Ојлерова формула

Во математиката, едно од основните и најважни равенства во теоријата на комплексите броеви и комплексната анализа. Со неа е изразена зависноста помеѓу експоненцијалната и тригонометриските функции.

Равенството е едноставно и го има следниот облик:

${\text{e}}^{ix}=\cos x+i\sin x$

каде $\text{e}$ е основата на природниот логаритам, а $i$ имагинарната единица. Равенството е наречено според Леонард Ојлер, швајцарски математичар.

Доказ

Постојат неколку начини да се покаже точноста на равенството. Ние ќе ја покажеме користејќи се со Тејлор-Меклореновиот развој (Taylor-MacLaurin) развој на експоненцијалната и тригонометриските фунции. Според нивниот развој имаме:

${\text{e}}^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$

$\sin x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

$\cos x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

Сега имаме:

${\text{e}}^{ix}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(ix{)}^k}{k!}$

Бидејќи:

$i^k=\{\begin{array}{cc}1,& k=4n\\ i,& k=4n+1\\ -1,& k=4n+2\\ -i,& k=4n+3\end{array}$

Следствено:

${\text{e}}^{ix}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(ix{)}^k}{k!}=1+i\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...=$

$=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...)+i(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+...)=$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos x+i\sin x$

со што ја покажавме точноста на равенството.

Важност

Ојлеровата формула овозможува да се дефинира експоненцијална функција за комплексни аргументи:

${\text{e}}^{x+iy}={\text{e}}^x\cdot {\text{e}}^{iy}={\text{e}}^x(\cos y+i\sin y)$

Друг многу важен факт кој произлегува од оваа формула е следниов: нека во формулата ставиме $x=\pi$. Тогаш се добива следново:

${\text{e}}^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1+i\cdot 0=-1$, односно, конечно:

${\text{e}}^{i\pi }+1=0$

Последново равенство се нарекува равенство на Ојлер и е едно од најважните и математички најубавите равенства. Самиот израз вклучува девет основни концепти на математиката: три операции: собирање, множење, степенување; пет основни константи: единицата, нулата, односот на периметарот и пречникот на кружницата - $\pi$, основата на природниот логаритам - $\text{e}$, имагинарната единица - $i=\sqrt{-1}$ и една основна релација: еднаквост $=$.

Интересно

• Многумина го сметаат ова равенство за математички совршено зашто ниту едно друго равенство во математиката не вклучува толкав број основни математички концепти на така елегантен и едноставен начин. Познат е и следниов коментар: Што би можело да биде помистично: имагинарен број во интеракција со реални - да даде ништо?
• Ова равенство било докажано за првпат во 1714. година, не од Ојлер, туку од британскиот математичар Роџер Котс (Roger Cotes) во алтернативен облик:

$\text{ln}(\cos x+i\sin x)=ix$

Ојлер го објавил својот доказ (идентичен со оној даден во оваа статија) во 1748.