Несвојствен интеграл

Предлошка:Анализа Несвојствен интеграл претставува генерација на определен интеграл на неограничени интервали на интеграција и неограничени подинтегрални функции.

Дефиниција

Несвојствениот интеграл за функцијата $f\in R[a,c],\mathrm{\forall }c<b$, ако постои $\underset{c\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$, е интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ според дефиницијата еднаков на граничната вредност (лимес), $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{c\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$.

Несоодветен интеграл од прв вид. Интегралот можеби ќе треба да се дефинира на неограничен домен

За $f\in R[a,b]$, несвојствениот интеграл е еднаков на Римановиот поради непрекинатоста на лимесот.

Видови интеграли

Се разликуваат несвојствени интеграли од првиот и вториот вид.

Несвојствени интеграли од првиот вид

Кај несвојствените интеграли од првиот вид, подинтегралната функција е дефинирана во бесконечниот интервал на интеграција. Во зависност од интервалот на интеграција, постојат три типа на несвојствени интеграли со бесконечен интервал кои се дефинираат како гранични вредности, но на различни начини:

• кога интервалот на интеграцијата на полуоската е затворен лево, $[a,+\mathrm{\infty })$:

$\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{\beta \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{\beta }{\int }}f(x)dx$

• кога интервалот на интеграцијата на полуоската е затворен десно, $(-\mathrm{\infty },b]$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\alpha }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

• кога интервалот е права на целите броеви, $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{\alpha \to -\mathrm{\infty },\beta \to +\mathrm{\infty },}{\lim }\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)dx,$

Несвојствени интеграли од вториот вид

Несвојствените интеграли од вториот вид се интеграли во кои интервалот на интеграција е конечен, но подинтегралната функција е неограничена во една точка наречена сингуларна точка. Постојат три типа на несвојствени интеграли од вториот вид, во зависност од позицијата на сингуларната точка:

• кога функцијата е дефинирана во десно-отворен интервал, $[a,b)$, где $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{a}{\overset{b-ϵ}{\int }}f(x)dx$

• кога функцијата е дефинирана во лево-отворен интервал, $(a,b]$, где $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{a+ϵ}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

• кога функцијата е дефинирана во цел интервал $[a,b]$, освен во една внатрешна точка -{c}-, $a<c<b$ во којашто е неограничена $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{a}{\overset{c-ϵ}{\int }}f(x)dx+\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{c+\delta }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Својства

Со ограничување на лимесот кај својствата на Римановите интеграли, лесно е да се добијат следниве својства на несвојствените интеграли:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\lambda f(x))dx=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,\mathrm{\forall }\lambda \in 𝐑$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(u^{\prime }(x)v(x))dx=\underset{c\to b^{-}}{\lim }(u(x)v(x){|}_a^c)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}(u(x)v^{\prime }(x))dx$, ако постои барем еден од трите израза.
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\lambda f(x))dx=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,\mathrm{\forall }\lambda \in 𝐑$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(u^{\prime }(x)v(x))dx=\underset{c\to b^{-}}{\lim }(u(x)v(x){|}_a^c)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}(u(x)v^{\prime }(x))dx$, ако постои барем еден од трите израза.

Кошиев критериум за несвојствените интеграли

Интегралот $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$ постои во несвојствена смисла ⇔ $(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{c}_0\in [a,b])(\mathrm{\forall }{c}_1,c_2>c_0)|\underset{c_1}{\overset{c_2}{\int }}f(x)dx|<ϵ.$ Ова лесно се докажува од Кошиевиот конвергенциски критериум, каде што функцијата на која се дефинира лимесот се заменува со конкретниот несвојствен интеграл $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$.

Поврзано

• Интеграл
• Права вредност на интеграл

Библиографија

• Предлошка:Citation.
• Предлошка:Citation.
• Предлошка:Citation
• Предлошка:Citation.
• Предлошка:Citation
• Предлошка:Citation