Лапласова равенка

Лапласова равенка — елиптична делумна диференцијална равенка од втор ред која го добила името по Пјер-Симон Лаплас, кој прв ги проучувал нејзините својства. Нејзиниот облик е:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$

Решенијата на Лапласовата равенка се хармонични функции. Лапласовата равенка е значајна во математиката, електромагнетизмот, астрономијата и динамиката на флуиди.

Дефиниција

Во три димензии Лапласовата равенка може да се прикаже во различни координатни системи. Во Декартовиот координатен систем го има обликот:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=0.$

Во цилиндричниот координатен систем е:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=0$

Во сферниот координатен систем е:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial }{\partial \rho }\left({\rho }^2\frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{{\rho }^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0.$

Во закривениот координатен систем е:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}\left(\frac{\partial f}{\partial {\xi }^k}{g}^{ki}\right)+\frac{\partial f}{\partial {\xi }^j}{g}^{jm}{\mathrm{\Gamma }}_{mn}^n=0,$

или

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}\left(\sqrt{|g|}{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial {\xi }^j}\right)=0,(g=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\{g_{ij}\}).$

Дводимензионален систем

Во поларниот дводимензионален координатен систем го има обликот:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}=0$

Во дводимензионалниот Декартов систем е:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

Гринова функција

Лапласовата равенка често се решава со помош на Гриновата функција и Гриновата теорема:

$\underset{V}{\int }(\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi -\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi )dV=\underset{S}{\int }(\varphi \mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }\varphi )\cdot d\hat{\sigma }.$

Дефиницијата на Гриновата функција е:

${\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }).$

Ако во Гриновата теорема се стави $\psi =G$ се добива:

$\begin{array}{cc}& \underset{V}{\int }[\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^2\varphi (x^{\prime })]d^3{x}^{\prime }\\ & =\underset{S}{\int }[\varphi (x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }G(x,x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }\varphi (x^{\prime })]\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }.\end{array}$

Сега може да се реши Лапласовата равенка ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi (x)=0$ во случај на Нојманови и Дирихлеови рабни услови. Земајќи во обѕир:

$\underset{V}{\int }\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })d^3{x}^{\prime }=\varphi (x)$

равенката се сведува на:

$\varphi (x)=\underset{V}{\int }G(x,x^{\prime })\rho (x^{\prime })d^3{x}^{\prime }+\underset{S}{\int }[\varphi (x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }G(x,x^{\prime })-G(x,x^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }\varphi (x^{\prime })]\cdot d{\hat{\sigma }}^{\prime }.$

Кога нема рабни услови Гриновата функција е:

$G(x,x^{\prime })=\frac{1}{|x-x^{\prime }|}.$

Литература

• Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
• Лапласова равенка

Надворешни врски

• Предлошка:Springer
• Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example initial-boundary value problems Предлошка:Семарх using Laplace's equation from exampleproblems.com.
• Предлошка:MathWorld
• Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method Предлошка:Семарх