Преглед на кодот на Бет-број

Во [[математика]]та, [[бесконечност|бесконечните]] [[кардинален број|кардинални броеви]] се претставени со првата [[Хебрејско писмо|хебрејска буква]] <math>\aleph</math> ([[алеф]]) со подзнак над [[реден број|редните броеви]] во облик на „[[алеф-број]]“. Втората хебрејска буква <math>\beth</math> ([[бет]]) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа <math>\aleph</math>.

== Определба ==
'''Бет-броевите''' се утврдуваат вака:

:нека
:<math>\beth_0=\aleph_0</math>

е кардиналноста на [[преброиво множество|преброиво бесконечно]] [[множество]]; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на [[природен број|природни броеви]] <math>\mathbb{N}</math>. Со ''P''(''A'') го означуваме [[партитивно множество|партитивното множество]] на ''A'', т.е. множеството на сите [[подмножество|подмножества]] на ''A''. Потоа задаваме

:<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},</math>

што е кардиналноста на партитивното множество на ''A'' ако <math>\beth_{\alpha}</math> е кардиналноста на ''A''.

Така зададено,

:<math>\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots</math>

се кардиналностите на

:<math>\mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots.</math>

па вториот бет-број <math>\beth_1</math> е еднаков на <math>\mathfrak c</math> ([[кардиналност на континуумот]]), а третиот бет-број <math>\beth_2</math> е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради [[Канторова теорема|Канторовата теорема]], секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како [[супремум|најмалата горна граница]] (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

:<math>\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}.</math>

Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија <math>V_{\omega+\alpha} \!</math> има кардиналност <math>\beth_{\alpha} \!</math>.

== Поврзаност со алеф-броевите ==
Assuming the [[аксиома на изборот|аксиомата на изборот]], бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу <math>\aleph_0</math> и <math>\aleph_1</math>, следи дека 
:<math>\beth_1 \ge \aleph_1.</math>
Со повторување на овој аргумент ([[трансконечна индукција]]) добиваме 
<math>\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha</math> 
за сите ординали <math>\alpha</math>.

[[Хипотеза за континуумот|Хипотезата за континуумот]] е еднаква на
:<math>\beth_1=\aleph_1.</math>

Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од [[алеф-број|алеф-броеви]], т.е., 
<math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math> 
за сите ординали <math>\alpha</math>.

== Поединечни кардинали ==
=== Бет-нула ===
Бидејќи ова по дефиниција е <math>\aleph_0</math> ([[алеф-нула]]), тогаш множествата со кардиналност <math>\beth_0</math> се следниве:

* [[природен број|природните броеви]] '''N'''
* [[рационален број|рационалните броеви]] '''Q'''
* [[алгебарски број|алгебарските броеви]]
* [[пресметлив број|пресметливите броеви]] и [[рекурзивно множество|пресметливите множества]]
* множеството на [[конечно множество|конечни множества]] на [[цел број|цели броеви]]

=== Бет-еден ===
{{Главна|Кардиналност на континуумот}}

Кардиналност <math>\beth_1</math> имаат следниве множества:

*[[трансцендентен број|трансцендентните броеви]]
*[[ирационален број|ирационалните броеви]]
*[[реален број|реалните броеви]] '''R'''
*[[комплексен број|комплексните броеви]] '''C'''
*[[Евклидов простор]] '''R'''<sup>''n''</sup>
*[[партитивно множество|партитивното множество]] на [[природен број|природни броеви]] (the set of all subsets of the natural numbers)
*множеството на [[низа (математика)|низи]] од цели броеви (т.е. сите функции '''N''' → '''Z''', честопати означени како '''Z'''<sup>'''N'''</sup>)
*множеството на низи од реални броеви, '''R'''<sup>'''N'''</sup>
*множеството на сите [[непрекината функција|непрекинати функции]] од '''R''' до '''R'''
*мноежството од конечни подмножества на реални бреови

=== Бет-два ===
<math>\beth_2</math> се нарекува и '''2<sup>''c''</sup>''' (изг. „на степен це“).

Множества со кардиналност <math>\beth_2</math> се:

* [[Партитивно множество|Партитивното множество]] of the set of [[real number]]s, so it is the number of [[подмножество|подмножества]] на [[реална оска|реалната оска]], или бројот на множества на реални броеви
* Партитивното множество на партитивното множество на природни броеви
* Множеството на сите [[функција (математика)|функции]] од '''R''' до '''R''' ('''R'''<sup>'''R'''</sup>)
* Множеството на сите функции од '''R'''<sup>''m''</sup> до '''R'''<sup>''n''</sup>
* Партитивното множество на множеството на сите функции од множеството на природни броеви до самото себе, што значи дека е бројот на множества низи од природни броеви
* [[Стоун-Чехова компактификација|Стоун-Чеховите компактификации]] на '''R''', '''Q''' и '''N'''

=== Бет-омега ===
<math>\beth_\omega</math> (pronounced ''beth omega'') is the smallest uncountable [[strong limit cardinal]].

==Воопштување==
Понекогаш се користи поопштиот симбол <math>\beth_\alpha(\kappa)</math> за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:
:<math>\beth_0(\kappa)=\kappa,</math>
:<math>\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_{\alpha}(\kappa)},</math>
:<math>\beth_{\lambda}(\kappa)=\sup\{ \beth_{\alpha}(\kappa):\alpha<\lambda \}</math> ако λ е лимесен ординал.

Значи, <math>\beth_{\alpha}=\beth_{\alpha}(\aleph_0).</math>

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

:<math>\kappa \le \beth_{\alpha}(\mu).</math>

Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

:<math>\beth_{\beta}(\beth_{\alpha}(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).</math>

Затоа, во [[Цермело–Френкелова теорија на множествата|Цермело–Френкеловата теорија на множествата]] во отсуство [[урелемент]]и со или без [[аксиома за избор|аксомата за избор]] за сите кардинали κ и μ, равенството

:<math>\beth_{\beta}(\kappa) = \beth_{\beta}(\mu)</math>

важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е [[рамнобројност|рамнобројно]] со некое чисто множество (множество чие [[транзитивно затворање]] не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

== Поврзано ==
* [[Алеф-број]]

==Наводи==
* T. E. Forster, ''Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe'', Oxford University Press, 1995, стр. 5.

[[Категорија:Кардинални броеви]]
[[Категорија:Бесконечност]]