Лема на Ван дер Корпут (хармониска анализа)

Во математиката, во областа на хармониската анализа, Лемата на Ван дер Корпут е проценка за осцилаторните интеграли именувана по холандскиот математичар Јоханес ван дер Корпут.

Следниот резултат го наведува Елијас Стајн:

Да претпоставиме дека реалната функција $\varphi (x)$ е монотона во отворениот интервал $(a,b)$, и тоа $|{\varphi }^{(k)}(x)|\ge 1$ за сите $x\in (a,b)$. Да претпоставиме дека или $k\ge 2$, или дека $k=1$ и ${\varphi }^{\prime }(x)$ е монотон за $x\in ℝ$. Постои константа $c_k$, што не зависи од $\varphi$, таква што

$\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{i\lambda \varphi (x)}\right|\le c_k{\lambda }^{-1/k},$

за секоја $\lambda \in ℝ$.

Проценки на множество на подниво

Лемата на Ван дер Корпут е тесно поврзана со проценките на множеството на подниво (види на пример ), кои ја даваат горната граница на мерката на множеството каде што функцијата зема вредности не поголеми од $ϵ$.

Да претпоставиме дека реалната функција $\varphi (x)$ е монотона на конечен или бесконечен интервал $I\subset ℝ$, и тоа $|{\varphi }^{(k)}(x)|\ge 1$ за сите $x\in I$. Постои константа $c_k$, што не зависи од $\varphi$, таква што за кој било $ϵ\ge 0$ мерката на множеството на подниво $\{x\in I:|\varphi (x)|\le ϵ\}$ е ограничена со $c_k{ϵ}^{1/k}$.