Гринова теорема

Во математиката, Гриновата теорема го дава односот меѓу криволинискиот интеграл околу проста затворена крива C и двојниот интеграл над областа D ограничена со C. Тоа е специјален дводимензионален случај на поопштата Стоксова теорема, а името го добила по британскиот научник Џорџ Грин.

Нека C е позитивно ориентирана, дел по дел регуларна, проста затворена крива во рамнина и нека Dе област ограничена со кривата C. Ако L и M имаат непрекинати парцијални изводи на отворената област која го содржи D, тогаш

$\underset{C}{\int }Ldx+Mdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA$

при што интегрирањето оди спротивно од стрелките на часовникот. Понекогаш се црта крукче на симболот за интеграл (${\oint }_C$) за да се означи дека кривата C е затворена. За позитивна ориентација, на ова крукче може да се нацрта стрелка во спротивна насока од стрелките на часовникот.

Доказ кога D е проста област

Ако D е проста област чии граници се состојат од кривите C₁, C₂, C₃, C₄, може да се демонстрира Гриновата теорема.

Следи доказ на теоремата за поедноставена област D, област тип I каде C₂ и C₄ се вертикални линии. Сличен доказ постои кога D е област тип II, каде C₁ и C₃ се хоризонтални линии.

Ако може да се покаже дека исказите

$\underset{C}{\int }Ldx=\underset{D}{\iint }(-\frac{\partial L}{\partial y})dA\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}$

и

$\underset{C}{\int }Mdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)dA\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}$

се точни, тогаш може да се докаже Гриновата теорем во првиот случај.

Област тип I, D на сликата десно, дефинирана со:

$D=\{(x,y)|a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$

каде g₁}- и -{g₂ се непрекинати функци. Нека се пресмета двојниот интегра од (1):

$\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)dA$	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial y}(x,y)dydx]$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L[x,g_2(x)]-L[x,g_1(x)]\}dx\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}$

C може да се запише како унија на четири криви: C₁, C₂, C₃, C₄.

Кај C₁, се користат параметарските равенки: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Тогаш

$\underset{C_1}{\int }L(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L[x,g_1(x)]\}dx$

Кај C₃, се користат параметерските равенки: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Тогаш

$\underset{C_3}{\int }L(x,y)dx=-\underset{-C_3}{\int }L(x,y)dx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]dx$

Интегралот над C₃ се негира, бидејќи оди во негативна наоска од b до a, бидејќи C е позитивно ориентирана (во насока спротивна од стрелките на часовникот). На C₂ и C₄, -{x}- останува константно, што значи дека

$\underset{C_4}{\int }L(x,y)dx=\underset{C_2}{\int }L(x,y)dx=0$

Затоа,

$\underset{C}{\int }Ldx$	$=\underset{C_1}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_2}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_3}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_4}{\int }L(x,y)dx$
	$=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_1(x))]dx\mathrm{(}\mathrm{4}\mathrm{)}$

Со комбинирање на (3) се (4), се добива (1). На сличан начин се добива и (2).

Поврзано

• Стоксова теорема
• Криволиниски интеграл

Надворешни врски

• Mathworld
• Флеш демонстрација на Гриновата теорема