Равенка на сложени брзини

Равенка на сложени брзини — тридимензионална равенка која се однесува на брзината на објекти во различни појдовни системи. Ваквите равенки важат за последователните Лоренцови трансформации, така што и тие се однесуваат на различни системи. Придужната сложена брзина е кинематски ефект познат како Томасовата прецесија, каде подоцнежните неколинеарни Лоренцови поттици стануваат еднакви на составот на ротацијата на координатниот систем и поттик.

Стандардните примени на равенките на сложени брзини вклучуваат: Доплерова смена, Доплерова навигација, аберација на светлината и завлекувањето на светлината во вода во движење набљудувани во Физовиот експеримент во 1851 година.

Историја

Брзината на светлината во течност е побавна од брзината на светлината во вакуум и се менува ако течноста се движи заедно со светлината. Во 1851 година, Физо ја измерил брзината на светлината во течност, кој се движи паралелно на светлината, користејќи Мајкелсонов интерферометар. Резултатите на Физо не се согласувале со тогашните преовладувачки теории. Физо експериментално правилно го утврдил почетниот однос на ширењето на релативистичкиот точен закон за сложување на брзините запишан преку Предлошка:Math како што е опишано подолу. Физовите резултати ги довеле физичарите да ја прифатат емпириската важност на прилично незадоволителната теорија на Френел, дека течноста која се движи во однос на стационарениот етер делумно ја завлекува светлина со него, односно брзината е Предлошка:Math наместо Предлошка:Math, каде Предлошка:Math е брзината на светлината во етерот, а Предлошка:Math е брзината на течноста во однос на етерот.

Аберацијата на светлината, за која најлесно објаснување е релативистичката равенка на сложени брзини, заедно со Физовите резултати предизвикаа развој на теориите како што е Лоренцовата теорија за етерот на електромагнетизмот од 1892 година. Со воведувањето на специјалната релативност во 1905 година, прашањата кои го содржеа зборот етер беа, постепено со текот на годините, разрешени.

Галилеева релативност

Галилео забележал дека личност на брод кој се движи со постојана брзина има претстава дека е во мирување кога ќе набљудува тело кое паѓа вертикално надолу. Галилео забележал дека од гледната точка на личноста која стои на брегот, движењето на телото кое паѓа надолу на бродот ќе биде комбинирано или пак на истото ќе биде додадено движењето на бродот. Па така гледано преку брзините може да се каже дека брзината на телото кое е во пад релативно на брегот е еднакво на брзината на тоа тело релативно на брдот плус брзината на бродот релативно на брегот.

Воопштено за три тела A (пр. Галилео), B (пр. брод), C (пр. тело кое е во пад на бродот) векторот на брзината Предлошка:Math за C релативно на A (брзината на телото во пад што ја набљудува Галилео) е збирот од брзината Предлошка:Math на C релативно на B (брзината на телото во пад релативно во однос на брегот) плус брзината Предлошка:Math на B релативно на A (брзината на бродот релативно на брегот). Сложувањето тука е векторското сложување од векторската алгебра и резултантната брзина е вообичаено претставена со равенката:

$𝐬=𝐯+𝐮.$

Во класичната механика:$𝐯,𝐮$ може да се поврзат (користејќи истобројност) со истото потекло и вообичаено се прави тоа. Но по дефиниција тие се релативни брзини кои имаат различно потекло. Ова тврдење е важно при воопштувањето на специјалната релативност каде не важи истобројноста.

Светот на Галилео се состои од апсолутен време-простор и сложувањето на бзините е во согласност со Галилеевите трансормации. Релативистичкиот принцип се нарекува Галилеева релативност. Се раководи според Њутновата механика.

Специјална релативност

Според теоријата на специјална релативност, во рамката на бродот има различен часовник и насока, и поимот на истовременост во насоката на движењето е променет, па сложениот закон за брзините е сменет. Оваа промена не се приметува кај малите брзини, но со зголемување на брзината кон брзината на светлината станува важна. Сложениот закон е исто така наречен композиционен закон на брзините. За колинеарни движења, брзината на мувата во однос на брегот е дадена со

$s=\frac{v+u}{1+(vu/c^2)}.$

Сложената равенка може да има алгебарски еквивалентен облик, која лесно може да се изведе со помош на принципот на постојаноста на брзината на светлината:

$\frac{c-s}{c+s}=\left(\frac{c-u}{c+u}\right)\left(\frac{c-v}{c+v}\right).$

Светот во специјалната релативност се состои од Минковскиев простор и сложувањето на брзинитее цо согласност со Лоренцовите трансормации. Во специјалната теорија на релативноста Њутновата механика е променета во релативистичка механика.

Стандардна конфигурација

Формулите за поттиците на стандардната конфигурација произлегуваат правопропорционално од диференцијалите на инверзните Лоренцови поттици во стандардната конфигурација. Ако 'прим' системот се движи со брзина $V$ во позитивна $x$ насока релативна на 'не-прим' системот, тогаш формулите се

$dx={\gamma }_V(d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime }),dy=d{y}^{\prime },dz=d{z}^{\prime },dt={\gamma }_V(d{t}^{\prime }+\frac{V}{c^2}d{x}^{\prime }).$

Делејќи ги првите три равенки со четвртата,

$\frac{dx}{dt}=\frac{{\gamma }_V(d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })}{{\gamma }_V(d{t}^{\prime }+\frac{V}{c^2}d{x}^{\prime })},\frac{dy}{dt}=\frac{d{y}^{\prime }}{{\gamma }_V(d{t}^{\prime }+\frac{V}{c^2}d{x}^{\prime })},\frac{dz}{dt}=\frac{d{z}^{\prime }}{{\gamma }_V(d{t}^{\prime }+\frac{V}{c^2}d{x}^{\prime })},$

или

$\frac{dx}{dt}=\frac{d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime }}{d{t}^{\prime }(1+\frac{V}{c^2}{\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}}^{\prime })},\frac{dy}{dt}=\frac{d{y}^{\prime }}{{\gamma }_{V}d{t}^{\prime }(1+\frac{V}{c^2}\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }})},\frac{dz}{dt}=\frac{d{z}^{\prime }}{{\gamma }_{V}d{t}^{\prime }(1+\frac{V}{c^2}\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }})},$

следи Предлошка:Equation box 1

Ако координатите се одбрани така што сите брзини да лежат на (заедничка) Предлошка:Math рамнина, тогаш брзините може да се претстават како

$v_x=v\cos \theta ,v_y=v\sin \theta ,{v_x}^{\prime }=v^{\prime }\cos {\theta }^{\prime },{v_y}^{\prime }=v^{\prime }\sin {\theta }^{\prime },$

(Погледајте поларни координати) и се добива Предлошка:Equation box 1

$\begin{array}{cc}v& =\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac{\sqrt{({v_x}^{\prime }+v{)}^2+(1-\frac{V^2}{c^2})v_y{\text{'}}^2}}{1+\frac{V}{c^2}{v_x}^{\prime }}=\frac{\sqrt{v_x{\text{'}}^2+V^2+2{v_x}^{\prime }v+(1-\frac{V^2}{c^2})v_y{\text{'}}^2}}{1+\frac{V}{c^2}{v_x}^{\prime }}\\ & =\frac{\sqrt{v{\text{'}}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+V^2+2V{v}^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }+v{\text{'}}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }-\frac{V^2}{c^2}v{\text{'}}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}{1+\frac{V}{c^2}{v_x}^{\prime }}\\ & =\frac{\sqrt{v{\text{'}}^2+V^2+2V{v}^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }-(\frac{V{v}^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }}{c}{)}^2}}{1+\frac{V}{c^2}{v}^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }}\end{array}$

Дадениот доказ е многу формален. Постојат и многу други докази кои се поточни, како следниот подолу. Предлошка:Hidden begin Бидејќи релативистичката трансформација ги ротира просторот и времето меѓусебно исто како геометриската ротација во рамнината која ги ротира Предлошка:Math- и Предлошка:Math-оските, погодно е да се користат истите единици за просторот и времето, во спортивно ќе се пројавува единичен фактор на претворање низ релативистичките формули, како брзината на светлината. Во систем каде што должините и времињата се мерат со исти мерни единици, брзината на светлината е бездимензионална и еднаква на Предлошка:Math. Брзината тогаш се изразува како дел од брзината на светлината.

За да се најде релативистичкиот закон за трансформација, корисно е да се воведат четири-брзини Предлошка:Math и Предлошка:Math. четири-брзините се дефинирани да бидат четири-вектори со релативистичка должина еднаква на Предлошка:Math, идно-насочена и тангента на светската линија на тело во времепросторот. Овде, Предлошка:Math одговара на компонентата на времето и Предлошка:Math на Предлошка:Math компонентата на четири-брзините на телото набљудувани од бродот. Погодно е да се земе Предлошка:Math-оската да биде насоката на движење на бродот и Предлошка:Math-оската така што Предлошка:Math рамнината се протега поради движењето на бродот и телото. Од ова произлегува дека неколку компоненти на брзините се нула; Предлошка:Math.

Обичната брзина е односот на стапката со која просторните координати растат во однос на стапката со која временската координата расте,

$\begin{array}{cc}𝐯& =(v_1,v_2,v_3)=(V_1/V_0,0,0),\\ 𝐮& =(u_1,u_2,u_3)=(U_1/U_0,U_2/U_0,0).\end{array}$

Бидејќи релативистичката должина Предлошка:Math е Предлошка:Math,

$V_0^2-V_1^2=1,$

следува

$V_0=1/\sqrt{1-v_1^2},V_1=v_1/\sqrt{1-v_1^2}.$

Лоренцовите трансформациони матрици што го зголемуваат системот во мирување до четири-брзината Предлошка:Math е

$\left(\begin{array}{cccc}{V}_0& V_1& 0& 0\\ V_1& V_0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Оваа матрица ја ротира временската векторска оска Предлошка:Math до Предлошка:Math и сите негови колони се релативистички ортогонални едни на други што се дефинира како Лоренцова трансформација.

Ако телото се движи со четири-брзинаПредлошка:Math во системот на мирување и се зголеми со множење на горе наведената матрица, новата четири-брзина е Предлошка:Math,

$\begin{array}{cc}{S}_0& =V_0{U}_0+V_1{U}_1,\\ S_1& =V_1{U}_0+V_0{U}_1,\\ S_2& =U_2,\\ S_3& =U_3.\end{array}$

Делејќи со временската компонента Предлошка:Math и со замена на компонентите на четири-векторите Предлошка:Math и Предлошка:Math во однос на компонентите на три-векторите Предлошка:Math и Предлошка:Math го дава релативистичкиот состав на законот како

$\begin{array}{cc}{s}_1& =\frac{v_1+u_1}{1+v_1{u}_1},\\ s_2& =\frac{u_2}{(1+v_1{u}_1)}\frac{1}{V_0}=\frac{u_2}{1+v_1{u}_1}\sqrt{1-v_1^2},\\ s_3& =0.\end{array}$

Обликот на релативистичкиот закон на сложување може да се сфати како ефект на неуспехот на истовременоста да важи во далечината. За паралелната компонента, временската дилатација ја намалува брзината, контракцијата на должината ја зголемува и двата ефекта се поништуваат. Неуспехот на истовременост значи дека телото менува истовремени парчиња како проекција на Предлошка:Math кон Предлошка:Math. Бидејќи во овој ефект целосно се должи на временското режење, истиот фактор се множи со нормалната компонента, така што временската дилатација се множи со фактор Предлошка:Math. Предлошка:Hidden end

Општа конфигурација

Разложувањето на 3-брзината Предлошка:Math во паралелни и нормални компоненти и пресметка на тие компоненти. Постапката за Предлошка:Math е идентична.

Почнувајќи од изразот во координати за Предлошка:Math паралелна на Предлошка:Nowrap, изразите за нормални и паралелни компоненти може да се вметнат во векторска облик како што следува, трик којшто исто така функционира и за Лоренцовите трансформации на други 3Д физички количества првично поставени во стандардната конфигурација. Со воведување на векторот за брзина Предлошка:Math во не-прим системот и Предлошка:Math во прим системот и да ги поделиме на компоненти паралелни ( ∥ ) и нормални (⊥) на релативистичкио вектор за брзина Предлошка:Math така што

$𝐯={𝐯}_{\parallel }+{𝐯}_{\perp },{𝐯}^{\prime }=𝐯{\text{'}}_{\parallel }+𝐯{\text{'}}_{\perp },$

потоа со вообичаените основни декартови единици за вектор Предлошка:Math, брзината во не-прим системот ќе биде

${𝐯}_{\parallel }=v_x{𝐞}_x,{𝐯}_{\perp }=v_y{𝐞}_y+v_z{𝐞}_z,𝐕=V{𝐞}_x,$

што дава

${𝐯}_{\parallel }=\frac{{{𝐯}_{\parallel }}^{\prime }+𝐕}{1+\frac{𝐕\cdot {{𝐯}_{\parallel }}^{\prime }}{c^2}},{𝐯}_{\perp }=\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}{{𝐯}_{\perp }}^{\prime }}{1+\frac{𝐕\cdot {{𝐯}_{\parallel }}^{\prime }}{c^2}}.$

каде · е скаларниот производ. Бидејќи овие се векторски равенки, тие сè уште го имаат истиот облик за Предлошка:Math во сите насоки. Единствената разлика од координатните изрази е дека горенаведените изрази се однесуваат на вектори, а не на компоненти. Предлошка:Hidden begin

$\begin{array}{cc}\frac{𝐯{\text{'}}_{\parallel }+𝐕}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}+\frac{{\alpha }_V𝐯{\text{'}}_{\perp }}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}& =\frac{𝐕+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{V^2}𝐕}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}+\frac{{\alpha }_V{𝐯}^{\prime }-{\alpha }_V\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{V^2}𝐕}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}\\ & =\frac{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{V^2}(1-{\alpha }_V)}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}𝐕+{\alpha }_V\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}{𝐯}^{\prime }\\ & =\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}𝐕+{\alpha }_V\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}{𝐯}^{\prime }+\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{V^2}(1-{\alpha }_V)𝐕\\ & =\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}𝐕+{\alpha }_V\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}{𝐯}^{\prime }+\frac{1}{c^2}\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{V^2/c^2}(1-{\alpha }_V)𝐕\\ & =\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}𝐕+{\alpha }_V\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}{𝐯}^{\prime }+\frac{1}{c^2}\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{(1-{\alpha }_V)(1+{\alpha }_V)}(1-{\alpha }_V)𝐕\\ & =\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}[{\alpha }_V{𝐯}^{\prime }+𝐕+(1-{\alpha }_V)\frac{(𝐕\cdot {𝐯}^{\prime })}{V^2}𝐕].\end{array}$

---

Предлошка:Hidden beginТреба да се определи паралелната или нормалната компонента за секој вектор, бидејќи другата компонента ќе биде отстранета со замена на целосните вектори.

Паралелната компонента на Предлошка:Math ќе се најде со проекција на главниот вектор во насока на релативното движење

$𝐯{\text{'}}_{\parallel }=\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{V^2}𝐕,$

и нормалната компонента на Предлошка:Math ќе се најде со геометриските својства на векторискиот производ (Погледајте ја сликата десно),

$𝐯{\text{'}}_{\perp }=-\frac{𝐕\times (𝐕\times {𝐯}^{\prime })}{V^2}.$

Во секој случај, Предлошка:Math е единичен вектор во насока на релативно движење.

Изразите за Предлошка:Math и Предлошка:Math ќе се најдат на ист начин. Со замена на паралелната компонента во

$𝐯=\frac{{{𝐯}_{\parallel }}^{\prime }+𝐕}{1+\frac{𝐕\cdot {{𝐯}_{\parallel }}^{\prime }}{c^2}}+\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}(𝐯-{{𝐯}_{\parallel }}^{\prime })}{1+\frac{𝐕\cdot {{𝐯}_{\parallel }}^{\prime }}{c^2}},$

е резултат во горната равенка. Предлошка:Hidden end

Трансформацијата на брзините се однесува на брзината која е мерена два инетрни системи, едниот систем F′ се движи со брзина Предлошка:Math релативна на F. Брзините Предлошка:Math и Предлошка:Math можат да ја претставуваат константната брзина на некој масивен обејкт, или трет инерцијален систем (на пример F′′), но во секој случај се означува овој ентитет со X. Тогаш X се движи со брзина Предлошка:Math релативна на F, или еквивалентна со брзината Предлошка:Math релативна на F′, пак F′ се движи со брзина Предлошка:Math релативна на F. Ова може да се запише

$𝐯={𝐯}_{\parallel }+{𝐯}_{\perp }=\frac{1}{1+\frac{𝐕\cdot {𝐯}^{\prime }}{c^2}}[{\alpha }_V{𝐯}^{\prime }+𝐕+(1-{\alpha }_V)\frac{(𝐕\cdot {𝐯}^{\prime })}{V^2}𝐕]\equiv 𝐕\oplus {𝐯}^{\prime },$

каде Предлошка:Math е реципрочна вредност на Лоренцовиот фактор. Подредувањето на операнди во дефиниција е избрано за да го одрази подредувањето на додавање на брзините, прво Предлошка:Math (брзината на F′ релативна на F), потоа Предлошка:Math (брзината на X релативна на F′) за да се добие Предлошка:Math (брзината на X релативна на F).

Со цел да се олесни генерализација и да се избегне зголемувањето на бројот на прости броеви, се променува записот на Предлошка:Math во Предлошка:Math и Предлошка:Math во Предлошка:Math. Дефинирање на релативистичкото сложување на новите Предлошка:Math и Предлошка:Math од горенаведената формула,

каде што последниот израз е од стандардна формула на векторска анализа Предлошка:Math, а како резултат на крстор производите тоа е точно само во три-просторните димензии. Првиот израз се однесува на било кој број од просторните димензии.

Својства

Релативистичката сложеност на 3-брзините е нелиниска

$(\lambda 𝐮)\oplus (\mu 𝐯)\ne \lambda \mu (𝐮\oplus 𝐯),$

за секој реален број Предлошка:Math и Предлошка:Math, иако е точно дека

$(-𝐮)\oplus (-𝐯)=-(𝐮\oplus 𝐯),$

Исто, поради последните поими, не е комутативна

$𝐮\oplus 𝐯\ne 𝐯\oplus 𝐮,$

ниту асоцијативна

$𝐮\oplus (𝐯\oplus 𝐰)\ne (𝐮\oplus 𝐯)\oplus 𝐰.$

Ако Предлошка:Math и Предлошка:Math се однесуваат на поттици на брзините, тогаш и Предлошка:Math и Предлошка:Math се точни изрази за комбинираната поттик брзина. Тие се само дадени во различен координатен систем, неприм и (што би бил) двојно примуван соодветно на стариот запис, се поврзани со ротацијата. Овој феномен е познат како Томасова прецесија.

Нормата е дадена со

$|𝐮\oplus 𝐯{|}^2=\frac{1}{{(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2})}^2}[{(𝐮+𝐯)}^2-\frac{1}{c^2}{(𝐮\times 𝐯)}^2]=|𝐯\oplus 𝐮{|}^2.$

$\begin{array}{cc}{(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2})}^2|𝐮\oplus 𝐯{|}^2& ={[𝐮+𝐯+\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_u}{1+{\gamma }_u}𝐮\times (𝐮\times 𝐯)]}^2\\ & =(𝐮+𝐯{)}^2+2\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}[(𝐮\cdot 𝐯{)}^2-(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)]+\frac{1}{c^4}{\left(\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}\right)}^2[(𝐮\cdot 𝐮{)}^2(𝐯\cdot 𝐯)-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2(𝐮\cdot 𝐮)]\\ & =(𝐮+𝐯{)}^2+2\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}[(𝐮\cdot 𝐯{)}^2-(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)]+\frac{u^2}{c^4}{\left(\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}\right)}^2[(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2]\\ & =(𝐮+𝐯{)}^2+2\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}[(𝐮\cdot 𝐯{)}^2-(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)]+\frac{(1-{\alpha }_u)(1+{\alpha }_u)}{c^2}{\left(\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}\right)}^2[(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2]\\ & =(𝐮+𝐯{)}^2+2\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}[(𝐮\cdot 𝐯{)}^2-(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)]+\frac{({\gamma }_u-1)}{c^2({\gamma }_u+1)}[(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2]\\ & =(𝐮+𝐯{)}^2+2\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}[(𝐮\cdot 𝐯{)}^2-(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)]+\frac{(1-{\gamma }_u)}{c^2({\gamma }_u+1)}[(𝐮\cdot 𝐯{)}^2-(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)]\\ & =(𝐮+𝐯{)}^2+\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_u+1}{{\gamma }_u+1}[(𝐮\cdot 𝐯{)}^2-(𝐮\cdot 𝐮)(𝐯\cdot 𝐯)]\\ & =(𝐮+𝐯{)}^2-\frac{1}{c^2}|𝐮\times 𝐯{|}^2\end{array}$

Предлошка:Hidden end Јасно е дека некомутативноста се манифестира како дополнителна ротација на координатиот систем кога станува збор за два поттици, бидејќи квадратната норма е еднаква за двете големини на поттиците.

Гама факторот за комбинираната брзина се пресметува како

${\gamma }_{𝐮\oplus 𝐯}={[1-\frac{1}{c^2}\frac{1}{(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}((𝐮+𝐯{)}^2-\frac{1}{c^2}(u^2{v}^2-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2))]}^{-\frac{1}{2}}={\gamma }_u{\gamma }_v(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}).$

$\begin{array}{cc}{\gamma }_{𝐮\oplus 𝐯}& ={[\frac{c^2(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}{c^2(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}-\frac{1}{c^2}\frac{(𝐮+𝐯{)}^2-\frac{1}{c^2}(u^2{v}^2-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2)}{(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}]}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\left[\frac{c^2(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2-(𝐮+𝐯{)}^2+\frac{1}{c^2}(u^2{v}^2-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2)}{c^2(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}\right]}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\left[\frac{c^2(1+2\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}+\frac{(𝐮\cdot 𝐯{)}^2}{c^4})-u^2-v^2-2(𝐮\cdot 𝐯)+\frac{1}{c^2}(u^2{v}^2-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2)}{c^2(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}\right]}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\left[\frac{1+2\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}+\frac{(𝐮\cdot 𝐯{)}^2}{c^4}-\frac{u^2}{c^2}-\frac{v^2}{c^2}-\frac{2}{c^2}(𝐮\cdot 𝐯)+\frac{1}{c^4}(u^2{v}^2-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2)}{(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}\right]}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\left[\frac{1+\frac{(𝐮\cdot 𝐯{)}^2}{c^4}-\frac{u^2}{c^2}-\frac{v^2}{c^2}+\frac{1}{c^4}(u^2{v}^2-(𝐮\cdot 𝐯{)}^2)}{(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}\right]}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\left[\frac{(1-\frac{u^2}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})}{(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}\right]}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\left[\frac{1}{{\gamma }_u^2{\gamma }_v^2(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}{)}^2}\right]}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\gamma }_u{\gamma }_v(1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2})\end{array}$

Покрај нелинеарноста во сложените брзини, можно е да се добие композицијата на бета векторите Предлошка:Math и Предлошка:Math, кои се пропорционални на релативните брзини. Дефинирање на Предлошка:Math, следува

${\mathit{\beta }}_u\oplus {\mathit{\beta }}_v=\frac{1}{1+{\mathit{\beta }}_u\cdot {\mathit{\beta }}_v}[{\mathit{\beta }}_u+\frac{{\mathit{\beta }}_v}{{\gamma }_u}+\frac{{\gamma }_u}{{\gamma }_u+1}({\mathit{\beta }}_v\cdot {\mathit{\beta }}_u){\mathit{\beta }}_u]$

Записи и конвенции

Записите и конвенциите за сложените брзини се разликуваат од автор до автор. Различни симболи можат да се користат за операциите и операндите можат да се вклучат за истиот израз. Бидејќи сложените брзини не се комутативни, не можеме наивно да се префрлиме на операндите без да се промени резултатот.

Од лево кон десно подредување на операндите

Мокану (1986, 1992) се користи во оваа статија,

$𝐮\oplus 𝐯=\frac{1}{1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}}[𝐯+𝐮+\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_{𝐮}}{{\gamma }_{𝐮}+1}𝐮\times (𝐮\times 𝐯)]$

Унгар (1988, 1989)

$𝐮*𝐯=\frac{1}{1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}}[𝐯+𝐮+\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_{𝐮}}{{\gamma }_{𝐮}+1}𝐮\times (𝐮\times 𝐯)]$

Од десно кон лево подредување на операндите

Сексл и Урбантке (1992)

$𝐯\circ 𝐮=\frac{1}{1+\frac{𝐮\cdot 𝐯}{c^2}}[\frac{𝐯}{{\gamma }_{𝐮}}+𝐮+\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_{𝐮}}{{\gamma }_{𝐮}+1}(𝐯\cdot 𝐮)𝐮]$

Примени

Физов експеримент

Иполит Физо (1819 – 1896), француски физичар, во 1851 година, е првиот кој ја измерил брзината на светлината во подвижна вода.

Предлошка:Главна Кога светлината се движи низ одредена средина, нејзината брзина се намалува, во рамката на мирување на средината, од Предлошка:Math, каде Предлошка:Math е показател на прекршување на средината Предлошка:Math. Брзината на светлината во средината која рамномерно се движи со брзина Предлошка:Math во позитивната насока на Предлошка:Math-оската мерена во лабораторискиот систем се определува според равенките за сложени брзини. За движењето во таа насока (стандардна конфигурација, упадниот индекс Предлошка:Mvar на Предлошка:Math) се добива,

$\begin{array}{cc}{c}_m& =\frac{V+{c_m}^{\prime }}{1+\frac{V{c_m}^{\prime }}{c^2}}=\frac{V+\frac{c}{n}}{1+\frac{Vc}{n{c}^2}}=\frac{c}{n}\frac{1+\frac{nV}{c}}{1+\frac{V}{nc}}\\ & =\frac{c}{n}(1+\frac{nV}{c})\frac{1}{1+\frac{V}{nc}}=(\frac{c}{n}+V)(1-\frac{V}{nc}+{\left(\frac{V}{nc}\right)}^2-\cdots ).\end{array}$

Собирајќи ги најголемите придонеси експлицитно,

$c_m=\frac{c}{n}+V(1-\frac{1}{n^2}-\frac{V}{nc}+\cdots ).$

Физо ги определил првите три услови. Класичниот резултат се првите два услови.

Аберација на светлината

Друга основна примена е да се разгледа отстапувањето на светлината, односно промената на насоката, кога преминува во нов појдовен систем со паралелни оски, појава наречена аберација на светлината. Во овој случај, Предлошка:Math и вметнувањето во формулата за Предлошка:Math се добива

$\tan \theta =\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}c\sin {\theta }^{\prime }}{c\cos {\theta }^{\prime }+V}=\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin {\theta }^{\prime }}{\cos {\theta }^{\prime }+\frac{V}{c}}.$

За овој случај може да се пресметаат и Предлошка:Math и Предлошка:Math од стандардните формули,

$\begin{array}{cc}\sin \theta & =\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin {\theta }^{\prime }}{1+\frac{V}{c}\cos {\theta }^{\prime }},\end{array}$

$\begin{array}{cc}\frac{v_y}{v}& =\frac{\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}{v_y}^{\prime }}{1+\frac{V}{c^2}{v_x}^{\prime }}}{\frac{\sqrt{v{\text{'}}^2+V^2+2V{v}^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }-(\frac{V{v}^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }}{c}{)}^2}}{1+\frac{V}{c^2}{v}^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }}}\\ & =\frac{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin {\theta }^{\prime }}{\sqrt{c^2+V^2+2Vc\cos {\theta }^{\prime }-V^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}\\ & =\frac{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin {\theta }^{\prime }}{\sqrt{c^2+V^2+2Vc\cos {\theta }^{\prime }-V^2(1-{\cos }^2{\theta }^{\prime })}}=\frac{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin {\theta }^{\prime }}{\sqrt{c^2+2Vc\cos {\theta }^{\prime }+V^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }}}\\ & =\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin {\theta }^{\prime }}{1+\frac{V}{c}\cos {\theta }^{\prime }},\end{array}$

$\cos \theta =\frac{\frac{V}{c}+\cos {\theta }^{\prime }}{1+\frac{V}{c}\cos {\theta }^{\prime }},$

Џејмс Брадли (1693 – 1762) СКД, дал точно објаснување на аберацијата на светлината во класични нивоа, подоцна била во судир со теориите кои преовладуваат во деветнаесеттиот век, чија оснава е постоењето на етер.

тригонометриските идентитети во суштина се идентични при случајот со Предлошка:Math и идентитетите во случајот со Предлошка:Math. Земете ја предвид разликата,

$\begin{array}{cc}\sin \theta -\sin {\theta }^{\prime }& =\sin {\theta }^{\prime }(\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{V}{c}\cos {\theta }^{\prime }}-1)\\ & \approx \sin {\theta }^{\prime }(1-\frac{V}{c}\cos {\theta }^{\prime }-1)=-\frac{V}{c}\sin {\theta }^{\prime }\cos {\theta }^{\prime },\end{array}$

со премин на Предлошка:Math. со цел да се овозможи примена на методот на приближни вредности на мали агли во тригонометриската равенка,

$\begin{array}{cc}\sin {\theta }^{\prime }-\sin \theta & =2\sin \frac{1}{2}({\theta }^{\prime }-\theta )\cos \frac{1}{2}(\theta +{\theta }^{\prime })\approx ({\theta }^{\prime }-\theta )\cos {\theta }^{\prime },\end{array}$

каде Предлошка:Math.

Така

$\mathrm{\Delta }\theta \equiv {\theta }^{\prime }-\theta =\frac{V}{c}\sin {\theta }^{\prime },$

аголот на класичната аберација, се добива при граничната вредност Предлошка:Math.

Релативистичка Доплерова смена

Кристијан Доплер (1803–1853) бил австриски математичар и физичар кој открил дека набљудуваната честота на еден бран зависи од релативната брзина на изворот и набљудувачот.

Овде се користат компонентите на брзината наместо брзината за поголема општост и со цел да се избегне ад хок воведувањето на минус знаци. Минус знаците што се случуваат овде ќе се користат за да се разјаснат случаите кога брзините се помали од брзината на светлината.

За светлосните бранови во вакуум, временската дилатација заедно со едноставното геометриско набљудување, се доволни за да се пресметаат Доплеровата смена во стандардната конфигурација (колинеарно релативна брзина на оддавачот и набљудувачот, како и од набљудуваниот светлосен бран).

Сите брзини, понатаму, се паралелни на заеднички позитивната Предлошка:Nowrap, па така индексите на компонентите на брзината се отрфрлени. Во системот на набљудувачот, се воведува геометриското набљудување

$\lambda =-sT+VT=(-s+V)T$

како просторното растојание или бранова должина, помеѓу два пулса (бранови девијации), каде Предлошка:Math е поминатото време помеѓу оддавањето на двата пулса. Поминатото време помеѓу преминот од двата пулса во иста точка во просторот е временскиот период Предлошка:Mvar, и инверзно Предлошка:Math е набљудуваната (временска) честота. Соодветните величини во системите на оддавачите се означени со прим.

За светлосни бранови

$s=s^{\prime }=-c,$

и набљудуваната честота е:

$\nu =\frac{-s}{\lambda }=\frac{-s}{(V-s)T}=\frac{c}{(V+c){\gamma }_V{T}^{\prime }}={\nu }^{\prime }\frac{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{c+V}={\nu }^{\prime }\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}.$

каде Предлошка:Math е стандардна временска дилатациона равенка.

Претпоставувајќи дека наместо бранот да не биде создаден од светлосен бран со брзина Предлошка:Mvar, за полесна визуализација, куршумите испукани од релативистичката автоматска пушка, со брзина Предлошка:Math во системот на оддавачот. Тогаш, општо земено, геометриското набљудување е исто. Но сега, Предлошка:Math, и Предлошка:Math е добиена од сложената брзина,

$s=\frac{s^{\prime }+V}{1+\frac{s^{\prime }V}{c^2}}.$

Пресметката тогаш во суштина е иста, освен што тука е полесно да се пресметува со Предлошка:Mvar наместо Предлошка:Mvar.

$\begin{array}{cc}\frac{L}{-s}& =\frac{(\frac{-s^{\prime }-V}{1+\frac{s^{\prime }V}{c^2}}+V)T}{\frac{-s^{\prime }-V}{1+\frac{s^{\prime }V}{c^2}}}\\ & =\frac{{\gamma }_V}{{\nu }^{\prime }}\frac{-s^{\prime }-V+V(1+\frac{s^{\prime }V}{c^2})}{-s^{\prime }-V}\\ & =\frac{{\gamma }_V}{{\nu }^{\prime }}\left(\frac{s^{\prime }(1-\frac{V^2}{c^2})}{s^{\prime }+V}\right)\\ & =\frac{{\gamma }_V}{{\nu }^{\prime }}\left(\frac{s^{\prime }{\gamma }^{-2}}{s^{\prime }+V}\right)\\ & =\frac{1}{{\gamma }_V{\nu }^{\prime }}\left(\frac{1}{1+\frac{V}{s^{\prime }}}\right).\\ \end{array}$

Забележуваме дека во типичен случај, Предлошка:Math која влегува е негативна. Равенката сепак има општа важност. Кога Предлошка:Math, формулата се сведува на равенка за директно пресметување на горенаведените светлосни бранови,

$\nu ={\nu }^{\prime }{\gamma }_V(1-\beta )={\nu }^{\prime }\frac{1-\beta }{\sqrt{1-\beta }\sqrt{1+\beta }}={\nu }^{\prime }\sqrt{\frac{1-\beta }{1+\beta }}.$

Ако оддавачот не испукува куршуми во празниот простор, но оддава бранови во средината, тогаш равенката сè уште важи, но сега, потребно е прво да се пресмета Предлошка:Math од брзината на оддавачот релативно на средината.

Во случајот со оддавачот на светлина, во случајот кога набљудувачот и оддавачот не се колинеарни, но сепак се движат во прави линии со релативна брзина, резултатот има мала модификација:

$\nu ={\gamma }_V{\nu }^{\prime }(1+\frac{V}{s^{\prime }}\cos \theta )$

каде Предлошка:Math е аголот помеѓу оддавачот на светлина и набљудувачот. Ова го намалува претходниот резултат за колинеарно движење кога Предлошка:Math, но за попречно движење одговара Предлошка:Math, честотата е преместена од Лоренцовиот фактор. Ова не се случува кај класичниот оптички Доплеров ефект.

Хиперболична геометрија

Сложениот закон во колинеарна форма е ист со сложениот закон на хиперболично тангенти

$\tanh (a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}$

каде

$\frac{v}{c}=\tanh a,\frac{u}{c}=\tanh b,\frac{s}{c}=\tanh (a+b),$

која кажува дека композицијата на колинеарните брзини е асоцијативна и комутативна.

Величините Предлошка:Math и Предлошка:Math (еднакви на arctanh од брзините поделени со Предлошка:Math) се познати како брзости. Причината што брзините се хиперболични тангенти е поради тоа што Лоренцовите трансфромации можат да се сметаат за применета хиперболична ротација во хиперболичен агол што паак е брзина. Да претпоставиме дека брзината на права во времепросторот е наклон на правата, што е хиперболична тангента на брзината, исто како и наклонот на Предлошка:Math-оската откако му е дадена ротација од тангента на вртежниот агол. Кога рамнина е сукцесивно ротирана од два агли, последната ротација е збирот од двата агли. Значи последниот наклон на Предлошка:Math-оската е тангента од збирот на двата агли. На ист начин, наклонот на временската оска после два поттици е хиперболична тангента од збирот на двете брзини.

Горенаведените Предлошка:Math и Предлошка:Math може да се сметаат за радијални координати на 3-димензионалниот потпростор со сферични координати, или норма на декартов вектор, од Лијевата алгебра на Лоренцовата група протегнати од генераторите на поттик. Овој простор е хомеоморфичен со Предлошка:Math и е одбележан на отворена единица топка Предлошка:Math со

$𝔰𝔬(3,1)\supset \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{K_1,K_2,K_3\}\approx {ℝ}^3\ni \mathit{\zeta }=\hat{\mathit{\beta }}{\tanh }^{-1}\beta ,\mathit{\beta }\in {𝔹}^3,$

каде Предлошка:Math е 3-вектор во потпросорен поттик, изразен во декартови координати, наречен поттик на параметар и е норма на брзината. Елементот на линија Предлошка:Math е даден со

$d{l}_{\mathit{\zeta }}^2=\frac{d{\mathit{\zeta }}^2-(\mathit{\zeta }\times d\mathit{\zeta }{)}^2}{(1-{\zeta }^2{)}^2}=\frac{d{\zeta }^2}{1-{\zeta }^2}(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2).$

Со воведување на Предлошка:Mvar во

$\zeta =|\mathit{\zeta }|={\tanh }^{-1}\beta ,$

каде Предлошка:Math и Предлошка:Mvar основните сферични аголни координати, и линискиот елемент на отворената единица топка стануваат

$d{l}_{\mathit{\zeta }}^2=d{\beta }^2+{\sinh }^2\beta (d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2).$

Поврзано

• Бикватернион

Наводи

• Предлошка:Наведена книга (graduate level)
• Предлошка:Наведена книга (introductory level)
• Предлошка:Наведена книга (graduate level)
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга

Историски

• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Citation
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Einstein, A: Zur Elektrodynamik bewegter Körper (On the Electrodynamics of moving bodies) Ann. der Physik 1905, vol,322(10), pp. 891–921, See section 5 "The composition of velocities" url=https://en.wikisource.org/wiki/On_the_Electrodynamics_of_Moving_Bodies_%281920_edition%29}

Надворешни врски

• Sommerfeld, Arnold (1909): On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity, Verh. der DPG, 21: 577-582