Образец за полупречник на опишана кружница на триаголник

Образецот за полупречник на опишана кружница на триаголник го наоѓа односот на должината на страните на триаголникот со должината на полупречникота на опишана кружница околу него. Овој однос математички се запишува како:

$R=\frac{abc}{4P}$

каде a, b, c се должините на страните на триаголникот, P е неговата плоштина, а R е полупречникот на опишаната кружница околу тој триаголник. Ако се примени Хероновата формула за плоштина на триаголник на гореспоменатата формула, добиваме:

$R=\frac{abc}{4\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}},$

$S=\frac{a+b+c}{2}$

и со ова успешно ја изразивме должината на полупречникот на опишаната кружница преку должините на страните на триаголникот што му одговараат.

Доказ преку синусната теорема

Синусната теорема вели дека:

$\frac{a}{sin(\alpha )}=2R$

ако ја претпоставиме точноста на образецот имаме:

$\frac{1}{sin(\alpha )}=\frac{bc}{2P}$ т.е.

$P=\frac{cbsin(\alpha )}{2}$

и со оглед на тоа

$h=bsin(\alpha )$,

каде што h е висината што одговара на страната c, па тогаш:

$P=\frac{cbsin(\alpha )}{2}=\frac{ch}{2}$

и доаѓаме до основната формула за плоштина на триаголник, од која произлегува дека нашата претпоставка од почетокот на доказот е точна.