранжова густина и користејќи ја [[Ојлер-Лагранж равенка|Ојлер-Лагранжовата равенка]] за полиња или користење на репрезентациската теорија на Лоренцовата група во која одредени репрезентации може да се искористат за да ја поправат равенката за слободна честичка со вртење и маса.

Главно, замената на Хамилтоновиот оператор во општата Шредингерова равенка не е само функција од позицискиот и моментниот оператор, туку од матрици на вртење. Исто така, решенијата на релативистичка бранова функција за масивна честичка со вртење {{math|''s''}} се сложени [[Вртечко поле|вртечки полиња]] со {{nobreak|{{math|2(2''s'' + 1)}}}} составни делови.

== Квантна теорија за полето ==
Општата равенка важи и се користи во [[квантна теорија за полето|квантната теорија за полето]], и во релативистички и во нерелативистички ситуации. Но решението {{math|''ψ''}} повеќе не се толкува како бран, туку треба да се толкува како оператор кој дејствува на состојбите кои постојат во [[Фоков простор]].

== Поврзано ==
* [[Парцијална Шредингерова равенка]]
* [[Нелинеарна Шредингерова равенка]]
* [[Квантен тепих]]
* [[Квантно оживување]]
* [[Шредингерово поле]]
* [[Шредингерова слика]]
* [[Шредингеровата мачка]]

== Облик од прв ред==
Шредингеровата равенка исто така може да се изведе од облик во прв ред,<ref  name="one">{{Наведено списание|last1=Ajaib|first1=Muhammad Adeel|title=A Fundamental Form of the Schrödinger Equation|journal=Found.Phys. 45 (2015) no.12, 1586-1598|doi=10.1007/s10701-015-9944-z|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10701-015-9944-z|year=2015|bibcode=2015FoPh...45.1586A}}</ref><ref name="two">{{Наведено списание|last1=Ajaib|first1=Muhammad Adeel|title=Non-Relativistic Limit of the Dirac Equation|journal=International Journal of Quantum Foundations|url=http://www.ijqf.org/archives/3574|year=2016}}</ref><ref name="three">{{Наведено списание|last1=Lévy-Leblond|first1=J-.M.|title=Nonrelativistic particles and wave equations|journal=Comm. Math. Pays.|volume=6 |number=4 |pages=286–311|year=1967|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103840281}}</ref> на сличен начин како што Клајн-Гордоновата равенка може да се изведе од [[Диракова равенка|Дираковата равенка]]. Во еднодимензионален облик, равенката од прв ред може да се прикаже како

:<math display="block">
\begin{align}
-i \partial_z \psi = (i  \eta \partial_t  + \eta^\dagger m) \psi 
\end{align} .
</math>

Оваа равенка овозможува вклучување на спин во нерелативистичката квантна механика. Со квадрирање на равенката погоре се добива Шредингеровата равенка во еднодимензионален облик. Притоа, матриците <math> \eta </math> ги поседуваат следниве особености:

:<math display="block">
\begin{align}
\eta^2=0  \\
(\eta^\dagger)^2=0  \\
\left\lbrace \eta, \eta^\dagger \right\rbrace= 2 I
\end{align} .
</math>

Тридимензионалниот облик на равенката може да се прикаже како
 
:<math display="block">
\begin{align}
-i \gamma_i \partial_i \psi = (i  \eta \partial_t  + \eta^\dagger m) \psi 
\end{align} .
</math>

Тука, <math> \eta=(\gamma_0+i \gamma_5)/\sqrt{2} </math> е [[нилпотентна матрица]] со димензии <math>4 \times 4</math> и <math> \gamma_i </math> се [[Диракови матрици|Дираковите гама-матрици]] (<math>i=1,2,3</math>). Шредингеровата равенка во тридимензионален облик може да се добие со квадрирање на равенката погоре. Во нерелативистичките граници <math>E-m \simeq E'</math> и <math>E+m \simeq 2m</math>, горната равенка може да се изведе и од Дираковата равенка.<ref name="two" />

== Наводи ==
{{наводи|2}}

== Користена литература ==
* {{Наведена книга | author= P. A. M. Dirac |title= The Principles of Quantum Mechanics | edition=4 | publisher= Oxford University Press |year=1958 }}
* {{Наведена книга |author1= B.H. Bransden  |author2=C.J. Joachain  |lastauthoramp=yes |title= Quantum Mechanics | edition=2 | publisher= Prentice Hall PTR |year=2000 | isbn = 0-582-35691-1 }}
* {{Наведена книга | author = David J. Griffiths |  title = Introduction to Quantum Mechanics | edition=2 | year = 2004 | publisher = Benjamin Cummings | isbn = 0-13-124405-1 }}
* {{Наведена книга | author = Richard Liboff | title = Introductory Quantum Mechanics | edition=4 | year = 2002 | publisher = Addison Wesley | isbn = 0-8053-8714-5 }}
* {{Наведена книга | author = David Halliday | title = Fundamentals of Physics | edition=8 | year = 2007 | publisher =  Wiley | isbn = 0-471-15950-6 }}
* {{Наведена книга | author1 = Serway|author2= Moses |author3= Moyer | title = Modern Physics | edition=3 | year = 2004 | publisher = Brooks Cole | isbn = 0-534-49340-8}}
* {{Наведено списание | author = Schrödinger, Erwin |date= December 1926 | title = An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules | journal = Phys. Rev. | pages = 1049–1070 | doi = 10.1103/PhysRev.28.1049 | volume = 28 |bibcode = 1926PhRv...28.1049S | issue = 6 }}
* {{Наведена книга| last = Teschl| given = Gerald | title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators| publisher=American Mathematical Society| place = Providence | year=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |isbn=978-0-8218-4660-5 }}

==Надворешни врски ==
* {{springer|title=Schrödinger equation|id=p/s083410}}
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch13/ch13.html Quantum Physics] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20120307041005/http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch13/ch13.html |date=2012-03-07 }}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde108.pdf Linear Schrödinger Equation], EqWorld: The World of Mathematical Equations
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1403.pdf Nonlinear Schrödinger Equation], EqWorld: The World of Mathematical Equations
* [http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/TAYL07-203-247.I.pdf The Schrödinger Equation in One Dimension] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20060524165051/http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/ |date=2006-05-24 }} заедно со [http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/ директориумот на книгата] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20060524165051/http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/ |date=2006-05-24 }}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html All about 3D Schrödinger Equation]
* Mathematical aspects of Schrödinger equations are discussed on the [http://wiki.math.toronto.edu/DispersiveWiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20170723091053/http://wiki.math.toronto.edu/DispersiveWiki/index.php/Main_Page |date=2017-07-23 }}
* [http://www.nanotechnology.hu/online/web-schroedinger/index.html Web-Schrödinger: Interactive solution of the 2D time-dependent and stationary Schrödinger equation]
* [http://behindtheguesses.blogspot.com/2009/06/schrodinger-equation-corrections.html An alternate reasoning behind the Schrödinger Equation]
* [http://nanohub.org/resources/3847 Periodic Potential Lab] — програм за решавање на временски зависна Шредингерова равенка со произволни периодични потенцијали
* [http://www.felderbooks.com/papers/psi.html What Do You Do With a Wavefunction?]
* [http://www.felderbooks.com/papers/quantum.html The Young Double-Slit Experiment]

{{Нормативна контрола}}

{{избрана статија}}

{{ОСНОВНОПОДРЕДУВАЊЕ:Шредингерова равенка}}
[[Категорија:Квантна механика| ]]
[[Категорија:Бранова механика]]
[[Категорија:Равенки во физиката]]