Амперов закон

Амперов закон (да не се поистоветува со Амперовиот закон за сила откирен од Андре-Мари Ампер во 1823 година) — ги сврзува интегрираното магнетно поле околу затворена јамка низ која минува електрична струја. Џејмс Кларк Максвел го извел користејќи хидродинамика во неговиот труд од 1861 година „За физичките линии на силата“ и сега е дел од Максвеловите равенки, кои се основа на класичниот електромагнетизам.

Првичен Максвелов закон

Првичниот облик на Максвеловиот закон, кој бил изведен од негова страна во 1855 година во трудот „За Фарадеевите линии на сила“ заснован на хидродинамиката, ги поистоветува магнетните полиња со електричната струја која ги создава. Го определува магнетното поле кое е поврзано со определена струја, или пак струјата е поврзана со одредено магнетно поле.

Првичниот закон во физиката е точен само при магнетостатски ситуации, каде системот е статичен освен континуирани стабилни струи во рамките на затворени контури. За системи со електрични полиња кои со текот на времето се менуваат, првичниот закон (како што е прикажан во секцијава) мора да биде изменет да содржи поим познат како Максвелова исправка (види долу).

Еквивалентни форми

Првичниот закон може да се запише во повеќе различни форми, кои се еквивалентни:

• „Интегрална форма“ и „Диференцијална форма“. Формите се еквивалентни, и сврзани преку Келвин-Стоуксовата теорема.(see the "proof" section below)
• Форми кои користат SI единици, и тие кои користат cgs единици. Други единици се можни, но ретки. Овој дел ќе користи SI единици, а cgs ќе бидат продискутирани подоцна.
• Форми кои користат [[магнетно поле|Предлошка:Math или Предлошка:Math магнетни полиња]]. Овие две форми ја користат вкупната густина на струјата и густината на слободната струја. Предлошка:Math и Предлошка:Math полиња се сврзани преку конституивна равенка: Предлошка:Math каде Предлошка:Math е магнетна константа.

Explanation

Интеграл формата на првичниот закон е линиски интеграл на магнетното поле околу некоја затворена косина Предлошка:Mvar (произволна, но мора да биде затворена). Косината Предлошка:Mvar in turn bounds both a surface Предлошка:Mvar which the electric current passes through (again arbitrary but not closed—since no three-dimensional volume is enclosed by Предлошка:Mvar), and encloses the current. Математичката изјава на законот е врска помеѓу вкупната количина на магнетно поле околу некоја патека (линиски интеграл) поради струјата која поминува низ таа затворена патека (површински интеграл).

Во однос на вкупната струјата, (која е збир на слободна струја и ограничена струја) линискиот интеграл на [[магнетно поле|магнетното Предлошка:Math-поле]] (во тесли, T) околу затворена косина Предлошка:Mvar е пропорционален со вкупната струја Предлошка:Math која минува низ површина Предлошка:Mvar (enclosed by Предлошка:Mvar). Во однос на слободната струја, линискиот интеграл на [[магнетно поле|магнетното Предлошка:Math-поле]] (во ампери на метар, A·m⁻¹) околу затворена косина Предлошка:Mvar е еднаков на слободната струја Предлошка:Math низ површина Предлошка:Mvar.

Форми на првичниот закон запишан во SI единици

	Интеграл форма	Диференцијална форма
Користејќи Предлошка:Math-поле и вкупна струја	${\oint }_C𝐁\cdot d𝒍={\mu }_0\underset{S}{\iint }𝐉\cdot d𝐒={\mu }_0{I}_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}$	$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉$
Користејќи Предлошка:Math-поле и слободна струја	${\oint }_C𝐇\cdot d𝒍=\underset{S}{\iint }{𝐉}_{\mathrm{f}}\cdot d𝐒=I_{\mathrm{f},\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}$	$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_{\mathrm{f}}$

• Предлошка:Math е вкупната густина на струја (во ампери на метар на квадрат метар, A·m⁻²),
• Предлошка:Math е само густината на слободната струја,
• Предлошка:Math е затворениот линиски интеграл околу затворената косина Предлошка:Mvar,
• Предлошка:Math означува 2-D површински интеграл над Предлошка:Mvar затворен од Предлошка:Mvar,
• Предлошка:Math е векторот скаларен производ,
• Предлошка:Math е бесконечно мал елемент (диференцијалот) на затворената косина Предлошка:Mvar (т.е. вектор со величина еднаква на должината на бесконечно мал линиски елемент, и насока дадена од тангенсот на косината.line element, and direction given by the tangent to the curve Предлошка:Mvar)
• Предлошка:Math е векторската плоштина на бесконечно мал елемент на површината Предлошка:Mvar (вектор со големина еднаква на плоштината на бесконечно малиот елемент на површината, и насока нормална на површината Предлошка:Mvar. Насоката на нормалата мора да одговара со ориентацијата на Предлошка:Mvar преку правилото на десната рака), see below for further explanation of the curve Предлошка:Mvar and surface Предлошка:Mvar.
• Предлошка:Math е ротацијален оператор.

Нејаснотии и знаци на конвенции

Има неколку нејаснотии во горните дефиниции на кои им е потребно појаснување и избор на конвенции.

1. Прво, три од овие поими се поврзани со двосмислености за знаците: линискиот интеграл Предлошка:Math може да се движи околу контурата во правецот на часовникот или обратно; векторската плоштина Предлошка:Math може да укаже во било која од двете насоки нормално до површината; и Предлошка:Math е мрежната струја што минува низ површината Предлошка:Mvar, тоа значи дека струјата која поминува во една насока, минус струјата во другата насока-но било која од двете насоки би можела да се земе за позитивна. Овие двосмислености се решаваат со правилото на десната рака: Со дланката на десната рака накај плоштината на интеграција, и показалецот да покажува по насоката на линиската интеграција, палецот покажува во правецот кој мора да биде одбран за вектор ната плоштина Предлошка:Math. Струјата која минува во истата насока како и Предлошка:Math мора да биде земена како позитивна.Правилото на десната рака исто така може да се искористи да се одредување на знаците.
2. Второ, постојат бесконечно многу површини Предлошка:Mvar кои ја имаат косината Предлошка:Mvarкако нивна граница. (Замислете филтер за сапун на жичена јамка, која може да се деформира со поместување на жицата). Која од тие површини ќе биде одбрана? Ако јамката не лежи во една рамнина, на пример, нема еден очигледен избор. Одговорот е дека нема врска; може да се докаже дека било која површина со завршеток Предлошка:Mvar може да биде одбрана.

Слободна струја наспроти врзана струја

Електричната струја што се појавува во наједноставните ситуации во учебниците би била класифицирана како "слободна струја", на пример струјата која минува низ жица батерија. Во контраст, "врзана струја" се појавува во контекстот на рефус материјали кои можат да бидат магнетизирани и/или поларизирани. (Сите материјали можат до одреден степен.)

Кога материјалот е магнетизиран (на пример ставајќи го во надворешно магнетно поле), електроните остануваат врзани за нивните соодветни атоми, но се однесуваат како да кружат околу јадрото во одредена насока, создавајќи микроскопска струја. Кога струите од сите овие атоми се ставаат заедно, тие го создаваат истиот ефект како макроскопска струја, циркулирајќи постојано околу магнетизираниот објект. Оваа струја на магнетизација Предлошка:Math е еден придонес кон "врзана струја".

Другиот извор на врзана струја е врзан полнеж. Кога ќе примениме електрично поле, позитивните и негативните врзани полнежи можат да се одделат над атомските растојанија во материјали кои можат да бидат поларизирани, и кога се движат врзаните полнежи, се менува поларизацијата, создавајќи уште еден придонес кон "врзаната струја", поларизационата струја Предлошка:Math.

Вкупната густина на струјата Предлошка:Math поради слободни и врзани полнежи е тогаш:

$𝐉={𝐉}_{\mathrm{f}}+{𝐉}_{\mathrm{M}}+{𝐉}_{\mathrm{P}},$

со Предлошка:Math густина на слободната струја.

Сите струи се во основа исти, микроскопски гледано. Сепак, честопати има практични причина за тоа зошто би третирале врзана струја поразлично од слободна струја. На пример, врзаната струја обично потекнува од атомски димензии, и можеби ќе сакате да ја искористите поедноставната теорија наменета за поголеми димензии. Резултатот е дека што повеќе микроскопски Амперовиот закон, изразен во смисла на Предлошка:Math и микроскопската струја (кој вклучува слободни, магнетизирани и поларизациски струи), е некогаш ставен во еквивалентна форма подолу во смисла на Предлошка:Math и само слободната струја. За детална дефиниција за слободна струја и врзана струја и доказ дека двете формулации се еквивалентни, погледнете во делот за"докази" подолу.

Недостатоци на оригиналната формулација на законот

Постојат две важни прашања во врска со законот кои бараат поблизок надзор. Прво, постои проблем во врска со равенката на континуитет за електрични полнежи. Во векторскиот калкулус, идентитетот на дивергенцијата наведува дека дивергенцијата на векторското поле секогаш мора да биде нула. Од тука

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=0,$

и така првичниот Амперов закон укажува дека

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0.$

Но, општо реалноста ја следи равенката на континуитет за електричен полнеж:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=-\frac{\partial \rho }{\partial t},$

која е нула за временски различна густина на полнеж. Еден пример се појавува во кондензаторско коло, каде што на плочите постои плазма со временски зависна густини на полнеж.

Второ, постои проблем во врска со пропагирање на електромагнетни бранови. На пример, во слободен простор, каде

$𝐉=\mathrm{𝟎}.$

Амперовиот закон покажува дека

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\mathrm{𝟎},$

но, експерименти покажале дека

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\frac{1}{c^2}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

За да се третираат овие ситуации, придонесот на раселената струја мора да се додаде во актуелниот поим во Амперовиот закон.

Џејмс Кларк Максвел замислен од поместувачка струја како поларизациона струја во диелектричното вителско море, кое го искористил за да го моделира магнетното поле хидродинамички и механички. Тој ја додал поместувачката струја на Амперовиот закон во раценка 112 во неговиот труд од 1861 година On Physical Lines of Force.

Поместувачка струја

Во слободен простор, поместувачката струја е поврзана со временската брзина на промена на електричното поле.

Во диелектрик, исто така, е присутнен и горниот придонес во поместувачката струја, но голем придонес кон поместувачката струја е поврзан со поларизацијата на поединечните молекули на диелектричниот материјал. Иако полнежите не можат слободно да проток во диелектрик, полнежите во молекулите може да се движат малку под влијание на електричното поле. Позитивните и негативните полнежи во молекулите се одделуваат под применетото поле, што предизвикува зголемување на состојбата на поларизација, изразена како поларизационата густина Предлошка:Math. Променливата состојба на поларизација е еквивалентна на струја.

Двата придонеси за поместувачката струја се комбинираат со дефинирање на поместувачката струја како:

${𝐉}_{\mathrm{D}}=\frac{\partial }{\partial t}𝐃(𝐫,t),$

кога електричното поместувачко поле е дефинирано како:

$𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}𝐄,$

каде Предлошка:Math е електричната константа, Предлошка:Math релативната статичка диелектричност, и Предлошка:Math е густината на поларизација. Заменувајќи ја оваа форма за Предлошка:Math во изразот за поместувачка струја, има две компоненти:

${𝐉}_{\mathrm{D}}={\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{\partial 𝐏}{\partial t}.$

Првиот поим на десната страна е присутна насекаде, дури и во вакуум. Тоа не вклучува никакво вистинско движење на полнење, но сепак има поврзано магнетно поле, како да е вистинска струја. Некои автори го припишуваат името поместување струја само на овој придонес.

Вториот поим на десната страна е поместувачката струја како што првично беше замислена од Максвел, поврзана со поларизацијата на поединечните молекули на диелектричниот материјал.

Првичното објаснување на Максвел за поместувачката струја се фокусираше на ситуацијата што се јавува во диелектричните медиуми. Во модерната по-естерска ера, концептот е проширен да се примени на ситуации без материјални медиуми присутни, на пример, на вакуум помеѓу плочите на полнечки вакуум кондензатор. Поместувачката струја е оправдано денес, бидејќи служи за неколку барања на електромагнетната теорија: правилно предвидување на магнетни полиња во региони каде што нема проток на струја; предвидување на бран пропагирање на електромагнетни полиња; и конзервација на електричен полнеж во случаи кога густината на полнеж е временски различна. За поголема дискусија погледнете Поместувачка струја.

Проширување на првичниот закон: Максвел-Амперовата равенка

Потоа, равенката е проширена со вклучувањето на поларизационата струја, со што се поправа ограничената применливост на првичниот закон.

Третирајќи слободни полнежи одделно од врзани, равенката вклучувајќи ја Максвеловата исправка во однос на Предлошка:Math-поле е Предлошка:Math-поле се користи бидејќи ги влкучува магнетазиционите струи, па така Предлошка:Math не се појавува експлицитно, погледнете [[Магнетно поле#Физичко толкување на H полето|Предлошка:Math-поле]] и Забелешка):

${\oint }_C𝐇\cdot 𝒍=\underset{S}{\iint }({𝐉}_{\mathrm{f}}+\frac{\partial 𝐃}{\partial t})\cdot \mathrm{d}𝐒$

(интегрална форма), каде Предлошка:Math е [[Магнетно поле|магнетното Предлошка:Math поле]] (исто така наречен "помошно магнетно поле", "интензитет на магнетното поле" или само "магнетно поле"), Предлошка:Math е електричното поместувачко поле, и Предлошка:Math е затворена струја на спроводливост или густина на слободна струја. Во диференцијална форма,

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_{\mathrm{f}}+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}.$

Од друга страна, третирањето на сите обвиненија на иста основа (без оглед дали се врзани или бесплатни давачки), генерализираната Амперова равенка, исто така наречена Максвел-Амперова равенка, е во интегрална форма (погледнете "доказ" делот подолу):

Во диференцијална форма,

Во двете форми Предлошка:Math вклучува струја на магнетизацијата густина како и густината на спроводливоста и поларизацијата. Тоа е, густината на струјата на десната страна на равенката Ампер-Максвел е:

${𝐉}_{\mathrm{f}}+{𝐉}_{\mathrm{D}}+{𝐉}_{\mathrm{M}}={𝐉}_{\mathrm{f}}+{𝐉}_{\mathrm{P}}+{𝐉}_{\mathrm{M}}+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}=𝐉+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t},$

каде густина на струја Предлошка:Math е поместувачката струја, и Предлошка:Math е придонесот на моменталната густина, всушност, поради движењето на давачките, и слободни и врзани. Бидејќи Предлошка:Math, проблемот со континуитет на полнежот со оригиналната формулација на Ampère веќе не е проблем. Поради терминот во Предлошка:Math, сега е возможно да се шири бран во слободен простор.

Со додавањето на струјата на поместување, Максвел успеа да претпостави (правилно) дека светлината е форма на електромагнетни бранови. Види електромагнетна бранова равенка за дискусија за ова важно откритие.

Доказ за еквивалентност

Доказ дека формулациите на кружен законик во смисла на слободна струја се еквивалентни на формулациите кои вклучуваат тотална струја.

Во овој доказ, ќе покажеме дека равенката $\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_{\mathrm{f}}+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$ е еквивалетно со равенката $\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=𝐉+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$ Имајте на ум дека ние се занимаваме само со диференцијалните форми, а не со интегралните форми, но тоа е доволно, бидејќи диференцијалните и интегралните форми се еквивалентни во секој случај, од теоријата на Келвин-Стоукс. Ја воведуваме поларизационата густина Предлошка:Math, која ја има следнава врска Предлошка:Math и Предлошка:Math: $𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏.$ Следно, воведуваме густина на магнетизација Предлошка:Math, која ја има следнава врска со Предлошка:Math и Предлошка:Math: $\frac{1}{{\mu }_0}𝐁=𝐇+𝐌$ и следнава врска со врзаната струја: $\begin{array}{cc}{𝐉}_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}& =\mathrm{\nabla }\times 𝐌+\frac{\partial 𝐏}{\partial t}\\ & ={𝐉}_{\mathrm{M}}+{𝐉}_{\mathrm{P}},\end{array}$ каде ${𝐉}_{\mathrm{M}}=\mathrm{\nabla }\times 𝐌,$ е наречена густина на струја на магнетизација, и ${𝐉}_{\mathrm{P}}=\frac{\partial 𝐏}{\partial t},$ е густина на струја на поларизација. Преземајќи на равенката за Предлошка:Math: $\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)& =\mathrm{\nabla }\times (𝐇+𝐌)\\ & =\mathrm{\nabla }\times 𝐇+{𝐉}_{\mathrm{M}}\\ & ={𝐉}_{\mathrm{f}}+{𝐉}_{\mathrm{P}}+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}+{𝐉}_{\mathrm{M}}.\end{array}$ Следствено, се однесува на дефиницијата на врзаната струја: $\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)& ={𝐉}_{\mathrm{f}}+{𝐉}_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\\ & =𝐉+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t},\end{array}$ како што требаше да биде прикажано.

Амперовиот закон во cgs единици

Во cgs единици, интегралната форма на равенката, вклучувајќи ја Максвеловата корејција е

${\oint }_C𝐁\cdot \mathrm{d}𝒍=\frac{1}{c}\underset{S}{\iint }(4\pi 𝐉+\frac{\partial 𝐄}{\partial t})\cdot \mathrm{d}𝐒,$

каде Предлошка:Mvar е брзината на светлината.

Диференцијалната форма на равенката (повторно вклучувајќи ја Максвеловата исправка) е

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\frac{1}{c}(4\pi 𝐉+\frac{\partial 𝐄}{\partial t}).$

Поврзано

• Био-Саваров закон
• Поместувачка струја
• Капацитативност
• Амперов магнетен диполов модел
• Електромагнетна бранова равенка
• Максвелови равенки

• Фарадеев закон за индукција
• Сврзан полнеж
• Електрична струја
• Векторска анализа
• Стоксова теорема

Дополнителна литература

• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга

Надворешни врски

• Simple Nature by Benjamin Crowell Предлошка:Семарх Ampere's law from an online textbook
• MISN-0-138 Ampere's Law PDF file by Kirby Morgan for Project PHYSNET.
• MISN-0-145 The Ampere–Maxwell Equation; Displacement Current (PDF file) by J.S. Kovacs for Project PHYSNET.
• The Ampère's Law Song (PDF file) by Walter Fox Smith; Main page, with recordings of the song.
• A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864