Бет-број

Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква $\mathrm{\aleph }$ (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број“. Втората хебрејска буква $\beth$ (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа $\mathrm{\aleph }$.

Определба

Бет-броевите се утврдуваат вака:

нека

${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0$

е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви $\mathbb{N}$. Со P(A) го означуваме партитивното множество на A, т.е. множеството на сите подмножества на A. Потоа задаваме

${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }},$

што е кардиналноста на партитивното множество на A ако ${\beth }_{\alpha }$ е кардиналноста на A.

Така зададено,

${\beth }_0,{\beth }_1,{\beth }_2,{\beth }_3,\dots$

се кардиналностите на

$\mathbb{N},P(\mathbb{N}),P(P(\mathbb{N})),P(P(P(\mathbb{N}))),\dots .$

па вториот бет-број ${\beth }_1$ е еднаков на $𝔠$ (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број ${\beth }_2$ е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

${\beth }_{\lambda }=\sup \{{\beth }_{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија $V_{\omega +\alpha }$ има кардиналност ${\beth }_{\alpha }$.

Поврзаност со алеф-броевите

Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу ${\mathrm{\aleph }}_0$ и ${\mathrm{\aleph }}_1$, следи дека

${\beth }_1\ge {\mathrm{\aleph }}_1.$

Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме ${\beth }_{\alpha }\ge {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ за сите ординали $\alpha$.

Хипотезата за континуумот е еднаква на

${\beth }_1={\mathrm{\aleph }}_1.$

Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е., ${\beth }_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ за сите ординали $\alpha$.

Поединечни кардинали

Бет-нула

Бидејќи ова по дефиниција е ${\mathrm{\aleph }}_0$ (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност ${\beth }_0$ се следниве:

• природните броеви N
• рационалните броеви Q
• алгебарските броеви
• пресметливите броеви и пресметливите множества
• множеството на конечни множества на цели броеви

Бет-еден

Кардиналност ${\beth }_1$ имаат следниве множества:

• трансцендентните броеви
• ирационалните броеви
• реалните броеви R
• комплексните броеви C
• Евклидов простор Rⁿ
• партитивното множество на природни броеви (the set of all subsets of the natural numbers)
• множеството на низи од цели броеви (т.е. сите функции N → Z, честопати означени како Z^N)
• множеството на низи од реални броеви, R^N
• множеството на сите непрекинати функции од R до R
• мноежството од конечни подмножества на реални бреови

Бет-два

${\beth }_2$ се нарекува и 2^c (изг. „на степен це“).

Множества со кардиналност ${\beth }_2$ се:

• Партитивното множество of the set of real numbers, so it is the number of подмножества на реалната оска, или бројот на множества на реални броеви
• Партитивното множество на партитивното множество на природни броеви
• Множеството на сите функции од R до R (R^R)
• Множеството на сите функции од R^m до Rⁿ
• Партитивното множество на множеството на сите функции од множеството на природни броеви до самото себе, што значи дека е бројот на множества низи од природни броеви
• Стоун-Чеховите компактификации на R, Q и N

Бет-омега

${\beth }_{\omega }$ (pronounced beth omega) is the smallest uncountable strong limit cardinal.

Воопштување

Понекогаш се користи поопштиот симбол ${\beth }_{\alpha }(\kappa )$ за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:

${\beth }_0(\kappa )=\kappa ,$

${\beth }_{\alpha +1}(\kappa )=2^{{\beth }_{\alpha }(\kappa )},$

${\beth }_{\lambda }(\kappa )=\sup \{{\beth }_{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}$ ако λ е лимесен ординал.

Значи, ${\beth }_{\alpha }={\beth }_{\alpha }({\mathrm{\aleph }}_0).$

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

$\kappa \le {\beth }_{\alpha }(\mu ).$

Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

${\beth }_{\beta }({\beth }_{\alpha }(\kappa ))={\beth }_{\alpha +\beta }(\kappa ).$

Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството

${\beth }_{\beta }(\kappa )={\beth }_{\beta }(\mu )$

важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

Поврзано

• Алеф-број

Наводи

• T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995, стр. 5.