Преглед на кодот на Бретшнајдерова формула

[[Податотека:Tetragon measures.svg|десно|мини|Четириаголник]]
'''Бретшнајдерова формула''' – формула која во [[геометрија]]та се користи за одредување на плоштината на [[четириаголник]], и гласи
:<math> P = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}{2}}, </math>
при што, ''a'', ''b'', ''c'' и ''d'' се страните на четириаголникот, ''s'' е [[обем|полупериметар на четириаголникот]], а <math> \alpha\,</math> и <math> \gamma\,</math> се два спротивни агла во четириаголникот.

Бретшнајдеровата формула ја дава плоштината на четириаголник без разлика дали е тој [[Тетивен четириаголник|тетивен]] или не е.

== Доказ ==
Ако плоштината на четириаголникот се означи со ''P'', тогаш важи
:<math> \begin{align} P &= \text{плоштина на} \triangle BDC + \text{плоштина на } \triangle ADB \\
                        &= \tfrac{1}{2}ab\sin \gamma + \tfrac{1}{2}cd\sin \alpha 
\end{align} </math>

од каде следува
:<math> 4P^2 = (ab)^2\sin^2 \gamma + (cd)^2\sin^2 \alpha + 2abcd\sin \alpha\sin \gamma. \, </math>

Според [[Косинусна теорема|косинусната теорема]], важи
:<math> a^2 + b^2 -2ab\cos \gamma = c^2 + d^2 -2cd\cos \alpha, \, </math>
бидејќи двете страни на изразот се еднакви на квадратот на должината на дијагоналата ''BD''.

Ако собироците се прегрупираат и двете страни се квадрираат, равенката може да се напише на следниов начин:
:<math>\tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2\cos^2 \gamma +(cd)^2\cos^2 \alpha -2 abcd\cos \alpha\cos \gamma. \,</math>

Додавајќи ги на двете страни од добиената равенка соодветните страни од горната формула за <math>4P^2</math>, се добива
:<math>4P^2 + \tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2 + (cd)^2 - 2abcd\cos (\alpha+\gamma). \, </math>

По множење на равенката со 4 и по средување, се добива:
:<math>16P^2 = 4(a^2b^2 + c^2d^2) - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 - 8abcd\cos (\alpha+\gamma). \, </math>

Доколку првиот член на збирот од десната страна се дополни до квадрат на бином, се добива:
:<math>16P^2 = 4(ab + cd)^2 - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 - 8abcd[1+\cos (\alpha+\gamma)]. \, </math>

Ако потоа разликата на квадрати од десната страна се разложи на множители и ако се примени формулата за половина агол на третиот собирок, се добива:
:<math>16P^2 = [2(ab + cd) - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)][2(ab + cd) + (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)] - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2, \, </math>
односно
:<math>16P^2 = [(a + b)^2 - (c - d)^2][(c + d)^2 - (a - b)^2] - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2. \, </math>

Претходната еднаквост може да се запише и како:
:<math>16P^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b) - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2. </math>

Земајќи предвид дека попериметарот на четираголник е:
:<math>s = \frac{a+b+c+d}{2},</math> 
се добива
:<math>16P^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2</math>
од што следи Бретшнајдеровата формула.

== Поврзаност со други формули ==
Бретшнајдеровата формула е обопштување на [[Брамагуптина формула|Брамагуптината формула]] за плоштина на тетивен четириаголник, а таа пак е обопштување на [[Херонова формула|Хероновата формула]] који се користи за пресметување на плоштина на [[триаголник]].

== Надворешни врски ==
* [http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html Бретшнајдеровата формула] на семрежното место wolfram.com

[[Категорија:Плоштина]]
[[Категорија:Теореми за четириаголници]]